文档内容
第 02 讲
二次函数y=ax2
的图象与性质
课程标准 学习目标
y=ax2
y=ax2 1. 掌握 型二次函数的图象与性质，能够熟练解决有关
① 的图象与性质
题目。
y=ax2
② 的平移与一般形式的 y=ax2 y=ax2 +bx+c
2. 掌握二次函数 与 的平移，并能够通
平移
过平移规律解决相关题目。
知识点01
y=ax2
的图象
1. 二次函数的图象：
二次函数的图象是一条 抛物线 ，有 开口方向 ， 顶点 ， 对称轴 。函数图象关
于对称轴对称。
y=ax2
2. 二次函数 的图象
（1）画函数图象的步骤：
①列表：列出 自变量 与 相应函数值 的表格。②描点：在平面直角坐标系中找到相应的点的 位置 。
③连线：用一条圆滑的曲线把所有点连接起来。
1 1
y=2x2 、y=−2x2 、y= x2 、y=− x2
2 2
（2）画二次函数 的函数图象。
列表：
描点与连线：在同一个坐标轴画出函数图象（自行画图）
知识点02
y=ax2
的性质
y=ax2
1. 二次函数 的性质：
由函数的图象可知二次函数的有关性质：
y=ax2 (a≠0) a＞0 a＜0
大致图象开口方向 开口向上 开口向下
a的绝对值越大，开口越 小
开口大小
a的绝对值越小，开口越 大
顶点坐标 （ 0 ， 0 ）
y 轴 y 轴
对称轴 离对称轴越远的函数值越 大 离对称轴越远的函数值越 小
离对称轴越近的函数值越 小 离对称轴越近的函数值越 大
对称轴右边y随x的增大而 增大 对称轴右边y随x的增大而 减小
。 。
增减性
对称轴左边y随x的增大而 减小 对称轴左边y随x的增大而 增大
。 。
函数值有最 小 值 函数值有最 大 值
最值
这个值是 0 。 这个值是 0 。
【即学即练1】
1．把图中图象的号码，填在它的函数式后面：
（1）y＝3x2的图象是 ③ ；
（2）y＝ x2的图象是 ① ；
（3）y＝﹣x2的图象是 ④ ；
（4）y＝ x2的图象是 ② （填序号①，②等）．
【分析】先根据二次项系数的符号分类，（1）（2）图象开口向上；（3）（4）图象开口向下；再根
据|a|越大，开口越小的方法，进行判断．
【解答】解：（1）、（2）二次项系数都＞0，那么开口都应向上，但|3|＞| |，那么（1）应对应3，
（2）应对应1；
（3）、（4）的二次项系数都＜0，那么开口都应向下，但|﹣1|＞|﹣ |，那么（3）应对应4，（4）应
对应2．
依次填3，1，4，2．
【即学即练2】
2．抛物线y＝x2与y＝﹣x2的图象的关系是（ ）
A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同
B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同
C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同
D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同【分析】根据形如y＝ax2的二次函数的a的值互为相反数时，开口方向相反，顶点相同，对称轴相同
即可得到答案．
【解答】解：∵抛物线y＝x2与y＝﹣x2的二次项系数互为相反数，
∴其开口方向相反，顶点相同，对称轴相同，
故选：A．
【即学即练3】
3．已知二次函数y＝﹣ x2，下列说法正确的是（ ）
A．该抛物线的开口向上
B．顶点坐标是（0，0）
C．对称轴是直线x＝﹣
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【分析】由a的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可．
【解答】解：A、∵a＝﹣ ＜0，∴开口向下，故错误，不符合题意；
B、顶点坐标是（0，0），正确，符合题意；
C、对称轴为直线x＝0，故错误，不符合题意；
D、∵a＝﹣ ＜0，∴开口向下，当x＜0时，y随x的增大而增大，故错误，不符合题意，
故选：B．
知识点03
y=ax2
与
y=ax2 +bx+c
的平移
y=ax2
1. 二次函数 的平移：
函数的平移分左右平移与上下平移，左右平移在 自变量 上进行加减，左 加 右 减 。
上下平移在 函数解析式 上进行加减，上 加 下 减 。
y=ax2
y=a(x+m)
2
① 向左平移m个单位之后得到的函数解析式为 。
y=ax2
y=a(x−m)
2
② 向右平移m个单位之后得到的函数解析式为 。
y=ax2 y=ax2 +m
③ 向上平移m个单位之后得到的函数解析式为 。
y=ax2 y=ax2 −m
④ 向下平移m个单位之后得到的函数解析式为 。
y=ax2
y=a(x±m)
2
±n
⑤ 向左右平移m个单位后在向上下平移n个单位得到的函数解析式为 。
y=ax2 +bx+c
2. 二次函数 的平移：
y=ax2 +bx+c
① 向左右平移m个单位后在向上下平移n个单位得到的函数解析式为：2
y=a(x±m) +b(x±m)+c±n
。
【即学即练1】
4．平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解
析式是（ ）
A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2
C．y＝﹣（x﹣1）2+2 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣2
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝﹣x2先向右平移1个单位所得抛物线的解析式
为：y＝﹣（x﹣1）2．
由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝﹣（x﹣1）2向上平移2个单位所得抛物线的解析式为：y＝
﹣（x﹣1）2+2；
故选：C．
【即学即练2】
5．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x﹣3向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线
顶点坐标是 （﹣ 1 ，﹣ 1 ） ．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3向左平移2个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的解析式为y＝（x﹣
1+2）2﹣4+3＝（x+1）2﹣1，
∴得到的抛物线顶点坐标是（﹣1，﹣1）．
故答案为：（﹣1，﹣1）．
题型01
y=ax2
的性质
【典例1】对于函数y＝6x2，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而减小
B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．y随x的增大而减小
D．y随x的增大而增大
【分析】可根据抛物线的对称轴及开口方向，判断二次函数的增减性．
【解答】解：∵a＝6＞0，对称轴为x＝0；
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，
当x＜0时，y随x的增大而减小．故选：B．
【变式1】抛物线y＝4x2与y＝﹣2x2的图象，开口较大的是（ ）
A．y＝﹣2x2 B．y＝4x2 C．同样大 D．无法确定
【分析】根据|a|越大开口就越小，|a|越小开口就越大求解即可．
【解答】解：抛物线y＝4x2与y＝﹣2x2的图象中|4|＝4，|﹣2|＝2，
∵4＞2，
∴抛物线y＝4x2的开口小于y＝﹣2x2的开口，
故选：A．
【变式2】抛物线y＝﹣x2的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
【分析】利用a＜0抛物线的开口向下，再确定抛物线y＝﹣x2的顶点为原点，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：抛物线y＝﹣x2的开口向下，顶点坐标为（0，0），
所以抛物线一定经过第原点、第三、四象限．
故选：B．
【变式3】对于函数y＝x2，下列判断中，正确的是（ ）
A．若m、n互为相反数，则x＝m与x＝n对应的函数值相等
B．对于同一自变量x，有两个函数值与之对应
C．对于任意一个实数y，有两个x值与之对应
D．对于任何实数x，都有y＞0
【分析】根据二次函数的对称性，函数的定义，二次函数与不等式对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、∵函数y＝x2关于y轴对称，
∴若m、n互为相反数，则x＝m与x＝n对应的函数值相等正确，故本选项正确；
B、应为对于同一自变量x，有一个函数值与之对应，故本选项错误；
C、对于任意一个实数y，有两个x值与之对应错误，例如，x＝0时，y有唯一的值0对应，故本选项错
误；
D、x＝0时，y＝0，所以对于任何实数x，都有y＞0错误，故本选项错误．
故选：A．
【变式4】若抛物线 的开口向下，则m的值为（ ）
A． B． C．3 D．﹣3
【分析】根据二次函数开口向下，可得二次项的系数与0的关系，指数的次数是二，可得答案．
【解答】解： 的开口向下，
3+m＜0，m2﹣10＝2，
m＜﹣3，m＝ ，∴m＝﹣2 ，
故选：B．
题型02
y=ax2
的图象问题
【典例1】在同一坐标系中画出y ＝2x2，y ＝﹣2x2，y ＝ x2的图象，正确的是（ ）
1 2 3
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数开口大小和方向与a的关系，易分析得出答案．
【解答】解：当x＝1时，y 、y 、y 的图象上的对应点分别是（1，2），（1，﹣2），（1， ），
1 2 3
可知，其中有两点在第一象限，一点在第四象限，排除B、C；
在第一象限内，y 的对应点（1，2）在上，y 的对应点（1， ）在下，排除A．
1 3
故选：D．
【变式1】在图中，函数y＝﹣ax2与y＝ax+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据每一个选项中函数的图象，分别判断两个函数式a的符号是否相符，作出判断．
【解答】解：根据图象判断两函数式中，a的符号是否相符；
A、由函数y＝﹣ax2的图象知a＜0，由函数y＝ax+b的图象知a＞0，不相符；
B、由函数y＝﹣ax2的图象知a＞0，由函数y＝ax+b的图象知a＜0，不相符；C、由函数y＝﹣ax2的图象知a＞0，由函数y＝ax+b的图象知a＜0，不相符；
D、由函数y＝﹣ax2的图象知a＜0，由函数y＝ax+b的图象知a＜0，相符．
故选：D．
【变式2】二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），即可排除A、B，然后根
据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断．
【解答】解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除A、B；
当a＞0时，二次函数y＝ax2开口向上，一次函数y＝ax+a经过一、二、三象限，当a＜0时，二次函数
开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；
故选：D．
【变式3】如图所示，函数y＝ax2（a≠0）和y＝﹣ax+b（a≠0）在同一坐标系中的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的开口方向，一次函数经过的象限可得正确选项．
【解答】解：当a＞0时，二次函数的开口向上，一次函数中一次项的系数﹣a＜0，图象将经过二四象
限，排除A，
当a＜0时，二次函数的开口向下，一次函数中一次项的系数﹣a＞0，图象将经过一三象限，排除B、
C．
故选：D．【变式4】如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝
dx2．则a、b、c、d的大小关系为 a ＞ b ＞ d ＞ c ．
【分析】设x＝1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．
【解答】解：因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），
（1，c），
所以，a＞b＞d＞c．
题型03
y=ax2
函数图象上的点的特征
【典例1】若函数y＝3x2的图象经过点P（1，n），则n的值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【分析】依据题意，由函数y＝3x2的图象经过点P（1，n），从而可得n＝3×12＝3，进而可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵函数y＝3x2的图象经过点P（1，n），
∴n＝3×12＝3．
故选：A．
【变式1】若点（0，y ），（1，y ），（2，y ）都在二次函数y＝x2的图象上，则（ ）
1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
3 2 1 2 1 3 1 3 2 3 1 2
【分析】先求得抛物线开口方向和对称轴．再根据二次函数的增减性即可判断．
【解答】解：∵二次函数y＝x2，
∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为y轴．
∴当x≥0时，y随x的增大而增大，
∵0＜1＜2，
∴y ＜y ＜y ，
1 2 3
故选：A．
【变式2】已知抛物线y＝ax2（a＞0）过A（2，y ）、B（﹣1，y ）两点，则下列关系式一定正确的是（
1 2
）
A．y ＞0＞y B．y ＞0＞y C．y ＞y ＞0 D．y ＞y ＞0
1 2 2 1 1 2 2 1
【分析】依据抛物线的对称性可知：（﹣2，y ）在抛物线上，然后依据二次函数的性质解答即可．
1
【解答】解：∵抛物线y＝ax2（a＞0），
∴A（2，y ）关于y轴对称点的坐标为（﹣2，y ），
1 1∵a＞0，
∴x＜0时，y随x的增大而减小，
∵﹣2＜﹣1＜0，
∴y ＞y ＞0；
1 2
故选：C．
【变式3】若A（﹣2，y ），B（﹣1，y ），C（﹣3，y ）为二次函数y＝ax2（a＜0）的图象上的三点，
1 2 3
则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 3 2
【分析】由a＜0可得出：当x＜0时，y随x的增大而增大．再结合﹣3＜﹣2＜﹣1即可得出结论．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2中a＜0，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
∵﹣3＜﹣2＜﹣1，
∴y ＜y ＜y ．
3 1 2
故选：C．
【变式4】已知﹣1＜a＜0，点（a﹣2，y ），（a，y ），（a+2，y ）都在函数y＝x2的图象上，则y ，
1 2 3 1
y ，y 的大小关系是（ ）
2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 3 1 3 2 1 3 1 2
【分析】抛物线y＝x2的对称轴为y轴，即直线x＝0，图象开口向上，当﹣1＜a＜0时，a﹣2＜a＜0＜
a+2，在对称轴右边，y随x的增大而增大，由此可判断y ，y ，y 的大小关系．
1 2 3
【解答】解：∵当﹣1＜a＜0时，a﹣2＜a＜0＜a+2，
∴点（a﹣2，y ），（a，y ）在对称轴的左边，（a+2，y ）在对称轴的右边，
1 2 3
∴点（a﹣2，y ），（a，y ）关于对称轴对称点为（2﹣a，y ），（﹣a，y ），
1 2 1 2
而抛物线y＝x2的对称轴为直线x＝0，开口向上，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，
∵﹣a＜a+2＜2﹣a，
∴y ＞y ＞y ．
1 3 2
故选：B．
【变式5】若（x ，y ），（x ，y ）是抛物线y＝ax2（a＞0）图象上两个不同的点，则（|x |﹣|x |）（y ﹣
1 1 2 2 1 2 1
y ）为（ ）
2
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【分析】根据题意可得y ＝ax2 ，y ＝ ＝ ，代入原式可得（|x |﹣|x |）（y ﹣y ）＝a（|x |﹣|x |）
1 1 2 1 2 1 2 1 2
（x +x ）（x ﹣x ），再分类情况去绝对值进行分析即可得出答案．
1 2 1 2
【解答】解：∵（x ，y ），（x ，y ）是抛物线y＝ax2（a＞0）图象上两个不同的点，
1 1 2 2
∴y ＝ax2 ，y ＝ ＝ ，
1 1 2
∴（|x |﹣|x |）（y ﹣y ）＝a（|x |﹣|x |）（x +x ）（x ﹣x ），
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2当x ＞0，x ＞0时，
1 2
上式＝a（x ﹣x ）（x +x ）（x ﹣x ）
1 2 1 2 1 2
＝a（x +x ）（x ﹣x ）2，
1 2 1 2
∵a＞0，（x +x ）＞0，（x ﹣x ）2＞0，
1 2 1 2
∴原式＞0，
当x ＜0，x ＜0时，
1 2
上式＝a（x ﹣x ）（x +x ）（x ﹣x ）
2 1 1 2 1 2
＝a（x +x ）（x ﹣x ）2，
1 2 1 2
∵a＞0，（x +x ）＞0，（x ﹣x ）2＞0，
1 2 1 2
∴原式＞0，
当x ＞0，x ＜0时，
1 2
上式＝a（x +x ）（x +x ）（x ﹣x ）
1 2 1 2 1 2
＝a（x ﹣x ）（x +x ）2，
1 2 1 2
∵a＞0，（x ﹣x ）＞0，（x ﹣x ）2≥0，
1 2 1 2
∴原式≥0，
当x ＜0，x ＞0时，
1 2
上式＝a（﹣x ﹣x ）（x +x ）（x ﹣x ）
1 2 1 2 1 2
＝﹣a（x ﹣x ）（x +x ）2，
1 2 1 2
∵﹣a＜0，（x ﹣x ）＜0，（x +x ）2≥0，
1 2 1 2
∴原式≥0．
故选：D．
题型04
y=ax2
与
y=ax2 +bx+c
的平移
【典例1】将抛物线y＝3x2向右平移两个单位，所得抛物线是（ ）
A．y＝3（x+2）2 B．y＝3（x﹣2）2 C．y＝3x2﹣2 D．y＝3x2+2
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律．
【解答】解：y＝3x2向右平移两个单位，得y＝3（x﹣2）2．
故选：B．
【变式1】将抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为（
）
A．y＝（x+2）2+3 B．y＝（x+2）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣2）2﹣3
【分析】先确定抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得
对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向上平移3个
单位长度所得对应点的坐标为（﹣2，3），所以平移后的抛物线解析式为y＝（x+2）2+3．
故选：A．
【变式2】将抛物线y＝ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点（3，﹣
1），那么移动后的抛物线的关系式为 y ＝﹣ 4 （ x ﹣ 2 ） 2 + 3 ．
【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及所给的坐标可得新抛物线的解析式．
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的
顶点为（2，3）；可设新抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，把（3，﹣1）代入得a＝﹣4，∴y＝﹣4
（x﹣2）2+3．
【变式3】将抛物线y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．（0，6） D．（1，﹣3）
【分析】直接将原函数写成顶点式，再利用二次函数平移规律：左加右减，上加下减，进而得出平移后
解析式，再把各选项的点代入判断即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线解析式为：y＝x2，
当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2＝4，故（﹣2，2）不在此抛物线上，故A选项不合题意；
当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2＝1，故（﹣1，1）在此抛物线上，故B选项符合题意；
当x＝0时，y＝02＝0，故（0，6）不在此抛物线上，故C选项不合题意；
当x＝1时，y＝12＝1，故（1，﹣3）不在此抛物线上，故D选项不合题意；
故选：B．
【变式4】将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（
）
A．y＝（x+1）2﹣13 B．y＝（x﹣5）2﹣5
C．y＝（x﹣5）2﹣13 D．y＝（x+1）2﹣5
【分析】先把抛物线y＝x2﹣4x﹣4化为顶点式的形式，再由二次函数平移的法则即可得出结论．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，
∴将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为y＝（x﹣
2+3）2﹣8+3，即y＝（x+1）2﹣5．
故选：D．
1．抛物线y＝﹣x2不具有的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．与y轴不相交 D．最高点是原点【分析】抛物线 y＝﹣x2的二次项系数为﹣1，故抛物线开口向下，顶点坐标（0，0），最高点为原点，
对称轴为y轴，与y轴交于（0，0）．
【解答】解：∵抛物线 y＝﹣x2的二次项系数为﹣1，
∴抛物线开口向下，顶点坐标（0，0），A正确；
∴最高点为原点，对称轴为y轴，B、D正确；
与y轴交于（0，0），C错误．
故选：C．
2．抛物线y＝x2，y＝﹣x2的共同性质①都是开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴；
④都关于x轴对称．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用二次函数的性质，利用开口方向，对称轴，顶点坐标逐一探讨得出答案即可．
【解答】解：抛物线y＝x2的开口向上，y＝﹣x2的开口向下，①错误；
抛物线y＝x2，y＝﹣x2的顶点为（0，0），对称轴为y轴，②③正确；④错误；
故选：B．
3．下列函数中，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大的有（ ）
①y＝x②y＝﹣2x+1③y＝﹣6x2④y＝3x2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．
【解答】解：①y＝x，正比例函数，k＝1＞0，y随着x增大而增大，正确；
②y＝﹣2x+1，一次函数，k＝﹣2＜0，y随x的增大而减小，错误；
③y＝﹣6x2，a＝﹣6＜0，开口向下，对称轴为x＝0，故当x＜0时，图象在对称轴左侧，函数值y随x
的增大而增大，正确；
④y＝3x2，二次函数，a＝3＞0，开口向上，对称轴为x＝0，故当x＜0时，图象在对称轴左侧，y随着
x的增大而减小，错误．
故选：B．
4．若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（ ）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）
【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2的对称轴为y轴，
∴若图象经过点P（﹣2，4），
则该图象必经过点（2，4）．
故选：A．
5．已知 是关于x的二次函数，且有最大值，则k＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
【分析】根据二次函数的定义，可知二次项系数不等于0，且x的次数等于2，从而得出k的可能值，再根据二次函数有最大值，可知二次项系数为负值，据此可解．
【解答】解：由二次函数的定义可知，k﹣1≠0，且k2﹣2＝2
∴k≠1，k＝±2，故C错误；
∵有最大值
∴k﹣1＜0
∴k＜1
∴k＝﹣2．
故选：A．
6．如图，当ab＞0时，函数y＝ax2与函数y＝bx+a的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分a＞0和a＜0两种情况讨论即可确定正确的选项．
【解答】解：当a＞0时根据ab＞0得到b＞0，二次函数开口向上，一次函数交y轴的正半轴，且呈上
升趋势，没有符合题意的选项；
当a＜0时根据ab＞0得到b＜0，二次函数开口向上，一次函数交y轴的负半轴，且呈下降趋势，C选
项符合，D选项不符合，
故选：C．
7．已知抛物线与二次函数y＝﹣3x2的图象相同，开口方向相同，且顶点坐标为（﹣1，3），它对应的函
数表达式为（ ）
A．y＝﹣3（x﹣1）2+3 B．y＝3（x﹣1）2+3
C．y＝3（x+1）2+3 D．y＝﹣3（x+1）2+3
【分析】根据抛物线与二次函数y＝﹣3x2的图象相同，开口方向相同，可知抛物线解析式中的 a也是﹣
3，然后根据抛物线的顶点坐标为（﹣1，3），即可得到抛物线的顶点式，本题得以解决．
【解答】解：∵抛物线与二次函数y＝﹣3x2的图象相同，开口方向相同，且顶点坐标为（﹣1，3），
∴该抛物线的解析式为y＝﹣3（x+1）2+3，
故选：D．
8．抛物线y＝x2+1的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的图象的性质，开口方向，顶点坐标，对称轴，直接判断．
【解答】解：抛物线y＝x2+1的图象开口向上，且顶点坐标为（0，1）．故选C．
9．已知点A（﹣2，y ），B（1，y ），C（3，y ）在二次函数y＝﹣2x2图象上，则y ，y ，y 的大小关系
1 2 3 1 2 3
是（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 3 2 1 2 3 2 1 3 3 1 2
【分析】分别计算出自变量为﹣2、﹣1和3的函数值，然后比较函数值的大小．
【解答】解：∵点A（﹣2，y ），B（1，y ），C（3，y ）在二次函数y＝﹣2x2图象上，
1 2 3
∴y ＝﹣2×4＝﹣8；y ＝﹣2×1＝﹣2；y ＝﹣2×8＝﹣18，
1 2 3
∴y ＜y ＜y ．
3 1 2
故选：D．
10．已知点（x ，y ）、（x ，y ）是函数y＝（m﹣3）x2的图象上的两点，且当0＜x ＜x 时，有y ＞y ，
1 1 2 2 1 2 1 2
则m的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3
【分析】由当0＜x ＜x 时，有y ＞y ，可得出m﹣3＜0，解之即可得出m的取值范围．
1 2 1 2
【解答】解：∵当0＜x ＜x 时，有y ＞y ，
1 2 1 2
∴m﹣3＜0，
∴m＜3．
故选：D．
11．写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式 y ＝ x 2 + 2 ，答案不唯一． ．
【分析】对称轴是y轴，即直线x＝ ＝0，所以b＝0，只要抛物线的解析式中缺少一次项即可．
【解答】解：∵抛物线对称轴为y轴，即直线x＝0，只要解析式一般式缺少一次项即可，如y＝x2+2，
答案不唯一．
12．若二次函数y＝ax2的图象经过点（2，﹣1），则a的值为 ﹣ ．
【分析】将（2，﹣1）代入y＝ax2求解．
【解答】解：将（2，﹣1）代入y＝ax2得，﹣1＝4a，
解得a＝﹣ ，
故答案为：﹣ ．
13．把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式
为 y ＝ 2 （ x + 1 ） 2 ﹣ 2 ．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数 y＝2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线
的解析式为：y＝2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝2（x+1）2向下平移2个单位长
度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2﹣2，
故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．
14．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝﹣x2的最小值是 ﹣ 9 ，最大值是 0 ．
【分析】求出抛物线的对称轴，顶点坐标，根据函数的增减性即可解决问题．
【解答】解：∵y＝﹣x2，
∴对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）．
∵a＝﹣1＜0，开口向下，
∴函数有最大值，当x＝0时，函数的最大值为0．
∴当﹣1≤x≤3时，x＝3时，有最小值，最小值为﹣9，x＝0时，有最大值，最大值为0，
故答案为：﹣9，0．
15．抛物线y＝2x2与直线y＝3x+b的一个交点坐标是（3，m），则另一个交点坐标是 （﹣ ， ） ．
【分析】把交点坐标代入抛物线求出m的值，再代入直线求出b的值，然后联立两函数解析式解方程组
即可得解．
【解答】解：将（3，m）代入y＝2x2得，m＝2×32＝18，
所以，交点坐标为（3，18），
代入直线y＝3x+b得，3×3+b＝18，
解得b＝9，
所以，直线解析式为y＝3x+9，
联立 ，解得 ， ，
所以另一个交点坐标为（﹣ ， ）．
故答案为：（﹣ ， ）．16．函数y＝ax2（a≠0）与直线y＝x﹣3交于点（1，b）
（1）求a，b的值；
（2）x取何值时，二次函数中的y随x的增大而增大？
【分析】（1）把已知点代入直线解析式可求得b，再代入抛物线解析式可求得a的值；
（2）由二次函数的解析式，可求得其对称轴及开口方向，则可求得答案．
【解答】解：
（1）把（1，b）代入y＝x﹣3可得：b＝1﹣3＝﹣2，
∴点的坐标为（1，﹣2），
把（1，﹣2）代入y＝ax2可得﹣2＝a，即a＝﹣2，
∴a＝﹣2，b＝﹣2；
（2）由（1）可得y＝﹣2x2，
∴抛物线开口向下，且对称轴为y轴，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大．
17．已知抛物线y＝ax2经过点（1，3）．
（1）求a的值；
（2）当x＝3时，求y的值；
（3）说出此二次函数的三条性质．
【分析】（1）将已知点的坐标代入解析式即可求得a值；
（2）把x＝3代入求得的函数解析式即可求得y值；
（3）增减性、最值等方面写出有关性质即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2经过点（1，3），
∴a×1＝3
∴a＝3；
（2）把x＝3代入抛物线y＝3x2得：y＝3×32＝27；
（3）抛物线的开口向上；
坐标原点是抛物线的顶点；
当x＞0时，y随着x的增大而增大；
抛物线的图象有最低点，当x＝0时，y有最小值，是y＝0等．
18．如图，已知直线l过A（4，0）、B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内相交于点
P．若△AOP的面积为 ，求a的值．【分析】首先求得直线AB的解析式，然后根据面积求得P点的纵坐标，然后代入求得其横坐标，代入
二次函数即可求解．
【解答】解：设点P（x，y），直线AB的解析式为y＝kx+b，
将A（4，0）、B（0，4）分别代入y＝kx+b，
得k＝﹣1，b＝4，
故y＝﹣x+4，
∵△AOP的面积为 ＝ ×4×y
∴y＝
再把y＝ 代入y＝﹣x+4，得x＝ ，
所以P（ ， ）
把P（ ， ）代入到y＝ax2中得：a＝ ．
19．函数y＝（m+2） 是关于x的二次函数，求：
（1）满足条件的m值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小．
【分析】（1）根据二次函数的定义得到m+2≠0且m2+m﹣4＝2，然后解两个不等式即可得到满足条件
的m的值为2或﹣3；
（2）根据二次函数的性质得当m+2＞0时，抛物线有最低点，所以m＝2，则y＝4x2，然后根据二次函
数的性质确定顶点坐标和增减性；
（3）根据二次函数的性质得到当m＝﹣3时，抛物线开口向下，函数有最大值，则 y＝﹣x2，然后根据
二次函数的性质确定最大值和增减性．
【解答】解：（1）根据题意得m+2≠0且m2+m﹣4＝2，
解得m ＝2，m ＝﹣3，
1 2所以满足条件的m值为2或﹣3；
（2）当m+2＞0时，抛物线有最低点，
所以m＝2，
抛物线解析式为y＝4x2，
所以抛物线的最低点为（0，0），当x≥0时，y随x的增大而增大；
（3）当m＝﹣3时，抛物线开口向下，函数有最大值；
抛物线解析式为y＝﹣x2，
所以二次函数的最大值是0，这时，当x≥0时，y随x的增大而减小．
20．已知函数y＝x2与y＝2x+3的交点为A，B（A在B的右边）．
（1）求点A、点B的坐标．
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）将两个函数的解析式联立组成方程组，求得方程组的解就可得到交点的坐标；
（2）利用S△AOB ＝S△AOC +S△BOC 求解．
【解答】解：（1）由题意得：
解得： 或
即交点A，B的坐标分别为（3，9），（﹣1，1）；
（2）连接OA，OB
直线y＝2x+3与y轴交于点C（0，3），即OC＝3
S△AOB ＝S△AOC +S△BOC
＝ ×3×3+ ×3×1
＝6．
