文档内容
第 04 讲 二次函数y=ax2 +bx+c的图象和性质
课程标准 学习目标
①二次函数的三种形式
1. 掌握二次函数的三种形式并能够熟练的进行三种形式之间的
y=ax2 +bx+c
转化。
②二次函数 的
2. 根据顶点式从而推导掌握二次函数一般式的性质与图象。
图象与性质
知识点01 二次函数的三种形式
1. 二次函数的三种形式：
（1）一般式：
y=ax2 +bx+c(a≠0)
由定义可知，二次函数的一般式为 。
（2）顶点式：
能直接看出二次函数的顶点坐标的函数解析式叫二次函数的顶点式。2
y=a(x−h) +k(a≠0) (k，k)
即 。由顶点式可知二次函数的顶点坐标为 。
（3）两点式（交点式）：
能直接得到二次函数与x轴的交点坐标的二次函数解析式是二次函数的两点式，又叫做二次函数的
y=a(x−x )(x−x )(a≠0)
交点式。即 1 2 。此时二次函数与x轴的两个交点坐标分别为
x +x
x= 1 2
(x 1 ， 0) 与 (x 2 ， 0) 。二次函数的对称轴为 2 。函数值相等的两个点一定关于
对称轴 对称。
（4）二次函数的一般式转化为顶点式：
利用配方法将一般形式转化为顶点式：过程如下：
y=ax2 +bx+c
b
=a ( x2 + x ) +c
a
( b b2 b2 )
¿a x2 + x+ − +c
a 4a2 4a2
b 2 b2
( )
¿a x+ − +c
2a 4a
(
b
)
2 4ac−b2
¿a x+ +
2a 4a
【即学即练1】
1．抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（2，3 ） D．（﹣2，3）
【分析】根据二次函数的顶点式即可得到抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3）．
【解答】解：抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3）．
故选：A．
【即学即练2】
2．若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0），B（3，0）两点，则抛物线的对称轴为（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
【分析】由A、B两点的坐标，根据抛物线的对称性可求得答案．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，0）、B（3，0）两点，
∴抛物线对称轴为直线x＝ ＝2，
故选：B．
【即学即练3】
3．将二次函数y＝x2﹣2x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是 y ＝（ x ﹣ 1 ） 2 ﹣ 2 ．【分析】利用配方法再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣2＝（x﹣1）2﹣2．
故答案为：y＝（x﹣1）2﹣2．
知识点02 二次函数的图象与性质（一般式）
1. 二次函数的一般式的图象与性质：
把二次函数的一般式化成顶点式可知一般式的性质如下：
y=ax2 +bx+c(a≠0) a＞0 a＜0
开口方向 开口向上 开口向下
a的绝对值越大，开口越 小
开口大小
a的绝对值越小，开口越 大
b 4ac−b2 b 4ac−b2
顶点坐标 − ， − ，
2a 4a 2a 4a
（ ） （ ）
b b
x=− x=−
2a 2a
对称轴
离对称轴越远的函数值越 大 离对称轴越远的函数值越 小
离对称轴越近的函数值越 小 离对称轴越近的函数值越 大
对称轴右边y随x的增大而 增大 对称轴右边y随x的增大而 减小
。 。
增减性
对称轴左边y随x的增大而 减小 对称轴左边y随x的增大而 增大
。 。
函数轴最 小 值 函数轴最 大 值
最值
4ac−b2 4ac−b2
4a 4a
这个值是 。 这个值是 。
与y轴交点坐标 （ 0 ， c ） （ 0 ， c ）
【即学即练1】
4．用配方法求出抛物线y＝x2+2x﹣1的开口方向、顶点坐标、对称轴．
【分析】利用配方法把一般式变形为顶点式y＝（x+1）2﹣2，然后根据二次函数的性质求解．
【解答】解：y＝x2+2x﹣1＝x2+2x+1﹣2＝（x+1）2﹣2，
所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣2）．
【即学即练2】
5．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是（ ）A．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）
B．顶点坐标是（1，﹣3）
C．函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0）
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【分析】A、将x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3，求出y＝﹣3，得出函数图象与y轴的交点坐标，即可判断；
B、将一般式化为顶点式，求出顶点坐标，即可判断；
C、将y＝0代入y＝x2﹣2x﹣3，求出x的值，得到函数图象与x轴的交点坐标，即可判断；
D、利用二次函数的增减性即可判断．
【解答】解：A、∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴x＝0时，y＝﹣3，
∴函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3），故本选项说法正确；
B、∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标是（1，﹣4），故本选项说法错误；
C、∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或﹣1，
∴函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0），故本选项说法正确；
D、∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴为直线x＝1，
又∵a＝1＞0，开口向上，
∴x＜1时，y随x的增大而减小，
∴x＜0时，y随x的增大而减小，故本选项说法正确；
故选：B．
【即学即练3】
6．已知二次函数y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）图象上三点A（﹣1，y ）、B（1，y ）、C（2，y ），则y ，
1 2 3 1
y ，y 的大小关系为（ ）
2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 3 2 3 1 2 1 2 3 2 1 3
【分析】由解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质即可判断．
【解答】解：∵y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0），
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣ ＝ ，
∴当x＞ 时，y随x的增大而减小，
∵点A（﹣1，y ）关于对称轴的对称点是（ ，0），而1＜ ＜2，
1
∴y ＜y ＜y ．
3 1 2故选：B．
知识点03 二次函数的图象与系数的关系
1. 二次函数的开口方向：
二次函数的开口方向由 a 决定， a＞0 ，开口向 上 ， a＜0 ，开口向 下 。
2. 二次函数的对称轴：
b
y=ax2 +bx+c(a≠0)
x=−
2a a，b
由二次函数的性质可知，二次函数 的对称轴为 。若 同号，
b b
x=− x=−
则 2a ＜ 0，二次函数的对称轴在y轴的 左边 ；若 a，b 异号，则 2a ＞ 0，
二次函数的对称轴在y轴的 右边 。简称左同右异。
b
x=−
①若二次函数的对称轴
2a
=1，则
2a+b=
0 。
b
x=−
②若二次函数的对称轴
2a
=﹣1，则
2a−b=
0 。
3.
二次函数与y轴的交点：
二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0) 与y轴的交点坐标为 (0，c) 。
4. 二次函数与x轴的交点（二次函数与一元二次方程）：
y=ax2 +bx+c(a≠0) ax2 +bx+c=0(a≠0)
与x轴有两个交点⇔ 有2个 不相等 的实数根
Δ=b2 −4ac
⇔根的判别式 ＞ 0。
y=ax2 +bx+c(a≠0) ax2 +bx+c=0(a≠0)
与x轴有 1 个交点⇔ 有2个相等的实数根⇔
Δ=b2 −4ac
根的判别式 = 0。
y=ax2 +bx+c(a≠0) ax2 +bx+c=0(a≠0)
与x轴没有交点⇔ 没有 实数根⇔根的判别⇔
Δ=b2 −4ac
＜ 0。
y=ax2 +bx+c
拓展：在二次函数 中：
a+b+c
是自变量为 1 的函数值，
a−b+c
是自变量为 ﹣ 1 的函数值。
4a+2b+c
是自变量为 2 的函数值，
4a−2b+c
是自变量为 ﹣ 2 的函数值。
9a+3b+c
是自变量为 3 的函数值，
9a−3b+c
是自变量为 ﹣ 3 的函数值。
【即学即练1】
7．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），如下结论：
①abc＞0；②b＝2a；③a+b+c＜0；④若（﹣4，y ），（3，y ）是抛物线上的两点，则y ＜y ；⑤
1 2 1 2a﹣b＞m（am+b）；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据图象判断①，对称轴判断②，特殊点判断③，增减性判断④，最值判断⑤．
【解答】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为 ，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，b＝2a＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误，②正确；
∵图象过（﹣3，0），且对称轴为x＝﹣1，
∴图象过（1，0），
∴a+b+c＝0；故③错误；
∵|﹣4﹣（﹣1）|＜|3﹣（﹣1）|，
∴y ＜y ；故④正确；
1 2
当x＝﹣1时，函数有最小值为a﹣b+c，
∴a﹣b+c≤am2+bm+c，
∴a﹣b≤am2+bm＝m（am+b）；故⑤错误；
综上：正确的结论有2个；
故选：B．
知识点04 待定系数法求二次函数解析式
1. 待定系数法求二次函数解析式的具体步骤：
（1）设二次函数解析式；
y=ax2 +bx+c
①已知抛物线上任意三点，则设二次函数解析式为 。
y=a(x−h) 2 +k
②已知抛物线的顶点坐标，则设二次函数解析式为 。
y=a(x−x )(x−x )
③已知抛物线与x轴的两个交点坐标，则设二次函数解析式为 1 2 。
（2）带点：将已知点带入函数解析式建立方程。
（3）解方程：解（2）中得到的方程，得出未知系数。
（4）反带：将未知系数反带入函数解析式。
【即学即练1】8．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）其图象经过（0，2），（﹣1，0），（2，0）三点；
（2）其图象顶点为（﹣1，4），且经过（2，﹣5）．
【分析】（1）设出二次函数的一般式y＝ax2+bx+c，再把点（﹣1，7），（1，1），（2，﹣5）代入求
解即可；
（2）由顶点坐标（1，4）设出顶点式y＝a（x﹣1）2+4，再把点（﹣2，﹣5）代入求解即可．
【解答】解：（1）设y＝ax2+bx+c，
把点（0，2），（﹣1，0），（2，0）代入得： ，
解得 ，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）∵顶点为（﹣1，4），
∴设y＝a（x+1）2+4，
又∵过点（2，﹣5），
∴a（2+1）2+4＝﹣5，
∴a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3．
题型01
y=ax2 +bx+c
的基本性质
【典例1】对于二次函数y＝x2﹣2x+3的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与y轴的交点为（0，2）
【分析】将函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意；
对称轴是直线x＝1，故选项B错误，不符合题意；
顶点坐标为（1，2），故选项C正确，符合题意；
与y轴的交点为（0，3），故选项D错误，不符合题意；
故选：C．【变式1】对二次函数y＝ x2+2x+3的性质描述正确的是（ ）
A．函数图象开口朝下
B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．该函数图象的对称轴在y轴左侧
D．该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴
【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质逐一分析即可作答．
【解答】解：二次函数y＝ x2+2x+3＝ （x+2）2+1，对称轴为直线x＝﹣2．
A、a＝ ＞0，开口向上，本选项不符合题意；
B、当﹣2＜x＜0时，y随x的增大而增大，本选项不符合题意；
C、该函数图象的对称轴在y轴左侧，本选项符合题意；
D、该函数图象与y轴的交点为（0，3），位于y轴，正半轴，本选项不符合题意；
故选：C．
【变式2】已知抛物线y＝x2﹣2x+3，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝1
C．抛物线的顶点坐标为（1，2）
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合
题意；
由解析式得，对称轴为直线x＝1，因此B选项正确，不符合题意；
由解析式得，当x＝1时，y取最小值，最小值为2，所以抛物线的顶点坐标为（1，2），因此C选项正
确，不符合题意；
因为抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，因此当x＞1时，y随x的增大而增大，因此D选项错误，符
合题意．
故选：D．
【变式3】抛物线y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … ﹣5 0 3 n 3 …
则下列判断错误的是（ ）
A．该抛物线的开口向下
B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小C．a﹣b+c＞0
D．该抛物线与x轴只有一个交点
【分析】先根据当x＝﹣2和当x＝0时的函数值相同，得到对称轴为直线x＝﹣1，则由对称性可得，当
x＝1时，y＝0，据此可判断D；再由增减性即可判定A、B；根据当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，即可判
断C．
【解答】解：∵当x＝﹣2和当x＝0时的函数值相同，
∴对称轴为直线 ，
∴由对称性可得，当x＝1时，y＝0，
∴抛物线与x轴有两个交点，故D说法错误，符合题意；
∵﹣3＜﹣2＜﹣1且0＜3，
∴在对称轴左侧y随x增大而增大，
∴抛物线开口向下，故A说法正确，不符合题意
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，n＞3＞0，故B说法正确，不符合题意
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，故C说法正确，不符合题意；
故选：D．
【变式4】对于二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a≠0），下列说法错误的是（ ）
A．对称轴为直线x＝1
B．一定经过点（2，3）
C．x＜1时，y随x增大而增大
D．当a＞0，m≠1时，am2﹣2am+3＞﹣a+3
【分析】根据各个选项中的说法和题目中的解析式可以判断各选项是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：A、y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）＝a（x﹣1）2﹣a+3，对称轴为直线x＝1，不符合题意；
B、当x＝2时，y＝4a﹣4a+3＝3，一定经过点（2，3），不符合题意；
C、当a＞0，x＜1时，y随x增大而减小，符合题意；
D、当a＞0，m≠1时，am2﹣2am+3＞﹣a+3，即am2﹣2am+a＝a（m﹣1）2＞0，不符合题意．
故选：C．
题型02
y=ax2 +bx+c
的图象问题
【典例1】二次函数y＝ax2+4x+a与一次函数y＝ax+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【分析】分a＞0和a＜0两种情况根据二次函数与一次函数图象分析判断即可得解．
【解答】解：对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣ ，
a＞0时，抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴正半轴的交于点（0，a），一次函数y＝ax+a经
过第一、二、三象限，与y轴正半轴的交于点（0，a），
a＜0时，抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴负半轴的交于点（0，a），一次函数y＝ax+a经
过第二、三、四象限，与y轴正半轴的交于点（0，a）．
故选：D．
【变式1】二次函数y＝ax2+ax+c2+1（a，c为常数，且a≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】求得抛物线的对称轴和与y轴的交点即可判断．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+ax+c2+1（a，c为常数，且a≠0），
∴对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣ ，在y轴的左侧，与y轴的交点为（0，c2+1）在正半轴，
故图象可能是A．
故选：A．
【变式2】一次函数y＝cx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得
相关图象，进而可得结论．
【解答】解：A、由一次函数的图象可知，c＞0，b＞0，由二次函数的图象可知，a＞0，b＜0，c＞0，
两结论矛盾，不符合题意；
B、由一次函数的图象可知，c＞0，b＞0，由二次函数的图象可知，a＞0，b＞0，c＞0，两结论一致，
符合题意；
C、由一次函数的图象可知，c＜0，b＜0，由二次函数的图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，两结论矛盾，
不符合题意；
D、由一次函数的图象可知，c＞0，b＞0，由二次函数的图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，两结论矛盾，
不符合题意；
故选：B．
【变式3】一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+x+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可
能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】可先由一次函数y＝cx﹣a图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+x+c的图象相比较
看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知a＜0，又b＝1＞0，所以对称轴应该在y轴右侧，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，c＜0，由直线可知，a＞0，c＜0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＞0，c＜0，由直线可知，a＞0，c＞0，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知a＜0，又b＝1＞0，所以对称轴应该在y轴右侧，故本选项不符合题意．
故选：B．
【变式4】二次函数y＝ax2+2ax+b与一次函数y＝ax+b（a，b是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中
的大致图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数和一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+2ax+b，
∴对称轴为直线 ，故B，D不符合题意；
∵当x＝0时，y＝ax2+2ax+b＝b，y＝ax+b＝b，
∴二次函数与一次函数交于y轴上的点（0，b），故C不符合题意，A符合题意．
故选：A．
题型03
y=ax2 +bx+c
的点的坐标特征
【典例1】已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＜0）的图象上三个点的坐标分别为A（3，y ），
1
，C ，则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
3 1 2 2 1 3 1 3 2 1 2 3
【分析】求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据抛物线的对称性和增减性，即可求出答案．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+b（a＜0），
∴二次函数的开口向下，对称轴是直线 ，
∴x＞1时，y随x的增大而减小，
∵C点关于直线x＝1的对称点是 ，
∵ ，
∴y ＜y ＜y ，
3 1 2
故选：A．
【变式1】已知抛物线y＝﹣ax2+4ax+c（a≠0）经过A（﹣1，y ），B（2，y ），C（3，y ）三点，则下
1 2 3
列说法正确的是（ ）
A．若a＜0，则y ＞y ＞y B．若a＞0，则y ＞y ＞y
3 2 1 1 3 2
C．若a＜0，则y ＞y ＞y D．若a＞0，则y ＞y ＞y
1 3 2 2 1 3【分析】依据题意，由抛物线为y＝﹣ax2+4ax+c，从而对称轴是直线x＝﹣ ＝2，再由a＞0
和a＜0进行分类讨论，结合二次函数的性质即可判断得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝﹣ax2+4ax+c，
∴对称轴是直线x＝﹣ ＝2．
若a＜0，则﹣a＞0，
∴抛物线开口向上．
∴此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
∵经过A（﹣1，y ），B（2，y ），C（3，y ）三点，
1 2 3
又2﹣（﹣1）＞3﹣2＞2﹣2，
∴y ＞y ＞y ，故A错误，C正确．
1 3 2
若a＞0，则﹣a＜0，
∴抛物线开口向下．
∴此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越大
∵经过A（﹣1，y ），B（2，y ），C（3，y ）三点，
1 2 3
又2﹣（﹣1）＞3﹣2＞2﹣2，
∴y ＞y ＞y ，故B、D错误．
2 3 1
故选：C．
【变式2】已知点M（x ，y ），点N（x ，y ）是二次函数y＝x2﹣2x图象上的两点，其中x ＜x ，则下列
1 1 2 2 1 2
说法不正确的是（ ）
A．若x ＜x ＜0，则y ＞y
1 2 1 2
B．若x +x ＝2，则y ＝y
1 2 1 2
C．若|x +1|＜|x ﹣1|，则y ＞y
1 2 1 2
D．若0＜x ＜x ＜2，则y •y ＞0
1 2 1 2
【分析】由解析式可知抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣ ＝1，抛物线与x轴的交点为（0，
0），（2，0），然后根据二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征进行判断即可．
【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x可知，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣ ＝1，抛物线与x
轴的交点为（0，0），（2，0），
A、若x ＜x ＜0，则点M（x ，y ），点N（x ，y ）在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
1 2 1 1 2 2
∴y ＞y ；故选项A正确，不合题意；
1 2
B、若x +x ＝2，则点M（x ，y ），点N（x ，y ）关于对称轴对称，
1 2 1 1 2 2
∴y ＝y ；故选项B正确，不合题意；
1 2
C、若|x +1|＜|x ﹣1|，例如x ＝0，x ＝5，满足|x +1|＜|x ﹣1|，但点M（0，y ）到对称轴的距离小于点
1 2 1 2 1 2 1N（5，y ）到对称轴的距离，此时y ＜y ；故选项C不正确，符合题意；
2 1 2
D、若0＜x ＜x ＜2，则点M（x ，y ），点N（x ，y ）在x轴的下方，y ＜0，y ＜0，
1 2 1 1 2 2 1 2
∴y •y ＞0；故选项D正确，不合题意；
1 2
故选：C．
【变式3】已知点A（x ，y ）在直线y＝﹣x﹣6上，点B（x ，y ），C（x ，y ）在抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣
1 1 2 2 3 3
2上，若y ＝y ＝y ，x ＜x ＜x ，则x +x +x 的取值范围是（ ）
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A．﹣8＜x +x +x ＜﹣4 B．﹣10＜x +x +x ＜﹣6
1 2 3 1 2 3
C．﹣4＜x +x +x ＜0 D．﹣12＜x +x +x ＜﹣8
1 2 3 1 2 3
【分析】求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的 x的
值，即可求得x 取值范围，根据抛物线的对称性求得x +x ＝﹣2，从而求得x +x +x 的取值范围．
1 2 3 1 2 3
【解答】解：令﹣x﹣6＝﹣x2﹣4x﹣2，整理得x2+3x﹣4＝0，
解得x ＝1，x ＝﹣4，
1 2
∴直线y＝﹣x﹣6与抛物线的交点的横坐标为1，﹣4，
∵y＝﹣x2﹣4x﹣2＝﹣（x+2）2+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点为（﹣2，2），
把y＝2代入y＝﹣x﹣6，解得x＝﹣8，
若y ＝y ＝y ，x ＜x ＜x ，则﹣8＜x ＜﹣4，x +x ＝﹣4，
1 2 3 1 2 3 1 2 3
∴﹣12＜x +x +x ＜﹣8，
1 2 3
故选：D．
【变式4】若二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象，过不同的六点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，
n+1）、D（4，y ）、E（ ，y ）、F（2，y ），则y 、y 、y 的大小关系是（ ）
1 2 3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 2 1
【分析】由解析式可知抛物线开口向上，点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）求得抛物线对
称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得．
【解答】解：由二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）可知，抛物线开口向上，
∵A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）、
∴A点关于对称轴的对称点在5与6之间，
∴对称轴的取值范围为2＜x＜2.5，
∴y ＞y ，
1 3
∵点E到对称轴的距离小于2.5﹣ ，点D到对称轴的距离大于4﹣2.5＝1.5，
∴y ＜y ＜y ，
3 2 1
故选：D．
题型04 二次函数的最值问题【典例1】已知抛物线y＝2x2﹣4x+3在自变量x的值满足m≤x≤m+2时，与其对应的函数值y的最大值为
9，则m的值为（ ）
A．﹣1或5 B．﹣1或2 C．﹣1或1 D．1或4
【分析】依据题意，由抛物线为y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，从而抛物线开口向上，当x＝1时，y取
最小值为1；当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，再根据m+2≤1、m≥1
和m＜1＜m+2分别进行分类讨论，结合对应的函数值y的最大值为9，进而计算可以得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，
∴抛物线开口向上，当x＝1时，y取最小值为1；当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x
的增大而增大．
①当m+2≤1时，即m≤﹣1，
∴当x＝m时，y取最大值为2m2﹣4m+3＝9．
∴m＝﹣1或m＝3（舍去）．
②当m≥1时，
∴当x＝m+2时，y取最大值为2（m+2）2﹣4（m+2）+3＝9．
∴m＝﹣3（舍去）或m＝1．
③当m＜1＜m+2时，即﹣1＜m＜1，
∴当x＝m或x＝m+2时，y取最大值为2m2﹣4m+3＝9或2（m+2）2﹣4（m+2）+3＝9．
∴m＝﹣1或m＝3，或m＝﹣3或m＝1，均不符合题意．
综上，m＝﹣1或m＝1．
故选：C．
【变式1】当a﹣2≤x≤a时，二次函数y＝x2﹣4x+3的最小值为15，则a的值为（ ）
A．﹣2或8 B．8 C．6 D．﹣2或6
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝15时x的值，结合当a﹣2≤x≤a时函数有最小值
15，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：当y＝15时，有x2﹣4x+3＝15，
解得：x ＝﹣2，x ＝6．
1 2
∵当a﹣2≤x≤a时，函数有最小值15，
∴a﹣2＝6或a＝﹣2，
∴a＝8或a＝﹣2，
故选：A．
【变式2】若当﹣4≤x≤2时，二次函数 的最小值为0，则m＝（ ）
A． B． C． D． 或
【分析】分两组情况讨论，当m≤2时，则当x＝m时，有最小值求得m＝ ；当m＞2时，则x＝2时，y有最小解得m＝ ＜2，即可求得m＝ ．
【解答】解：∵y＝ x2﹣mx+1＝ （x﹣m）2+（﹣ m2+1），
∴图象f的对称轴为x＝m，
当m≤2时，抛物线开口向上，
∴当x＝m时，y有最小值，y最小 ＝﹣ m2+1＝0，
解得m＝ ，
当m＞2时，抛物线开口向上，在﹣4≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴x＝2时，y有最小值，y最小 ＝ （2﹣m）2+（﹣ m2+1）＝0，
解得m＝ （不合题意，舍去），
综上，m＝ ．
故选：B．
【变式3】已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣3（m＞0）在自变量﹣1≤x≤3时，其对应的函数值y的最大值为
1，则m的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．1
【分析】依据题意，由二次函数 y＝﹣x2+2mx﹣3，从而可得对称轴是直线x＝﹣ ＝m，且抛
物线开口向下，再由二次函数的性质分﹣1＜0＜m＜3和m≥3两种情形进行讨论即可判断得解．
【解答】解：由题意，∵二次函数y＝﹣x2+2mx﹣3，
∴对称轴是直线x＝﹣ ＝m，且抛物线开口向下，当x＜m时，y随x的增大而增大，当x＞m
时，y随x的增大而减小．
①当﹣1＜0＜m＜3时，此时x＝m时，y取最大值为﹣m2+2m2﹣3＝m2﹣3＝1，
∴m＝2或m＝﹣2（舍去）．
②当m≥3时，当x＝3时，y取最大值为﹣9+6m﹣3＝1，
∴m＝ ＜3，不合题意．
综上，m＝2．
故选：C．
【变式4】已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣3≤x≤﹣1时，与其对应
的函数值y的最小值为5，则m的值为（ ）
A．1或﹣3 B．﹣3或﹣5 C．1或﹣1 D．1或﹣5【分析】利用配方法可得出：当x＝m时，y的最小值为1．分m＜﹣3，﹣3≤m≤﹣1和m＞﹣1三种情
况考虑：当m＜﹣3时，由y的最小值为5可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值；当﹣
3≤m≤﹣1时，y的最小值为1，舍去；当m＞﹣1时，由y的最小值为5可得出关于m的一元二次方程，
解之取其较大值．综上，此题得解．
【解答】解：∵y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1，
∴当x＝m时，y的最小值为1．
当m＜﹣3时，在﹣3≤x≤﹣1中，y随x的增大而增大，
∴9+6m+m2+1＝5，
解得：m ＝﹣5，m ＝﹣1（舍去）；
1 2
当﹣3≤m≤﹣1时，y的最小值为1，舍去；
当m＞﹣1时，在﹣3≤x≤﹣1中，y随x的增大而减小，
∴1+2m+m2+1＝5，
解得：m ＝﹣3（舍去），m ＝1．
1 2
∴m的值为﹣5或1．
故选：D．
题型05 二次函数的图象与系数的关系
【典例1】如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是直线x＝1，则下列说法：①b＞0；②
2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤m（ma+b）＜a+b（常数m≠1）．其中正确的个数为（
）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据
对称轴x＝1计算2a+b与0的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由抛物线的开口向下知a＜0，对称轴为直线x＝﹣ ＞0，则b＞0，故本选项正确；
②由对称轴为直线x＝1，
∴﹣ ＝1，∴b＝﹣2a，则2a+b＝0，故本选项正确；
③由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，则4a﹣2b+c＜0，故本选项错误；
④从图象知，当x＝﹣1时，y＝0，则a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，故本选项错误；
⑤∵对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，抛物线有最大值，
∴a+b+c＞m2a+mb+c，
∴m（ma+b）＜a+b（常数m≠1），故本选项正确；
故选：B．
【变式1】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；
③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0．正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】该函数开口方向向下，则a＜0，由对称轴可知，b＝2a＜0，与y轴交点在y轴正半轴，则c＞
0，再根据一些特殊点，比如x＝1，x＝0，顶点等进行判断即可．
【解答】解：∵函数开口方向向下，a＜0，
∵对称轴为x＝﹣1，则﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵与y轴交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故③正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞1，即a﹣b+c＞1，故②正确；
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故①正确；
由抛物线的对称性可知，当x＝﹣2与x＝0时y值相同，此时y＝4a﹣2b+c＞0，故④错误．
综上，正确的个数有三个．
故选：C．
【变式2】在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：①abc
＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④4ac﹣b2＜0．其中正确结论的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运
用．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称
轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0，﹣ ＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②由对称轴可知：﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a，
∵x＝1时，y＝a+b+c＝0，
∴c+3a＝0，
∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，故②正确；
③（1，0）关于x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），
∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，故③正确；
④抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
即b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，故④正确；
故选：D．
【变式3】如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对
称轴是直线x＝1．对于下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a﹣2b+c＜0；④b2＜4ac；⑤3b＜
2c；⑥若两点（﹣2，y ）（3，y ）在二次函数图象上，则y ＞y ，其中正确的有（ ）
1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：①由二次函数的图象可知：a＜0，c＞0，
由对称轴可知：x＝﹣ ＞0，∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②由对称轴可知：﹣ ＝1，
∴2a+b＝0，故②错误；
③由图象可知，x＝3时，y＜0，
而（3，0）关于直线x＝1的对称点为（﹣1，0），
当x≤1时，随x的增大而增大，
∴当x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，故③正确；
④由图象可知抛物线与x轴有两个交点，
故Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故④错误；
⑤∵﹣ ＝1，
∴a＝﹣ ，
∵（3，0）关于直线x＝1的对称点为（﹣1，0），且x＝3时，y＜0，
∴x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴﹣ ，
∴3b＞2c，故⑤错误；
⑥∵抛物线开口向下，且点（﹣2，y ）到直线x＝1的距离大于点（3，y ）到直线x＝1的距离，
1 2
∴y ＜y ，故⑥错误；
1 2
故选：B．
【变式4】如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列 5个结论：①abc＜0；
②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（
）A．①②③ B．①③④ C．③④⑤ D．②③⑤
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及
抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
∵﹣ ＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故此选项正确；
②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故a﹣b+c＞0，错误；
③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故此选项正确；
④当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝﹣ ＝1，
即a＝﹣ ，代入得9（﹣ ）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项错误．
故①③④正确．
故选：B．
题型06 待定系数法求二次函数解析式
【典例1】已知一条抛物线分别过点（3，﹣2）和（0，1），且它的对称轴为直线x＝2，试求这条抛物线
的解析式．
【分析】根据题意设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣2）2+b，把 （3，﹣2），（0，1）代入求得a、b即
可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为 x＝2，
∴可设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣2）2+b，把 （3，﹣2），（0，1）代入解析式得 ，
解得 a＝1，b＝﹣3，
∴所求抛物线的解析式为 y＝（x﹣2）2﹣3．
【变式1】已知抛物线的顶点坐标为M（2，﹣5），与y轴交于点A（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0≤x≤5时，求y的取值范围．
【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣2）2﹣5，然后把A点坐标代入求出a的值即可；
（2）先分别计算出自变量为0和5所对应的函数值，然后利用二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣5，
把A（0，3）代入得a×（0﹣2）2﹣5＝3，
解得a＝2，
∴抛物线解析式为y＝2（x﹣2）2﹣5；
（2）当x＝0时，y＝3；
当x＝5时，y＝2×（5﹣2）2﹣5＝13，
而x＝2时，y有最小值﹣5，
∴当0≤x≤5时，y的取值范围为﹣5≤y＜13．
【变式2】已知x与y之间的函数关系式为y＝ax2+bx+1（其中a、b是常数），且有下列对应关系：
x 1 ﹣2
y ﹣1 17
（1）求y与x之间的函数关系式：
（2）若点（3，n），点（m，n+10）均在抛物线y＝ax2+bx+1上，求m的值．
【分析】（1）由表格数据可知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣1），（﹣2，17），根据待定系数法
即可求得y与x之间的函数关系式．
（2）把点（3，n）代入y＝2x2﹣4x+1即可求得n的值，即可求得n+10的值，进一步即可求得m的值．
【解答】解：（1）由题意得 ，
解得 ，
∴y与x之间的函数关系式为y＝2x2﹣4x+1；
（2）∵点（3，n）在抛物线y＝2x2﹣4x+1上，
∴n＝2×32﹣4×3+1＝7，
∴n+10＝17，
∵点（m，n+10）在抛物线y＝2x2﹣4x+1上，
∴17＝2m2﹣4m+1，∴m ＝4，m ＝﹣2．
1 2
【变式3】如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围．
【分析】（1）把A、B两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得其解析式，再化为顶点式即
可求得其顶点坐标；
（2）由解析式可求得其对称轴，再结合函数的增减性分0＜x＜1和1＜x＜3分别求y的最大值和最小值
即可求得y的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴ ，解得 ，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴当0＜x＜1时，当x＝0时，y有最大值为﹣3，当x＝1时，y有最小值为﹣4，
当1＜x＜3时，当x＝3时，y有最大值为0，当x＝1时，y有最小值为﹣4，
∴当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．
【变式4】如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求
出此时点P的坐标．【分析】（1）因为对称轴是直线x＝﹣1，所以得到点A（﹣3，0）的对称点是（1，0），因此利用交
点式y＝a（x﹣x ）（x﹣x ），求出解析式．
1 2
（2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得最大值，根据自变量与函数值的对
应关系，可得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1且经过点A（﹣3，0）
由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0）
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a≠0）
1 2
即：y＝a（x﹣1）（x+3）
把B（0，3）代入得：3＝﹣3a
∴a＝﹣1
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴ ，
∴直线AB为y＝x+3，
作PQ⊥x轴于Q，交直线AB于M，
设P（x，﹣x2﹣2x+3），则M（x，x+3），
∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴S＝ （﹣x2﹣3x）×3＝﹣ （x+ ）2+ ．
当x＝﹣ 时，S最大 ＝ ，y＝﹣（﹣ ）2﹣2×（﹣ ）+3＝ ，
∴△PAB的面积的最大值为 ，此时点P的坐标为（﹣ ， ）
1．将抛物线y＝x2+4x﹣1向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的顶点坐标是（ ）A．（﹣2，3） B．（﹣4，﹣2） C．（0，﹣2） D．（﹣2，﹣4）
【分析】依据题意，由抛物线为y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，再结合由抛物线的变化规律“上加下减，
左加右减”，从而可得新的抛物线为y＝（x+4）2﹣2，进而可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，
又由抛物线的变化规律“上加下减，左加右减”，
∴向左平移2个单位，再向上平移3个单位，可得新抛物线为y＝（x+2+2）2﹣5+3，即y＝（x+4）2﹣
2．
∴此时顶点坐标为（﹣4，﹣2）．
故选：B．
2．抛物线y＝x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值一定为（ ）
A．0 B．6 C．﹣6 D．±6
【分析】抛物线y＝x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则表示抛物线与x轴只有一个交点．x2﹣bx+9＝0只有一
个解．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣bx+9的顶点在x轴上，
∴x2﹣bx+9＝0只有一个解．
∴b2﹣4×1×9＝0．
∴b2＝36．
即b＝±6．
故选：D．
3．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3），则b，c的值分别是（ ）
A．2，4 B．2，﹣4 C．﹣2，4 D．﹣2，﹣4
【分析】根据二次函数y＝﹣x2+bx+c的二次项系数﹣1来确定该函数的图象的开口方向，由二次函数y
＝﹣x2+bx+c的图象的最高点是（﹣1，﹣3）确定该函数的顶点坐标，然后根据顶点坐标公式解答b、c
的值．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的二次项系数﹣1＜0，
∴该函数的图象的开口方向向下，
∴二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象的最高点坐标（﹣1，﹣3）就是该函数的顶点坐标，
∴﹣1＝ ，即b＝﹣2；①
﹣3＝ ，即b2+4c+12＝0；②
由①②解得，b＝﹣2，c＝﹣4；
故选：D．
4．已知函数y＝x2﹣2x+3，当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≤2【分析】根据对称轴求出a，再根据二次函数的增减性和最值问题解答．
【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∵当0≤x≤m时，y最大值为3，最小值为2，
∴1≤m≤2．
故选：C．
5．已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 …
y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线x＝1
【分析】根据表格中所给数据，可求出抛物线的解析式，再对所给选项依次进行判断即可解决问题．
【解答】解：由题知，
，
解得 ，
所以二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x．
因为a＝﹣1＜0，
所以抛物线的开口向下．
故A选项不符合题意．因为y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
所以当x＞1时，y随x的增大而减小．
故B选项不符合题意．
令y＝0得，
﹣x2+2x＝0，
解得x ＝0，x ＝2，
1 2
所以抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）和（2，0）．
又因为抛物线的顶点坐标为（1，1），
所以抛物线经过第一、三、四象限．
故C选项不符合题意．
因为二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1，
所以抛物线的对称轴为直线x＝1．
故D选项符合题意．
故选：D．
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由二次函数y＝ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝ax+b的图象相
比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣ ＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项
正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣ ＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．
故选：A．
7．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+2ax+a的图象与y轴交于正半轴，其图象上有三点A（﹣3，y ），B（﹣1，y ），C（3，y ），则y 、y 、y 的大小关系是（ ）
1 2 3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 3 2 1 2 3 1
【分析】先根据题意判断出a的符号，再把各点代入二次函数求出y的值，比较大小即可．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+2ax+a的图象与y轴交于正半轴，
∴a＞0，
∵A（﹣3，y ），B（﹣1，y ），C（3，y ）都在函数图象上，
1 2 3
∴y ＝9a﹣6a+a＝4a，
1
y ＝a﹣2a+a＝0，
2
y ＝9a+6a+a＝16a，
3
∵a＞0，
∴0＜4a＜16a，
∴y ＜y ＜y ．
2 1 3
故选：B．
8．若要平移二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1（m为常数）的图象，使它的顶点与坐标原点重合，那么需
要平移的最短距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】首先求得抛物线的顶点在直线y＝﹣x+1上，根据题意得到原点O到直线y＝﹣x+1的距离就是
需要平移的最短距离，利用三角形面积公式即可求得．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1＝﹣（x﹣m）2﹣m+1，
∴顶点为（m，﹣m+1），
∴抛物线的顶点在直线y＝﹣x+1上，如图，
∴原点O到直线y＝﹣x+1的距离就是需要平移的最短距离，
∵y＝﹣x+1，
∴A（0，1），B（1，0），
∴AB＝ ，
∵ OA•OB＝ AB•OD，即1×1＝ OD，
∴OD＝ ，
∴需要平移的最短距离为 ，
故选：B．9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0）对称轴为直线x＝2，下列结
论：
①abc＞0；
②4a+c＞2b；
③4a+2b≤m（am+b）（m为常数）；
④3b﹣2c＞0．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误，
由图知，当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，
∴4a+c＜2b，故②错误，
由图知，抛物线开口向下，对称轴为x＝2，
∴抛物线有最大值为：4a+2b+c，
∴4a+2b+c≥m（am+b）+c，
∴4a+2b≥m（am+b），故③错误，
∵﹣ ＝2，
∴b＝﹣4a，
∵图象过（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴3b﹣2c＝﹣12a+10a＝﹣2a＞0，故正确，
故选：A．
10．已知抛物线P：y＝x2+4ax﹣3（a＞0），将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线P′，当1≤x≤3时，在抛物线P′上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若t≤3，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】设抛物线P'上任意一点（x，y），则点（x，y）原点旋转180°后对应的点为（﹣x，﹣y），由
此求出抛物线P'的解析式为y＝﹣x2+4ax+3，再分三种情况讨论：①当2a＜1时，2+4a≤3，此时a≤
；②当2a＞3时，﹣6+12a≤3，此时a不存在；③当1≤2a≤3时，4a2+3≤3此时a不存在．
【解答】解：设抛物线P'上任意一点（x，y），
则点（x，y）原点旋转180°后对应的点为（﹣x，﹣y），
∴﹣y＝x2﹣4ax﹣3，
∴抛物线P'的解析式为y＝﹣x2+4ax+3，
∵y＝﹣x2+4ax+3＝﹣（x﹣2a）2+4a2+3，
当x＝2a时，y有最大值4a2+3，
∵1≤x≤3，
①当2a＜1时，即a＜ ，x＝1时y有最大值，
∴2+4a≤3，
∴a≤ ，
此时a≤ ；
②当2a＞3时，即a＞ ，x＝3时y有最大值，
∴﹣6+12a≤3，
∴a≤ ，
此时a不存在；
③当1≤2a≤3时，即 ≤a≤ ，x＝2a时y有最大值，
∴4a2+3≤3
∴a＝0，
此时a不存在；
综上所述：0＜a≤ ，
故选：A．
11．二次函数y＝（x﹣2）2﹣1图象与y轴交点坐标为 （ 0 ， 3 ） ．
【分析】依据题意，根据二次函数的图象与性质，令x＝0，求出y的值，即可判断得解．【解答】解：由题意，令x＝0，
∴y＝（0﹣2）2﹣1＝3．
∴二次函数y＝（x﹣2）2﹣1图象与y轴交点坐标为（0，3）．
故答案为：（0，3）．
12．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点的坐标为（﹣2，0），则二次函数y＝
ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的另一个交点的坐标是 （ 4 ， 0 ） ．
【分析】依据题意，由二次函数y＝ax2﹣2ax+c，可得对称轴是直线x＝﹣ ＝1，又二次函数的图象
与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），可得另一个交点的横坐标为：1+（1+2）＝4，进而可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c，
∴对称轴是直线x＝﹣ ＝1．
又二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），
∴另一个交点的横坐标为：1+（1+2）＝4．
∴二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的另一个交点的坐标为（4，0）．
故答案为：（4，0）．
13．已知A（x ，n），B（x ，n）是抛物线y＝x2+bx+3上不同的两点，若点（x +x ，m）也在抛物线上，
1 2 1 2
则m的值为 3 ．
【分析】先根据抛物线的对称性得到﹣ ＝ ，则x +x ＝﹣b，然后把（﹣b，m）代入 y＝
1 2
x2+bx+3可得到m的值．
【解答】解：∵A（x ，n），B（x ，n）是抛物线y＝x2+bx+3上不同的两点，
1 2
∴A（x ，n）和B（x ，n）关于抛物线y＝x2+bx+3的对称轴对称，
1 2
∴﹣ ＝ ，
∴x +x ＝﹣b，
1 2
∵点（x +x ，m），即（﹣b，m）在抛物线上，
1 2
∴m＝b2+b•（﹣b）+3＝3．
故答案为：3．
14．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（3﹣m，y ），B（m+1，y ），C（2﹣n，1），D（n，
1 2
1），且y ＞y ，则m的取值范围是 m ＜ 1 ．
1 2
【分析】利用二次函数的对称性求得抛物线的对称性，根据抛物线开口向上，且 y ＞y ，即可判断点A
1 2
（3﹣m，y ）到对称轴的距离大于点B（m+1，y ）到对称轴的距离，即|3﹣m﹣1|＞|m+1﹣1|，解方程
1 2
即可求解．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点C（2﹣n，1），D（n，1），∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝ ＝1，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（3﹣m，y ），B（m+1，y ），且y ＞y ，
1 2 1 2
∴点A（3﹣m，y ）到对称轴的距离大于点B（m+1，y ）到对称轴的距离，
1 2
∴|3﹣m﹣1|＞|m+1﹣1|，
解得m＜1．
故答案为：m＜1．
15．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），A、C分别在y轴、x轴
上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度均
为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x轴于H点，交y轴于G
点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为 4. 5 ．
【分析】先求得直线AD的解析式，进而得到设直线EG的解析式为y＝﹣2x+b，则G（0，b），由此得
出BF＝AE＝ ，即可得出EF＝6﹣b，利用S△FGH ＝S△EFG +S△EFH ＝ EF•OG得出S△FGH ＝＝ （6﹣
b）•b＝﹣ （b﹣3）2+4.5，根据二次函数的性质即可求得△FGH的最大面积．
【解答】解：由题意可知A（0，2），
∴设直线AD为y＝kx+2，
把D（1，0）代入得，k+2＝0，解得k＝﹣2，
∴直线AD为y＝﹣2x+2，
∵EG∥AD，
∴设直线EG的解析式为y＝﹣2x+b，则G（0，b），
当y＝2时，x＝ ，
∴E（ ，2），
∴AE＝ ，
∴BF＝AE＝ ，∴EF＝4﹣2× ＝6﹣b，
∴S△FGH ＝S△EFG +S△EFH ＝ EF•OG＝ （6﹣b）•b＝﹣ （b﹣3）2+4.5，
∵﹣ ＜0，
∴△FGH的最大面积为4.5，
故答案为：4.5．
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 2 …
y … ﹣3 ﹣4 ﹣3 5 …
求该二次函数的表达式．
【分析】通过待定系数法求函数解析式．
【解答】解：将（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得c＝﹣3，
∴y＝ax2+bx﹣3，
将点（2，5），（﹣1，﹣4）代入y＝ax2+bx﹣3得 ，
解得 ，
∴y＝x2+2x﹣3．
17．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点（﹣1，y ），（2，y ），（4，y ）在该抛物线上，若mn＜0，比较y ，y ，y 的大小，并
1 2 3 1 2 3
说明理由．
【分析】（1）将点（1，3）和点（3，15）代入y＝ax2+bx，利用待定系数法即可求得解析式，进而求
得对称轴．
（2）根据题意得出（a+b）（9a+3b）＜0，由点（﹣1，y ），（2，y ），（4，y ）在该抛物线上．则
1 2 3
y ＝a﹣b，y ＝4a+2b，y ＝16a+4b，求得y ﹣y ＝（16a+4b）﹣（a﹣b）＝5（3a+b）＞0，y ﹣y ＝（a
1 2 3 3 1 1 2
﹣b）﹣（4a+2b）＝﹣3（a+b）＞0，即可求得y ＜y ＜y ．
2 1 3
【解答】解：（1）由题意得 ，
解得 ，
抛物线为y＝x2+2x，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1；（2）∵点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，
∴a+b＝m，9a+3b＝n，
∵mn＜0，
∴（a+b）（9a+3b）＜0，
∴a+b与3a+b异号，
∵a＞0，
∴3a+b＞a+b，
∴a+b＜0，3a+b＞0，
∵（﹣1，y ），（2，y ），（4，y ）在该抛物线上，
1 2 3
∴y ＝a﹣b，y ＝4a+2b，y ＝16a+4b，
1 2 3
∵y ﹣y ＝（16a+4b）﹣（a﹣b）＝5（3a+b）＞0，
3 1
∴y ＞y ，
3 1
∵y ﹣y ＝（a﹣b）﹣（4a+2b）＝﹣3（a+b）＞0，
1 2
∴y ＞y ，
1 2
∴y ＜y ＜y ．
2 1 3
18．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）画出该二次函数的图象，并写出其对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而减小．
【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一
般式转化为顶点式；
（2）利用（1）的解析式求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）根据二次函数的图象的单调性解答．
【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3
＝x2﹣4x+4﹣1
＝（x﹣2）2﹣1；（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴该二次函数图象的对称轴是直线x＝2，顶点坐标是（2，﹣1）；
（3）由图象可知，当x＜2时，y随x的增大而减小．
19．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1
（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子去表示）；
（2）若点（m﹣2，y ），（m，y ），（m+3，y ）都在抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上，则y 、y 、y 的
1 2 3 1 2 3
大小关系为 y ＞ y ＞ y ；
3 1 2
（3）直线y＝﹣x+b与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线
y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴右侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的
取值范围．
【分析】（1）函数的对称轴为：x＝﹣ ＝m；
（2）函数对称轴为x＝m，函数开口向上，x＝m时函数取得最小值，即可求解；
（3）当△OAP为钝角三角形时，则m+2＜0或m+2＞3，分别求解即可．
【解答】解：（1）函数的对称轴为：x＝﹣ ＝m；
（2）函数对称轴为x＝m，函数开口向上，x＝m时函数取得最小值，
故：y ＞y ＞y ；
3 1 2
（3）把点A的坐标代入y＝﹣x+b的表达式并解得：b＝3，则点B（0，3），直线表达式为：y＝﹣x+3，
当y＝3时，y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝3，
则x＝m±2，则点P（m+2，3），
当△OAP为钝角三角形时，
则m+2＜0或m+2＞3，
解得：m＜﹣2或m＞1．
20．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，6）和B（﹣2，﹣2）．
（1）求c的值，并用含a的代数式表示b．
（2）当a＝1时，
①求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．
②当﹣4≤x≤2时，求y的最大值和最小值．
（3）若线段CD的端点C、D的坐标分别为（﹣5，10）、（1，10），此二次函数的图象与线段CD只
有一个公共点，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）把A、B的坐标分别代入解析式即可求解；
（2）①把解析式化成顶点式即可求得结论；②根据图象上点的坐标特征即可求得；
（3）当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点，则抛物线上的点（1，3a+10）在D点的上方，
即可求解；②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点，即可求解．
【解答】解：（1）把（0，6）代入y＝ax2+bx+c，得c＝6．
把（﹣2，﹣2）代入y＝ax2+bx+6，得4a﹣2b+6＝﹣2，
∴b＝2a+4．
（2）①当a＝1时，此函数表达式为y＝x2+6x+6．
∵y＝x2+6x+6＝（x+3）2﹣3，
∴当x≥﹣3时，y随x的增大而增大．
②∵﹣4≤x≤2，
∴当x＝﹣3时，y的最小值为﹣3．
当x＝2时，y的最大值为（2+3）2﹣3＝22．
（3）①当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点（如图1），
y＝ax2+bx+c＝ax2+（2a+4）x+6，当x＝1时，y＝3a+10，
则抛物线上的点（1，3a+10）在D点的上方，∴25a﹣10a﹣20+6＜10．
解得a＜ ．
∴0＜a＜ ；
②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上，
则抛物线与线段只有一个公共点，
∴ ＝10．即 ＝10．
解得a＝﹣4+2 （舍去）或a＝﹣4﹣2 ．
综上，a的取值范围是0＜a＜ 或a＝﹣4﹣2 ．
