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第 05 讲 二次函数与一元二次方程
课程标准 学习目标
1. 掌握二次函数与一元二次方程的基本关系，并能够数量
①二次函数与一元二次方程的关系 运用它们的关系解决相关题目。
②二次函数与一元二次不等式的关系 2. 掌握二次函数与一元二次不等式的关系，并能够数量运
用它们的关系解决相关题目。
知识点01 二次函数与一元二次方程的关系
1. 二次函数与x轴的交点（二次函数与一元二次方程）：
y=ax2 +bx+c(a≠0) ax2 +bx+c=0(a≠0)
与x轴有两个交点⇔ 有2个 的实数根⇔
Δ=b2 −4ac
根的判别式 0。
y=ax2 +bx+c(a≠0) ax2 +bx+c=0(a≠0)
与x轴有 个交点⇔ 有2个相等的实数根⇔
Δ=b2 −4ac
根的判别式 0。
y=ax2 +bx+c(a≠0) ax2 +bx+c=0(a≠0)
与x轴没有交点⇔ 实数根⇔根的判别⇔
Δ=b2 −4ac
＜ 0。y=ax2 +bx+c ax2 +bx+c=0
二次函数 图象与x轴的交点 即为一元二次方程 的解。
2.
y=ax2 +bx+c(a≠0)
与y=m（m为常数且不为0）的交点：
①若
y=ax2 +bx+c
与y=m有两个交点，则方程
ax2 +bx+c=m
的根的判别式 0，方程
有两个 的实数根。
②若
y=ax2 +bx+c
与y=m有一个交点，则方程
ax2 +bx+c=m
的根的判别式 0，方程
有两个 的实数根。
③若
y=ax2 +bx+c
与y=m没有交点，则方程
ax2 +bx+c=m
的根的判别式 0，方程没有
实数根。
3.
y=ax2 +bx+c(a≠0)
与
y=mx+n
（m为常数且不为0）的交点：
①若
y=ax2 +bx+c
与
y=mx+n
有两个交点，则方程
ax2 +bx+c=mx+n
的根的判别式
0，方程有两个 的实数根。
②若
y=ax2 +bx+c
与
y=mx+n
有一个交点，则方程
ax2 +bx+c=mx+n
的根的判别式
0，方程有两个 的实数根。
③若
y=ax2 +bx+c
与
y=mx+n
没有交点，则方程
ax2 +bx+c=m
的根的判别式 0，方
程没有实数根。
【即学即练1】
1．如图，无论x为何值，y＝ax2+bx+c恒为正的条件是（ ）
A．a＞0，b2﹣4ac＜0 B．a＜0，b2﹣4ac＞0
C．a＞0，b2﹣4ac＞0 D．a＜0，b2﹣4ac＜0
【即学即练2】
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（ ）
A．x ＝﹣4，x ＝2 B．x ＝﹣3，x ＝﹣1
1 2 1 2
C．x ＝﹣4，x ＝﹣2 D．x ＝﹣2，x ＝2
1 2 1 2
【即学即练3】3．若函数y＝（m﹣3）x2﹣4x+2的图象与x轴只有一个交点，则m的值是（ ）
A．3或5 B．3 C．4 D．5
知识点02 二次函数与一元二次不等式
1. 二次函数与一元二次不等式：
b2 −4ac＞0 b2 −4ac=0 b2 −4ac＜0
抛物线的图象
a
大
于 不等式
ax2 +bx+c＞0
全体实数
0 的解集
ax2 +bx+c＜0
不等式
无解 无解
的解集
抛物线的图象
A
小
ax2 +bx+c＞0
于 不等式
无解 无解
0 的解集
ax2 +bx+c＜0
不等式
全体实数
的解集
【即学即练1】
4．如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0）．则y＞0的解集
．题型01 根据二次函数图象判断根的情况
【典例1】如图，是抛物线y＝ax2+bx+c的图象，图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，关于x的一元二次
方程ax2+bx+c＝0根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【变式1】二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的根的情
况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【变式2】已知抛物线y＝mx2+4x的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程mx2+4x
＝3的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
【变式3】函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0的根的情况是
（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个异号的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
【变式4】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+ax﹣b＝0的根的情况是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
题型02 根据图象或根的情况求未知系数
【典例1】若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0【变式1】已知函数y＝mx2+3mx+m﹣2的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 ．
【变式2】二次函数y＝kx2﹣4x+4的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是 ．
【变式3】在平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+4x+k与x轴只有一个交点，则k＝ ．
【变式4】抛物线y＝﹣x2+bx+c经过（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，关于x的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0
在﹣4＜x＜1的范围内有实数根，则n的取值范围为（ ）
A．﹣11＜n＜﹣2 B．﹣6＜n＜﹣3 C．﹣11＜n≤﹣2 D．﹣11＜n＜﹣6
题型03 根据图象求方程的根或近似根
【典例1】若y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【变式1】已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元
二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是 ．
【变式2】如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次
方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（ ）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
【变式3】如图，点A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，
则方程ax2+bx+c＝0的一个近似值可能是（ ）
A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45
【变式4】下表列出了函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中自变量x与函数y的部分对应值．根据表中数据，判断
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解在哪两个相邻的整数之间（ ）
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
y 1 2 1 ﹣2 ﹣7A．1与2之间 B．﹣2与﹣1之间
C．﹣1与0之间 D．0与1之间
题型04 根据图象求一元二次不等式的解集
【典例1】抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则当y＜0，x的取值范围是
（ ）
A．x＜1 B．x＞﹣1 C．﹣3＜x＜1 D．﹣4≤x≤1
【变式1】函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（
）
A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
【变式2】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＜﹣1或x＞2
【变式3】抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称
轴为直线x＝1，则当y＜0时，x的取值范围是 ．1．抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从表可知，下列说法中，错误的是（ ）
A．抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）
B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）
C．抛物线的对称轴是直线
D．抛物线在对称轴左侧部分y随x的增大而减小
2．如图，二次函数y＝﹣x2+mx+n的图象与x轴的一个交点坐标为（5，0），那么关于x的一元二次方程
﹣x2+mx﹣n＝0的解为（ ）
第2题 第3题 第5题
A．x ＝5，x ＝1 B．x ＝5，x ＝﹣1
1 2 1 2
C．x ＝5，x ＝﹣5 D．x＝5
1 2
3．二次函数 y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程 ax2+bx+m＝0有实数根，则 m的最大值为
（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
4．已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+2＝0的根的情况是（ ）
A．无实数根
B．有两个同号不等实数根
C．有两个异号实数根
D．有两个相等实数根
5．二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象如图所示，给出下列结论：①c＜0；②﹣ ＞0；③当﹣1＜x
＜3时，y＜0．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣7.21 ﹣7.20 ﹣7.19 ﹣7.18 ﹣7.17 …y … ﹣0.04 ﹣0.03 0.01 0.02 0.03 …
则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（ ）
A．﹣7.21＜x＜﹣7.20 B．﹣7.20＜x＜﹣7.19
C．﹣7.19＜x＜﹣7.18 D．﹣7.18＜x＜﹣7.17
7．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），则
方程ax2+bx+c＝0的一个解有可能是（ ）
A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45
8．一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为﹣3和﹣1，则二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．x＝﹣1
9．已知二次函数 的图象l ，现将l 向下平移k个单位长度得到图象l ．若l ，l 都
1 1 2 1 2
与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则k的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学
画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数
是（ ）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4，
A．4 B．3 C．2
D．1
11．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），线段AB的长
为8，则抛物线的对称轴为直线 ．
12．关于x的二次函数y＝2mx2+（8m+1）x+8m的图象与x轴有交点，则m的范围是 ．
13．根据表格估计方程x2+2x＝6其中一个解的近似值．
x 1.63 1.64 1.65 1.66 …x2+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 …
根据上表，求方程x2+2x＝6的一个解大约是 .（精确到0.01）
14．如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，P为抛物线对称轴上动点，
则PA+PC取最小值时，点P坐标是 ．
15．若关于x的方程x2﹣（m+3）x+m+6＝0的两根x ，x 满足1＜x ≤2＜x ，则二次函数y＝x2﹣（m+3）
1 2 1 2
x+m+6的顶点纵坐标的最大值是 ．
16．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）画出函数的图象．
①把如表补充完整：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 …
②在所给的直角坐标系中，画出此函数图象．
（2）根据所画的图象直接写出当y＜0时，x的取值范围．
17．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）．
（1）求证：在平面直角坐标系中，该抛物线与x轴总有两个公共点；
（2）若点A（m，y ），B（8，y ），C（m+6，y ）都在抛物线上，且y ＜y ＜y ，求m的取值范围．
1 2 3 3 2 118．如图，抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是抛物线在第一象限的一个动点，点Q在线段BC上，且点Q始终在点P正下方，求线段PQ的
最大值．
19．在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象的顶点D的坐标为（4，﹣3），该图象与x轴相交于点
A、B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点P（m，n）是该二次函数的图象上一动点，求2m+3n的最小值．20．已知关于x的二次函数y＝x2﹣bx+c
（1）若该函数的图象与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（2，0），求b﹣2c的值；
（2）若该函数的图象的顶点纵坐标为3，
①用含b的代数式表示c；
②当1＜x＜m时，y的取值范围是3≤y＜4，求c的取值范围．
