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第 02 讲 二次函数的图像与性质——顶点式
课程标准 学习目标
①二次函数 的图像与性质
1. 掌握 、 、
②二次函数 的图像与性质
的函数与性质。
③二次函数 的图像与性
2. 能够利用三种函数的图像与性质进行解题。
质
知识点01 的图像与性质
1. 的图像与性质：
由函数的平移可知，可将 向 左右 平移 个单位得到函数 。由
的图像与性质可得到函数 的图像与性质如下：（向左平移） （向右平移） （向左平移） （向右平移）
大致图像
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （ h ， 0 ） （ h ， 0 ）
对称轴
对称轴右边y随x的增大而 增大 对称轴右边y随x的增大而 减小
。 。
增减性
对称轴左边y随x的增大而 减小 对称轴左边y随x的增大而 增大
。 。
函数轴最 小 值 函数轴最 大 值
最值
这个值是 0 。 这个值是 0 。
题型考点：①二次函数 的图像与性质。
【即学即练1】
1．抛物线y＝（x+1）2的对称轴是（ ）
A．直线y＝﹣1 B．直线y＝1 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝1
【解答】解：抛物线y＝（x+1）2的对称轴是直线 x＝﹣1，
故选：C．
【即学即练2】
2．同一坐标系中，二次函数y＝（x﹣a）2与一次函数y＝a+ax的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．【解答】解：A、由一次函数y＝a+ax的图象可得：a＜0或a＞0，此时二次函数y＝（x﹣a）2的顶点
（a，0），a＜0，矛盾，故错误；
B、由一次函数y＝a+ax的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝（x﹣a）2的顶点（a，0），a＞0，矛盾，
故错误；
C、由一次函数y＝a+ax的图象可得：a＜0或a＞0，此时二次函数y＝（x﹣a）2的顶点（a，0），a＜
0，矛盾，故错误；
D、由一次函数y＝a+ax的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝（x﹣a）2的顶点（a，0），a＞0，故正
确；
故选：D．
【即学即练3】
3．对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣3
C．当x＞﹣4时，y随x的增大而减小
D．顶点坐标为（﹣2，﹣3）
【解答】解：由y＝﹣2（x+3）2得抛物线开口向下，
对称轴为直线x＝﹣3，顶点坐标为（﹣3，0），
x≤﹣3时y随x增大而增大，
x＞﹣3时y随x增大而减小．
故选：B．
知识点02 的图像与性质
1. 的图像与性质：
由函数的平移可知，可将 向 上下 平移 个单位得到函数 。由
的图像与性质可得到函数 的图像与性质如下：
（向下平移） （向上平移） （向下平移） （向上平移）
大致图像开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （ 0 ， k ） （ 0 ， k ）
对称轴 y 轴 y 轴
对称轴右边y随x的增大而 增大
。 对称轴右边y随x的增大而 减小 。
增减性
对称轴左边y随x的增大而 减小 对称轴左边y随x的增大而 增大 。
。
函数轴最 小 值 函数轴最 大 值
最值
这个值是 k 。 这个值是 k 。
题型考点：①二次函数 的图像与性质。
【即学即练1】
4．抛物线的解析式y＝﹣2x2﹣1，则顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（2，1） C．（0，﹣1） D．（0，1）
【解答】解：抛物线的解析式y＝﹣2x2﹣1，则顶点坐标是（0，﹣1），
故选：C．
【即学即练2】
5．若抛物线y＝2 +（m﹣5）的顶点在x轴下方，则m的值为（ ）
A．m＝5 B．m＝﹣1 C．m＝5或m＝﹣1 D．m＝﹣5
【解答】解：∵y＝2 +（m﹣5）的图象是抛物线，
∴m2﹣4m﹣3＝2，解得：m＝5或﹣1，
又∵抛物线的顶点坐标是（0，m﹣5），顶点在x轴下方，
∴m﹣5＜0，即m＜5，
∴m＝﹣1．
故选：B．
【即学即练3】
6．函数y＝ax2+b与y＝ax+b（ab≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不可能；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不可能；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不可能；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，抛物线与直线交y轴同一点，故本选项有
可能．
故选：D．
【即学即练4】
7．对于二次函数y＝﹣2x2+3的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣3
C．顶点坐标为（0，3）
D．x＞0时，y随x的增大而减小
【解答】解：∵二次函数y＝﹣2x2+3，
∴该函数的图象开口向下，故选项A正确；
对称轴是直线x＝0，故选项B错误；
顶点坐标为（0，3），故选项C正确；
当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项D正确；
故选：B．
知识点03 的图像与性质
1. 的图像与性质：
由函数的平移可知，可将 先向 左右 平移 个单位，再向 上下 平移
个单位得到函数 。由 的图像与性质可得到函数 的图像与性质
如下：
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （ h ， k ） （ h ， k ）
对称轴
增减性 对称轴右边y随x的增大 对称轴右边y随x的增大而 增大 。 而 减小 。
对称轴左边y随x的增大 对称轴左边y随x的增大
而 减小 。 而 增大 。
题 函数轴最 小 值 函数轴最 大 值 型考点：①二次
最值
函 这个值是 k 。 这个值是 k 。 数
的图像与性质。
【即学即练1】
8．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
【解答】解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故选：A．
【即学即练2】
9．关于y＝2（x﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为（﹣3，2）
B．对称轴为直线y＝3
C．当x≥3时，y随x增大而增大
D．当x≥3时，y随x增大而减小
【解答】解：顶点坐标为（3，2），故A选项错误；
对称轴为直线x＝3，故选项B错误；
因为二次项系数为2＞0，故函数图象开口向上对称轴为直线x＝3，
故当x≥3时，y随x增大而增大，故C选项正确；D选项错误，
故选：C．
【即学即练3】
10．关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣4）2+6，a＝2＞0，
∴该函数图象开口向上，有最小值，当x＝4取得最小值6，
故选：D．
【即学即练4】
11．二次函数y＝2（x+2）2﹣1的图象是（ ）A． B．
C． D．
【解答】解：∵a＝2＞0，
∴抛物线开口方向向上；
∵二次函数解析式为y＝2（x+2）2﹣1，
∴顶点坐标为（﹣2，﹣1），对称轴x＝﹣2．
故选：C．
题型01 二次函数的性质
【典例1】
二次函数y＝2（x﹣1）2﹣5的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标为（ ）
A．开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点（﹣1，﹣5）
B．开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点（1，5）
C．开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点（1，﹣5）
D．开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点（1，﹣5）
【解答】解：∵a＝2＞0，
∴抛物线开口向上，
∵对称轴为直线x＝h，
∴对称轴为直线x＝1，
∵顶点坐标（h，k），
∴顶点坐标（1，﹣5），
故选：D．【典例2】
由二次函数y＝2（x﹣3）2+1可知（ ）
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为x＝﹣3
C．其最大值为1
D．当x＜3时，y随x的增大而减小
【解答】解：
∵y＝2（x﹣3）2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝3，顶点坐标为（3，1），
∴函数有最小值1，当x＜3时，y随x的增大而减小，
故选：D．
【典例3】
已知二次函数y＝﹣2（x+3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝3；③
其图象顶点坐标为（3，1）；④当x＞3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①∵﹣2＜0，∴图象的开口向下，故①正确；
②图象的对称轴为直线x＝﹣3，故本小题错误；
③其图象顶点坐标为（﹣3，1），故本小题错误；
④当x＜3时，y随x的增大而减小，正确；
综上所述，说法正确的有①④共2个．
故选：B．
题型02 函数图像
【典例1】
二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：在y＝（x+1）2﹣2中由a＝1＞0知抛物线的开口向上，故A错误；其对称轴为直线x＝﹣1，在y轴的左侧，故B错误；
由y＝（x+1）2﹣2＝x2+2x﹣1知抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），在y轴的负半轴，故D错误；
故选：C．
【典例2】
在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：二次函数y＝a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，
故选：D．
【典例3】
已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+c的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据二次函数开口向上则a＞0，根据﹣c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，
故一次函数y＝ax+c的大致图象经过一、二、三象限，
故选：A．
【典例4】
在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（ ）
A． B．C． D．
【解答】解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；
∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝﹣kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；
故选：A．
题型03 二次函数的最值
【典例1】
关于二次函数y＝﹣（x﹣4）2+3的最值，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值3 B．有最小值4 C．有最大值3 D．有最大值4
【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣4）2+3，a＝﹣1＜0，
∴该函数图象开口向下，有最大值，当x＝4取得最大值3，
故选：C．
【典例2】
已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大
值为﹣1，则h的值为（ ）
A．3或4 B．1或6 C．1或3 D．4或6
【解答】解：当h＜2时，则x＝2时，函数值y有最大值，
故﹣（2﹣h）2＝﹣1，
解得：h ＝1，h ＝3（舍去）；
1 2
当2≤h≤5时，y＝﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，则x＝5时，函数值y有最大值，
故﹣（5﹣h）2＝﹣1，
解得：h ＝4（舍去），h ＝6．
3 4
综上所述：h的值为1或6．
故选：B．【典例3】
已知二次函数y＝（x﹣a）2+1，当﹣1≤x≤2时，y的最小值为a+1，则a的值为（ ）
A．0或1 B．0或4 C．1或4 D．0或1或4
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣a）2+1，
∴当x＝a时，该函数取得最小值1，
∵当﹣1≤x≤2时，y的最小值为a+1，
∴当a＜﹣1时，x＝﹣1时取得最小值，此时（﹣1﹣a）2+1＝a+1，该方程无解；
当﹣1≤a≤2时，x＝a时取得最小值，此时1＝a+1，得a＝0；
当a＞2时，当x＝2时取得最小值，此时（2﹣a）2+1＝a+1，得a＝4；
故选：B．
【典例4】
已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当0≤x≤2a+1时，y有最大值4，则a的值为 ．
【解答】解：二次函数y＝（x+1）2﹣4，
∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤2a+1时，y有最大值4，
∴（2a+1+1）2﹣4＝4，
解得a＝ ﹣1，
故答案为： ﹣1．
1．二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（2，1） C．（3，﹣1） D．（3，1）
【解答】解：根据二次函数的顶点式方程y＝2（x﹣3）2+1知，该函数的顶点坐标是：（3，1）．
故选：D．
2．对于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列判断正确的是（ ）A．抛物线的开口向上
B．抛物线的顶点坐标是（﹣1，3）
C．对称轴为直线x＝1
D．当x＝3时，y＞0
【解答】解：A、∵﹣2＜0，∴抛物线的开口向下，本选项错误，
B、抛物线的顶点为（1，3），本选项错误，
C、抛物线的对称轴为：x＝1，本选项正确，
D、把x＝3代入y＝﹣2（x﹣1）2+3，解得：y＝﹣5＜0，本选项错误，
故选：C．
3．若二次函数y＝（x+2）2+m与y＝x2+nx+3的图象重合，则m，n的值为（ ）
A．m＝1，n＝4 B．m＝1，n＝﹣4 C．m＝﹣1，n＝﹣4 D．m＝﹣1，n＝4
【解答】解：∵y＝（x+2）2+m＝x2+4x+4+m，
∴n＝4，4+m＝3，
∴m＝﹣1，
故选：D．
4．函数 y＝ax﹣a 和 y＝ax2+2（a 为常数，且 a≠0），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是
（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵y＝ax2+2，
∴二次函数y＝ax2+2的图象的顶点为（0，2），故A、B不符合题意；
当y＝ax﹣a＝0时，x＝1，
∴一次函数y＝ax﹣a的图象过点（1，0），故D不符题意，C符合题意．
故选：C．
5．已知二次函数 y＝﹣（x﹣h）2（h为常数），当 2≤x≤5时，函数y的最大值为﹣1，则h的值为
（ ）
A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣h）2，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝h，顶点坐标为（h，0）
将x＝2，y＝﹣1代入y＝﹣（x﹣h）2得﹣1＝（2﹣h）2，
解得h＝3或h＝1，
当h＝3时，2＜3＜5，函数最大值为0，不符合题意，
当h＝1时，x＞1时，y随x增大而减小，x＝2时，函数取最大值，符合题意，当x＝5，y＝﹣1时，﹣1＝（5﹣h）2，
解得h＝6或h＝4，
当h＝4时，2＜4＜5，不符合题意，
当h＝6时，x＜6时，y随x增大而减小，x＝5时，函数取最大值，符合题意，
∴h＝1或6，
故选：D．
6．如果二次函数y＝（x﹣m）2+n的图象如图所示，那么一次函数y＝mx+n的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
【解答】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为（m，n），且在第四象限，
∴m＞0，n＜0，
则一次函数y＝mx+n经过第一、三、四象限．
故选：B．
7．已知二次函数y＝（x﹣2）2+2，当点（3，y ）、（2.5，y ）、（4，y ）在函数图象上时，则y 、y 、
1 2 3 1 2
y
3
的大小关系正确的是（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
3 1 2 2 1 3 3 2 1 1 2 3
【解答】解：由二次函数y＝（x﹣2）2+2知，该抛物线开口方向向上，且对称轴为直线x＝2．
由于点（3，y ）、（2.5，y ）、（4，y ）在函数图象上，且|2.5﹣2|＜|3﹣2|＜|4﹣2|，
1 2 3
所以y ＜y ＜y ．
2 1 3
故选：B．
8．设函数y ＝﹣（x﹣a ）2，y ＝﹣（x﹣a ）2．直线x＝1的图象与函数y ，y 的图象分别交于点A（﹣
1 1 2 2 1 2
1，c ），B（1，c ），得（ ）
1 2
A．若1＜a ＜a ，则c ＜c B．若a ＜1＜a ，则c ＜c
1 2 1 2 1 2 1 2
C．若a ＜a ＜1，则c ＜c D．若a ＜a ＜1，则c ＜c
1 2 1 2 1 2 2 1
【解答】解：∵直线x＝1的图象与函数y ，y 的图象分别交于点A（1，c ），B（1，c ），
1 2 1 2
A．若1＜a ＜a ，如图所示，
1 2
则c ＞c
1 2
B．若a ＜1＜a ，如图所示，
1 2则c ＞c
1 2
则c ＜c ，
1 2
故B选项不合题意，
C．若a ＜a ＜1，如图所示，
1 2
∴c ＜c ，故C选项正确，D选项不正确；
1 2
故选：C．
9．已知点A（2，5），B（4，5）是抛物线y＝4x2+bx+c上的两点，则这条抛物线的对称轴为直线
．
【解答】解：∵A（2，5），B（4，5）横坐标不同，纵坐标相同，
∴点A、B关于对称轴对称，
∴对称轴为直线x＝ ×（2+4）＝3．
10．抛物线y＝2（x﹣3）2+1的顶点坐标是 ．
【解答】解：由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为（3，1），
故答案为：（3，1）．
11．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤4的情况下，与其对应的函数y的最小值为5，则h的值为 ．
【解答】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤4，x＝1时，y取得最小值5，
可得：（1﹣h）2+1＝5，
解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；
②若1≤x≤4＜h，当x＝4时，y取得最小值5，
可得：（4﹣h）2+1＝5，
解得：h＝6或h＝2（舍）．
③当1＜h＜4时，y的最小值为1，不合题意，
综上，h的值为﹣1或6，
故答案为：﹣1或6．
12．点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，则m﹣n的最大值等于 ．
【解答】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣ ）2﹣ ，
∴当m＝ 时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣ ，
故答案为：﹣ ．
13．已知抛物线y＝（k﹣1）x2﹣2kx+3k，其中k为实数．
（1）若抛物线经过点（1，3），求k的值；
（2）若抛物线经过点（1，a），（3，b），试说明ab＞﹣3．
【解答】（1）解：将点（1，3）代入y＝（k﹣1）x2﹣2kx+3k中，
得：3＝k﹣1﹣2k+3k，
解得：k＝2；
（2）证明：∵抛物线经过点（1，a），（3，b），
∴a＝k﹣1﹣2k+3k＝2k﹣1，b＝9k﹣9﹣6k+3k＝6k﹣9，
∴ab
＝（2k﹣1）（6k﹣9）
＝12k2﹣24k+9
＝12（k﹣1）2﹣3，
∵12（k﹣1）2≥0，
∴12（k﹣1）2﹣3≥﹣3，
∵二次函数二次项系数不为0，即k﹣1≠0，即k≠1，∴12（k﹣1）2＞0，
∴12（k﹣1）2﹣3＞﹣3，
即ab＞﹣3．
14．定义新运算：对于任意实数a，b，都有a b＝a2+ab﹣2等式右边是通常的加法、减法及乘法、乘方
运算．
⊕
比如：2（1 3）＝2×（12+1×3﹣2）
＝2×（1+3﹣2）
⊕
＝2×2＝4
（1）求方程x 1＝0的解；
⊕
（2）验证点 是否在函数y＝x （﹣1）的图象上；
⊕
（3）用配方法求出函数 的对称轴和顶点坐标．
【解答】解：（1）由题意得x 1＝x2+x﹣2＝0，
解得x
1
＝1，x
2
＝﹣2．
⊕
（2）y＝x （﹣1）＝x2﹣x﹣2，
⊕
将x＝ 代入y＝x2﹣x﹣2得y＝﹣ ，
∴点 不在函数y＝x （﹣1）的图象上．
⊕
（3） ＝ （x2﹣4x﹣2）＝ （x2﹣4x+4）﹣3＝ （x﹣2）2﹣3，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣3）．
15．如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的对称轴右侧．
（1）写出C的对称轴和y的最大值；
（2）求a的值，并求出点P到对称轴的距离；
（3）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点 P及C的一段，分别记为P'，C'．平移该胶片，
使C'所在抛物线对应的函数恰为y＝﹣x2+4x﹣4．求点P'移动的最短路程．
【解答】解：（1）y＝4﹣（6﹣x）2＝﹣（x﹣6）2+4，
∴对称轴为直线x＝6，∵﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，有最大值，即y的最大值为4；
（2）把P（a，3）代入y＝4﹣（6﹣x）2中得：4﹣（6﹣a）2＝3，
解得：a＝5或a＝7，
∵点P（a，3）在C的对称轴右侧，
∴a＝7；
点P（7，3），对称轴为x＝6，所以点P到对称轴的距离为1；
（3）y＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣2）2，
∴y＝﹣（x﹣2）2，
是由y＝﹣（x﹣6）2+4向左平移4个单位，再向下平移4个单位得到，
平移距离为 ，
∴P'移动的最短路程为4 ．
