文档内容
第 02 讲
二次函数y=ax2
的图象与性质
课程标准 学习目标
y=ax2
y=ax2 1. 掌握 型二次函数的图象与性质，能够熟练解决有关
① 的图象与性质
题目。
y=ax2
② 的平移与一般形式的 y=ax2 y=ax2 +bx+c
2. 掌握二次函数 与 的平移，并能够通
平移
过平移规律解决相关题目。
知识点01
y=ax2
的图象
1. 二次函数的图象：
二次函数的图象是一条 ，有 ， ， 。函数图象关于对
称轴对称。
y=ax2
2. 二次函数 的图象
（1）画函数图象的步骤：
①列表：列出 与 的表格。②描点：在平面直角坐标系中找到相应的点的 。
③连线：用一条圆滑的曲线把所有点连接起来。
1 1
y=2x2 、y=−2x2 、y= x2 、y=− x2
2 2
（2）画二次函数 的函数图象。
列表：
描点与连线：在同一个坐标轴画出函数图象（自行画图）
知识点02
y=ax2
的性质
y=ax2
1. 二次函数 的性质：
由函数的图象可知二次函数的有关性质：
y=ax2 (a≠0) a＞0 a＜0
大致图象开口方向
a的绝对值越大，开口越
开口大小
a的绝对值越小，开口越
顶点坐标
对称轴
离对称轴越远的函数值越 离对称轴越远的函数值越
离对称轴越近的函数值越 离对称轴越近的函数值越
对称轴右边y随x的增大而 。 对称轴右边y随x的增大而 。
增减性
对称轴左边y随x的增大而 。 对称轴左边y随x的增大而 。
函数值有最 值 函数值有最 值
最值
这个值是 。 这个值是 。
【即学即练1】
1．把图中图象的号码，填在它的函数式后面：
（1）y＝3x2的图象是 ；
（2）y＝ x2的图象是 ；
（3）y＝﹣x2的图象是 ；
（4）y＝ x2的图象是 （填序号①，②等）．
【即学即练2】
2．抛物线y＝x2与y＝﹣x2的图象的关系是（ ）
A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同
B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同
C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同
D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同
【即学即练3】
3．已知二次函数y＝﹣ x2，下列说法正确的是（ ）
A．该抛物线的开口向上
B．顶点坐标是（0，0）
C．对称轴是直线x＝﹣
D．当x＜0时，y随x的增大而减小知识点03
y=ax2
与
y=ax2 +bx+c
的平移
y=ax2
1. 二次函数 的平移：
函数的平移分左右平移与上下平移，左右平移在 上进行加减，左 右 。上
下平移在 上进行加减，上 下 。
y=ax2
① 向左平移m个单位之后得到的函数解析式为 。
y=ax2
② 向右平移m个单位之后得到的函数解析式为 。
y=ax2
③ 向上平移m个单位之后得到的函数解析式为 。
y=ax2
④ 向下平移m个单位之后得到的函数解析式为 。
y=ax2
⑤ 向左右平移m个单位后在向上下平移n个单位得到的函数解析式为 。
y=ax2 +bx+c
2. 二次函数 的平移：
y=ax2 +bx+c
① 向左右平移m个单位后在向上下平移n个单位得到的函数解析式为：
。
【即学即练1】
4．平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解
析式是（ ）
A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2
C．y＝﹣（x﹣1）2+2 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣2
【即学即练2】
5．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x﹣3向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线
顶点坐标是 ．
题型01
y=ax2
的性质
【典例1】对于函数y＝6x2，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而减小
B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．y随x的增大而减小
D．y随x的增大而增大
【变式1】抛物线y＝4x2与y＝﹣2x2的图象，开口较大的是（ ）
A．y＝﹣2x2 B．y＝4x2 C．同样大 D．无法确定【变式2】抛物线y＝﹣x2的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
【变式3】对于函数y＝x2，下列判断中，正确的是（ ）
A．若m、n互为相反数，则x＝m与x＝n对应的函数值相等
B．对于同一自变量x，有两个函数值与之对应
C．对于任意一个实数y，有两个x值与之对应
D．对于任何实数x，都有y＞0
【变式4】若抛物线 的开口向下，则m的值为（ ）
A． B． C．3 D．﹣3
题型02
y=ax2
的图象问题
【典例1】在同一坐标系中画出y ＝2x2，y ＝﹣2x2，y ＝ x2的图象，正确的是（ ）
1 2 3
A． B．
C． D．
【变式1】在图中，函数y＝﹣ax2与y＝ax+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【变式3】如图所示，函数y＝ax2（a≠0）和y＝﹣ax+b（a≠0）在同一坐标系中的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4】如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝
dx2．则a、b、c、d的大小关系为 ．
题型03
y=ax2
函数图象上的点的特征
【典例1】若函数y＝3x2的图象经过点P（1，n），则n的值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【变式1】若点（0，y ），（1，y ），（2，y ）都在二次函数y＝x2的图象上，则（ ）
1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
3 2 1 2 1 3 1 3 2 3 1 2
【变式2】已知抛物线y＝ax2（a＞0）过A（2，y ）、B（﹣1，y ）两点，则下列关系式一定正确的是（
1 2
）
A．y ＞0＞y B．y ＞0＞y C．y ＞y ＞0 D．y ＞y ＞0
1 2 2 1 1 2 2 1
【变式3】若A（﹣2，y ），B（﹣1，y ），C（﹣3，y ）为二次函数y＝ax2（a＜0）的图象上的三点，
1 2 3则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 3 2
【变式4】已知﹣1＜a＜0，点（a﹣2，y ），（a，y ），（a+2，y ）都在函数y＝x2的图象上，则y ，
1 2 3 1
y ，y 的大小关系是（ ）
2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 3 1 3 2 1 3 1 2
【变式5】若（x ，y ），（x ，y ）是抛物线y＝ax2（a＞0）图象上两个不同的点，则（|x |﹣|x |）（y ﹣
1 1 2 2 1 2 1
y ）为（ ）
2
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
题型04
y=ax2
与
y=ax2 +bx+c
的平移
【典例1】将抛物线y＝3x2向右平移两个单位，所得抛物线是（ ）
A．y＝3（x+2）2 B．y＝3（x﹣2）2 C．y＝3x2﹣2 D．y＝3x2+2
【变式1】将抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为（
）
A．y＝（x+2）2+3 B．y＝（x+2）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣2）2﹣3
【变式2】将抛物线y＝ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点（3，﹣
1），那么移动后的抛物线的关系式为 ．
【变式3】将抛物线y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．（0，6） D．（1，﹣3）
【变式4】将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（
）
A．y＝（x+1）2﹣13 B．y＝（x﹣5）2﹣5
C．y＝（x﹣5）2﹣13 D．y＝（x+1）2﹣5
1．抛物线y＝﹣x2不具有的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．与y轴不相交 D．最高点是原点
2．抛物线y＝x2，y＝﹣x2的共同性质①都是开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列函数中，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大的有（ ）
①y＝x②y＝﹣2x+1③y＝﹣6x2④y＝3x2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（ ）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）
5．已知 是关于x的二次函数，且有最大值，则k＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
6．如图，当ab＞0时，函数y＝ax2与函数y＝bx+a的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知抛物线与二次函数y＝﹣3x2的图象相同，开口方向相同，且顶点坐标为（﹣1，3），它对应的函
数表达式为（ ）
A．y＝﹣3（x﹣1）2+3 B．y＝3（x﹣1）2+3
C．y＝3（x+1）2+3 D．y＝﹣3（x+1）2+3
8．抛物线y＝x2+1的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知点A（﹣2，y ），B（1，y ），C（3，y ）在二次函数y＝﹣2x2图象上，则y ，y ，y 的大小关系
1 2 3 1 2 3
是（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 3 2 1 2 3 2 1 3 3 1 210．已知点（x ，y ）、（x ，y ）是函数y＝（m﹣3）x2的图象上的两点，且当0＜x ＜x 时，有y ＞y ，
1 1 2 2 1 2 1 2
则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3
11．写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式 ．
12．若二次函数y＝ax2的图象经过点（2，﹣1），则a的值为 ．
13．把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式
为 ．
14．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝﹣x2的最小值是 ，最大值是 ．
15．抛物线y＝2x2与直线y＝3x+b的一个交点坐标是（3，m），则另一个交点坐标是 ．
16．函数y＝ax2（a≠0）与直线y＝x﹣3交于点（1，b）
（1）求a，b的值；
（2）x取何值时，二次函数中的y随x的增大而增大？
17．已知抛物线y＝ax2经过点（1，3）．
（1）求a的值；
（2）当x＝3时，求y的值；
（3）说出此二次函数的三条性质．
18．如图，已知直线l过A（4，0）、B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内相交于点
P．若△AOP的面积为 ，求a的值．19．函数y＝（m+2） 是关于x的二次函数，求：
（1）满足条件的m值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小．
20．已知函数y＝x2与y＝2x+3的交点为A，B（A在B的右边）．
（1）求点A、点B的坐标．
（2）求△AOB的面积．
