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专题12.1 全等三角形九大基本模型 专项讲练
全等在初中数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，该份资料就全等三角形
中平移型全等、轴对称（翻折）型全等、旋转型全等、三垂直型全等、一线三等角型全等、手拉手型全等、
半角模型、倍长中线模型、截长补短模型等经典模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型一：平移模型
【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，
图②是常见的平移型全等三角线.
【常见模型】
例1．（2022•襄城区期末）如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，∠A＝∠D，AB∥DE，老师说：再
添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加AB＝DE；乙说：添
加AC∥DF；丙说：添加BE＝CF．（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是 ；
（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明．
式1. （2021•富顺县校级月考）如图1，A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求
证：△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成
立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．模型二：轴对称模型
【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对
称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.
【常见模型】
例2．（2022·河南南阳市·八年级期末）如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于
点O，（1）求证：Rt ABC≌Rt DEF；（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．
△ △
变式2.（2022·湖南常德·八年级阶段练习）如图，AB=AD，BC=DC，点E在AC上．
(1)求证：AC平分∠BAD；(2)求证：BE=DE．
模型三：旋转模型
【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋
转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件.
【常见模型】例3．（2022·浙江衢州·八年级期末）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的
底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在
“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连结BD，CE，则 ABD≌△ACE．
(1)请证明图1的结论成立；(2)如图2， ABC和 AED是等边三角形，连接BD△，EC交于点O，求∠BOC
的度数；(3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝△∠BDC＝△60°，试探究∠A与∠C的数量关系．
变式3.（2022·贵州安顺·八年级期末）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在边AB、AC
上，AD＝AE，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．
(1)观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，判断△PMN的形状，并说
明理由；(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，求△PMN面积的最大值．
模型四：一线三等角模型【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.
【常见模型】
例4．（2022•覃塘区期中）已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作△ABC，使AB＝
AC，连接BD，CE．（1）如图①，若∠BAC＝90°，BD⊥m，CE⊥m，求证：△ABD≌△ACE；
（2）如图②，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由．
变式4.（2022•香坊区八年级期末）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，
且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．（1）如图1，求证：BD＝CE；（2）如图2，若DE平分∠ADC，在不添
加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．
模型五：三垂直全等模型【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直。
【常见模型】
例5．（2022·江西·八年级期末）已知： ， ， ， ．
（1）试猜想线段 与 的位置关系，并证明你的结论．
（2）若将 沿 方向平移至图2情形，其余条件不变，结论 还成立吗？请说明理由．
（3）若将 沿 方向平移至图3情形，其余条件不变，结论 还成立吗？请说明理由．
变式5. （2021·广东省龙岭初级中学初二期中）如图，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，
且DC=EC．（1）∠D和∠ECB相等吗？若相等，请说明理由；（2）△ADC≌△BCE吗？若全等，请说
明理由；（3）能否找到与AB+AD相等的线段，并说明理由。模型六： 手拉手模型
【模型分析】
将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫
旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
【模型图示】
公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记
为“右手”。对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得 。
【常见模型】
（等
腰）
（等
边）
（等腰直
角）
例6．（2021·甘肃庆阳市·八年级期末）在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是
由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资
料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下操究：（1）如图1、两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE、
如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似
大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是 ，此线BD
和CE的数量关系是
（2）如图2、两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接
BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由：
（3）如图3，已知△ABC、请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE
（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和
CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数、
变式6. （2022·新疆八年级期中）如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，直线
AN，MC交于点E,直线BM、CN交于F点．（1）求证：AN=BM；（2）求证：△CEF为等边三角形；
（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转900，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第
（1）（2）两小题的结论是否仍然成立，不要求证明．模型七： 半角全等模型
【模型分析】过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为
半角模型。
【常见模型】
常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一
边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线
段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.
例7．（2022·绵阳市·八年级专题练习）在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，
P为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上
移动时，BM，NC，MN之间的数量关系．
(1)如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN．
(2)如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？
答： ．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．
(3)如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．变式7. （2022·南昌市心远中学八年级期中）在图1、图2，图3中．点E、F分别是四边形 边
上的点；下面请你根据相应的条件解决问题．
特例探索：（1）在图1中，四边形 为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），
，延长 至G，使 ．则 __________．
在图2中， ， ， ， ， ， ；则
______．
归纳证明：（2）在图3中， ， ．且 ，请你观察（1）中的结
果，猜想图3中线段 之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
实际应用:（3）图4是某公路筑建工程平面示意图，指挥中心设在O处，A处、B处分别是甲、乙两公路起
点，它们分别在指挥中心的北偏东 和南偏东 的方向上．且A、B两处分别与指挥中心O的距离相等：其中甲公路是从A处开始沿正东方向筑建，乙公路是从B处开始沿北偏东40方向筑建：甲、乙两公
路的路基筑建速度分别是每天150米、180米，当两公路同时开工后的第五天收工时，分别筑建到C、D处，
经测量 ．试求C与D两处之间的距离．
模型八：截长补短模型
【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长：指在长线段中截取一段等于已知线
段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词
句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。
【模型图示】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD
方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
例：如图，求证BE+DC=AD
方法：①延长DC至点M处，使CM=BE，证DM=AD；②延长DC至点M处，使DM=AD，证CM=BE
例8．（2021·广西玉林市·八年级期末）在 中， ，点D、E分别在 、 上，连
接 、 和 ；并且有 ， ．（1）求 的度数；（2）求证：
．变式8.（2022·四川南充·八年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形 中，对角线 平
分 ， ．求证： ．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在 上截取 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长 到点 ，使得 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．（2）问题解决：如图2，在（1）的条
件下，连接 ，当 时，探究线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由；
模型九：倍长中线模型
【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添
加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角
形的有关知识来解决问题的方法．
【常见模型】
例9．（2021·河南新乡学院附属中学八年级月考）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的
中线，AD的取值范围是（ ）A．1＜AD＜6 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．2＜AD＜4
变式9.（2021·湖北八年级期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．
（1）如图1， 是 的中线， 求 的取值范围．我们可以延长 到点 ，使
，连接 ，易证 ，所以 ．接下来，在 中利用三角形的三边关系
可求得 的取值范围，从而得到中线 的取值范围是 ；
（2）如图2， 是 的中线，点 在边 上， 交 于点 且 ，求证： ；
（3）如图3，在四边形 中， ，点 是 的中点，连接 ， 且 ，试猜想线段
之间满足的数量关系，并予以证明．
课后训练：
1．（2022·陕西西安·七年级期末）如图，AC与BD交于点O，连接AB、AD、BC，∠D＝∠C．
(1)要使 ，只需添加一个条件是______．
(2)根据（1）中你所添加的条件，你能说明 ABD与 BAC全等吗？
△ △
2．（2022·山东青岛·七年级期末）已知： ．
(1)求证： ；(2)若 ，求 的度数．3．（2022·四川成都·七年级期末）在Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，如图1所示，BC边在直线l上，
若Rt ABC绕点C沿顺时针方向旋转α，△过点A、B分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．
△
(1)当0＜α＜90°时，证明： ACD≌△CBE，并探究线段AD、BE和DE的数量关系并说明理由；
(2)当90°＜α＜180°，且α≠1△35°时，探究线段AD、BE和DE的数量关系（直接写出结果）．
4．（2021·陕西榆林·八年级期末）如图，在 中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，P，Q两点分别在
AC上和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且始终有PQ＝AB，问P点运动到AC上什么位置（包括端
点）时 才能和 全等，并说明理由．5．（2022·陕西榆林·七年级期末）如图， 于点 ，点 在直线 上，
．
(1)如图1，若点 在线段 上，判断 与 的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)如图2，若点 在线段 的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由．
6．（2022·辽宁·阜新实验中学七年级期末）问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且
∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明 ABE≌△ADG，再证明
AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明）△
△探索延伸：(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，
且∠EAF= ∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数
量关系．
7．（2022·涿州市实验中学八年级期中）在 中， 于点D，点E为AD上一点，连接CE，
CE＝AB，ED＝BD．（1）求证： ；（2）若 ，则 的度数为 ．
8．（2021·广西百色市·八年级期末）如图，已知点 是 的中点， ∥ ，且 ．
（1）求证：△ACD≌△CBE．（2）若 ，求∠B的度数．
9.（2021春•雁塔区校级期中）如图①点A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，作CE⊥AD，BF⊥AD，
且AE＝DF．（1）证明：EF平分线段BC；（2）若△BFD沿AD方向平移得到图②时，其他条件不变，
（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．10.(2021·江苏徐州市·八年级期末）已知：如图，点C是线段AB的中点，CD=CE，∠ACD=∠BCE，求证：
（1）△ADC≌△BEC；（2）DA=EB．
11．（2022·福建厦门市·厦门双十中学八年级月考）已知：如图，C为线段BE上一点，AB//DC，
AB=EC，BC=CD． 求证：∠A=∠E ．
12.（2022•历下区期中）CD是经过∠BCA定点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且
∠BEC＝∠CFA＝∠ ．
（1）若直线CD经过β∠BCA内部，且E、F在射线CD上，
①若∠BCA＝90°，∠ ＝90°，例如图1，则BE CF，EF |BE﹣AF|．（填“＞”，“＜”，
“＝”）； β
②若0°＜∠BCA＜180°，且∠ +∠BCA＝180°，例如图2，①中的两个结论还成立吗？并说明理由；
（2）如图3，若直线CD经过β∠BCA外部，且∠ ＝∠BCA，请直接写出线段EF、BE、AF的数量关系
β（不需要证明）．
13.（2021·湖北鄂州市·八年级期末）将 的直角顶点 置于直线 上， ，分别过点 、
作直线 的垂线，垂足分别为点 、 ，连接 ．若 ， ．求 的面积．
14．（2021·河南商丘市·九年级期末）如图（1），已知 中， ， ； 是过
的一条直线，且 ， 在 的异侧， 于 ， 于 ．（1）求证： ；
（2）若直线 绕 点旋转到图（2）位置时（ ），其余条件不变，问 与 ， 的数
量关系如何？请给予证明．（3）若直线 绕 点旋转到图（3）位置时（ ），其余条件不变，
问 与 ， 的数量关系如何？请直接写出结果，不需证明；（4）根据以上的讨论，请用简洁的语
言表达直线 在不同位置时 与 ， 的位置关系．15．（2021·河南濮阳市·八年级期末）已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作 ，
使 ，连接BD，CE．（1）如图①，若 ， ， ，求证
；
（2）如图②，若 ，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理
由．
16．（2022·河南许昌市·九年级期中）问题发现：（1）如图1，已知 为线段 上一点，分别以线段
， 为直角边作等腰直角三角形， ， ， ，连接 ， ，线段
， 之间的数量关系为______；位置关系为_______．
拓展探究：（2）如图2，把 绕点 逆时针旋转，线段 ， 交于点 ，则 与 之间
的关系是否仍然成立？请说明理由．17.（2022·江西上饶市·南屏中学八年级月考）如图, AB=CB, BD=BE, ∠ABC=∠DBE=a.
（1）当a=60°, 如图①则，∠DPE的度数______________
（2）若△BDE绕点B旋转一定角度，如图②所示，求∠DPE（用a表示）
ABC ADE C E
18．（2022·辽宁丹东市·七年级期末）已知：如图1，在 和 中， ，
CAE DAB BC DE ABC≌ADE CE BD DE AD
， ．（1）证明 ．（2）如图2，连接 和 ， ，
BC M N DMB56 ACE CN EM
与 分别交于点 和 ， ，求 的度数．（3）在（2）的条件下，若 ，
直接写出CBA的度数．19．（2022·河南省鹤壁市湘江中学八年级月考）（1）作图发现：如图1，已知 ，小涵同学以 、
为边向 外作等边 和等边 ，连接 ， ．这时他发现 与 的数量关系是
．
（2）拓展探究：如图2，已知 ，小涵同学以 、 为边向外作正方形 和正方形 ，
连接 ， ，试判断 与 之间的数量关系，并说明理由．
20.（2022·河南新乡市·八年级期中）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，
∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：△ABE≌△CBF．（2）当∠MBN绕点B旋转
到AE≠CF时，如图2，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．（3）当∠MBN绕点
B旋转到图3这种情况下，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．21．（2021·江苏八年级期末）如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝
6．（1）求四边形AEDF的周长；（2）若∠BAC＝90°，求四边形AEDF的面积．
22．（2021·山东八年级期末）（1）方法呈现：
如图①：在 中，若 ， ，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使 ，再连接BE，可证 ，从而把
AB、AC， 集中在 中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，
这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：如图②，在 中，点D是BC的中点， 于点D，DE交AB于点E，DF交AC
于点F，连接EF，判断 与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中， ，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，
若AE是 的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．
