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专题 21.4 矩形的性质
1. 理解矩形的定义，掌握矩形的性质并能够熟练应用；
教学目标
2. 理解掌握直角三角形斜边上的中线的性质并能够熟练的应用。
1. 重点
（1）矩形的定义及其性质；
（2）直角三角形斜边的中线的性质。
教学重难点 2. 难点
（1）利用矩形的性质求线段的长度和角的度数；
（2）矩形的性质结合平面直角坐标系求点的坐标；
（3）直角三角形的斜边的中线的性质的应用。知识点01 矩形的定义与性质
1. 矩形的定义：
有一个角是 直角 的平行四边形是矩形。矩形也就是长方形。
2. 矩形的性质：
（1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质。
特殊性质：
（2）边的特殊性：邻边 相互垂直 。
（3）角的特殊性：四个角都是 直角（或 90 ° ） 。
（4）对角线的特殊性：对角线 相等 。即对角线 相互平分且相等 。
即：AC ＝ BD，OA ＝ OB ＝ OC ＝ OD。
由此可得：△OAB，△OBC，△OCD，△OAD均是 等腰三角形 。
（5）面积：等于任意一组 邻边 的乘积。
（6）对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形。
【即学即练1】
1．矩形不具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等 B．对角线相等
C．四角相等 D．对角线互相垂直
【答案】D
【解答】解：对角线互相垂直，矩形不具有此性质，故D选项符合题意，
故选：D．
【即学即练2】
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若AO＝4，则
MN的长为（ ）
A．4 B．2 C．8 D．6
【答案】B
1 1
【解答】解：由题意可得：AC＝BD，OA= AC，OB= BD，
2 2
∴AO＝BO＝4，
∵M，N分别为BC，OC的中点，1
∴MN= OB=2，
2
故选：B．
【即学即练3】
3．如图，在矩形ABCD中，O是对角线BD的中点，E，F分别是BC，AD上的点，且AF＝BE＝1．若AB
＝3，BC＝4，则OE+OF的长为（ ）
A．❑√13 B．2 C．2❑√2 D．2❑√3
【答案】A
【解答】解：设BC，AD的中点分别为M，N，连接OM，ON，
∵O是矩形ABCD对角线BD的中点，
∴OM为△BCD的中位线，
∴OM∥CD（三角形的中位线平行于第三边），
1 3
∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，OM= CD= ，
2 2
∵BC⊥CD，
∴OM⊥BC，
∵M为BC中点，BC＝4，
∴BM＝2，EM＝BM﹣BE＝1，
√ 3 2 ❑√13
∴OE=❑√OM2+EM2=❑( ) +1= ，
2 2
3
同理可得ON= ，FN=1，
2
√ 3 2 ❑√13
∴OF=❑√ON2+FN2=❑( ) +1= ，
2 2
❑√13 ❑√13
∴OE+OF= + =❑√13．
2 2
故选：A．【即学即练4】
4．如图，延长矩形 ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠ADB＝40°，则∠E的度数是
（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】A
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝40°，
∴∠E＝∠DAE，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E＝40°，即∠E＝20°．
故选：A．
【即学即练5】
5．将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是
（10，4），则点A的坐标是 （ 8 ， 1 0 ） ．
【答案】（8，10）．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，过点A作AH⊥x轴于点H，
过点B作BG⊥AH轴于点G，则四边形BEHG是矩形，
∴GH＝BE，∠EBG＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠ABC＝90°，
∴∠ABG＝∠EBC，
∵∠EBC+∠ECB＝∠ECB+∠DCF＝90°，
∴∠EBC＝∠DCF，
∴∠ABG＝∠DCF，
在△ABG和△DCF中，
{
∠ABG=∠DCF
)
∠AGB=∠DFC=90° ，
AB=DC
∴△ABG≌△DCF（AAS），
∴AG＝DF，BG＝CF，
∵点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），
∴BE＝6，OC＝2，OF＝10，DF＝4，
∴AG＝DF＝4，
∴AH＝AG+GH＝AG+BE＝4+6＝10，
∴BG＝CF＝OC+OF＝12，
∴OH＝12﹣4＝8，
则点A的坐标是（8，10）．
方法2：C点到D点向右平移12个单位长度，向上平移4个单位长度，
∴B点到A点向右平移12个单位长度，向上平移4个单位长度，
∴A（8，10）；
故答案为：（8，10）．
知识点02 直角三角形斜边上的中线
1. 直角三角形斜边的中线的性质：
由矩形的对角线的性质可知：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 。
几何语言：在Rt ABC三角形中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，则1
CD= AB=AD=BD
2
【即学即练1】
6．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为（
）
A．1 B．2 C．1.5 D．2.5
【答案】A
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，
1
∴DE= BC=4，D是AB的中点，
2
∵∠AFB＝90°，
1
∴DF= AB=3，
2
∴EF＝DE﹣DF＝1，
故选：A．
【即学即练2】
7．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝8，BC＝20，△EFM的周长
是（ ）
A．26 B．28 C．30 D．32
【答案】B
【解答】解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，BC＝20，
1
∴FM= BC=10，
2
1
同理可得：ME= BC=10，
2
∵EF＝8，
∴△EFM的周长＝FM+ME+EF＝10+10+8＝28．
故选：B．题型01 利用矩形的性质求线段
【典例1】如图，在矩形ABCD中，已知AE⊥BD于E，∠BDC＝60°，BE＝1，则AD的长为（ ）
A．3❑√2 B．2❑√3 C．2 D．❑√3
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∠BDC＝60°，
∴AB∥CD，∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠BDC＝60°，
∵AE⊥BD于E，BE＝1，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠ADB＝90°﹣∠ABD＝30°，
∴AB＝2BE＝2，
∴BD＝2AB＝4，
∴AD=❑√BD2−AB2=❑√42−22=2❑√3，
故选：B．
【变式1】如图，把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，点D在CG上，已知矩形
的长BC为3，宽AB为2，则AF的长为（ ）
A．❑√13 B．5 C．❑√26 D．6
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝2，
由勾股定理得：AC=❑√BC2+AC2=❑√32+22=❑√13，
∵矩形ABCD和矩形CEFG全等，
∴CE＝AB，EF＝BC，∠E＝∠B＝90°，
在△CEF和△ABC中，{
CE=AB
)
∠E=∠B=90° ，
EF=BC
∴△CEF≌△ABC（SAS），
∴CF＝AC=❑√13，∠ECF＝∠BAC，
在Rt△ABC中，∠BAC+∠BCA＝90°，
∴∠ECF+∠BCA＝90°，
∴∠ACF＝180°﹣（∠ECF+∠BCA）＝90°，
∴△ACF是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AF=❑√AC2+CF2=❑√(❑√13) 2+(❑√13) 2=❑√26．
故选：C．
【变式 2】如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系内，点 B 的坐标为（1，3），则对角线 AC 的长为
（ ）
A．4 B．❑√10 C．❑√13 D．2❑√2
【答案】B
【解答】解；连接OB，如图所示，
∵四边形OABC是矩形，
∴OB＝AC，
∵B（1，3），
∴AC=OB=❑√12+32=❑√10，
故选：B．
【变式3】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝2BE，BF＝2CF，连接EC，
FD，M，N分别是EC，FD的中点，连接MN，若AB＝6，BC＝9，则MN的长为（ ）A．❑√13 B．2❑√13 C．2❑√10 D．2
【答案】A
【解答】解：在矩形ABCD中，M，N分别是EC，FD的中点，如图，连接CN并延长交AD于点G，连
接EG，
∴AD∥BC，AB＝BC，BC＝AD，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，DN＝FN，
∴∠GDN＝∠CFN，
在△GND和△CNF中，
{∠GDN=∠CFN
)
DN=FN ，
∠GND=∠CNF
∴△GND≌△CNF（ASA），
∴GN＝CN，即N是CG的中点．
∴MN是△CEG的中位线．
1
∴MN= EG．
2
∵AE＝2BE，BF＝2CF，AB＝6，BC＝9，
2 1
∴AE= AB=4，CF=GD= BC=3，AG＝AD﹣DG＝6．
3 3
在Rt△AEG中
AE2+AG2＝EG2
∴EG=❑√AE2+AG2=❑√42+62=2❑√13．
∴MN=❑√13，
故选：A．
【变式3】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别
作AC和BD的垂线，垂足为E，F．求PE+PF的值为（ ）5 12 15
A． B．2.5 C． D．
12 5 4
【答案】C
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，
1 1
∴BD=❑√32+42=5，S = S = ×3×4=3，
△AOD 4 矩 形ABC4D
1 5
∴OA=OD= BD= ，
2 2
连接OP，
∵过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F，
1 1 1 5
∴S = OA⋅PE+ OD⋅PF= × (PE+PF)=3，
△AOD 2 2 2 2
12
∴PE+PF= ；
5
故选：C．
题型02 利用矩形的性质求角度
【典例1】如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，∠AOD＝110°，则∠OAD大小是（ ）
A．55° B．35° C．45° D．20°
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∵∠AOD＝110°，
1 1
∴∠OAD= (180°−∠AOD)= ×(180°−110°)= 35°，
2 2故选：B．
【变式1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，若∠COD＝50°，则
∠CDE的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．50°
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OC，
∵∠COD＝50°，DE⊥AC，
180°−50°
∴∠ODE=90°−∠COD=40°，∠ODC=∠OCD= =65°，
2
∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝25°；
故选：A．
【变式2】有一长方形纸片ABCD，如图，点P在线段BC上，点E在线段AB上，将长方形纸片沿着EP
翻折，使点B落在点B'处，如果∠BPE与∠B′PC之差的绝对值等于60°，即|∠BPE﹣∠B'PC|＝60°，
那么∠BPE＝ 40 ° 或 80 ° ．
【答案】40°或80°．
【解答】解：如图1，当∠BPE＜∠B′PC时，
∵|∠BPE﹣∠B′PC|＝60°，
∴∠B′PC﹣∠BPE＝60°，
即∠B′PC＝∠BPE+60°，
∵三角形BPE翻折得到三角形B′PE，
∴∠BPE＝∠B'PE，∵∠BPE+∠B′PE+∠B′PC＝180°，
∴∠BPE+∠BPE+（∠BPE+60°）＝180°，
∴∠BPE＝40°；
如图2，当∠BPE＞∠B′PC时，
∵|∠BPE﹣∠B′PC|＝60°，
∴∠BPE﹣∠B′PC＝60°，
即∠B′PC＝∠BPE﹣60°，
∵∠BPE＝∠B'PE，
∵∠BPE+∠B′PE+∠B′PC＝180°，
∴∠BPE+∠BPE+（∠BPE﹣60°）＝180°，
∴∠BPE＝80°；
故答案为：40°或80°．
【变式3】如图，在矩形ABCD中，∠ABD＝48°，P为AD边上一点，连接BP，作△PBA关于BP对称的
△PBE，点F与点E关于BD对称．设∠ABP＝x°，若点F在△PBD内（不包括边界），则x的取值范
围是（ ）
A．21＜x＜24 B．24＜x＜32 C．24＜x＜42 D．42＜x＜48
【答案】B
【解答】解：当点F在BD上时，∠ABP＝x°为最小，
∵点F与点E关于BD对称，
∴点E于点F重合，如图1所示：∵△PBA和△PBE关于BP对称，
∴BP平分∠ABD，
∵∠ABD＝48°，
1
∴∠ABP＝x°= ∠ABD＝24°，
2
∴x＝24，
当点F在BP上时，∠ABP＝x°为最大，如图2所示：
∵△PBA和△PBE关于BP对称，
∴∠PBE＝∠ABP＝x°
∵点F与点E关于BD对称，
1 1
∴∠PBD= ∠PBE= x°，
2 2
∵∠ABP+∠PBD＝∠ABD＝48°，
1
∴x°+ x°＝48°，
2
解得：x＝32，
∵点F在△PBD内（不包括边界），
∴x的取值范围是：24＜x＜32．
故选：B．
题型03 利用矩形的性质求坐标
【典例1】如图，以长方形ABCD的边CD所在的直线为x轴，以边CD的垂直平分线为y轴建立平面直角
坐标系．若点A的坐标为（2，1），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（﹣2，﹣1）
【答案】A
【解答】解：由题意可知，O为CD中点，
∴OC＝OD，∵点A的坐标为（2，1），
∴OD＝2，
∴OC＝OD＝2
∵点C在x轴负半轴，
∴点C的坐标为（﹣2，0），
故选：A．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OBCD的OB，OD两边分别与两坐标轴的正半轴重合，对角
线OC，BD相交于点E．若∠OED＝60°，OD＝2，则点E的坐标为（ ）
A．（2，1） B．(❑√3，1) C．（1，2） D．(1，❑√3)
【答案】B
【解答】解：∵四边形OBCD是矩形，
∴OE＝CE＝DE＝BE，∠DOB＝90°，
∵∠OED＝60°，
∴△ODE是 等边三角形，
∴OD＝OE＝DE＝2，∠ODE＝∠OED＝60°，
∴BD＝4，
由勾股定理得：OB=❑√BD2−OD2=❑√42−22=2❑√3，
∴D（0，2），B(2❑√3，0)，
0+2❑√3 2+0
∴E( ， )，
2 2
即点E的坐标为(❑√3，1)，
综上所述，只有选项B正确，符合题意，
故选：B．
【变式2】在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点坐标分别为（﹣2，0）、（﹣2，1）、（0，
0），则第四个顶点的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（1，0） C．（1，1） D．（﹣2，﹣1）
【答案】A
【解答】解：如图，则第四个顶点的坐标为（0，1）．
故选：A．
【变式3】如图，矩形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（0，2）， OADE与
矩形OABC周长相等， OADE的面积是矩形OABC面积的一半，则点D的坐标为（ ）
▱
▱
A．(3+❑√3，1) B．(3+❑√2，❑√2) C．（5，1） D．(3+❑√3，❑√3)
【答案】A
【解答】解：过点D作DF⊥x轴于点F，如图所示：
∴∠AFD＝90°，
即△AFD是直角三角形，
∵矩形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（0，2），
∴OA＝BC＝3，AB＝OC＝2，
∴矩形OABC的周长为：2（OA+AB）＝2×（3+2）＝10，矩形OABC的面积为：OA•AB＝2×3＝6，
∵四边形OADE是平行四边形，
∴AD＝OE，DE＝OA＝3，
∴平行四边形OADE的周长为：2（OA+AD）＝2×（3+AD），平行四边形OADE的面积为：OA•DF＝
3DF，
∵平行四边形OADE的周长与矩形OABC周长相等，
∴2×（3+AD）＝10，
∴AD＝2，
又∴平行四边形OADE的面积是矩形OABC面积的一半，1
∵3DF= ×6，
2
∴DF＝1，
在Rt△AFD中，由勾股定理得：AF=❑√AD2−DF2=❑√22−12=❑√3，
∴OF＝OA+AF=3+❑√3，
∴点D的坐标为(3+❑√3，1)．
故选：A．
题型04 直角三角形斜边的中线
【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，且AD＝6，则BC的长是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】D
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴BC＝2AD，
∵AD＝6，
∴BC＝12，
故选：D．
【变式1】如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E，连接BE，点F为BE的中点，连接
CF，若AB＝3，AD＝2，则CF的长为（ ）
❑√3 ❑√5
A． B．❑√3 C． D．❑√5
2 2
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AB＝DC＝3，AD＝BC＝2，∠BCE＝90°，
∴∠AED＝∠EAB（两直线平行，内错角相等），
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAB＝∠EAD（角平分线的性质），∴∠EAD＝∠AED（等量代换），
∴AD＝DE＝2（等角对等边），
∴CE＝DC﹣DE＝3﹣2＝1，
在直角△BCE中，BE2＝BC2+CE2＝22+12＝5，
∴BE=❑√5，
∵F为BE的中点，
1 ❑√5
∴CF= BE= ．
2 2
故选：C．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOC的斜边OA在第一象限，过点A作AB⊥x轴于点B，若
AB＝3，OB＝4，点E为OA的中点，则CE＝ 2. 5 ．
【答案】2.5
【解答】解：∵AB⊥x轴，
∴∠ABO＝90°，
∵AB＝3，OB＝4，
∴OA=❑√AB2+OB2=❑√32+42=5，
在Rt△AOC中，点E为OA的中点，
1
∴CE= OA＝2.5，
2
故答案为：2.5．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点
P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值是 ❑√13− 1
．
【答案】❑√13−1【解答】解：如图，连接AP，
∵点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），
∴AB＝（1+t）﹣1＝t，AC＝1﹣（1﹣t）＝t，
∴AB＝AC，
∵∠BPC＝90°，
1
∴AP= BC＝AB＝t，
2
要t最小，就是点A到 D上的一点的距离最小，
∴点P在AD上，
⊙
∵A（0，1），D（3，3），
∴AD=❑√9+(3−1) 2=❑√13，
∴t的最小值是AP＝AD﹣PD=❑√13−1，
故答案为❑√13−1．
1．下列选项中，矩形一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等
B．对角线互相垂直
C．邻边相等
D．一条对角线平分一组对角
【答案】A
【解答】解：矩形一定具有的性质是对角线相等，故 A符合题意，而B、C、D中的性质是菱形所具有
的．
故选：A．
2．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对边相等C．对角相等 D．对角线互相平分
【答案】A
【解答】解：由于矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，
故矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是对角线相等．
故选：A．
3．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，如果∠ADB＝25°，那么∠AOB 的度数为
（ ）
A．50° B．54° C．56° D．58°
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
1 1
∴OA= AC，OD= BD，AC＝BD，
2 2
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADB＝25°，
∴∠AOB＝∠OAD+∠ADB＝50°．
故选：A．
4．如图，点E是矩形ABCD外一点，连接AE，过点E作EG⊥AE交AD，BC分别于点F，G．∠2＝
118°．则∠1的度数为（ ）
A．12° B．18° C．22° D．28°
【答案】D
【解答】解：点E是矩形ABCD外一点，过点E作EG⊥AE交AD，BC分别于点F，G，∠2＝118°，
∴AD∥BC，
∴∠EFD＝∠2＝118°，
∵EG⊥AE，
∴∠E＝90°，
∵∠EFD＝∠1+∠E，
∴∠1＝∠EFD﹣∠E＝28°，
故选：D．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝6cm，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，取DE的中点F，连接CF，则CF的长为（ ）
A．2❑√3cm B．❑√3cm C．2❑√5cm D．❑√5cm
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC＝4cm，AD＝BC＝6cm，AD∥BC，∠DCE＝90°，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴AB＝BE＝4cm，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣4＝2cm，
在直角△CDE中，DE=❑√DC2+CE2=❑√42+22=2❑√5cm，
∵点F是DE的中点，
∴CF是直角△CDE斜边上的中线，
1 1
∴CF= DE= ×2❑√5=❑√5cm，
2 2
则CF的长为❑√5cm．
故选：D．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点点B的坐标是（2，3），则线段AC的长度为（
）
A．❑√5 B．❑√7 C．❑√13 D．5
【答案】C
【解答】解：连接OB，如图：∵顶点B的坐标为（2，3），
∴OB=❑√22+32=❑√13，
∵四边形OABC是矩形，
∴AC=OB=❑√13，
即线段AC的长度为❑√13，
综上所述，只有选项C正确，符合题意，
故选：C．
7．如图，矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，E为OD上一点，连接CE，取CE的中点F，若∠EOF
＝90°，OE＝6，OF＝4，则DE的长为（ ）
8 10
A．2 B． C． D．4
3 3
【答案】D
【解答】解：如图，连接AE，
由条件可知OF是△ACE的中位线，
1
∴OF= AE，OF∥AE，
2
∴AE＝8，∠AEO＝90°，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：AO=❑√AE2+OE2=❑√82+62=10，
根据矩形的性质可知AO＝OD＝10，∴DE＝OD﹣OE＝10﹣6＝4．
故选：D．
8．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EN，EM为折痕，折叠后点A′，B′，E在同一直线上，
已知∠AEN＝32°，∠EMB'的度数为（ ）
A．58° B．32° C．35° D．45°
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
由折叠得∠A′EN＝∠AEN＝32°，∠B′EM＝∠BEM，∠EB′M＝∠B＝90°，
∴∠AEA′＝2∠AEN＝64°，∠BEB′＝2∠B′EM，
∵点A′，B′，E在同一直线上，
∴∠AEA′+∠BEB′＝180°，
∴64°+2∠B′EM＝180°，
∴∠B′EM＝58°，
∴∠EMB′＝90°﹣∠B′EM＝90°﹣58°＝32°，
故选：B．
9．如图，在矩形ABCD中，AE＝EB，BF＝FC，CG＝GD，点H为AD边上任意一点，则阴影部分面积和
矩形ABCD面积的比为（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
【答案】C
【解答】解：如图，连接BH、CH，∵AE＝EB，BF＝FC，CG＝GD，
∴△AEH 和△BEH的面积相等；△BFH 和△CFH的面积相等；△CGH 和△DGH 的面积相等；
∴空白部分和阴影部分的面积相等，
∴阴影部分面积和矩形ABCD的面积的比是1：2．
故答案为：1：2．
故选：C．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，点M是点A关于直线BE的对称点，
连接MD，则MD的最小值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【解答】解：连接BD，以点B为圆心，BA为半径作圆，交BD于点M，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝90°，
∴BD=❑√AB2+AD2=❑√62+82=10，
∵点A和点M关于BE对称，
∴AB＝BM＝6，
∴DM＝BD﹣BM＝10﹣6＝4．
故DM的最小值为4．
故选：C．
11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC边上的一点，点P是AD的中点，若AC的垂直平分线
经过点D，DC＝8，则BP＝ 4 ．【答案】4．
【解答】解：∵点D在AC的垂直平分线上，
∴DA＝DC＝8，
∵∠ABC＝90°，点P是AD的中点，
∴BP＝AD＝4，
故答案为：4．
12．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝12，点G是边AB上的一点，点P是BC边上的一个动点，连接
DG，GP，点E，F分别是GD，GP的中点，在点P的运动过程中，EF的最大长度为 6. 5 ．
【答案】6.5．
【解答】解：连接BD，DP，如图所示：
∵点E，F分别是GD，GP的中点，
1
∴EF= DP，
2
∴当DP最大时，EF最大，
当点P在点B处时，DP最大，即DB的长度，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB＝90°，
∴BD=❑√AD2+AB2=❑√52+122=13，
1
∴EF的最大长度为 ×13＝6.5，
2
故答案为：6.5．
13．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC＝10，BD＝6，E是对角线AC的中点，F是对
角线BD上的动点，当EF⊥BD时，EF＝ 4 ．【答案】4．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是AC的中点，
1
则BE= AC＝5，
2
1
同理可得：DE= AC＝5，
2
∴BE＝DE，
1
当EF⊥BD时，BF＝DF= BD＝3，
2
由勾股定理得：EF=❑√BE2−BF2=❑√52−32=4，
故答案为：4．
14．如图，点P是矩形ABCD的AD边上一动点，AB、BC长分别为15和20，那么点P到矩形两条对角线
AC和BD的距离之和是 1 2 ．
【答案】12．
【解答】解：连接OP，
∵四边形ABCD是矩形，
1 1
∴AC＝BD，OA＝OC= AC，OB＝OD= BD，∠ABC＝90°，
2 21
S△AOD =
4
矩形ABCD的面积，
1
∴OA＝OD= AC，
2
∵AB＝15，BC＝20，
1 1
∴AC=❑√AB2+BC2=25，S△AOD =
4
矩形ABCD的面积=
4
×15×20＝75，
1 25
∴OA＝OD= AC= ，
2 2
1 1 1 1 25
∴S△AOD ＝S△APO +S△DPO =
2
OA•PE +
2
OD•PF =
2
OA•（PE+PF）=
2
×
2
（PE+PF）＝75，
∴PE+PF＝12．
∴点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是12．
故答案为：12．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝15，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点
1
E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 EF长为半径画弧，在∠CBD的内部交于点G，作射线BG，以
2
点C为圆心，以大于点C到射线BG的距离为半径画弧，交BG于点M，N，再分别以点M，N为圆心，
1
大于 MN长为半径画弧，两弧交于点H，作射线CH，分别交BD，AD于P，Q两点，则CP的长是
2
30❑√17
．
17
30❑√17
【答案】 ．
17
【解答】解：根据所给作图步骤可知，
BG平分∠CBD，CP⊥MN，
令BN与CQ及CD的交点为L，J，如图所示，
因为BG平分∠CBD，
所以∠CBG＝∠PBG．
因为CP⊥MN，所以∠BLC＝∠BLP．
在△BLC和△BLP中，
{∠CBG=∠PBG
)
BL=BL ，
∠BLC=∠BLP
所以△BLC≌△BLP（ASA），
所以PL＝CL，
所以BN垂直平分PC，
所以BP＝BC，JP＝JC，
所以∠BPC＝∠BCP，∠JPC＝∠JCP，
所以∠BPJ＝∠BCJ＝90°．
在Rt△BCD中，
BD=❑√82+152=17，
由面积法可知，
1 1 1
⋅BD⋅JP+ ⋅BC⋅JC= ⋅BC⋅CD，
2 2 2
15
则JP＝JC= ．
4
在Rt△BCJ中，
√ 15 15
BJ=❑152+( ) 2= ❑√17．
4 4
由面积法可知，
1 1
⋅BJ⋅CL= ⋅BC⋅JC，
2 2
15
则CL= ❑√17，
17
30❑√17
所以CP＝2CL= ．
17
30❑√17
故答案为： ．
17
16．如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF．
（1）求证：△ABE≌△DCF．
（2）当AB＝12，DF＝13时，求BE的长．
【答案】（1）证明过程见解答；（2）5．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
在△ABE和△DCF中，
{∠BAE=∠CDF
)
AB=CD ，
∠B=∠C=90°
∴△ABE≌△DCF（ASA）；
（2）解：由（1）知：△ABE≌△DCF，
∴AE＝DF＝13，
∵AB＝12，
∴BE=❑√AE2−AB2=5．
17．如图，BE、CF是△ABC的两条高，P是BC边的中点，连接PE、PF、EF．
（1）求证：△PEF是等腰三角形；
（2）若∠A＝x°，∠EPF的度数＝ （ 18 0 ﹣ 2 x ） ° （用含x的代数式表达）．
【答案】（1）见解析；
（2）（180﹣2x）°．
【解答】（1）证明：∵BE、CF是△ABC的两条高，
∴△BFC和△CEB是直角三角形，
又∵P为BC的中点，
1
∴EP=FP= BC，
2
∴△PEF是等腰三角形；
（2）解：∵∠A＝x°，
∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣x°，
∵P为BC的中点，
1
∴PB=PC= BC，
2
1
又∵EP=FP= BC，
2
∴CP＝EP，BP＝FP，∴∠CEP＝∠PCA，∠BFP＝∠ABC，
∴∠BFP+∠ABC+∠CEP+∠PCA＝2（∠ACB+∠ABC）＝360°﹣2x°，
又∵∠CEP+∠ACB+∠CPE＝180°，∠BFP+∠ABC+∠BPF＝180°，
∴∠BFP+∠ABC+∠BPF+∠CEP+∠ACB+∠CPE＝360°，
∴∠BPF+∠CPE＝360°﹣2（∠ACB+∠ABC）＝2x°，
∴∠FPE＝180°﹣（∠BPF+∠CPE）＝180°﹣2x°，
故答案为：（180﹣2x）°．
18．如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形FGCE（点A、B、D的对应点分别是点F、G、E），
使得点E落在AB边上，AB的延长线与FG交于点H，连接DE．
（1）求证：ED平分∠AEC；
（2）试判断CE与EH的长度是否相等，并说明理由．
【答案】见解析；
【解答】（1）证明：由旋转的性质可知，CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AED＝∠CDE，
∴∠AED＝∠CED，
∴DE平分∠AEC；
（2）解：CE＝EH，理由如下：
将矩形ABCD旋转得到矩形FGCE，
∴∠F＝∠ABC＝90°，BC＝CG＝EF，FG∥CE，
∴∠FHE＝∠CEB，
在△EFH与△CBE中，
{∠F=∠ABC=90°
)
∠FHE=∠CEB ，
EF=BC
∴△EFH≌△CBE（AAS），
∴CE＝EH．
19．课本再现
我们在学习矩形的性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．1
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点D是斜边AB的中点，则CD= AB．
2
定理证明
（1）请完成这个定理的证明．
拓展应用
（2）如图2，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、F分别为AC、BD的中点，AC＝26，BD＝24．求EF
的长．
【答案】（1）见解析；
（2）5．
【解答】解：（1）如图1，延长CD到E使得DE＝CD，连接BE，AE，
∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∴四边形ACBE为平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ACBE为矩形，
∴AB＝CE＝2CD，
1
∴CD= AB；
2
（2）连接BE、DE，∵点E是AC的中点，AC＝26，
1
∴BE=DE= AC=13，
2
1
由题意可得：EF⊥BD，BF= BD=12，
2
∴EF=❑√BE2−BF2=❑√132−122=5．
20．如图，四边形ABCD为长方形，长AB＝10，宽AD＝4，点E是AB的中点，点P在CD上运动，连接
AP，PE．
（1）若△APE是以AP为斜边的直角三角形时，求AP的长；
（2）若△APE是等腰三角形时，求DP的长．
【答案】（1）❑√41；
5
（2）DP 的长为3或2或 或8．
2
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为长方形，长AB＝10，宽 AD＝4，点E是AB的中点，
1
∴AB＝CD＝10，AD＝BC＝4，AE=BE= AB=5，∠D＝∠C＝∠B＝∠DAB＝90°，
2
当△APE是以AP为斜边的直角三角形时，则∠AEP＝90°，
∴四边形ADPE是长方形，
∴AD＝PE＝4，
∴AP=❑√AE2+PE2=❑√52+42=❑√41；
（2）当AP＝AE＝5 时，DP=❑√AP2−AD2=❑√52−42=3；
1 5
当AP＝PE时，如图，过P作PM⊥AB于M，则AM=EM= AE= ，四边形ADPM是长方形，
2 2
5
∴DP=AM= ；
2当AE＝PE＝5时，如图，过P作 PM⊥AB于M，则四边形ADPM是长方形，
∴DP＝AM，AD＝PM＝4，
∴EM=❑√PE2−PM2=❑√52−42=3，
∴DP＝AM＝AE﹣EM＝5﹣3＝2，或 DP＝AE+EM＝5+3＝8；
5
综上所述，若△APE 是等腰三角形时，DP 的长为3或2或 或8；
2
