文档内容
考点 29 解三角形及其应用举例（2 种核心题型+基础保分练
+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题
2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题.
3.通过解决实际问题，培养学生的数学建模、直观想象和数学运算素养．
【知识点】
测量中的几个有关术语
术语名称 术语意义 图形表示
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂
平面内)所成的角中，目标视线在水平视
仰角与俯角
线上方的叫做仰角，目标视线在水平视
线下方的叫做俯角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到
方位角 目标方向线之间的夹角叫做方位角．方
位角θ的范围是0°≤θ<360°
正北或正南方向线与目标方向线所成的
例：(1)北偏东α：
方向角
锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α
(2)南偏西α：
坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ
坡角与坡比 为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之
比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ
【核心题型】
题型一 解三角形的应用举例
命题点1 测量距离问题【例题1】（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知两座灯塔 和 与海洋观察站 的距离
都等于 ，灯塔 在观察站 的北偏东 ，灯塔 在观察站 的南偏东 ，则灯塔
与灯塔 的距离为（）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·河南郑州·模拟预测）如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N
间架设一条索道．为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度
，在BC同一水平面上选一点A，测得M点的仰角为 ，N点
的人仰角为 ，以及 ， 则M，N间的距离为（ ）
A． B．120m C． D．200m
【变式2】（2022·山东青岛·二模）如图所示，A，B，C为三个村庄， ，
， ，则 ；若村庄D在线段BC中点处，要在线段
AC上选取一点E建一个加油站，使得该加油站到村庄A，B，C，D的距离之和最小，则该
最小值为 .
【变式3】（2023高三上·全国·专题练习）如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在
河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA
＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？命题点2 测量高度问题
【例题2】（2024·广东·二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟
楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的
位置，此时测量人和小镜子的距离为 ，之后将小镜子前移 ，重复之前
的操作，再次测量人与小镜子的距离为 ，已知人的眼睛距离地面的高度为
，则钟楼的高度大约是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·湖南岳阳·二模）岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君
山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小
明为了测量岳阳楼的高度 ，他首先在 处，测得楼顶 的仰角为 ，然后沿 方向
行走22.5米至 处，又测得楼顶 的仰角为 ，则楼高 为 米．
【变式2】（2024·广东湛江·二模）财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高
度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B、C
与O在同一水平面上，他测得 米， ，在点B处测得点A的仰角为
（ ），在点C处测得点A的仰角为45°，则财富汇大厦的高度 米.
【变式3】（2022·贵州安顺·模拟预测）如图，为测量某雕像AB的高度（B，C，D，F在
同一水平面上，雕像垂直该水平面于点B，且B，C，D三点共线），某校研究性学习小组
同学在C，D，F三点处测得顶点A的仰角分别为 ， ， ， 米．
(1)求雕像AB的高度；
(2)当观景点C与F之间的距离为多少米时，△CDF的面积最大？并求出最大面积．命题点3 测量角度问题
【例题3】（2024·上海嘉定·二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳
高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，
地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻 ，
实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉
定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻 最可能为
（ ）
太阳高度角 时间 太阳高度角 时间
43.13° 08:30 68.53° 10:30
49.53° 09:00 74.49° 11:00
55.93° 09:30 79.60° 11:30
62.29° 10:00 82.00° 12:00
A． B． C． D．
【变式1】（2023·四川绵阳·三模）《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十
五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强.
如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点 ，
处分别作切线相交于点 ，测得切线 ， ， ，根据
测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（ ）A．0.62 B．0.56 C． D．
【变式2】（2023·河北·模拟预测）如图是一款订书机，其内部结构可简化为如图模型.使用
时将B下压，E接触平台，D紧邻E，此时钝角 增大了（ ）（参考数据：
， ，
.）
A． B． C． D．
【变式3】（2022·河北衡水·模拟预测）瀑布是庐山的一大奇观，唐代诗人李白曾在《望庐
山瀑布中》写道：日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川，飞流直下三千尺，疑是银河落九天.
为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：沿一段水平山道步行至与瀑
布底端在同一水平面时，在此位置测得瀑布顶端的仰角正切值为 ，沿山道继续走20 ，
测得瀑布顶端的仰角为 .已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为 .根据这位同学的测量数据，可知该瀑布的高度为 ；若第二次测量
后，继续行进的山道有坡度，坡角大小为 ，且两段山道位于同一平面内，若继续沿山道
行进 ，则该同学望向瀑布顶端与底端的视角正切值为 .（此人身高忽略
不计）
题型二 解三角形中的最值和范围问题
解三角形中最值(范围)问题的解题策略
利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一条边的函数或不等
式，利用函数的单调性或基本不等式等求最值(范围)．
【例题4】（2024·江西南昌·三模）如图，在扇形OAB中，半径 ， ，C
在半径OB上，D在半径OA上，E是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形
BCDE的周长的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2024·重庆·模拟预测）已知 的内角 所对的边分别为 ，满足
， ，且 ，则边 ．
【变式2】（2024·山西·三模）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
．
(1)试判断 的形状；(2)若 的外接圆半径为2，求 周长的最大值．
【变式3】（2024·山东济宁·三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 ，已
知 .
(1)求证: ；
(2)若 ，求 面积的取值范围.
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2022·吉林·模拟预测）位于灯塔A处正西方向相距 n mile的B处有一艘甲船
需要海上救援，位于灯塔A处北偏东45°相距 n mile的C处的一艘乙船前往营救，则乙
船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西（ ）
A．30° B．60° C．75° D．45°
2．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高
度，通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量过程中，
已知竖立在 点处的测量觇标高 米，攀登者们在 处测得，到觇标底点 和顶点 的仰角分别为 ，则 的高度差约为（ ）
A．7.32米 B．7.07米 C．27.32米 D．30米
3．（2024·云南昆明·一模）早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一
种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的
位置如图所示．地球在 位置时，测出 ；行星M绕太阳运动一周回到原来位
置，地球运动到了 位置，测出 ， ．若地球的轨道半径为R，则
下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据： ）（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陕西西安·模拟预测）在 高的楼顶 处，测得正西方向地面上 两点
与楼底在同一水平面上）的俯角分别是 和 ，则 两点之间的距离为
（ ）．A． B． C． D．
二、多选题
5．（2023·重庆·三模）如图，为了测量障碍物两侧A，B之间的距离，一定能根据以下数
据确定AB长度的是（ ）
A．a，b， B． ， ，
C．a， ， D． ， ，b
6．（2024·河北邯郸·三模）已知 的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积
为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的取值范围是
B．若 为边 的中点，且 ，则 的面积的最大值为
C．若 是锐角三角形，则 的取值范围是
D．若角 的平分线 与边 相交于点 ，且 ，则 的最小值为10
三、填空题
7．（2022·全国·模拟预测）如图，为测量山高 ，选择A和另一座山的山顶C为测量观
测点，从点A测得点M的仰角 ，点C的仰角 ，以及 .
从点C测得 ,已知山高 ，则山高 m.8．（2024·江苏扬州·模拟预测）《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，
书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识
测量某建筑物上面一座信号塔的高度．把塔底与塔顶分别看作点C，D，CD与地面垂直，
小李先在地面上选取点A，B，测得 ，在点A处测得点C，D的仰角分别为 ，
，在点B处测得点D的仰角为 ，则塔高CD为 m．
9．（2024·宁夏·一模）在 中， ， ，点D与点B分别在直线AC
的两侧，且 ， ，则BD的长度的最大值是 ．
四、解答题
10．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上
选取A，B，C，D四个点，使得 ，测得 ， ，
．
(1)若B，D选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且 ， ，
求A，C两点间距离；
(2)求 的值．11．（2024·四川·三模）三角形 中，角 的对边分别为 ，且
.
(1)求 ；
(2)若 边上的中线长为2，求 的最小值.
【综合提升练】
一、单选题
1．（2022·北京通州·一模）太阳高度角是太阳光线与地面所成的角（即太阳在当地的仰
角）．设地球表面某地正午太阳高度角为 ， 为此时太阳直射点纬度， 为当地纬度值，
那么这三个量满足 ．通州区某校学生科技社团尝试估测通州区当地纬度值（
取正值），选择春分当日（ ）测算正午太阳高度角．他们将长度为1米的木杆垂直
立于地面，测量木杆的影长．分为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，测量结果如
下：
乙
组别 甲组 丙组 丁组
组木杆影长度（米） 0.82 0.80 0.83 0.85
则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是（ ）
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
2．（2024·贵州·模拟预测）如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志
性建筑之一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并
恢复原名、现存建筑是宣统元年（1909年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.
某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底 在同一水平面内的两个
测量基点 与 ，现测得 ， ， ，在 点测得甲秀楼顶
端 的仰角为 ，则甲秀楼的高度约为（参考数据： ， ）
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·陕西宝鸡·二模）在锐角 ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，
△
，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·吉林·二模）如图，位于某海域 处的甲船获悉，在其北偏东 方向 处有一
艘渔船遇险后抛锚等待营救. 甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东 ，且与甲船相距
的 处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时
需要航行的距离为（ ）A． B．
C． D．
5．（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因
鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.
为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量
观测点，已知点A为塔底， 在水平地面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面
（如图所示）.测得 ，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得
B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为（ ）（ ，精确到 ）
A． B． C． D．
6．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，若
， ，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．7．（2024·陕西·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，已知
，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C．12 D．15.
8．（2024·全国·模拟预测）已知 外接圆的半径为 ， 为边 的中点，
， 为钝角，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·甘肃兰州·一模）某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模
型、实地测量，迭代优化完成此次活动．在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗
杆高度的方案有
A．在水平地面上任意寻找两点 ， ，分别测量旗杆顶端的仰角 ， ，再测量 ，
两点间距离
B．在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为 ，在该建筑物底部
和顶部分别测得旗杆顶端的仰角 和
C．在地面上任意寻找一点 ，测量旗杆顶端的仰角 ，再测量 到旗杆底部的距离
D．在旗杆的正前方 处测得旗杆顶端的仰角 ，正对旗杆前行5m到达 处，再次测
量旗杆顶端的仰角
10．（2023·安徽亳州·模拟预测）已知 三个内角 、 、 的对应边分别为 、 、
，且 ， .则下列结论正确的是（ ）
A． 面积的最大值为
B．C． 的最大值为
D． 的取值范围为
11．（2024·贵州黔南·二模）已知锐角 的三个内角 ， ， 的对边分别是 ， ，
，且 的面积为 .则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 的取值范围为
C．若 ，则 的外接圆的半径为2
D．若 ，则 的面积的取值范围为
三、填空题
12．（2024·全国·模拟预测）已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，
b，c，且 ，则 的面积S的取值范围为 ．
13．（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段
、 是救生栈道的一部分，其中 ， ， 在 的北偏东 方向，
在 的正北方向， 在 的北偏西 方向，且 ．若救生艇在 处载上遇险游
客需要尽快抵达救生栈道 ，则最短距离为 m．(结果精确到1 m)
14．（2024·福建莆田·二模）如图，点 是边长为1的正六边形 的中心， 是过点
的任一直线，将此正六边形沿着 折叠至同一平面上，则折叠后所成图形的面积的最大值为 ．
四、解答题
15．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形 中， ， ，且
的外接圆半径为4.
(1)若 ， ，求 的面积；
(2)若 ，求 的最大值.
16．（2023·湖北孝感·模拟预测）汾阳文峰塔建于明末清初，位于山西省汾阳市城区以东2
公里的建昌村，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位于中国砖结构古塔之首.如图，某测绘小
组为了测量汾阳文峰塔的实际高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的三个测量基点
C，D，E，现测得 ， ， ， ，
，在点C测得塔顶A的仰角为 .参考数据：取 ， ，
.(1)求 ；
(2)求塔高 （结果精确到1m）.
17．（2024·重庆·模拟预测）如图，某班级学生用皮尺和测角仪（测角仪的高度为1.7m）
测量重庆瞰胜楼的高度，测角仪底部A和瞰胜楼楼底O在同一水平线上，从测角仪顶点C
处测得楼顶M的仰角， （点E在线段MO上）．他沿线段AO向楼前进
100m到达B点，此时从测角仪顶点D处测得楼顶M的仰角 ，楼尖MN的视
角 （N是楼尖底部，在线段MO上）．
(1)求楼高MO和楼尖MN；
(2)若测角仪底在线段AO上的F处时，测角仪顶G测得楼尖MN的视角最大，求此时测角
仪底到楼底的距离FO．
参考数据： ， ， ，
18．（2024·四川德阳·二模） 的内角 的对边分别为 ，已知.
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
19．（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
已知 ， .
(1)求 .
(2)求 面积的取值范围.
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（23-24高三上·安徽铜陵·阶段练习）镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，
顶端塔刹为一青铜铸葫芦，葫芦表面刻有“风调雨顺､国泰民安”八个字，是全国重点文物
保护单位､国家3A级旅游景区，小胡同学想知道镇国寺塔的高度MN，他在塔的正北方向
找到一座建筑物AB，高为7.5 ，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共
线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶
部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（ ）（参考数据： ）A． B． C． D．
2．（2023·贵州·二模）镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中．
已知人眼距离地面高度 ，某建筑物高 ，将镜子（平面镜）置于平地上，
人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离 ，将镜子后移a米，
重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离 ，则镜子后移距离a为（ ）
A．6m B．5m C．4m D．3m
3．（2023·广西柳州·模拟预测）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已
知 ， ，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知 是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为
a，b，c．若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2022·广东佛山·一模）在 中， 、 、 所对的边为 、 、 ，设 边上的中点为 ， 的面积为 ，其中 ， ，下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则 B． 的最大值为
C． D．角 的最小值为
6．（2022·河北沧州·模拟预测）在 中，三边长分别为a，b，c，且 ，则下列
结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
7．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，某城市有一条公路从正西方向 通过路口 后转
向西北方向 ，围绕道路 打造了一个半径为 的扇形景区，现要修一条与扇形
景区相切的观光道 ，则 的最小值为 ．
8．（2023·陕西西安·模拟预测）在平面四边形 中，
，则四边形 的面积的最大值为 ．
四、解答题
9．（2024·山西·一模） 中角 所对的边分别为 ，其面积为 ，且
.
(1)求 ；
(2)已知 ，求 的取值范围.10．（2024·全国·模拟预测）在① ；②
两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在
中，内角 所对的边分别是 ，且______．
(1)求角 的大小；
(2)若点 满足 ，且线段 ，求 面积的最大值．
11．（2023·四川达州·二模）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，
.
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积 的最小值.
