文档内容
专题 22.5 实际问题与二次函数
目 录
一.知识梳理与题型精析................................................................................................................1
知识点（一）实际问题与二次函数——图形问题.....................................................................................1
【题型1】图形面积问题..............................................................................................................................2
知识点（二）实际问题与二次函数——图形运动问题..............................................................................4
【题型2】图形运动问题..............................................................................................................................5
知识点（三）拱桥问题.................................................................................................................................8
【题型3】拱桥问题......................................................................................................................................8
知识点（四）销售问题...............................................................................................................................11
【题型4】销售问题....................................................................................................................................11
知识点（五）投球问题与喷水问题...........................................................................................................14
【题型5】投球问题....................................................................................................................................15
【题型6】喷水问题....................................................................................................................................17
知识点（六）增长率问题...........................................................................................................................19
【题型7】增长率问题................................................................................................................................20
【题型8】其他问题....................................................................................................................................21
二．同步练习...............................................................................................................................24
1. 基础夯实（16题）.................................................................................................................................24
2. 能力提升（16题）.................................................................................................................................38
3. 直通中考（16题）.................................................................................................................................56
一.知识梳理与题型精析
知识点（一）实际问题与二次函数——图形问题
图形问题：涉及利用二次函数求几何图形的面积最值等问题。常见题型：（1）靠墙矩形；
（2）矩形小道问题；（3）长方体容器问题。
图1 图2 图3
解题思路：（1）根据题目条件设出相关变量，（2利用图形的面积公式、周长公式等建立二次函数关系式。
（1）图1中，已知靠墙矩形长为 ,设矩形长为 ,则宽为（ ）,则 ；
（2）图2中，已知矩形长为 ，宽为 ，设小道宽为 则矩形的面积为 ；
（3）图3中，已知长方体容器底部长方形长为 ，宽为 ，设折叠四个小正方形边长
，
则无盖长方体容器表面积为 + ；
特别注意：若涉及最值问题，可将二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质求出最值，同时
要注意自变量的取值范围，需结合实际图形的边长限制等条件确定。
【题型1】图形面积问题
【例题1】 （24-25八年级下·浙江宁波·期末）甲同学家有一块空地，空地上有一面长为 米的围
墙 ，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场 ，已知木栏总长为 米，与墙相对的一
面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设 长为x米．
（1）如图1，当 时，
① ________米（用含x的代数式表示）．
②若围成的养鸡场面积为 平方米，求 的长．
（2）如图2，当 时，求养鸡场可达到的最大面积．
【答案】（1）① ② 米；（2） 平方米
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．理解题意列出二次函数并熟练掌握二次函数的
性质是解题的关键．
①根据图形和条件确定边长表达式；②根据面积公式列出方程求解并关联题意即可解答；
根据面积公式列出方程求解以及利用二次函数性质求最值．
解：（1）解：①
② ，
解得 ， ．，
的长为23米．
（2）解： ，
养鸡场 的面积 ．
，
．
当 时，养鸡场面积可以达到最大值 平方米．
【变式1】（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠
墙（墙长 ）的空地上修建一个矩形小花园 ，小花园一边靠墙，另三边用总长 的栅栏
围住，如图所示．若设矩形小花园 边的长为 ，面积为 ．则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数解应用题，若设矩形小花园 边的长为 ，则 ，由
矩形面积公式代值得到 ，配方化为顶点式，由二次函数图象与性质分析即可得到答
案，熟练掌握求二次函数最值的方法是解决问题的关键．
解：若设矩形小花园 边的长为 ，则 ，，
，
，
，则抛物线开口向下，
当 时， 取最大值，为 ，
故选：C．
【变式2】（2025·四川绵阳·二模）如图，某农场拟建造由甲．乙两个矩形组成的羊圈，饲养室的
一面靠 长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲、乙两部分．已知提前准备的建筑材料可以建造
长的栅栏，则该羊圈最大面积可以建造
【答案】48
【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．
设宽为x米，则长为 米，先求出 的取值范围，再根据面积公式建立函数关系式，即可求
解最值．
解：设宽为x米，则长为 米，
则 ，
解得：
由题意得： ，
∵ ，
∴当 时， 取得最大值 ，
即该羊圈最大面积可以建造 ，
故答案为：48．
知识点（二）实际问题与二次函数——图形运动问题
图形运动问题：通常与动点相关，在图形运动过程中，某些量与动点运动路程之间的函数关
系；图4 图5
解题思路：（1）分析动点的运动路径和速度，用运动时间 表示出相关线段的长度，（2）根
据图形的性质，找出所求量与时间 的函数关系；
（1）图4中，在 ，四边形APQC面积=三角形ABC-三角形PBQ面积；
（2）图5中，在矩形ABCD中，五边形ADCNM=矩形ABCD-三角形BMN面积；
特别注意：对于复杂的图形，可能需要分情况讨论，根据动点在不同阶段的位置来确定函数关
系式，最后根据函数性质解决问题。
【题型2】图形运动问题
【例题2】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）在矩形 中， ， ，点P
从点A开始沿边 向终点B以 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边 向终点C
以 的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．
设运动时间为t秒．
（1）填空： ________ ， ________ （用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时， 的长度等于 ？
（3）是否存在t的值，使得五边形 的面积等于 ？若存在，请求出此时t的值；若不
存在，请说明理由．
（4）是否存在t的值，使 的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理
由．
【答案】（1） ， ；（2） 或2；（3）存在， 秒；（4）存在，【分析】（1）根据路程与速度的关系解决问题即可；
（2）利用勾股定理得到方程 ，求解即可得到结果；
（3）根据长方形 的面积减去 的面积等于五边形 的面积，列出方程，然后求解
即可得到结果；
（4）根据（3）可知 的面积为 ，据此求解即可．
解：（1）解：由题意： ，
故答案为 ．
（2）解：由题意得： ，
解得： ， ．
或2时， ；
（3）解：存在 秒，能够使得五边形 的面积等于 ．
理由如下：长方形 的面积是： ，
五边形 的面积 ，
，
即 ，
解得： （不合题意舍去）， ．
即当 秒时，使得五边形 的面积等于 ．
（4）解：由题意得 ，
，
当 时， 的面积最大．【点拨】本题考查动态几何问题，矩形的性质，一元二次方程，二次函数最值等知识，利用参数构
建方程解决问题是解题的关键．
【变式1】（2025·辽宁铁岭·三模）如图， 是直角三角形， ．
点 从点 出发，沿 方向以 的速度向点 运动 到达 点停止运动）；同时点 从点
出发，沿 方向以 的速度向点 运动 到达 点停止运动 ；当其中一个动点到达终点时，
则另一个动点也停止运动，则 的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查动点问题中三角形面积的最值求解，解题的关键是用含时间的表达式表示出
的底和高，进而得出面积表达式，再根据二次函数性质求最值．先设运动时间为 秒，分别
表示出 、 的长度，再根据三角形面积公式得出 面积关于 的表达式，最后求该表达式
的最大值．
解：点 从 到 运动时间为 秒，点 从 到 运动时间为 秒，
其中一个动点到达终点，另一个动点也停止运动，
．
已知点 速度为 ，点 速度为 ，
设运动时间为 秒，则 ，
．
，
，且 ，
当 时， 有最大值，最大值为 ．
故选：A．【变式2】（22-23八年级下·山东东营·期中）如图，矩形 的两边长 ， ，
点M、N分别从A、B同时出发．M在边 上沿 方向以每秒 的速度匀速运动，N在边
上沿 方向以每秒 的速度的匀速运动，当N到达C点时，M、N停止运动．当运动时间
秒时， 的面积最大，最大值为 ．
【答案】 4 20
【分析】 ， ，根据 ，结合 得出当
时， 的面积最大，且最大值为 ．
解：∵N在边 上沿 方向以每秒 的速度的匀速运动，当N到达C点时，M、N停止运动，
∴ ，
∵M在边 上沿 方向以每秒 的速度匀速运动，N在边 上沿 方向以每秒 的速度
的匀速运动，
∴ ， ，
∴
，
∴当 时， 的面积最大，且最大值为：
．
故答案为：4；20．【点拨】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是根据题意得出 ．
知识点（三）拱桥问题
拱桥问题：以抛物线形状的拱桥为背景，求拱桥高度、跨度相关的问题。
图6
解题思路：（1）建系（一般以抛物线的顶点为原点，对称轴为 轴建立坐标系）；（2）确定
关系式：一般设抛物线的顶点式为 ，确定解析式；（3）根据问题求解。
【题型3】拱桥问题
【例题3】 （2025·陕西咸阳·模拟预测）我国的大棚种植技术已经十分成熟，如图所示，大棚的形
状可近似地看作抛物线，大棚的一端固定在离地面高 的墙体A处，另一端固定在离地面高 的
墙体B处，墙体A与墙体B水平相距 ，且在距墙体A水平距离 ，距水平地面高 处的大棚
上安装了照明灯．以水平地面为x轴，以墙体A所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）C，D为大棚上两点，若要给大棚焊接加固钢材 ，其中 距离大棚顶端 ，
轴， ，则需要钢材多少米？（钢材的厚度忽略不计）
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意得，抛物线过 ，点 ，又 ，则抛物线的对称轴是直线 ，故可设抛物线为 ，进而利用待定系数法求解即可；
（2）依据题意，结合（1）抛物线的顶点为 ，又 距离大棚顶端 ，则C、D的纵坐标为
，再令 ，解得： 或 ，故 ， ，最后
根据线段的和差即可解答．
解：（1）解：由题意得，抛物线过 ，点 ，
又∵ ，
∴抛物线的对称轴是直线 ．
∴可设抛物线为 ，
又∵图象过 ，点 ，
∴ ，解得：
∴该抛物线的表达式为 ．
（2）解：∵抛物线的表达式为 ，
∴抛物线的顶点为 ，
又∵ 距离大棚顶端 ，
∴C、D的纵坐标为 ，
∴
∴ ，解得： 或 ，
∴ ，
∴需要钢材的总长度为： ．
【变式1】（24-25九年级上·河南郑州·期末）坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为 ，正常
水位时水面宽 为16m，当水位上升3m时，水面宽 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据正常水位时水面宽 米，求出当 时求得
，再根据水位上升3米时 ，代入解析式求出x即可解答．
解：∵ 米，
∴当 时， ，
当水位上升3m时， ，
把 代入 得： ，解得： ，
此时水面宽 米．
故选B．
【变式2】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的
平面直角坐标系中，抛物线可以用函数 来表示，已知 米，距离 点2米处的棚高
为 米，若借助横梁 建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁 的长度是
米．【答案】
【分析】此题主要考查二次函数的性质及用待定系数法求出函数的解析式，比较简单，要学会设合
适的函数解析式．先用待定系数法求出函数函数解析式，求出当 时的自变量的值，即可求出
答案．
解：由题意可得，抛物线经过 ， ，
故 ，
解得： ，
故抛物线解析式为：
由题意可得：当 时，
，
解得：
∴ 米．
故答案为：
知识点（四）销售问题
销售问题基本形式：（1）单件利润 = 售价 - 成本价；（2）总利润 = 单件利润 × 销量。
解题思路：通过建立二次函数模型，求商场每天的销售利润与每件销售价的函数关系式，进而
求出获得最大利润时的销售价，或者已知利润求售价等。
【题型4】销售问题
【例题4】 （2025·辽宁葫芦岛·一模）某花店老板购入一批进价为10元/束的满天星进行售卖，经
市场调研发现：销售单价不低于进价时，日销售量 （束）与销售单价 （元）是一次函数关系，
其部分图象如图所示：
（1）求 与 之间的函数表达式 ，并写出 的取值范围；
（2）设该老板每天销售利润为 元，求 与 之间的函数关系式；
（3）当满天星的销售价格定为多少元时，该花店销售满天星所获日销售利润为400元．【答案】（1） ， 的取值范围为 ；（2）
；（3）20元或30元
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二次函数的应用、一元二次方程
的应用，熟练掌握一次函数和二次函数的应用是解题关键．
（1）根据点 ，利用待定系数法求解即可得；再根据销售单价不低于进价， 建
立不等式组，解不等式组即可得 的取值范围；
（2）根据每天销售利润 （销售单价 进价） 日销售量列出函数关系式即可得；
（3）令 ，建立一元二次方程，解方程即可得．
解：（1）解：设 与 之间的函数表达式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
则 与 之间的函数表达式为 ．
∵销售单价不低于进价， ，
∴ ，
解得 ，
答： 与 之间的函数表达式为 ， 的取值范围为 ．
（2）解：由题意得：
，
答： 与 之间的函数关系式为 ．（3）解：令 ，则 ，
解得 或 ，均在 范围内，
答：当满天星的销售价格定为20元或30元时，该花店销售满天星所获日销售利润为400元．
【变式1】（2025·天津和平·三模）某商家销售一种成本为40元的商品，当售价定为50元/件时，
每天可销售500件，根据经验，售价每涨价1元，每天销量将减少10件，且单件该商品的利润率
不能超过 ．有下列结论：
①每天的销量 （件）与当天的销售单价 （元/件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范
围）是 ；
②当定价为70元时，该商品的利润达到最大，最大利润为9000元；
③当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元或85元．
其中，正确的结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用．
①根据题意列出函数关系式即可；
②设利润为W元， ，再根据单件该商品的利润率不
能超过 列出不等式，求出 ，再根据二次函数的性质求最值即可；
③根据题意，得 ，解方程，再根据 ，即可得出结论．
解：①每天的销量 （件）与当天的销售单价 （元/件）满足的函数关系式是
，
故①正确，符合题意；
②设利润为W元，
，
由题意可得： ，
∴ ，
∵ ，开口向下，当 时，W随x的增大而增大，
∴ 时，W 最大为8840元，故②不正确，不符合题意；
③令 ，
解得 ， ，
∵ ，
∴ ，
即当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元，
故③不正确，不符合题意；
综上所述，正解的有①，一共1个．
故选：B．
【变式2】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60
元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，设每个商品
降价x（元），每天获得利润y（元），则y与x的函数关系式是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，根据利润等于单件利润乘以销售量列函数关系式即
可．
解：设每个商品降价x（元），每天获得利润y（元），
则y与x的函数关系式是： ，即
，
故答案为： ．
知识点（五）投球问题与喷水问题
解题思路：在二次函数的应用中，投球问题和喷水问题本质上是同一类模型 ——抛物线运动
轨迹模型（物体运动或液体喷射的轨迹可抽象为抛物线）。两者的核心是通过建立二次函数关系，
解决与 “高度”“水平距离” 相关的实际问题。图7 图8
如图7中，以掷球位置建系，求出掷球最高点和最远距离；
如图8中，以喷水位置建系，求出喷水最高点与最远距离。
【题型5】投球问题
【例题5】（2025·河南商丘·模拟预测）打乒乓球是一项有氧运动，能提升反应速度、增强体力、
释放压力、改善视力……乒乓球桌的标准长度为 ，小浩从球桌边沿正上方 击打乒乓球向正
前方运动，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分．以球桌面所在直线为 轴、 所在直线为
轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球击打后的竖直高度 （单位： ）与水平距离 （单
位： ）近似满足函数关系 ．
（1）此次击打乒乓球运行的最大竖直高度是多少？
（2）击打后乒乓球能过球桌正中间的网（网高 ），并落到对方桌面上，算击打成功．请你
通过计算，判断这次乒乓球击打是否成功．
【答案】（1）此次击打乒乓球运行的最大竖直高度是 ；（2）这次乒乓球击打不成功
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题关键是将二次函数由一般式化为顶点式．
（1）通过将二次函数表达式化为顶点式，再求出最大值；
（2）求出当 时的函数值与 比较后得出结论．
解：（1）解： ，
∵二次项系数为 ，∴抛物线的开口向下，
∴当 时， 有最大值 ．
（2）∵乒乓球桌的标准长度为 ，
∴球桌正中间 ，
当 时， ，
∴这次乒乓球击打不成功．
【变式1】（2025·辽宁朝阳·二模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 （单位： ）与小球的运动时间 （单位： ）之间的关系式是 ．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要 ；
②小球运动的高度可以是25m；
③小球运动 时的高度大于运动 时的高度．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数图象的性质，顶点坐标的计算，函数值的计算
是解题的关键．
根据 时，解方程，可判定结论①；配方出顶点式，求出最大值，可判定结论②；把运动 时
的高度，运动 时的高度计算出来比较即可判定结论③；由此即可求解．
解：当 时， ，
解得： 或 ，
∴小球从抛出到落地需要 ，正确，故①符合题意；
，由于 ，
∴当 时，小球运动的高度是20m，不可能为 ，故②错误，不符合题意；
当 时， ，当 时， ，
那么小球运动 时的高度等于运动 时的高度，故③错误，不符合题意，
∴正确的个数为1，
故选：B．
【变式2】（2025·广西来宾·模拟预测）投壶是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，顾名思义，投
壶就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分的游戏，其中箭头的
运动轨迹可以看作一条抛物线，如图是小西在投壶时，箭头行进高度 与水平距离 之间的
函数关系图象，投出时箭头距地面的高度 为 ，当箭头行进的水平距离为1m时，箭头行进至
最高点 处，已知BC是壶的最左侧（厚度忽略不计，可看作垂直于 轴的线段），且 ，
若小西投壶恰好投中，则 的长为 m．【答案】0.3
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键，根据顶点坐
标设抛物线为顶点式，再将点A的坐标代入可得关系式，将 代入关系式得出答案即可．
解：由题意可知点A的坐标为 ，抛物线顶点坐标为 ．
设y与x之间的函数表达式为 ，
将点 代入，得 ，
解得 ，
∴y与x之间的函数表达式为 ，
当 时， ，
即 的长为 ，
故答案为：0.3．
【题型6】喷水问题
【例题6】（2025·陕西咸阳·模拟预测）某公园为吸引游客，沿着公园内一条河边的绿道 打造喷
水景观，为保持河边绿道 地面干燥，水柱从绿道一旁地面呈抛物线状喷出，经过绿道上方流入
河流 中．如图是其截面图，喷水口为 ，绿道路面宽度 ，当水柱离喷水口的水平距
离为 时，水柱到达最高处，最高点到绿道地面 的距离是 ．以 为坐标原点， 所在直
线为 轴，经过点 且垂直于 的直线为 轴建立平面直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线的函数表达式；
（2）出于安全和美观考虑，要在绿道上的 处竖直向上安装一排高度为 的护栏花墙，若
m，判断水柱是否会打湿护栏花墙，并说明理由．【答案】（1） （或 ）；（2）水柱不会打湿护栏花墙，理由见分
析
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意设出顶点式，再代入 即可求解；
（2）点 的坐标为 ，代入函数解析式计算出函数值与2m的护栏花墙比较即可．
解：（1）解：由题意可知水柱所在抛物线的顶点坐标为 ．
设水柱所在抛物线的函数表达式为 （ 为常数， ），
将 代入，得 ，
解得 ，
∴水柱所在抛物线的函数表达式为 （或 ）．
（2）解：水柱不会打湿护栏花墙．．
理由：∵ m， m，
∴ m，
则点 的坐标为 ．
当 时， ．
∵ ，
∴水柱不会打湿护栏花墙．
【变式1】（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置
，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度 与水平距离 之间的关系式是 ，则水流喷出的
最大高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题
的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等．
解： ，
，
当 时， 取最大值，最大值为 ，即2.75米，
故选：B．
【变式2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化
而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边 ，音乐变化时，抛物
线的顶点在直线 上变动，从而产生一组不同的抛物线（图，这组抛物2）线的统一形式为
，若要求喷出的抛物线水线不能到岸边，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，根据题目给出的信息列出相应的
关系式，找出所求问题需要的条件．依据题意，抛物线的顶点在直线 上可得 的值，根据喷出的抛物线水线不能到岸边，而出水口离岸边 可知其对称轴 ，可得 的范围．
解：由题意， 的顶点为 ，抛物线的顶点在直线 上，
．
．
喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边 ，
，即： ．
．
故答案为： ．
知识点（六）增长率问题
增长率问题：常用于解决与营业额、产量等相关的增长率问题；
解题思路：（1）明确变量与模型；（2）建立二次函数关系；（3）转化为函数最值问题。
【题型7】增长率问题
【例题7】（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的
年增长率为 ，预计今年比去年的年增长率为 ，设今年的总产值为 万元．
（1）求 与 的关系式；
（2）当 时，求今年的总产值为多少万元？
【答案】（1） ；（2）当 时，今年的总产值为 万元．
【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式；
（2）代入 ，求出y值即可得出结论．
解：（1）依题意得： ；
（2）当 时， ，
答：当 时，今年的总产值为 万元．
【点拨】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的公式是解题的关键，若起始值为a，经过n年后值为b，设增长率为x，则有 ．
【变式1】（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了
1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车 辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车
数量的月平均增长率为 ，那么 与 的函数关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系，理解在第一个月投放1500辆电动自行车的基
础上增长2次得到y是解题的关键．
在第一个月投放1500辆电动自行车的基础上，增长2次即可得到y，据此列出一元二次方程即可．
解：第二个月投放单车数量 ，
第三个月投放单车数量 ．
故选A．
【变式2】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）某玩具厂7月份生产玩具200万只，9月份生产
该玩具y（万只）．设该玩具的月平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式是 ．
【答案】
【分析】由题意知，8月份生产玩具 万只，9月份生产该玩具 万只，依题意得，
．
解：由题意知，8月份生产玩具 万只，9月份生产该玩具 万只，
依题意得， ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式．
【题型8】其他问题【例题8】（2025·河南安阳·三模）在某次足球训练中，小明从离地面高度为 的点 处踢出足
球，球在 处首次落地后弹起．如图，建立平面直角坐标系，足球的运动轨迹可近似为两段形状相
同的抛物线．已知第一段运动轨迹的顶点为 ，弹起后的最大高度为第一段运动轨迹最大高度
的 ．
（1）求第一段运动轨迹的抛物线解析式；
（2）求足球第二次落地点 与点 的水平距离 的长．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题主要考查二次函数应用问题，抛物线解析式的求法，二次函数与一元二次方程．解题
的关键是要有建模思想，将题目中的语句转化为数学语言，这样才能较好的领会题意并运用自己的
知识解决问题．
（1）设抛物线解析式为 ，将点 代入求解即可．
（2）先求出点 的坐标，根据题意得出弹起后最大高度为 ．设第二次弹起后的抛物线
解析式为 ，将 代入求出解析式，再求解即可．
解：（1）解：设抛物线解析式为 ．
将起点 代入，可得 ．
解得： ．
抛物线解析式为 ．
∴
（2）解：令 ，解得 ．
∴点 的坐标为 ．
∵弹起后的最大高度为原最大高度的 ，且两段抛物线形状相同，
∴弹起后最大高度为 ．
∴可设第二次弹起后的抛物线解析式为 ．
将 代入，得 ．
解得 （舍）， ．
∴第二次弹起后的抛物线解析式为 ．
令 ，
解得： ．
∴点 的坐标为 ．
∴ ．
答：足球第二次落地点 与点 的水平距离 的长为 ．
【变式1】（2025·陕西榆林·模拟预测）剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛
围．将如图所示的剪纸“鱼”置于平面直角坐标系中，使得外轮廓上的点 均
落在抛物线 （a、c为常数， ）上，已知点B在第一象限，且到y轴的距离为 ，则
点B到x轴的距离为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的应用．
依据题意，由点 在抛物线 上，则 ，可得抛物线为 ，结合点
在抛物线上，从而求出a后可得抛物线的解析式为抛物线为 ，又点B在
第一象限，到y轴的距离为 ，则B的横坐标为 ，令 ，则 ，即点B到x轴的距离为
，进而可以得解．
解：∵点 在抛物线 上，
∴ ．
∴抛物线为 ．
又∵点 在抛物线上，
∴ ．
∴ ．
∴抛物线为 ．
∵点B在第一象限，到y轴的距离为 ，
∴B的横坐标为 ．
∴令 ，则 ，
即点B到x轴的距离为 ．故选：D．
【变式2】（2025·甘肃白银·二模）兰州牛肉拉面，被誉为中华第一面．如图，这是一个面碗的截
面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底 为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽 ，碗
深 ，则当汤面的最大竖直高度为 时，碗中汤面的水平宽度为 ．（碗的
厚度不计）
【答案】20
【分析】本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的应用是解题的关键．根据题意，求出抛物线表
达式，当汤面的最大竖直高度为 时，则令 ，解答出x的值，即可得出结果
解：根据题意得抛物线经过点 ，
设抛物线表达式为 ，代入得 ，
解得 ，
∴抛物线表达式为 ，
当汤面的最大竖直高度为 时，
令 ，
解得： ，
碗中汤面的水平宽度为 ，
故答案为：20
二．同步练习
1. 基础夯实（16题）
一、单选题
1．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）用一条长 的绳子围成一个矩形的最大面积是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，解题的关键是正确列出关于矩形面积 与边长 的
关系式．设矩形的长为 ，面积为 ，再根据矩形的面积公式得出 、 的关系式，求出 的最大值
即可．
解：设矩形的长为 ，则宽为 ，
∴矩形的面积 ．
∵ − ，
∴ （ ）．
故矩形的最大面积是 ．
故选： ．
2．（2024·江苏徐州·一模）如图，在 中， ， ， ，点P在边
上，从点A向点C移动，点Q在边 上，从点C向点B移动，若点P，Q均以 的速度同
时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接 ，则线段 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的几何应用、勾股定理，设运动时间为 ，理解题意，列出 与时间
的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
解：设运动时间为 ，则 ， ，
根据题意，，
∵ ， ，
∴当 时， 有最小值，最小值为 ，
故选：C．
3．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 时，水面宽 ．
若水面再上升 ，则水面的宽度是多少？（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的
关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据
已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把 代入抛物线解析式得出水面
宽度，即可得出答案．
解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过 ，纵轴y通过 中点O且通过C点，
则：O为原点， ， ，
设函数解析式为 ，把A点坐标 代入得 ，∴抛物线解析式为 ，
当水面上升 ，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当 时，对应的抛物线上两点之间的距离，
把 代入抛物线解析式得出： ，
解得： ，
∴此时的水面宽度为 ，
故选：C．
4．（24-25九年级上·山东烟台·期中）一个小球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过
（秒）时球距离地面的高度 （米）适用公式 ，那么球弹起后又回到地面所花的时间
（秒）和弹起的最高高度 （米）分别是（ ）
A．1，4 B．2，5 C．5，10 D．10，20
【答案】B
【分析】此题考查了求二次函数的应用．
根据球弹起后又回到地面时 ，得到 ，解方程即可得到回到地面所花的时间 （秒）．
化为顶点式可求出弹起的最高高度 （米）．
解：球弹起后又回到地面时 ，即 ，
解得 （不合题意，舍去）， ，
∴球弹起后又回到地面所花的时间 （秒）是2．
∵ ，
∴弹起的最高高度 （米）是5．
故选：B．
5．（2025·天津河西·一模）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位： ）与水平距离x（单位：
）之间的关系是 ．有下列结论：①这名男生铅球推出的水平距离为 ；②
铅球到达最高点时的高度为 ；③当铅球的高度为 ，推出的水平距离为 或 ．其中，
正确结论的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中
的结论是否正确．
解：将 代入 ，
得 ，
解得 ， ，
∴这名男生铅球推出的水平距离为 ，
故①正确，符合题意；
∵ ，
∴铅球到达最高点时的高度为 ，
故②错误，不符合题意；
当 时， ，
解得 ， ，
故③错误，不符合题意；
故选：B．
6．（2025·广西南宁·一模）某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的
利润 （万元）与投资量 （万元）成正比例关系，如图 所示：种植果树的利润 （万元）与
投资量 （万元）成二次函数关系，如图 所示 如果这位专业户投入种植茶树及果树资金共 万
元，则他能获取的最大总利润是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数和二次函数解析式，准确熟练地进行
计算是解题的关键．先利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，然后设这位专业户投入种植
果树的资金为 万元，则投入种植茶树的资金为 万元，他获得的利润为 万元，根据题意
可得： ，最后进行计算即可解答．
解：设 ，
把 代入 中得： ，
；
设 ，
把 代入 中得：
，
解得： ，
；
设这位专业户投入种植果树的资金为 万元，则投入种植茶树的资金为 万元，他获得的利
润为 万元，
由题意得：，
，
当 时， ，
，
当 时， ，
能获取的最大总利润是 万元，
故选：D．
二、填空题
7．（23-24九年级上·西藏拉萨·期末）如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形
菜园，设矩形 菜园的面积为 （单位：米 ）， 的长为 （单位：米）则 关于
的函数关系式是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是列二次函数关系式，不等式组的应用，由 ， ，再
利用面积公式建立二次函数关系式即可，利用边长的限制条件列不等式组可得x的取值范围．
解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
8．（2025·山东济南·二模）湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为 ，正常水位时水面宽 为 ，当水位上升 时水面宽
为 ．
【答案】
【分析】本题考查了实际问题与二次函数，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键，根据二
次函数的图象可得当水位上升 时，此时 ，进而可求得此时的 的值，进而可求解．
解：依题意得：
当 ， ，
当水位上升 时，则此时 ，
则： ，
解得： 或 ，
∴水面宽 为： ，
故答案为： ．
9．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都
客满，市场调查表明单间房价在 元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均
入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到 元时，客房的日营业收
入最大．
【答案】150
【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用．核心知识点是利用二次函数模型解决最值问题．
解题关键在于建立正确的二次函数表达式，通过分析函数对称轴与开口方向，结合自变量实际取值
范围，求出日营业收入最大时的房价．设房价提高x个10元，日营业收入为y元，进而构建日营业
收入的二次函数关系式．再依据二次函数性质，找到对称轴，结合房价的取值范围，确定使日营业
收入最大的房价．
解：设房价提高x个10元，日营业收入为y元．
此时房价为 元，日均入住数为 间．日营业收入 ，展开并整理：
对于二次函数 ，函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值．
对称轴为 ．
当 时，房价为 元，且150元在 元范围内．
综上，该宾馆将标准房价格提高到150 元时，客房的日营业收入最大，
故答案为：150．
10．（24-25八年级下·广西南宁·期末）某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果
不考虑空气阻力，足球飞行的高度 （单位： ）与足球飞行的时间 （单位： ）之间具有二次函
数关系，其部分图象如图所示，则足球到达最高点所需的时间是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
先确定抛物线的对称轴方程，再根据抛物线的图象性质可得出结论．
解：根据函数的图象可得抛物线的对称轴方程为： ，
∵函数的开口向下，
∴在 时，足球到达最高点，
即足球到达最高点所需的时间是
故答案为：
11．（2025·山西·三模）如图，硬叶柳是杨柳科柳属直立灌木，在海拔 到 的高山环境下，
其叶片长度 与海拔 满足关系式： ．若 ，则硬叶柳生长的
海拔 为 ．【答案】
【分析】本题考查了二次函数的应用，将 代入解析式，求得 ，即可求解．
解：依题意，当 时，
解得： （负值舍去），
故答案为： ．
12．（2025·广西来宾·模拟预测）投壶是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，顾名思义，投壶就是
由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分的游戏，其中箭头的运动轨
迹可以看作一条抛物线，如图是小西在投壶时，箭头行进高度 与水平距离 之间的函数关
系图象，投出时箭头距地面的高度 为 ，当箭头行进的水平距离为1m时，箭头行进至最高点
处，已知BC是壶的最左侧（厚度忽略不计，可看作垂直于 轴的线段），且 ，若小西
投壶恰好投中，则 的长为 m．
【答案】0.3
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键，根据顶点坐
标设抛物线为顶点式，再将点A的坐标代入可得关系式，将 代入关系式得出答案即可．
解：由题意可知点A的坐标为 ，抛物线顶点坐标为 ．
设y与x之间的函数表达式为 ，将点 代入，得 ，
解得 ，
∴y与x之间的函数表达式为 ，
当 时， ，
即 的长为 ，
故答案为：0.3．
三、解答题
13．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，小区工人用长为 的围栏将一块荒地改造成矩形种
植园，种植园的一面靠墙（墙的最大可用长度为 ），且为了方便出入，在 段用其他材料做
了一扇宽为 的门．
（1）若种植园的面积为40 ，求此时围栏 段的长为多少米？
（2）当 为多少米时，种植园面积最大，并求出这个最大面积．
【答案】（1）5米；（2）
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，
对于（1），解：设 ，则 ，根据面积相等列出方程 ，
求出解，再根据题意可得符合题意的解；
对于（2），设 ，则 ，可得二次函数，再求出a的取值范围，然后讨论
二次函数的最大值即可.
解：（1）解：设 ，则 ，根据题意，得
，
整理，得 ，
解得 .当 时， ，不符合题意，舍去；
当 时， ，符合题意.
所以围栏 段的长为5米；
（2）解：设 ，则 ，种植园的面积为S，
根据题意，得 ，且 ，
即 .
∵ ，可知抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当 时， （ ）.
所以当 时，种植园的最大面积是， .
14．（2025·河南驻马店·二模）【问题情境】如图是喷水管 从点A向四周喷出水花的喷泉截面示
意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点O为原点，水平方向为x轴， 所在直线为y轴，
建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为
，喷水管 的高度为 ．
【问题解决】
（1）求a的值；
（2）现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管 要降低的
高度．
【答案】（1） ；（2） 米
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确二次函数平移的特点，利用二次函数的性
质解答．
（1）将 代入 ，求出相应的a的值即可；（2）先设喷水管 要降低的高度，然后将 代入 ，再求出相应的降低的
高度即可；
解：（1）解：由题意得： ；
∵将 代入 中可得， ，
解得 ，
∴a的值为 ．
（2）解：设喷水管 要降低的高度为 ，则降低高度后的右侧抛物线的解析式为
，
将 代入 ，可得 ，
解得 ；
答：喷水管 要降低的高度为 米；
15．（2025·黑龙江大庆·二模）某公司根据往年市场行情得知，某种商品从5月1日起的300天内，
该商品每件市场售价y（元）与上市时间t（天）的关系用图1的折线表示；每件商品的成本Q
（元）与时间t（天）的关系用图2的一部分抛物线表示．
（1）每件商品在第50天出售时的利润是______元；
（2）求图1表示的商品售价y（元）与时间t（天）之间的函数关系式；
（3）若该公司从销售第1天至第200天预计每天可以售出此种商品2000件，请你计算第1天至第
200天该公司哪一天利润最高，最高是多少元？【答案】（1）100；（2） ；（3）从开始销售的第50天出售此种商品
可获得最大利润20万元
【分析】本题主要考查的是二次函数的应用．
（1）当 时，设y与 的函数关系式为 ，图中已知点坐标代入求得y与 的关系式，
然后将 求得y的值，然后依据利润 售价 成本求解即可；
（2）当 时，设y与 的函数关系式为 ．图中已知点坐标代入求得y与 的关
系式，然后结合（1）中的关系式可得到y与 的关系式；
（3）抛物线的顶点坐标为 ，设商品的成本 与时间 的关系式为 ，然
后可求得 的解析式，然后由 得到 与 的函数关系式，最后，依据二次函数的性质求解
即可．
解：（1）解：当 时，设 与 的函数关系式为 ．
由题意得： ，
解得： ， ，
，
当 时， ，
．
故答案为：100；
（2）解：由（1）知，当 时，
当 时，设 与 的函数关系式为 ．由题意得： ，
解得 ， ，
与 的关系式为 ．
综上所述， 与 之间的函数关系式为 ；
（3）解：设商品的成本 与时间 的关系式为 ．
将 代入得： ，
，
，
当 时， 取最大值为100，
元．
答：从5月1日开始的第50天出售此种商品可获得最大利润20万元．
16．（2025·山西朔州·模拟预测）综合与实践
问题情境：“道路千万条，安全第一条”．如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停
止，这段距离称为刹车距离．某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进
汽车研发中心考察．
数据采集：汽车研发中心刚好设计了一款新型小汽车，通过模拟该款汽车在高速公路上以某一速度
行驶，对它的刹车性能进行了测试，于是数学小组收集、整理数据，并绘制如图2的函数图象．
发现：开始刹车后行驶的距离 （单位： ）与刹车后行驶的时间 （单位： ）之间成二次函数关
系．
问题解决：
（1）①求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②汽车司机踩下刹车后，多长时
间汽车完全停下？
（2）若有一测速仪在汽车前 处，当汽车刹车过程中，经过多长时间汽车超过测速仪且与测速
仪相距 ；
（3）若汽车司机发现正前方 处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由
【答案】（1）① ；②汽车司机踩下刹车后， 时汽车完全停下；（2）当汽车刹车过
程中，经过 汽车超过测速仪且与测速仪相距 ；（3）会，理由见分析
【分析】本题考查二次函数的实际应用，涉及待定系数法确定函数表达式、二次函数图象与性质、
解一元二次方程等知识，读懂题意，灵活运用二次函数图象与性质求解是解决问题的关键．
（1）①利用待定系数法列方程组求解即可得到答案；②由①中得到的二次函数表达式，由二次函
数图象与性质即可得到答案；
（2）由题意得到 ，结合（1）中求得的二次函数表达式，令 ，解一元二次方程即可得
到答案；
（3）由（1）中得到的汽车在 时刹车距离达到最大值 ，才能完全停下，比较提总距离即可
得到答案．
解：（1）解：①设二次函数的解析式为 ，
代入 ， 得
解得 ，
二次函数的解析式为 ；
② ，
，
抛物线开口向下， 有最大值，为 ，
故汽车在 时刹车距离达到最大值，完全停下．答：汽车司机踩下刹车后， 时汽车完全停下；
（2）解：当汽车超过测速仪，且与测速仪相距 时，
即汽车开始刹车后行驶的距离 ，
当 时， ，
即 ，
解得 ， （不符合题意，舍去），
答：当汽车刹车过程中，经过 汽车超过测速仪且与测速仪相距 ；
（3）解：会，
理由如下：
由（1）可知，当 时， 有最大值75，
即汽车刹车过程中最多行驶 ，
，
该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车．
2. 能力提升（16题）
一、单选题
1．（24-25九年级上·河北唐山·期末）一个矩形周长为 ，不能围成的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，矩形的性质，设矩形的宽为 ，则长为 ，设
面积为 ，根据矩形的面积公式求出 ，然后根据二次函数的性质求解即可．
解：设矩形的宽为 ，则长为 ，设面积为 ，
根据题意，得
，
∵ ，
∴抛物线开口方向向下，∴当 时，y有最大值为256，
即矩形的面积最大值为 ，
观察四个选项，只有选项D符合题意，
故选：D．
2．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 时，水面宽 ．若
水面下降 ，则水面宽度增加了（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系，则可确定顶点坐标为
， ，再把解析式设为顶点式，进而求出二次函数解析式，再通过把 代入抛物线
解析式得出水面宽度，即可得出答案．
解：如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过 ，纵轴y经过 中点O且经过C点，则
通过画图可得知O为原点，
由题意得：抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点， 和 为 的一半，即 ，抛物线顶
点C坐标为 ，
∴点B的坐标为 ，∴这个抛物线的解析式为 ，
把点B坐标代入到抛物线解析式得： ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ，
当水面下降 ，
当 时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把 代入抛物线解析式得出： ，
解得：
∴水面宽度增加到 ，
∴比原先的宽度当然是增加了 ，
故选：B．
3．（2025·甘肃庆阳·三模）如图1，动点P从正方形 的点A出发，沿边 匀速运动，
同时点Q从点D出发，沿着边 匀速运动，点P的速度是点Q速度的2倍，当P，Q有一点停止
运动时，另一点也随之停止运动，连接 ，设点Q的运动路程为x， 的面积为y，y与
x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查动点问题的函数图象，关键是根据图2确定 点的坐标与正方形的边之间的关
系．根据图2确定 点的横坐标为 的长度，纵坐标为 的面积，即可解答．
解：根据题意， ，当 点在 上时， ，
∵正方形 中， ，
∴ 的面积为 ；
当 点在 上时， 的面积为 ；
∵ 是定值，
∴当 点在 上时， 的面积为 与 的关系符合二次函数关系，当 点在 上时，
的面积为 与 的关系符合一次函数关系，
由图2可得，当 点与点 重合时， 的面积为 ，即 ，
解得 （负值舍去），
∴ ，
∴当 点在 上时， 的面积为 ；
∴当 点与点 重合时，
此时， 点与点 重合时，即 ，
∴ 的面积为 ，
∴ ，
故选：A．
4．（2025·天津西青·二模）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：
如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品
的进价为每件40元，有下列结论：
若该商品每件降价x元，则预测每星期可卖出 件；
①
若该商品每件售价为61元，则预测售卖该商品每星期可得利润6090元；
②综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，当每件售价65元时，售卖该商品每星期获利
③最大．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意，得到利润的相等关系是解决本题的关键，求得涨价
后的最大利润以及降价后的最大利润后，经过比较才能得到最大利润，找准各个量之间的关系是正
确解答此题的关键．根据某商品现在的售价为60元，每星期可卖出300件；每降价1元，每星期可多卖出20件，可判
断①；根据总利润 单件利润 销量可判断②；分别列出涨价与降价时对应的式子求出最大值作比
较即可判断③．
解：①售价为每件60元，每星期可卖出300件，每降价1元，每星期可多卖出20件，若该商品每
件降价x元，则预测每星期可卖出 件；故①正确；
②若该商品每件售价为61元，则预测售卖该商品每星期可得利润 元；故
②正确；
③设每件降价 元，每星期售出商品的利润为 ，
则 ．
，
时，售价为57.5元时利润最大，最大利润 元，
设每件涨价 元，涨价后的利润为 元．
，
在涨价的情况下，每星期售出商品的最大利润是6250元，
，
综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价65元时利润最大，故③正确．
正确结论的个数是3个，
故选∶D．
5．（24-25九年级下·江西抚州·阶段练习）若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：
）与小球运动的时间t（单位： ）之间的函数关系如图所示，有以下结论：
①小球在空中经过的路程是40 ；
② 与 之间的函数关系式为 ；
③小球运动的时间为6 ；④当小球的高度 时， ．以上结论中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌
握知识点，读懂函数图象是解题的关键．
根据函数的图象中的信息判断即可．
解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；
故①错误；
②设函数解析式为： ，
把 代入得 ，
解得 ，
函数解析式为 ，
故②错误；
③令 ， ，
解得： 或6，
小球的运动时间为 ，
故③正确；
④把 代入解析式得， ，
解得： 或 ，
小球的高度 时，t为 秒或 秒，
故④错误；
综上，正确的只有一个，
故选A．
二、填空题
6．（2025·四川绵阳·二模）如图，某农场拟建造由甲．乙两个矩形组成的羊圈，饲养室的一面靠
长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲、乙两部分．已知提前准备的建筑材料可以建造 长的栅栏，则该羊圈最大面积可以建造
【答案】48
【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．
设宽为x米，则长为 米，先求出 的取值范围，再根据面积公式建立函数关系式，即可求
解最值．
解：设宽为x米，则长为 米，
则 ，
解得：
由题意得： ，
∵ ，
∴当 时， 取得最大值 ，
即该羊圈最大面积可以建造 ，
故答案为：48．
7．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，一古桥的桥洞可近似看成抛物线型，其解析式为
，现要对这座古桥进行加固，须临时安装一些垂直于地面的支撑杆，要求相邻支撑杆
之间的距离为 ，但最边缘的支撑杆到桥洞底部的的距离可以不大于 ，即图中 ，
，则最多可安装支撑杆 条．
【答案】14
【分析】本题考查二次函数的应用，关键是利用数形结合的思想解答．
令 ，求出 的值，然后结合实际情况得出结论．
解：令 ，则 ，解得 或 ，
∴ ，
∵相邻支撑杆之间的距离为 ， ， ，
∴在 轴右侧 ，共7条，
同理在 轴左侧最多安装7条，
∴最多可安装支撑杆14条，
故答案为：14．
8．（24-25九年级上·北京·期中）某宾馆有若干间标准房，该宾馆规定每间标准房的价格不低于
180元，且不高于250元．经市场调查表明，每天入住的房间数 （单位：间）与每间标准房的价
格 （单位：元）之间满足函数关系式： ，则当该宾馆每间标准房的价格 元
时，标准房日营业额 （单位：元）最大，最大营业额为 元．
【答案】 180 14400
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
依据题意可得，标准房日营业额 ，从而可得当
时， 随 的增大而减小，又 ，进而可以判断得解．
解：由题意可得，标准房日营业额 ．
，
当 时， 随 的增大而减小．
又 ，
当 时， 最大，最大值为 ．
答：当该宾馆每间标准房的价格 元时，标准房日营业额 最大，最大营业额为14400元．
故答案为：180，14400．
9．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，抛物线 与 轴交于点 、 ，把
抛物线在 轴及其下方的部分记作 ，将 向左平移得到 ， 与 轴交于点 、 ，若直线与 、 共有3个不同的交点，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的应用．
依据题意，首先求出点A和点B的坐标，然后求出 解析式，分别求出直线 与抛物线
相切时k的值以及直线 过点B时k的值，结合图形即可得到答案
解：∵抛物线 与x轴交于点A、B，
∴ ， ．
又抛物线为 ，
∴抛物线向左平移4个单位长度
∴平移后解析式 ．
当直线 过B点，有2个交点
∴ ，
∴ ．
当直线 与抛物线 相切时，有2个交点
∴ ，
即 ．
∵相切，
∴
∴ ．如图，
∵若直线 与 、 共有3个不同的交点，
∴ ．
故答案为： ．
10．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化而变
化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边 ，音乐变化时，抛物线的
顶点在直线 上变动，从而产生一组不同的抛物线（图，这组抛物2）线的统一形式为
，若要求喷出的抛物线水线不能到岸边，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，根据题目给出的信息列出相应的
关系式，找出所求问题需要的条件．依据题意，抛物线的顶点在直线 上可得 的值，根据喷
出的抛物线水线不能到岸边，而出水口离岸边 可知其对称轴 ，可得 的范围．
解：由题意， 的顶点为 ，抛物线的顶点在直线 上，
．．
喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边 ，
，即： ．
．
故答案为： ．
三、解答题
11．（2025·江苏盐城·三模）我校为进一步激发学生劳动热情，在校园开辟了蔬菜种植基地“空翠
圃”：种植基地一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为 米），另三面用长为 米的篱笆，围
成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学
们进入．
（1）若围成的菜地面积为 平方米（中间篱笆忽略不计），求此时边 的长；
（2）若每平方米可收获 千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？
【答案】（1）菜地的面积能达到 时 的长为 ；（2）该片菜地最多可收获 千克的
菜．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握方程的应用和二次函数最值
的应用是解题的关键．
（1）设 ，则 ，依题意列方程计算即可．
（2）设菜地的面积为 ，依题意构造二次函数计算即可．
解：（1）设 ，则 ，依题意，得：
，
即 ，
解得： ， ，
当 时， （不合题意，舍去），当 时， ．
答：菜地的面积能达到 时 的长为 ．
（2）设菜地的面积为 ，依题意，得：
，
∴当 时，y有最大值为 ．
即菜地的最大面积是 ．
∴ （千克），
答：该片菜地最多可收获 千克的菜．
12．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）某城市计划在滨河步道 上方搭建一座抛物线型观景台．如图，
步道 的宽为 ，观景台拱顶最高处点 距离地面为 ．为保障结构稳定性，需在桥拱下方
安置两个支撑柱进行支撑，为了美观，要求两个支撑柱关于桥拱对称轴对称，支撑柱
，在两个支撑柱上搭一个限高横杆 ．以步道 的中点为原点 ， 所在直线
为 轴，过点 垂直于 所在直线为 轴建立平面直角坐标系．
（1）求该观景台所在抛物线的函数表达式；
（2）为提升景观效果，现要在横杆 上方设置一个面积为 的矩形宣传牌 ，要求宣传
牌在观景台内部，一边落在 上，且长、宽均为整数，宣传牌关于观景台的对称轴对称．求符合
要求的宣传牌尺寸，并说明理由．
【答案】（1） ；（2）长为10m，宽为2m；见分析
【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和性质是解题的关键．
（1）设抛物线的解析式为 ，用待定系数法求解即可；
（2）先求出两个支撑柱之间的距离 ．进一步求得 的长可以为1或2．则有下列2
种初步的设计方案：① ；② ；然后分别验证即可．
解：（1）解：由题意，得拱顶最高处点 的坐标为 ， ，∴点B的坐标为 ，
设抛物线的解析式为 ，
把 ， 代入，得
，解得： ，
∴该观景台所在抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：令 ，即 ．
解得 ．
两个支撑柱之间的距离 ．
矩形宣传牌 的面积为 ，宣传牌在观景台内部，一边落在 上，且长、宽均为整数，
宣传牌关于观景台的对称轴对称，
的长可以为1或2．
有下列2种初步的设计方案：
① ；② ：
．
方案①不合题意．
，此时点 到步道的距离为6．
当 时， ．
此时宣传牌左上方顶点 的坐标是 ．符合题意．
综上所述，矩形宣传牌的长为 ，宽为 ．
13．（2025·新疆·模拟预测）现有一个小果园种植甲、乙两种果树，种植 棵甲果树（ 为正整
数），每年所获得的利润 （元）与 之间的函数关系式为 ，且当 时，
；种植 棵乙果树（ 为正整数），已知乙果树每年成本由人工成本、物资成本和其他成本三部分组成，人工成本与 的平方成正比，物资成本与 成正比，其他成本不变为80元．若乙果
树每棵每年可收入800元，种植乙果树每年所获得的利润为 （元），经过统计获得如下数据：
（棵） 10 40
（元） 4920 7920
（1）求出 关于 ， 关于 的函数关系式；
（2）若这个小果园计划种植甲果树的数量是乙果树数量的一半，求当种植多少棵甲果树时，两种
果树所获得的年总利润最大？最大是多少？
【答案】（1） ， ；（2）当种植17棵或18甲果树时，
两种果树所获得的年总利润最大，最大利润是14548元
【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握利润=总收入 总支出的关系式和待定系数法是解题的
关键．
（1）利用待定系数法和二次函数的性质解答即可；利用利润=总收入-总支出得到
，再利用待定系数法解答即可；
（2）设每年的总利润为W元，则 ，利用题意得到W与x的函数关系式，利用二次函数
的性质解答即可．
解：（1）解：∵当 时， 元，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
由题意得： ，
由表格可得：当 时， ，当 时， ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
（2）解：设每年的总利润为W元，则 ，
由题意： ，
∴
，
∵ ，
∴当 时，W有最大值，但x为正整数，抛物线的对称轴为直线 ，
∴当 或18时，W有最大值，W的最大值为14548元，
∴当种植17棵或18甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大，最大利润是14548元．
14．（2025·湖北武汉·模拟预测）贝贝和馨宝做弹球游戏，如图1，贝贝向斜坡抛一个乒乓球，乒
乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路
线的拋物线形状相同．馨宝在地面竖立一块高度为 的木板 ，然后以斜坡底端 为坐标原点，
地面水平线为 轴，收单位长度为 ，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，
经测量发现，抛球点 的坐标为 ，第一次弹起的运行路线最高点坐标为 ，第二
次弹起的最大高度为 ．
（1）求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式；
（2）当乒乓球第二次弹起高度为 时，求乒乓球到 轴的距离；
（3）馨宝需将水板立在距斜坡底端 多远的范围内，才能使球第二次下落过程中碰到木板，直接
写出OC的取值范围________________．【答案】（1） ；（2） 或 ；（3）
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求出乒乓球第一次、第二次弹起运行路线的抛
物线的解析式．
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）先求出B的坐标，然后根据待定系数法求出第二次运行路线的解析式，然后把 代入求
解即可；
（3）把 和 代入第二次运行的抛物线解析式，解方程求出 的值，即可求解．
解：（1）解：设抛物线解析式为 ，
把 代入，得 ，
解得 ，
∴乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式为 ；
（2）解：当 时， ，
解得 ， ，
∴ ，
∵第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的拋物线形状相同，第二次弹起的最大高度为 ．
∴设第二次弹起的运行路线的抛物线为 ，
把 代入，得 ，
解得 ， （不符合题意，舍去），∴ ，
把 代入，得 ，
解得 ， ，
∴乒乓球到 轴的距离为 或 ；
（3）解：把 代入 ，得 ，
解得 ， （舍去）
把 代入 ，得 ，
解得 ， （舍去），
∴ 的取值范围为： ，
故答案为： ．
15．（2024·山西·模拟预测）项目学习实践
项目主题：合理设置智慧洒水车喷头
项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化．
如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒
水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问
题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习．
任务一：测量建模
利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象
为两条抛物线的部分图象，喷水口 离地面竖直高度 为 米．上边缘抛物线最高点 离喷水口
的水平距离为 米，高出喷水口 米；
（1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式；
任务二：推理分析
小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，
即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
（2）请你结合模型探究下边缘抛物线与 轴交点 的坐标；
任务三：实践探究
如果我们把绿化带横截面抽象为矩形 ，其水平宽度 米，竖直高度 米，洒水车到绿化带的距离 为 米．
（3）当调整与绿化带距离为 米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？
请说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
理由见分析
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，求二次函数的解析式，二次函数的图象性
质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合 为上边缘抛物线的顶点，设 ，再把 代入计算，即可作答．
（2）结合二次函数的对称性得出点 的对称点为 ，把 代入 ，
求出 ，因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，所以点B的坐标为 ；
（3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为 ，代入 得
，即可作答．
解：（1）由题意得： 为上边缘抛物线的顶点，
设 ，
又∵抛物线过点 ，
，
解得： ，
∴上边缘抛物线的函数解析式为 ．（2）∵对称轴为直线 ，
∴点 的对称点为 ，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，
当 时，
解得 ， （舍去），
∴
∴点B的坐标为 ；
（3）∵矩形 ，其水平宽度 米，竖直高度 米， 米，
则 （米）
∴点F的坐标为 ，
当 时， ，
当 时，y随x的增大而减小，
∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带．
16．（2025·广东深圳·模拟预测）【项目式学习】
【项目主题】绿波畅行，高效出行
【项目背景】绿波带是通过科学设置交通信号灯配时与车辆行驶速度，使车辆连续通过多个绿灯的
交通优化方案．如图1，某城市计划在两个相距500米的直线型路口实施绿波带，绿波控制系统设
定：车辆在第一个路口绿灯亮起后出发，第二个绿灯在10秒后亮起，绿灯时间为30秒，为保证安
全，该路段限速 （即 ）．为确保车辆能连续通过第二个路口的绿灯（车身长忽略不
计），某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动．
任务一查阅资料
经过查阅相关资料，可知汽车在匀加（减）速直线运动过程中，行驶的速度 与行驶时间 满足一次函数关系： ，其中 为初始速度， 为加速度，当汽车加速行驶时 的值为正数，当汽
车减速行驶时 的值为负数；行驶的路程 与行驶时间 满足二次函数关系： ．
如图2，假设当车辆从第一个绿灯亮起时出发，先进行匀加速直线运动，4秒时间加速到速度为
后，进行匀速直线运动，为确保经过路口的安全性，在接近第二个红绿灯时进行匀减速直线
运动，2秒时间减速到速度为 时恰好到达第二个路口．
任务二数学计算
（1）当 时，汽车在加速行驶过程中的加速度为___________ ，在减速行驶过程中的加速
度为___________ ；
（2）判断当 时，汽车是否能够连续通过第二个绿灯？
任务三方案设计
（3）求出汽车在加速行驶与减速行驶过程中，行驶的路程 与行驶时间 分别满足的二次函数关系
式（用含 的式子表示，不用写自变量的取值范围），并直接写出要连续通过第二个绿灯，则 的
取值范围为___________．
【答案】（1） ， ；（2）汽车可以连续通过第二个绿灯；（3）
【分析】本题主要考查了函数关系式、二次函数的实际应用等问题，熟练掌握相关知识是解题的关
键．
（1）由题意结合图2很容易得解；
（2）分别在加速阶段和减速阶段计算s，进而得到时间，分析求解即可；（3）由题易知在加速阶段 ，进而代入即可得解，在减速阶段 ，进而代入求解．
解：（1）当 时， ，
∴汽车在加速行驶过程中的加速度为 ；
由题可知在减速行驶过程中的加速度为 ；
故答案为： ， ；
（2）∵匀速行驶的最大时间为 秒，
由 ，
∴汽车可以连续通过第二个绿灯；
（3）在加速阶段， ，则 ，
∴ ，
在减速阶段， ，则 ，
∴ ，
在加速阶段，当 时， ，
在减速阶段，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
3. 直通中考（16题）
一、单选题
1．（2024·广西·中考真题）某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形，一条水流的高度（单位： ）与水流运动时间 （单位： ）之间的函数解析式为 ，那么水流从喷出至
回落到地面所需要的时间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由于水流从抛出至回落到地面时高度 为0，把 代入 即可求出 ，也就求
出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间．
解：水流从抛出至回落到地面时高度 为0，
把 代入 得： ，
解得： （舍去）， ．
故水流从抛出至回落到地面所需要的时间 ．
故选：A．
【点拨】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是正确理解题意，利用函数解决问题，
结合实际判断所得出的解．
2．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置 ，
喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，
水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是 ，则水流喷出的
最大高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意、将抛物线转化为顶点式是解题关键；
将抛物线化为顶点式即可解决问题.
解：∵ ，
∴当 时， ；
故选：B.3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰 中， ， ，动点
E，F同时从点A出发，分别沿射线 和射线 的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止
运动时，点F也随之停止运动，连接 ，以 为边向下做正方形 ，设点E运动的路程为
，正方形 和等腰 重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函
数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数
图象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当 与 重合时，及当
时图象的走势，和当 时图象的走势即可得到答案．
解：当 与 重合时，设 ，由题可得：
∴ ， ，
在 中，由勾股定理可得： ，
∴ ，
∴ ，∴当 时， ，
∵ ，
∴图象为开口向上的抛物线的一部分，
当 在 下方时，设 ，由题可得：
∴ ， ，
∵ ， ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，
∵ ，
∴图象为开口向下的抛物线的一部分，
综上所述：A正确，
故选：A．
4．（2025·四川眉山·中考真题）如图1，在 中， ，点D在 上， ，动
点P在 的边上沿 方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，
以 为边作正方形 ．设点P的运动时间为t秒，正方形 的面积为S．当点P由点B运
动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻 ， ， 对应的正方形
的面积均相等．下列4个结论：①当 时， ；②点P在线段 上时 ；③；④ ．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】先由函数图象可得当点P运动到B点时， ，由此求出 ，当 时，点
P的运动路程为1，即此时点P在 上，求出 ，再利用勾股定理求出 ，最后根据正
方形面积公式求出S，据此可判断①；当点P在 上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐
标为 ，可设S关于t的函数解析式为 ，利用待定系数法求出 ，据
此可判断②；求出当 时，t的值，可得 的长，再利用勾股定理求出 的长，
据此可判断③；可求出P在 上时， ；函数 可以看作是由函数
向右平移四个单位得到的，设 是函数 上的两点，则
， 是函数 上的两点，由此可得 ，则 ，根
据题意可以看作 ，则 ，据此可判断④．
解：由图2可知当点P运动到B点时， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，∴ 或 （舍去）；
∵动点P在 的边上沿 方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，
∴当 时，点P的运动路程为1，即此时点P在 上，
∴此时 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴当 时， ，故①正确；
当点P在 上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为 ，
∴可设S关于t的函数解析式为 ，
把 代入 中得： ，
解得 ，
∴S关于t的函数解析式为 ，故②错误
在 中，当 时，解得 或 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，故③错误；
∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在 匀速运动，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
点P在 上运动时 ，
函数 可以看作是由函数 向右平移四个单位得到的，
设 是函数 上的两点，则 ， 是函数上的两点，
∴ ，
∴ ，
∵存在3个时刻 （ ）对应的正方形 的面积均相等．
∴可以看作 ，
∴ ，故④正确；
综上所述，正确的有2个，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正
确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．
二、填空题
5．（2020·湖北襄阳·中考真题）汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t的函数关系是 ，
汽车从刹车到停下来所用时间是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用．由题意可知当汽车停下来时，s最大，故将
写成顶点式，据此求解即可．
解：∵ ，
∴当 秒时，s取得最大值，即汽车停下来，
故答案为： ．
6．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线 运行，
其中 是铅球离初始位置的水平距离， 是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度 为
，则铅球掷出的水平距离 为 ．【答案】
【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与 轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法
和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得 ，代入 ，得出
抛物线的解析式为 ，令 ，求解即可，
解：由题意， ，
得 ，
将 代入 ，
得： ，
解得： ，
∴ ，
令 ，得 ，
解得： ， ，
∴ 为 ，
故答案为： ．
7．（2024·甘肃·中考真题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，
如图2是棚顶的竖直高度y（单位： ）与距离停车棚支柱 的水平距离x（单位： ）近似满足
函数关系 的图象，点 在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避
雨，货车截面看作长 ，高 的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填
“能”或“不能”）．【答案】能
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当 时，y的值，若此时y的值大
于 ，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可．
解：∵ ， ，
∴ ，
在 中，当 时， ，
∵ ，
∴可判定货车能完全停到车棚内，
故答案为：能．
8．（2022·山东聊城·中考真题）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程
中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当 时，其图象是线段
AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润=总销售额-总成
本）．
【答案】121
【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函
数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．
解：当 时，设 ，把（10，20），（20，10）代入可得：
，解得 ，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为 ，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
，
∵ 1<0，
∴当 时，w有最大值为121，
故答案为：121．
【点拨】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及
二次函数的性质是解题关键．
9．（2024·山东泰安·中考真题）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成
一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．
【答案】450
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键．
设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为 米，又墙长为40米，从而可得
，故 ，又菜园的面积 ，进而
结合二次函数的性质即可解答．
解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为 米，
又墙长为40米，
∴ ．
∴ ．
菜园的面积 ，
∴当 时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最
大面积是450平方米．故答案为：450．
10．（2023·山东滨州·中考真题）如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水
管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 处达到最高，高度为
3米，水柱落地处离池中心3米，水管长 米．
【答案】 / /2.25
【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意建立平面直角坐标系，设二次函数顶点式，求出
二次函数解析式，再求出抛物线与y轴交点坐标即可．
解：如图，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为 ，
将 代入，得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为： ，
令 ，得 ，
故答案为： ．
三、解答题
11．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知
墙长42m，篱笆长 ．设垂直于墙的边 长为 米，平行于墙的边 为 米，围成的矩形面积
为 ．（1）求 与 与 的关系式．
（2）围成的矩形花圃面积能否为 ，若能，求出 的值．
（3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时 的值．
【答案】（1） ； ；（2）能， ；（3） 的最大值为
800，此时
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用：
（1）根据 可求出 与 之间的关系，根据墙的长度可确定 的范围；根据面积
公式可确立二次函数关系式；
（2）令 ，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ；
（3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可．
解：（1）解：∵篱笆长 ，
∴ ，
∵
∴
∴
∵墙长42m，
∴ ，
解得， ，
∴ ；
又矩形面积
；
（2）解：令 ，则 ，整理得： ，
此时， ，
所以，一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴围成的矩形花圃面积能为 ；
∴
∴
∵ ，
∴ ；
（3）解：
∵
∴ 有最大值，
又 ，
∴当 时， 取得最大值，此时 ，
即当 时， 的最大值为800
12．（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公
路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物
线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车
在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，
高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
【答案】（1） ；（2）能安全通过，见分析
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．（1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入 即可求解 ，继而得到函数解析式；
（2）先求出点 坐标，然后求出点 距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与
比较即可．
解：（1）解：由题意得，顶点为 ，即 ，
设抛物线的解析式为：
代入点 得 ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：能安全通过，理由如下：
如图，
由题意得： ，
将 代入 ，
则 ，
∵ ，
∴能安全通过．
13．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点O和点
．（1）求c的值，并用含a的式子表示b；
（2）过点 作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线 于点N．
①若 ， ，求 的长；
②已知在点P从点O运动到点 的过程中， 的长随 的长的增大而增大，求a的取值
范围．
【答案】（1）0， ；（2）①4；② 且
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次
函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．
（1）分别将 ， 代入抛物线解析式，即可获得答案；
（2）①结合题意，分别确定点 的坐标，即可获得答案；②首先确定 ，再分
和 两种情况分析求解即可．
解：（1）解：将点 代入，抛物线 ，
可得 ，
∴该抛物线解析式为 ，
将点 代入，抛物线 ，
可得 ，解得 ；
（2）①若 ，则该抛物线及直线解析分别为 ， ，
当 时，可有点 ，
如下图，∵ 轴，
∴ ，
将 代入 ，可得 ，即 ，
将 代入 ，可得 ，即 ，
∴ ；
②当点P从点O运动到点 的过程中，
∵ 轴， ，
∴ ，
将 代入 ，可得 ，即 ，
将 代入 ，可得 ，即 ，
∴ ，
令 ，即 ，解得 或 ，
若 ，可有 ，即点 在 轴右侧，如下图，当 时，可有 ，其图像开口向下，对称轴为 ，
若 的长随 的长的增大而增大，即 的长随 的增大而增大，
则 ，解得 ，
当 时，可有 ，其图像开口向上，对称轴为 ，不符合题意；
若 ，可有 ，即点 在 轴左侧，如下图，
当 时，可有 ，其图像开口向上，对称轴为 ，
若 的长随 的长的增大而增大，即 的长随 的减小而增大，
则 ，解得 ，
∴ ．
综上所述，a的取值范围为 且 ．
14．（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．
石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打
水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离 之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点
，运动路径近似为抛物线 ，且 ，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于
点 ，运动路径近似为抛物线 ，且 ．（小星所在地面、水面在同一平面内，
且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计）
（1）如图②，当 时，若点 坐标为 ，求抛物线 的表达式；
（2）在（1）的条件下，若 ，在水面上有一个截面宽 ，高 的矩形 的障
碍物，点 的坐标为 ，判断此时石块沿抛物线 运动时是否能越过障碍物？请说明理由；（3）小星在抛掷石块时，若 的顶点需在一个正方形 区域内（包括边界），且点 在
和 之间（包括这两点），其中 ，求 的取值范围．（在抛掷过
程中正方形与拋物线 在同一平面内）
【答案】（1） ；（2）不能，理由见分析；（3）
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先得到 ，然后求出 ，然后将 代入求
解判断即可；
（3）首先求出 ，然后由 越小开口越大， 越大开口越小，点 在 和 之间（包
括这两点）得到当抛物线顶点为点M，且经过点 时，开口最大，此时a最大，当抛物线顶点
为点P，且经过点 时，开口最小，此时a最小，然后分别利用待定系数法求解即可．
解：（1）∵当 时，
∵点 坐标为
∴
∴
∴抛物线 的表达式为 ；
（2）不能，理由如下：
∵ ，点 坐标为∴
∴
∵点 的坐标为 ，
∴
∴将 代入
∴此时石块沿抛物线 运动时不能越过障碍物；
（3）∵正方形 ，
∴
∴如图所示，
∵抛物线开口向下
∴
∵ 越小开口越大， 越大开口越小，点 在 和 之间（包括这两点）
∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点 时，开口最大，此时a最大
∴设 的表达式为
将 代入得，
解得 ；∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点 时，开口最小，此时a最小
∴设 的表达式为
将 代入得，
解得 ；
∴ 的取值范围为 ．
【点拨】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质等知识，数形
结合是解题的关键．
15．（2024·新疆·中考真题）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之
间时，销售额 （万元）与销售量x（吨）的函数解析式为 ；成本 （万元）与销售量x
（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中 是其顶点．
（1）求出成本 关于销售量x的函数解析式；
（2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？
（3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额 成本）
【答案】（1） ；（2）销售产品所获利润是 万元；（3）当销售量 吨时，
获得最大利润，最大利润为： 万元；
【分析】（1）设抛物线为： ，再利用待定系数法求解即可；（2）先求解当 时，成本的最小值为 ，再计算销售额，从而可得答案；
（3）设销售利润为 万元，可得 ，再利用二次函数的性质解题即可；
解：（1）解：∵成本 （万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其
中 是其顶点．
∴设抛物线为： ，
把 代入可得： ，
解得： ，
∴抛物线为 ；
（2）解：∵ ，
∴当 时，成本最小值为 ，
∴ ，
∴销售产品所获利润是 （万元）；
（3）解：设销售利润为 万元，
∴
，
当 时，获得最大利润，
最大利润为： （万元）；
【点拨】本题考查的是二次函数的实际应用，一次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法的含义，熟练的建立二次函数的关系式是解本题的关键．
16．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了
中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300
个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
（1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
（2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念
品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
（3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售
量将减少5个．设每个A款纪念品售价 元，W表示该商家销售A款纪念品的利润
（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
【答案】（1）A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
（2）至少需要购进B款纪念品200个；（3） ，W的最大值为
4500
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实
际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键．
（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款
200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组
求解即可；
（2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品 个，根据购买资金不超过
12000元建立不等式求解即可；
（3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为 元，销售量为 个，据此列出
W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可．
解：（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，
由题意得， ，
解得 ，答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
（2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品 个，
由题意得， ，
解得 ，
∴m的最小值为200，
答：至少需要购进B款纪念品200个；
（3）解：由题意得，
，
∵ ，
∴当 ，即 时，W最大，最大值为4500．
