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专题 22.6 二次函数与四边形存在性问题
【例题精讲】
【例1】已知二次函数 的图象与轴交于 ， 两点，与 轴交于
点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2） 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点 ，使以 、 、
、 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请直接写出点 的坐标．【例2】如图，一次函数 图象与坐标轴交于点 、 ，二次函数
图象过 、 两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点 关于抛物线对称轴的对称点为点 ，点 是对称轴上一动点，在抛物线上是否
存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出 点坐标；若不
存在，请说明理由．【例3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与坐标轴交于 ，
两点，直线 交 轴于点 ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在第二象限内是否存在一点 ，使得四边形 为矩形？如果存在，求出点
的坐标；如果不存在，请说明理由．【例4】若二次函数 的图象经过点 ， ，其对称轴为直线
，与 轴的另一交点为 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点 在直线 上，且在第四象限，过点 作 轴于点 ．
①若点 在线段 上，且 ，求点 的坐标；
②以 为对角线作正方形 （点 在 右侧），当点 在抛物线上时，求点
的坐标．【题组训练】
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ，与 轴交于点 ，与 轴交于点
、 ．且点 ， ，点 为抛物线上的一动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，过点 作 平行于 轴，交抛物线于点 ，若点 在 的上方，作
平行于 轴交 于点 ，连接 ， ，当 时，求点 坐标；
（3）设抛物线的对称轴与 交于点 ，点 在直线 上，当以点 、 、 、 为
顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点 的坐标．5．抛物线 经过 、 两点，顶点为点 ，连接 ， ．
（1）求抛物线及直线 的解析式；
（2）请你直接写出 的面积；
（3）过点 作 轴，垂足为 ，平行于 轴的直线交直线 于点 ，交抛物线于
点 ，是否存在点 ，使以点 、点 、点 、点 为顶点的四边形为平行四边形？若
存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知抛物线 与 轴的交点为 、 在 的右侧），与 轴的
交点为 ，顶点为 ．
（1）直接写出 、 、 、 四点的坐标；
（2）若点 在抛物线上，使得 的面积与 的面积相等，求点 的坐标；
（3）在对称轴上存在点 ，抛物线上是否存在点 ，使得以 、 、 、 四点为顶点
的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ， ，与 轴交于点
， 为线段 上一动点，将射线 绕 逆时针方向旋转 后与函数图象交于点 ．
（1）求二次函数 的表达式；
（2）当 在二次函数图象对称轴上时，求此时 的长；
（3）求线段 的最大值；
（4）抛物线对称轴上是否存在 ，使 、 、 、 四点能构成平行四边形，若存在，
请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，直线
经过点 ， ，点 是抛物线上的动点，过点 作 轴，垂足为 ，交
直线 于点 ．
（1）求抛物线的解析式及点 的坐标；
（2）当点 位于直线 上方且 面积最大时，求 的坐标；
（3）若点 是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点 ，使得以 ， ， ， 为
顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说
明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，
与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 在抛物线上，当 时，求点 的坐标；
（3）将抛物线的对称轴沿 轴向右平移 个单位得直线 ，点 为直线 上一动点，在平
面直角坐标系中是否存在点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形？若存在，
请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线 的对称轴是直线 ，与 轴交于点 ， ，与
轴交于点 ，连接 ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点 作 轴，垂足为点 ，
交直线 于点 ，是否存在这样的点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形是等腰
三角形．若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点 是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点 ，使以点 、 、 、
为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．11．综合与探究
如图，某一次函数与二次函数 的图象交点为 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 为抛物线对称轴上一动点，当 与 的和最小时，点 的坐标为 ；
（3）点 为抛物线位于线段 下方图象上一动点，过点 作 轴，交线段 于
点 ，求线段 长度的最大值；
（4）在（2）条件下，点 为 轴上一点，点 为直线 上一点，点 为平面直角坐标
系内一点，若以点 ， ， ， 为顶点的四边形是正方形，请直接写出点 的坐标．12．如图，已知抛物线 与一直线相交于 ， 两点，与 轴交于
点 ，其顶点为 ．
（1）填空：抛物线的解析式为 ；
（2）若 是抛物线上位于直线 上方的一个动点，设点 的横坐标为 ，过点 作 轴
的平行线交 与 ，当 为何值时，线段 的长最大，并求其最大值；
（3）若抛物线的对称轴与直线 相交于点 ， 为直线 上的任意一点，过点 作
交抛物线于点 ，以 ， ， ， 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，
请直接写出点 的坐标；若不能，请说明理由．13．如图，已知抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，
连接 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 为线段 上的一动点（不与 、 重合）， 轴，且 交抛物线于
点 ，交 轴于点 ，当 的面积最大时，求点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，当 的面积最大时，点 是抛物线的对称轴上的动点，在抛
物线上是否存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请
直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．14．综合与实践
如图，二次函数 的图象交 轴于点 、点 ，其中点 的坐标为 ，点 的
坐标为 ，过点 、 的直线交二次函数的图象于点 ．
（1）求二次函数和直线 的函数表达式；
（2）连接 ，则 的面积为 ；
（3）在 轴上确定点 ，使得 ，点 的坐标为 ；
（4）点 是抛物线上一点，点 为平面上一点，是否存在这样的点 ，使得以点 、点
、点 、点 为顶点的四边形是以 为边的矩形？若存在，请你直接写出点 的坐
标；若不存在，请说明理由．15．在平面直角坐标系中，二次函数 ， 为常数）的图象记作 ，
图象 上点 的横坐标为 ．
（1）当 ，求图象 的最低点坐标；
（2）平面内有点 ．当 不与坐标轴平行时，以 为对角线构造矩形 ，
与 轴平行， 与 轴平行．
①若矩形 为正方形时，求点 坐标；
②图象 与矩形 的边有两个公共点时，求 的取值范围．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点坐标为 ，与 轴交于
点 ，与 交于点 ， ．
（1）求二次函数 的表达式；
（2）过点 作 平行于 轴，交抛物线于点 ，点 为抛物线上的一点（点 在 上
方），作 平行于 轴交 于点 ，当点 在何位置时，四边形 的面积最大？
求出最大面积；
（3）若点 在抛物线上，点 在其对称轴上，以 ， ， ， 为顶点的四边形是平
行四边形，且 为其一边，求点 的坐标．17．如图，抛物线 过 ， 两点，交 轴于点 ．动点 从点
出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线 运动，设运动的时间为 秒．
（1）求抛物线 的表达式；
（2）过点 作 轴，交抛物线于点 ．当 时，求 的长；
（3）若在平面内存在一点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，求点
的坐标．18．如图，抛物线与 轴交于 、 ，交 轴于 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2） 是直线 上方的抛物线上的一个动点，设 的横坐标为 ， 到 的距离为 ，
求 与 的函数关系式，并求出 的最大值；
（3）设点 是 轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点 ，使得以点 、 、 、
为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点 坐标．19．如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点 为第四象限抛物线上一点，连接 ，过点 作 于点 ，若
，求点 的横坐标；
（3）若点 是抛物线对称轴上一动点且在 轴的上方，点 是平面直角坐标系内的任意一
点，如果以 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点 的坐标．20．如图，已知直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，抛物线
经过 、 两点，与 轴的另一个交点为 ，点 的坐标为 ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点 ， 关于抛物线的对称轴直线 对称， 点是对称轴上一动点，在抛物线上是否
存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 的坐标；若
不存在，请说明理由．21．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，连
接 ， ，点 是直线 下方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接 ， ，设 点的横坐标为 ， 的面积为 ，求 与 的函数关系式；
（3）试探究：过点 作 的平行线1，交线段 于点 ，在直线 上是否存在点 ，
使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 的坐标，若不
存在，请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系中，经过点 的直线 与 轴交于点 ．经过原
点 的抛物线 交直线 于点 ， ，抛物线的顶点为 ．
（1）求抛物线 的表达式；
（2） 是线段 上一点， 是抛物线上一点，当 轴且 时，求点 的坐
标；
（3） 是抛物线上一动点， 是平面直角坐标系内一点．是否存在以点 ， ， ，
为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线 与 轴交于点 、 （点 在点 左侧），与 轴交于
点 ，连接 ．
（1）求线段 的长；
（2）过点 作 ，与 轴交于点 ，与抛物线第四象限的图象交于点 ， 为抛
物线上位于第一象限的点，连接 交 于点 ，连接 ，求四边形 面积的最
大值及此时点 的坐标；
（3）将原抛物线沿射线 方向平移 个单位长度得到抛物线 ， 与原抛物线交于点
，点 在直线 上，且位于 轴右侧，在平面直角坐标系中是否存在点 ，使以点 、
、 、 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说
明理由．24．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的两边 ， 分别在 轴和 轴上，
， ，抛物线 经过点 ，且与 轴交于点 和点 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若 是第一象限抛物线上的一个动点，连接 ， ，当四边形 的面积最大
时，求点 的坐标，此时四边形 的最大面积是多少；
（3）若 是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点 ，使以点 ， ， ，
为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由．25．如图，抛物线顶点 ，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与直线 只有一个交点，求 的值；
（3） 是抛物线上除点 外一点， 与 的面积相等，求点 的坐标；
（4）若 ， 为抛物线上两个动点，分别过点 ， 作直线 的垂线段，垂足分别为
， ．是否存在点 、 使四边形 为正方形？如果存在，求正方形 的边
长；如果不存在，请说明理由．26．如图1，抛物线 经过点 、 ，并交 轴于另一点 ，点
在第一象限的抛物线上， 交直线 于点 ．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当点 的坐标为 时，求四边形 的面积；
（3）点 在抛物线上，当 的值最大且 是直角三角形时，求点 的横坐标；
（4）如图2，作 ， 交 轴于点 ，点 在射线 上，且 ，过
的中点 作 轴，交抛物线于点 ，连接 ，以 为边作出如图所示正方形
，当顶点 恰好落在 轴上时，请直接写出点 的坐标．
