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专题 21.4 矩形的性质
1. 理解矩形的定义，掌握矩形的性质并能够熟练应用；
教学目标
2. 理解掌握直角三角形斜边上的中线的性质并能够熟练的应用。
1. 重点
（1）矩形的定义及其性质；
（2）直角三角形斜边的中线的性质。
教学重难点 2. 难点
（1）利用矩形的性质求线段的长度和角的度数；
（2）矩形的性质结合平面直角坐标系求点的坐标；
（3）直角三角形的斜边的中线的性质的应用。知识点01 矩形的定义与性质
1. 矩形的定义：
有一个角是 的平行四边形是矩形。矩形也就是长方形。
2. 矩形的性质：
（1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质。
特殊性质：
（2）边的特殊性：邻边 。
（3）角的特殊性：四个角都是 。
（4）对角线的特殊性：对角线 。即对角线 。
即：AC BD，OA OB OC OD。
由此可得：△OAB，△OBC，△OCD，△OAD均是 。
（5）面积：等于任意一组 的乘积。
（6）对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形。
【即学即练1】
1．矩形不具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等 B．对角线相等
C．四角相等 D．对角线互相垂直
【即学即练2】
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若AO＝4，则
MN的长为（ ）
A．4 B．2 C．8 D．6
【即学即练3】
3．如图，在矩形ABCD中，O是对角线BD的中点，E，F分别是BC，AD上的点，且AF＝BE＝1．若AB
＝3，BC＝4，则OE+OF的长为（ ）
A．❑√13 B．2 C．2❑√2 D．2❑√3
【即学即练4】4．如图，延长矩形 ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠ADB＝40°，则∠E的度数是
（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【即学即练5】
5．将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是
（10，4），则点A的坐标是 ．
知识点02 直角三角形斜边上的中线
1. 直角三角形斜边的中线的性质：
由矩形的对角线的性质可知：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 。
几何语言：在Rt ABC三角形中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，则
1
CD= AB=AD=BD
2
【即学即练1】
6．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为（
）
A．1 B．2 C．1.5 D．2.5
【即学即练2】
7．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝8，BC＝20，△EFM的周长
是（ ）
A．26 B．28 C．30 D．32题型01 利用矩形的性质求线段
【典例1】如图，在矩形ABCD中，已知AE⊥BD于E，∠BDC＝60°，BE＝1，则AD的长为（ ）
A．3❑√2 B．2❑√3 C．2 D．❑√3
【变式1】如图，把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，点D在CG上，已知矩形
的长BC为3，宽AB为2，则AF的长为（ ）
A．❑√13 B．5 C．❑√26 D．6
【变式 2】如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系内，点 B 的坐标为（1，3），则对角线 AC 的长为
（ ）
A．4 B．❑√10 C．❑√13 D．2❑√2
【变式3】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝2BE，BF＝2CF，连接EC，
FD，M，N分别是EC，FD的中点，连接MN，若AB＝6，BC＝9，则MN的长为（ ）
A．❑√13 B．2❑√13 C．2❑√10 D．2
【变式3】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别
作AC和BD的垂线，垂足为E，F．求PE+PF的值为（ ）5 12 15
A． B．2.5 C． D．
12 5 4
题型02 利用矩形的性质求角度
【典例1】如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，∠AOD＝110°，则∠OAD大小是（ ）
A．55° B．35° C．45° D．20°
【变式1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，若∠COD＝50°，则
∠CDE的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．50°
【变式2】有一长方形纸片ABCD，如图，点P在线段BC上，点E在线段AB上，将长方形纸片沿着EP
翻折，使点B落在点B'处，如果∠BPE与∠B′PC之差的绝对值等于60°，即|∠BPE﹣∠B'PC|＝60°，
那么∠BPE＝ ．
【变式3】如图，在矩形ABCD中，∠ABD＝48°，P为AD边上一点，连接BP，作△PBA关于BP对称的
△PBE，点F与点E关于BD对称．设∠ABP＝x°，若点F在△PBD内（不包括边界），则x的取值范
围是（ ）
A．21＜x＜24 B．24＜x＜32 C．24＜x＜42 D．42＜x＜48题型03 利用矩形的性质求坐标
【典例1】如图，以长方形ABCD的边CD所在的直线为x轴，以边CD的垂直平分线为y轴建立平面直角
坐标系．若点A的坐标为（2，1），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（﹣2，﹣1）
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OBCD的OB，OD两边分别与两坐标轴的正半轴重合，对角
线OC，BD相交于点E．若∠OED＝60°，OD＝2，则点E的坐标为（ ）
A．（2，1） B．(❑√3，1) C．（1，2） D．(1，❑√3)
【变式2】在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点坐标分别为（﹣2，0）、（﹣2，1）、（0，
0），则第四个顶点的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（1，0） C．（1，1） D．（﹣2，﹣1）
【变式3】如图，矩形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（0，2）， OADE与
矩形OABC周长相等， OADE的面积是矩形OABC面积的一半，则点D的坐标为（ ）
▱
▱
A．(3+❑√3，1) B．(3+❑√2，❑√2) C．（5，1） D．(3+❑√3，❑√3)
题型04 直角三角形斜边的中线
【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，且AD＝6，则BC的长是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【变式1】如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E，连接BE，点F为BE的中点，连接
CF，若AB＝3，AD＝2，则CF的长为（ ）❑√3 ❑√5
A． B．❑√3 C． D．❑√5
2 2
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOC的斜边OA在第一象限，过点A作AB⊥x轴于点B，若
AB＝3，OB＝4，点E为OA的中点，则CE＝ ．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点
P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值是 ．
1．下列选项中，矩形一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直C．邻边相等 D．一条对角线平分一组对角
2．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对边相等
C．对角相等 D．对角线互相平分
3．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，如果∠ADB＝25°，那么∠AOB 的度数为
（ ）
A．50° B．54° C．56° D．58°
4．如图，点E是矩形ABCD外一点，连接AE，过点E作EG⊥AE交AD，BC分别于点F，G．∠2＝
118°．则∠1的度数为（ ）
A．12° B．18° C．22° D．28°
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝6cm，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，取DE的中点
F，连接CF，则CF的长为（ ）
A．2❑√3cm B．❑√3cm C．2❑√5cm D．❑√5cm
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点点B的坐标是（2，3），则线段AC的长度为（
）
A．❑√5 B．❑√7 C．❑√13 D．5
7．如图，矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，E为OD上一点，连接CE，取CE的中点F，若∠EOF
＝90°，OE＝6，OF＝4，则DE的长为（ ）8 10
A．2 B． C． D．4
3 3
8．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EN，EM为折痕，折叠后点A′，B′，E在同一直线上，
已知∠AEN＝32°，∠EMB'的度数为（ ）
A．58° B．32° C．35° D．45°
9．如图，在矩形ABCD中，AE＝EB，BF＝FC，CG＝GD，点H为AD边上任意一点，则阴影部分面积和
矩形ABCD面积的比为（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，点M是点A关于直线BE的对称点，
连接MD，则MD的最小值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC边上的一点，点P是AD的中点，若AC的垂直平分线
经过点D，DC＝8，则BP＝ ．
12．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝12，点G是边AB上的一点，点P是BC边上的一个动点，连接
DG，GP，点E，F分别是GD，GP的中点，在点P的运动过程中，EF的最大长度为 ．13．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC＝10，BD＝6，E是对角线AC的中点，F是对
角线BD上的动点，当EF⊥BD时，EF＝ ．
14．如图，点P是矩形ABCD的AD边上一动点，AB、BC长分别为15和20，那么点P到矩形两条对角线
AC和BD的距离之和是 ．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝15，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点
1
E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 EF长为半径画弧，在∠CBD的内部交于点G，作射线BG，以
2
点C为圆心，以大于点C到射线BG的距离为半径画弧，交BG于点M，N，再分别以点M，N为圆心，
1
大于 MN长为半径画弧，两弧交于点H，作射线CH，分别交BD，AD于P，Q两点，则CP的长是
2
．
16．如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF．
（1）求证：△ABE≌△DCF．
（2）当AB＝12，DF＝13时，求BE的长．
17．如图，BE、CF是△ABC的两条高，P是BC边的中点，连接PE、PF、EF．
（1）求证：△PEF是等腰三角形；（2）若∠A＝x°，∠EPF的度数＝ （用含x的代数式表达）．
18．如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形FGCE（点A、B、D的对应点分别是点F、G、E），
使得点E落在AB边上，AB的延长线与FG交于点H，连接DE．
（1）求证：ED平分∠AEC；
（2）试判断CE与EH的长度是否相等，并说明理由．
19．课本再现
我们在学习矩形的性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点D
1
是斜边AB的中点，则CD= AB．
2
定理证明
（1）请完成这个定理的证明．
拓展应用
（2）如图 2，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，点
E、F分别为AC、BD的中点，AC＝26，BD＝24．求EF的长．
20．如图，四边形ABCD为长方形，长AB＝10，宽AD＝4，点E是AB的中点，点P在CD上运动，连接AP，PE．
（1）若△APE是以AP为斜边的直角三角形时，求AP的长；
（2）若△APE是等腰三角形时，求DP的长．
