文档内容
第 04 讲 解直角三角形的应用举例
课程标准 学习目标
①解直角三角形在实际问题中的应用 1. 掌握解直角三角形在实际问题中的应用的基本步骤，并
②仰角、俯角问题 能够熟练的应用。
③方向角问题 2. 掌握仰角、俯角，方向角以及坡度、坡角的基本类型，
④坡度、坡角问题 并能够熟练的将实际问题转化为数学问题求解。
知识点01 解直角三角形在实际问题中的应用
1. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的基本步骤：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为直角三角形解决问题）
（2）根据实际问题中的条件，选择适当的锐角三角函数解直角三角形。
（3）得到数学问题的答案。
（4）得到实际问题的答案。
注意：解直角三角形的辅助线通常为作垂线构造直角三角形。
【即学即练1】1．一辆汽车在城市公路上从西向东行驶，在距路边 C点25m处有一车速测速仪O，测得该车从点A行驶
到点B用时1.5秒，其中∠COB＝30°，∠COA＝60°．
（1）求该车从点A行驶到点B的平均速度？
（2）若小汽车在该城市公路上的行驶速度不得超过 70km/h，试说明该车是否超速？（参考数据：
）
知识点02 仰角、俯角问题
1．仰角、俯角的认识：
如图：向上看物体的视线与水平线的夹角叫 ；向下看物体
的视线与水平线的夹角叫 。
【即学即练1】
2．随着技术进步和成果转化，在我国无人机的用武之地越来越多，农林
植保、应急救援、文物保护、电力巡检…，加速赋能千行百业．如图，某农业示范基地用无人机对一块
试验田进行监测作业时，无人机在点A处，无人机距地面高度AO为120米，此时测得试验田一侧边界
点C处俯角为52°，无人机垂直下降40米至点B处，又测得试验田另一侧边界点D处俯角为40°，且点
C，O，D 在同一条直线上，求点 C 与点 D 的距离．（参考数据：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，
tan52°≈1.3，sin40°≈0.6，cos40°≈0.8，tan40°≈0.8，结果保留整数）
知识点03 方向角问题
1．方向角的认识：在观察点作一天水平线和一条铅垂线，以上北下南，左西右东为方向，在观察点与目的地的连线与南
北方向的铅垂线行程的夹角叫做方向角。方向角一般是以 方向为起始，向 方向进行转
动形成。通常表示为方向加上角度。
【即学即练1】
3．在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西54°方向上，与C的距离是800海里，B在C
的南偏西36°方向上，与C的距离是600海里．
（1）求点A与点B之间的距离；
（2）若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，此时在点B处有一艘轮船准备沿直
线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，有多少小时可以接收
到信号？
知识点04 坡度、坡角问题
1. 坡角的概念：
斜坡与 的夹角叫做坡角。
2. 坡度（或坡比）：
斜坡的 与 的比值，叫做坡度或者叫做坡比。它是一个比值，用字母i来表示，
常写成i＝ 的形式。坡度或者坡比等于坡角的 。
【即学即练1】
4．暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶 534m高的山峰（即DF的长度为534m），
由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在
同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）．
（1）求登山缆车上升的高度DE；
（2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分
钟．
（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
题型01 解直角三角形的实际应用
【典例1】周末，刘老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起去江边
垂钓．如图，钓鱼竿AC的长为4m，露在水面上的鱼线BC的长为 ，刘老师想看看鱼钩上的情况，
把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′的长度是（ ）
A．3m B．2 m C．2 m D．3 m
【变式1】7．在日常生活中我们经常会便用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，
始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知BC
＝AB＝12cm，BD＝5cm．当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图，点E从A点滑动了2cm，求连接杆
DE的长度．
（ 参 考 数 据 ： sin37°≈ 0.6 ， cos37°≈ 0.8 ，tan37°≈0.75）
【变式2】小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横
杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小
明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC
位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得
BD＝7cm，OD＝15cm．
（1）小明认为∠COE与∠B一定相等，你同意他的看法吗？请说明理由；
（2）连接AC，若∠COE＝50°，求∠CAO的度数；
（3）求DE的长．
题型02 解直角三角形解决仰角俯角问题
【典例1】无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用
无人机测大楼的高度BC，无人机在空中点A处，测得点A与地
面距离80米，测得C点的俯角∠EAC＝14°，控制无人机水平移
动至点D，测得AD＝21米，楼顶C点的俯角∠EDC＝31°，点
A 、 B 、 C 、 D 在 同 一 平 面 内 ， 求 大 楼 的 高 度 BC ．（sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25；sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
【变式1】某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度（假定该塔AB与地面垂直），他们在与塔底B在同一
水平线上的C处测得塔顶A的仰角为60°，然后沿斜坡CE前行40m到达最佳测量点D处，在点D处测
得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡CE的斜面坡度 ，且点A，B，C，D，E在同一平面内．
（1）求点D到直线BC的距离；
（2）求古塔AB的高度．
【变式2】世博公园是魔都的一处宝藏之地，而双子山，就像是世博公园的璀璨明珠．这座人工打造的山
体别具一格，充满了独特的魅力．某数学兴趣小组用无人机垂直上升至距水平地面140米的P点，测得
双子山顶端A的俯角是15°，再将无人机沿水平方向飞行200米到达点Q，测得双子山底端的俯角是
45°，求双子山AB的高度．（结果精确到1米）参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27．【变式3】2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫发射中心点火发射，成功
把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发
射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达
B处，此时测得仰角为45°．
（1）求点A离地面的高度AO；
（2）求飞船从A处到B处的距离．（结果精确到0.1km，参考数据：
≈1.73）
题型03 解直角三角形解决方向角问题
【典例1】如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，并且测得
∠CAO＝45°．轮船甲自西向东匀速航行，同时轮船乙沿正北方向匀速航行，它们的速度分别为40km/h
和30km/h．经过0.2h，轮船甲航行至B处，轮船乙航行至D处，测得∠DBO＝68°，此时B处距离码头
O有多远？（精确到0.1km）（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）【变式1】如图，A，B，C分别是某公园三个景点，在景点之间计划修建健身跑道，C在A的正北方向
600米，B在A的北偏东60°方向，C在B的北偏西75°方向．（参考数据： ≈1.414， ≈1.732，
≈2.449）
（1）求BC的长度；（结果保留整数）
（2）其中跑道AC和跑道BC已经修好，准备修建跑道AB，为了改善健身环境，公园决定对健身跑道
进行修改扩建．计划将AB段绕A顺时针旋转30°并延伸至D处，修建新跑道AD和BD，且在D处测得
B在D的北偏西30°方向上．若修建步道的成本为每米200元，公园对扩建预算的费用为28万元，请通
过计算说明预算费用是否够用？
【变式2】 2023年7月4日四川卧龙熊猫基地D新诞生一对双胞胎熊猫宝宝，吸引了大批游客前往观看．
由于A、B之间的道路正在进行维护，暂时不能通行．游客由入口A进入园区之后可步行到达点C，然
后可以选择乘坐空中缆车从C→D，也可选择乘坐观光车从C→B→D．已知点C在点A的北偏东45°方
向上，点D在点C的正东方向，点B在点A的正东方向400米处，点D在点B的北偏东60°方向上，且
BD＝600米．（参考数据： ≈1.414， ≈1.732， ≈3.162）
（1）求CD的长度（精确到1）；（2）已知空中缆车的速度是每分钟120米，观光车的速度是每分钟220米，若游客想尽快到达熊猫基
地D，应选择乘坐空中缆车还是观光车？（精确到0.1）
【变式3】如图，小巴和小量两位同学假期一起去科技馆参观，两人同时从出入口A出发，先一起沿A的
北偏西75°方向走到国防科技厅C．接下来，小巴沿C的东南方向行走600m到达B继续参观交通科技
厅，再沿B的北偏东60°方向走回出入口A；小量则对D展厅的青少年梦工厂活动更感兴趣，他从C出
发先沿正东方向走到梦工厂 D，参加活动后沿 D 的正南方向行走回到出入口 A．（参考数据：
， ， ）（1）求A，C两地之间的距离（结果保留整数）；
（2）若小巴和小量匀速行走且速度相同（在B，D停留的时间相同），哪位同学先回到出入口A？请通
过计算说明．
题型04 解直角三角形解决坡度（坡角）问题
【典例1】周末爬大蜀山是合肥市民的一项娱乐休闲、锻炼身体的方式之一．上个周末小明同学从大蜀山
西坡沿坡角为37°的山坡爬了300米到达E处，紧接着又爬了坡角为45°的山坡148米到达山顶，请计算
大蜀山的高度约为多少米．（结果精确到1米，参考数据： ， ，sin37°≈0.6，
cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）【变式1】过街天桥的出现，解决了“过街”难题，也已成为一道独特的风景线，如图是某过街天桥的截
横面，桥顶AD平行于地面BC，天桥斜面CD的坡度为 ，CD长10m，天桥另一斜面AB的坡
角∠ABC＝45°．
（1）求点D到地面BC的距离；
（2）为了更方便过路群众，若对该过街天桥进行改建，使斜面AB的坡角变为30°，改建后斜面为AF，
则斜面AF的坡角∠F＝30°，试计算此改建需占路面的宽度FB的长（结果精确到0.1m）（参考数据
）
【变式2】瑞天时代广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角
为18°，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝3m，一楼到地平线的距离BC＝1m．
（1）为保证斜坡的倾斜角为18°，应在地面上距点B多远的A处开始斜坡的施工？
（2）如果给该购物广场送货的货车高度为2.6m，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？
并说明理由．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）【变式3】某校组织初三学生到张家界国家森林公园开展研学旅行，同学们来到入口 A观测到山顶D在仰
角45°的地方（学生身高忽略不计），然后水平前行了27米，到达一个岔路口B处，从这里上山有两条
路线．路线一：沿着一个坡度 的斜坡步行到索道口C，然后乘坐一条长500米，且与水平线
夹角为53°的索道CD上山；路线二：继续沿水平路线前行到山脚E，然后乘坐山体电梯直达山顶D（山
体电梯DE与水平地面垂直）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33， ，
（1）求山顶D离水平地面AB的高度为多少米？（结果精确到1米）
（2）若师生的步行速度为50米/分，索道的运行速度为70米/分，山体电梯的运行速度为180米/分．张
老师带领部分同学选择路线一，李老师带领另一部分同学选择路线二，两队从 B点一起出发，请问哪个
队伍先到山顶？（结果精确到个位）
1．第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽
的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）
和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠BCF＝（ ）A． B． C． D．
2．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB
＝60，则点A到BC的距离为（ ）
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
3．某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种
草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A．450a元 B．300a元 C．225a元 D．150a元
4．如图，坡角为27°的斜坡上两根电线杆间的坡面距离AB为80米，则这两根电线杆间的水平距离BC是
（ ）
A．80sin27°米 B．80cos27°米
C．80tan27°米 D． 米
5．雪上项目占据了2022年北京冬奥会的大部分比赛项目，有自由式滑雪、越野滑雪、跳台滑雪、无舵雪
橇、有舵雪橇、高山滑雪等．如图，某滑雪运动员在坡度为5：12的雪道上下滑65m，则该滑雪运动员
沿竖直方向下降的高度为（ ）A．13m B．25m C． m D．156 m
6．学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉一条幅到地面，这就需要测量学
校图书馆的高度，如图，林老师用高1.8m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，同学小军在林老师的
前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°，则图书馆AB的高度为（ ）（参考数据：
sin53°≈ ，cos53°≈ ，tan53°≈ ）
A．22.7m B．22.4m C．21.2m D．23.0m
7．潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐
塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面 119m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为
22°，再将无人机沿水平方向飞行74m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M，N，A，B在同
一平面内），则潮汐塔AB的高度为（ ）
（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
A．41m B．42m C．48m D．51m
8．海面上有A、B、C三个灯塔，已知灯塔B位于灯塔A的北偏西60°方向，与灯塔A的距离为5千米；灯
塔C位于灯塔A的北偏东30°方向，与灯塔A的距离为3千米，那么灯塔B与灯塔C的距离为（ ）
A．3千米 B．4千米 C．5千米 D． 千米
9．现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现
风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（ ）
A． 千米 B． 千米
C． 千米 D．5千米
10．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为
10cm，双翼的弧AP与弧BQ的长都为12 ，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，
可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
π
A．72cm B． C． D．82cm
11．如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC＝2cm，CD＝5.5cm，∠DCF＝30°，则
车位所占的宽度EF为 cm．（ ，结果精确到0.1）
12．如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处测得∠ACB＝15°，他沿CB方向走了20米，到达D
处，测得∠ADB＝30°，则计算出树的高度是 米．13．如图，某防洪指挥部发现长江边一处坝高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形
ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并
使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡度 ，则加固后坝底增加的宽度AF＝ ．
14．如图，小明在A处看见前面山上有个气象站C，仰角为15°，当笔直向山行4千米到达B处时，小明看
气象站C的仰角为30°．请你算出这个气象站离地面的高度CD是 ．
15．“龙舟故里”赛龙舟．为了保证比赛在汉江市顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，
以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方
向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上．如图，求建筑物P到赛道AB的
距离 米．（结果保留根号）
16．如图是某种云梯车的示意图，云梯OD升起时，OD与底盘OC夹角为 ，液压杆AB与底盘OC夹角
为 ．已知液压杆AB＝3米，∠BEA＝90°，当 ＝37°， ＝58°时．（结果精确到0.01米）（参考数据：
α
sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
β α β（1）求液压杆顶端B到底盘OC的距离BE的长；
（2）求AO的长．
17．新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横
幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着
打赢疫情防控阻击战的坚定决心．某镇政府采用了宣讲车进行宣传动员．如图，宣讲车 P在笔直公路的
两个站点A、B来回宣传，点C是一个村庄，村庄C到A、B两站点的距离分别为600m、800m，且AB
＝1000m．宣讲车周围500m以内能听到广播宣传．
（1）求∠ACB的度数．
（2）宣讲车P宣传时，村庄C是否能听到？请说明理由．
（3）如果能听到，已知宣讲车P的速度是100米/分钟，那么宣讲车P沿AB方向行驶中，村庄C一共
能听到多少分钟的宣传？
18．如图1是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型，图2是该设计第一层的截面图，第一层
有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，深为0.4米，轮椅专用坡道AB的顶端有一个长2米的水平面
BC．
《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应
符合以下表中的规定：坡度 1：20 1：16 1：12
最大高度（米） 1.50 1.00 0.75
（1）选择哪个坡度建设轮椅专用坡道AB是符合要求的？说明理由；
（2）相关部门开展广场台阶的设计规划，现在设计每级台阶的宽度为 1.5米，那么第一层的台阶坡道
建造需要规划多少面积的用地？
19．某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验，如图，两台测角仪分别放在 A、B位置，且
离地面高均为1米（即AD＝BE＝1米），两台测角仪相距60米（即AB＝60米），在某一时刻无人机
位于点C（点C与点A、B在同一平面内），A处测得其仰角为30°，B处测得其仰角为45°．
【参考数据： ， ，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84】
（1）求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）（2）无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F（点F与点A、B、C在同一平面内），此时A处测得
无人机的仰角为40°，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数）
20．为进一步改善市民生活环境，某市修建了多个湿地公园．如图是已建成的环湖湿地公园，沿湖修建了
四边形ABCD人行步道．经测量，点B在点A的正东方向．点D在点A的正北方向，AD＝1000米．点
C正好在点B的东北方向，且在点D的北偏东60°方向，CD＝4000米．（参考数据：
≈1.73）
（1）求步道BC的长度（结果保留根号）；
（2）体育爱好者小王从A跑到C有两条路线，分别是A→D→C与A→B→C．其中AD和AB都是下坡，
DC和BC都是上坡．若他下坡每米消耗热量0.07千卡，上坡每米消耗热量0.09千卡，问：他选择哪条
路线消耗的热量更多？
