专题21.5 特殊四边形的六大解题模型
（第二十一章 四边形）
【人教版八下 新教材】
●
知识解读 模型精讲............................................................................................................................................1
模型精讲一 “中点四边形”模型-知识解读....................................................................................................................1
模型精讲二 “十字架”模型-知识解读.............................................................................................................................2
模型精讲三 “垂美四边形”模型-知识解读....................................................................................................................3
模型精讲四 “含60°角的菱形”模型-知识解读.........................................................................................................3
模型精讲五 “梯子”模型-知识解读..................................................................................................................................4
模型精讲六 “半角”模型-知识解读..................................................................................................................................4
优选题型 模型精练............................................................................................................................................5
模型精练一 “中点四边形”模型.........................................................................................................................................5
模型精练二 “十字架”模型..................................................................................................................................................7
模型精练三 “垂美四边形”模型.........................................................................................................................................9
模型精练四 “含60°的菱形”模型.................................................................................................................................12
模型精练五 “梯子”模型....................................................................................................................................................14
模型精练六 “半角”模型....................................................................................................................................................15
培优检测 能力提升..........................................................................................................................................18
模型精讲一 “中点四边形”模型-知识解读
模型特征：条件 E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点
图示
1
结论 ①四边形EFGH是平行四边形；②C四边形EFGH=AC+BD；③S四边形EFGH= S四边形ABCD
2
模型拓展：
拓展方向 图形背景由一般四边形拓展为特殊四边形
类型 矩形的中点四边形 菱形的中点四边形 正方形的中点四边形
条件 E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点
图示
结论 四边形EFGH是菱形 四边形EFGH是矩形 四边形EFGH是正方形
模型精讲二 “十字架”模型-知识解读
模型特征：
类型 过顶点型 不过顶点型
在正方形ABCD中，点E,F分别在CD,AD上， 在正方形ABCD中，点E,F,G,H分别在AB,CD,BC,AD
条件
AE⊥BF 上，EF⊥GH
图示
结论 ①△ABF≌△DAE;②BF=AE GH=EF
模型拓展：拓展方向 由正方形向矩形拓展
类型 过顶点型 不过顶点型
在矩形ABCD中，点E,F,G,H分别在AD,BC,AB,DC上，
条件 在矩形ABCD中，点E在AD 上，CE⊥BD
EF⊥GH
图示
CD DE EF CD
BCD∽△CDE；② =
结论 =
①△ BC CD GH BC
模型精讲三 “垂美四边形”模型-知识解读
模型特征：
条件 在四边形ABCD中，AC⊥BD
图示
1
①AB2+CD2=AD2+BC2 ;②S = AC·BD
结论 四边形ABCD 2
模型精讲四 “含60°角的菱形”模型-知识解读
模型特征：条件 四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD交于点O,∠ABC=60°
图示
①∠ABD=∠CBD=30°； ②△ABC和△ACD均为等边三角形；
结论 1 ❑√3
③AB:AC:BD=1:1:❑√3; ④S菱形ABCD= AC·BD= BC2
2 2
模型精讲五 “梯子”模型-知识解读
模型特征：
条件 线段AB的两端点在坐标轴上滑动，∠ABC=90°,AB的中点为Q, 连接OQ,CQ,OC
图示
结论 当O,Q,C三点共线时，OC取得最大值，最大值为OQ+CQ
模型精讲六 “半角”模型-知识解读
模型特征：拓展方向 特殊四边形中的“半角”模型
类型 90°含45° 120°含60°
特点 正方形ABCD，∠EAF=45° 菱形ABCD,∠BAD=120°，∠EAF=60°
图示
变形
①△ABG≌△ADF,△AGE≌△AFE;
①△ABE≌△ADG,△AEF≌△AGF;
结论
②EF=BE+DF
②△AEF为等边三角形(连接AC,可得 △AEC≌△AFD)
模型精练一 “中点四边形”模型
【典例分析】如图，连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，则对角
线AC，BD应满足（ ）
A．AC=BD B．AC平分BD
C．BD平分AC D．AC⊥BD
【变式训练1】如图，在菱形ABCD中，AB=12，∠B=60°，点E、F、G、H分别是边AB、BC、1
CD、DA中点，在直线FG上方有一动点P，且满足S = S ，则△ADP周长的最小值为
△PFG 6 四边形EFGH
．
【变式训练2】如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加 ，才能保证四
边形EFGH是正方形．
【变式训练3】如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H．
（1）判断四边形EFGH形状，并说明理由；
（2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由．模型精练二 “十字架”模型
【典例分析】对凸四边形我们不妨约定：若四边形对角线垂直，叫做“垂对”四边形；若四边形对角线相
等，叫做“等对”四边形．
(1)判断下列说法的正确性，正确的请在横线处打“√”，错误的打“×”．
①平行四边形一定不是“垂对”四边形；______
②一组邻边相等的平行四边形一定是“等对”四边形；______
③顺次连接“垂对”四边形各边中点所得的四边形是“等对”四边形．______
(2)如图1，在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD、BC的垂直平分线恰好交于AB边上一点P，连
结AC、BD，求证：四边形ABCD是“等对”四边形．
(3)如图2，在正方形ABCD中，点E、点M分别在边AB、BC上，点F在BC的延长线上，且四边形
EMFD是“垂对”四边形，对角线EF、MD相交于点H，EF与边CD交于点N．
①若CF=AE，BE=3，CN=1，求CM的长；
②连接MN，若点M是BC的中点，且正方形边长为4，请直接写出ED+MN的最小值．【变式训练1】如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD
于点G．
(1)求证：AE=BG；
(2)如图2，连接AG、≥¿，点M、N、P、Q分别是AB、AG、≥、EB的中点，试判断四边形MNPQ的
形状，并说明理由；
(3)如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边恰
好经过点A，过点A作AO⊥FR于点O，若AB′=1，正方形的边长为3，求线段OF的长．【变式训练2】如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E是BC边上一点，且CE=2BE，连接AE，点F是
AB边上一点，过点F作FG⊥AE交CD于点G，连接EF，EG，AG，则四边形AFEG的面积为 ．
模型精练三 “垂美四边形”模型
【典例分析】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说
明理由．
(2)性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．
猜想结论：（要求用文字语言叙述）
写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．
(3)问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，
连接CE，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．【变式训练1】小新学习了特殊的四边形一平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一
类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是______．
(2)性质探究：通过探究，直接写出垂美四边形ABCD的面积S与两对角线AC，BD之间的数量关系：
______．
(3)问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，
连接CE，BG，GE，已知AC=8，AB=10．
①求证：四边形BCGE为垂美四边形；
②直接写出四边形BCGE的面积．【变式训练2】(1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：
①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是_____；（只填序号）
(2)【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？
请说明理由．
(3)【性质探究】如图1，垂美四边形ABCD的两对角线交于点O，试探究AB，CD，BC，AD之间有怎
样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
(4)【性质应用】如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形
ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=8，AB=10，求GE长．【变式训练3】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB2，CD2与BC2，AD2之间的数量关系 ．
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，
连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．
模型精练四 “含60°的菱形”模型
【典例分析】如图，已知菱形ABCD的边长为2，M，N分别是边BC，CD上的动点，
∠BAC=∠MAN=60°，连接MN，则MN的最小值为 ．【变式训练1】在菱形ABCD中，∠ABC=120°，边长AB为8，点M是AB边上一点，点N是AD边上一
点，将△AMN沿MN翻折，点A的对应点A′恰好落在菱形ABCD的一条边上，若DA′=2，则AM的长为
．
【变式训练2】如图．在△ABC中，AB=BC，过点B作BD⊥AC于点D．点E为AB的中点，连接DE，
过点E作EF∥BD交CB的延长线于点F．若∠C=30°，求证：四边形DEFB是菱形．
【变式训练3】如下图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=40cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方
向以2cm/s的速度向点A运动，同时点E从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动．当其中一个点
到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0<t≤20）．过点D作DF⊥BC于
点F，连接DE，EF．
(1)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．
(2)当t=_______________时，△≝¿为直角三角形．模型精练五 “梯子”模型
【典例分析】一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【变式训练1】如图，小磊将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，测得MA=a，
梯子的底端P保持不动，将梯子的顶端靠在对面墙上，此时∠MPN=90°，梯子的顶端距离地面的垂直距
离记作NB，测得NB=b，求A、B之间的距离．【变式训练2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=1，AC=4，点A在y轴上，点C在x轴上，
则点A在移动过程中，BO的最大值是 ．
模型精练六 “半角”模型
【典例分析】【经典再现】
（1）如图1，D为等边△ABC外一点，BD=CD，∠BDC=120°，BD=2cm，连接AD．则：
①线段AD和线段BC的位置关系是______（直接写出结果）．
②AD=______cm．
【深入探究】
（2）如图2，D为等边△ABC外一点，BD=CD，∠BDC=120°，点M和点N分别为等边△ABC的边AB
和AC上任意一点，∠MDN=60°，试探究线段BM，CN和MN的数量关系，并加以证明．
【拓展应用】
（3）①把（2）中的条件“点M和点N为等边△ABC的边AB和AC上任意一点”改为“点M和点N为直
线AB和直线AC上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段BM，CN和MN的数量关系．
②当（2）中的点M和点N在等边△ABC的边AB和AC上运动时，记△AMN的周长为P，记△ABC的周长
P P
为Q，则 的值是否改变？若不变，请求出 的值：若改变，请说明理由．
Q Q【变式训练1】如图在四边形ABCD中，点E是直线BC上一点，将射线AE绕点A逆时针旋转α交直线CD
于点F．
(1)如图①．若四边形ABCD为菱形，∠B=60°,α=60°，则AE与AF之间的数量关系是________；
(2)如图②，若四边形ABCD为正方形，α=45°，连接EF，当点E在BC的延长线上时，试猜想线段
BE、DF与EF之间的数量关系，并加以证明；
1
(3)若四边形ABCD为正方形，α=45°，连接EF，当AB=4,BE= BC时，请直接写出EF的长．
2【变式训练2】问题背景 如图1，在四边形ABCD中．AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，
E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理
由．
由“∠EAF=60°，∠BAD=120°”的数据信息，解决问题的方法是：延长FD到G，使得DG=BE，连
接AG，则可以先证△ABE≌△ADG，再证________≌________，从而得到BE，EF，FD之间的数量关
系是：________；
验证猜想 写出上述推理的详细过程；
探索延伸 如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别在BC、CD上，且
1
∠EAF= ∠BAD，上述结论是否成立，并说明理由．
2【变式训练3】如图，正方形ABCD中，M，N分别在CD、BC上，连接
AM、AN、MN，∠MAN=45°．
(1)若将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE；请你补全图形．
(2)直接写出线段DM、BN、MN之间的数量关系；
(3)根据（2）的结论，写出证明过程；
(4)如果正方形的边长是5，求△CMN的周长．
1．如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上,AF⊥DE，交DE于G，交BC于点F．若
AE=15，BE=5，则△AEG的面积与四边形BFGE的面积之比是（ ）1 2 3 9
A． B． C． D．
3 3 4 16
2．下列说法正确的是（ ）
A．矩形的对角线互相垂直且平分
B．菱形的对角线也是这组对角的角平分线
C．正方形被对角线分割后所得的三角形都是等边三角形
D．连接菱形各边中点得到的四边形是正方形
3．如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，若折痕为PQ，
则PQ的长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
4．如图，在菱形 ABCD 中，边长 AB=4，∠A=60°，E、F 为边 BC、CD 的中点，作菱形 CEGF，则图中阴
影部分的面积为（ ）
A．16 B．12 C．8❑√3 D．6❑√3
5．如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．若AC=BD，则四边形EFGH为矩形
B．若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形
C．若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分
D．若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等
6．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加 条件，才能保证四边形
EFGH是矩形．
7．如图，直线l ∥l ∥l ，正方形ABCD的三个顶点A、B、C分别在l ,l ,l 上，l ,l 之间的距离是2，
1 2 3 1 2 3 1 2
l ,l 之间的距离是4，则正方形ABCD的面积为 ．
2 3
8．如图，正方形ABCD的边长为3，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE=CF，则四边形EBFD
的面积为： ．9．如图，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，若四边形ABCD的面积为4❑√3，则
AC＝ ．
10．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a
于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为 ．
11．如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上，∠C=90°，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC
为0.7m．(1)求此时梯子的顶端A距地面的高度AC；
(2)如果梯子的顶端A下滑了0.9m，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？
12．如图所示，正方形ABCD中，点E，F分别为BC，CD上一点，点M为EF上一点，D，M关于直线AF对
称．
（1）求证：B，M关于AE对称；
（2）若∠EFC的平分线交AE的延长线于G，求证：AG=❑√2AF．
13．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别为边BC、DC的中点，连接EF，求证：
EF=❑√3BE．14．如图，在四边形纸片 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，将 AB，AD 分别沿
AE，AF 折叠，点 B，D 恰好都和点 G 重合，∠EAF＝45°．
（1）求证：四边形 ABCD 是正方形；
（2）若 EC＝FC＝1，求 AB 的长度．15．【问题情境】：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题：
如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF相等
吗？
（1）直接判断：AE______BF（填“=”或“≠”）；
在“问题情境”的基础上，继续探索：
【问题探究】：
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且¿⊥BF，垂足为M．那么
GE与BF相等吗？证明你的结论：
【问题拓展】：
（3）如图3，将边长为40cm的正方形ABCD折叠，使得点D落在BC上的点E处．若折痕FG的长为
41cm，则CE=______cm．
