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第 06 讲 二次函数的实际应用
【知识点：二次函数的应用】
用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1.审：仔细审题，理清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体
分析，设出适当的未知数；
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解
析式；
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含
顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用
二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。
利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据
题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。
利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函
数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。
【注意】自变量的取决范围。
利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速
度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，
最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．
利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物
线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符
合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．
【题型1：图形问题】
【典例1】（八年级下·浙江宁波·期中）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD．
苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙
的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），
建成后所用木栏总长32米，设苗圃ABCD的一边CD长为x米．
(1)BC长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）；
(2)若苗圃ABCD的面积为96m2，求x的值；
(3)当x为何值时，苗圃ABCD的面积最大，最大面积为多少？
【答案】(1)（36-3x）
(2)8
22 308
(3)当x为 米时，苗圃ABCD的最大面积为 平方米
3 3
【分析】（1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃ABCD的一边CD
长为x米，即得BC的长为（36-3x）米；（2）根据题意得，x·(36−3x)=96，即可解
得x的值；（3）设苗圃ABCD的面积为w，w=x·(36−3x)=−3(x−6) 2+108，由二
次函数的性质可得答案．
【详解】（1）∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃ABCD的一边CD长
为x米，
BC的长为32-3x+4=（36-3x）米，
故答案为：（36-3x）；（2）根据题意得，x·(36−3x)=96，
解得，x=4或x=8，
∵当x=4时，36-3x=24>14，
∴x=4舍去，
∴x的值为8；
（3）设苗圃ABCD的面积为w，
w=x·(36−3x)=−3(x−6) 2+108，
∵4<36-3x≤14，
22 32
∴ ≤x< ，
3 3
∵-3<0，图象开口向下，
22 308
∴当x= 时，w取得最大值，w最大为 ；
3 3
22 308
答：当x为 米时，苗圃ABCD的最大面积为 平方米．
3 3
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函
数关系式．
【变式1】（24-25九年级下·江苏徐州·开学考试）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充
分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙，墙的长度为13m，另外三面用棚栏围成，
中间再用棚栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩
形的宽为xm（如图）．
(1)若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】(1)此时x的值为2
(2)当x=4时，矩形养殖场的总面积最大，最大面积为48m2
24−x−2x
【分析】（1）根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为 =(8−x)m，可
3得(x+2x)×(8−x)=36，解方程取符合题意的解，即可得x的值为2；
13
（2）设矩形养殖场的总面积是ym2，根据墙的长度为13m，可得013，不符合题意，舍去，
∴x=2，
答：此时x的值为2；
（2）设矩形养殖场的总面积是ym2，
∵墙的长度为13m，
13
∴07，即可作答．
40
1 1
（3）依题意，得平移后抛物线的解析式为y=− x2+x− ，把x=12代入
40 2
1 1
y=− x2+x− ，进行计算7.9>7，即可作答．
40 2
【详解】（1）由题易知，O(0，0)，B(40，0)，抛物线的顶点为点(20，10)
设抛物线的解析式为y=ax2+bx，
将(40，0)，(20，10)分别代入，
{1600a+40b=0)
得
400a+20b=10
{ a=− 1 )
解得 40
b=11
∴抛物线的解析式为y=− x2+x；
40
16
（2）由题易知，点D的横坐标为20− =12，
2
1
把x=12代入y=− x2+x，
40
1
得y=− ×122+12=8.4
40
∵8.4>7，
∴该船能安全通过．
1
（3）由题易知，水位上升0.5米，相当于将抛物线y=− x2+x向下平移0.5个单位
40
长度，
1 1
∴平移后抛物线的解析式为y=− x2+x−
40 2
1 1
把x=12代入y=− x2+x− ，
40 2
1 1
得y=− ×122+12− =7.9．
40 2
∵7.9>7，
∴此时该货船能安全过桥
【题型4：销售问题】
【典例4】（24-25九年级下·广东中山·开学考试）中山市沙岗墟正在举办“贺新春”活动
吴老板租了一个摊位，销唐“文创雪糕”与 “K牌甜筒”，其中一个“文创雪糕”的
进货价比一个“K牌甜筒”的进货价多1元，用800元购进“K牌甜筒”的数量与用
1200元购进“文创雪糕”的数量相同．
(1)求：每个“文创雪糕”“K牌甜筒”的进价各为多少元？
(2)根据销售经验，吴老板发现“K牌甜筒”的销量y(个)与售价x(元/个)之间 满足一次
函数关系：y=−20x+200，且所有进货均能全部售出，问：“K牌甜筒”销售单价
为多少元时，每天销售“K牌甜筒”的总利润W(元)最大？
【答案】(1)“文创雪糕”的进价为3元，“K牌甜筒”的进价为2元
(2)当售价x=6时，总利润W达到最大值为320元
【分析】本题主要考查分式方程，二次函数求最大利润的计算，理解数量关系，正确列式求解即可．
（1）设“K牌甜筒”的进价为x元，则“文创雪糕”的进价为x+1元，根据数量关系
列分式方程求解即可；
（2）现今售价为x元，则单个的利润为(x−2)元，可得利润
W = y×(x−2)=−20(x−6) 2+320，结合二次函数最值的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：设“K牌甜筒”的进价为x元，则“文创雪糕”的进价为x+1元，
800 1200
依题意，可列出方程为： = ，
x x+1
解得x=2，
检验，当x=2时，原分式方程有意义，
∴x+1=3，
答：“文创雪糕”的进价为3元，“K牌甜筒”的进价为2元．
（2）解：由（1）可知，“K牌甜筒”的进价为每个2元，
现今售价为x元，则单个的利润为(x−2)元，
∴设总利润为W，
∴
W = y×(x−2)=(−20x+200)×(x−2)=−20x2+240x−400=−20(x−6) 2+320，
当售价x=6时，总利润W达到最大值为320元．
答：当售价x=6时，总利润W达到最大值为320元．
【变式1】（2025九年级上·全国·专题练习）某化工材料经售公司购进了一种化工原料，进
货价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于
30元．市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低1元，日
均多售2kg．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元．当销售单价定为多少时，
每天可获得最大利润？最大利润为多少？
【答案】当销售单价定为65元时，每天可获得最大利润，最大利润为1950元．
【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意并掌握配方法的应用是解题的关键．
本题设销售单价为x元，每天可获得利润为y元列出，并配方得到 ，
y=(x−30)[60+2(70−x)]−500 −2(x−65) 2+1950(30≤x≤70)
即可得出当x=65时，y =1950．
最大
【详解】解：设销售单价为x元，每天可获得利润为y元．
由题意，得y=(x−30)[60+2(70−x)]−500
=−2x2+260x−6500
=−2(x−65) 2+1950(30≤x≤70)．
∵−2<0,30<65<70，
∴当x=65时，y =1950．
最大
答：当销售单价定为65元时，每天可获得最大利润，最大利润为1950元．
【变式2】（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的
单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，
而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．设该种品牌玩具的实际销售单价为x元
(x>40)，实际销售量为y件，销售该品牌玩具获得的利润为w元．
(1)分别求出y与x、 w与x之间的函数表达式；
(2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售
任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
【答案】(1)y与x之间的函数表达式为y=−10x+1000，w与x之间的函数表达式为
w=−10x2+1300x−30000
(2)10000元
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题
的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解．
（1）根据用600减去减少的销售量可得y与x之间的函数表达式；根据一件的利润与
销售数量的积，即可表示出w与x函数关系式；
（2）由题意列出不等式组，可求得x的范围，再由二次函数的性质即可求得最大利润．
【详解】（1）解∶ y与x之间的函数表达式为y=600−10(x−40)=−10x+1000，
w与x之间的函数表达式为w=(x−30)(−10x+1000)=−10x2+1300x−30000；
{ x≥44 )
（2）解∶根据题意得： ，
600−10(x−40)≥500
解得：44≤x≤50；∵w=−10x2+1300x−30000=−10(x−65) 2+12250，且−10<0，
∴当x=50时，w取得最大值，最大值为10000，
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元．
【变式3】（2025·湖北随州·二模）某商店销售一种新型智能水杯，进价为每个40元，若
售价为每个60元时，每天可售出200个．经市场调研发现：售价每上涨1元，每天销
售量减少5个；售价每下降1元，每天销售量增加10个．设售价为每个x元(x≥40)，
每天的销售利润为y元．
(1)求售价定为多少时，每天的销售利润最大；
(2)若商店希望每天的利润不低于4000元，直接写出售价x的取值范围．
【答案】(1)售价定为每个70元时，每天的销售利润最大
(2)60≤x≤80
【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．得到利润的关系式是解题
的关键．
（1）依据题中的相等关系列出函数解析式，分涨价、降价两种情况，再依据二次函数
的性质求解可得．
（2）根据题意列不等式，分两种情况，即可求解．
【详解】（1）解：当x≥60时：售价上涨，销量减少，销量为200−5(x−60)，
利润为：y=(x−40)[200−5(x−60))=−5x2+700x−20000；
b 700
当x=− =− =70时，y =4500；
2a −10 max
当x<60时：售价下降，销量增加，销量为：200+10(60−x)，
利润为：y=(x−40)[200+10(60−x))=−10x2+1200x−32000；
b 1200
当x=− =− =60时，不在取值范围内，y =4000；
2a −20 max
综上所述，当x=70时，利润最大；
（2）解： 当x≥60时：
−5x2+700x−20000≥4000；
解得：60≤x≤80；
当x<60时：
−10x2+1200x−32000≥4000；无解；综上所述，每天的利润不低于4000元，售价x的取值范围是60≤x≤80．
【题型5：投球问题】
【典例5】（2025·河南开封·二模）某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无
盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角
坐标系（长方形ABCD为箱子截面图，x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，
AB=CD=1米，OB=BC=2米），小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5米高
的P处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明1米时，达到最大高度2米．
(1)求抛物线的解析式；
(2)小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明．
【答案】(1)y=−0.5x2+x+1.5
(2)能，见解析
【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数中
坐标问题，然后利用坐标数值关系反推实际问题．
（1）由题意得P(0,1.5)，抛物线的顶点坐标为(1,2)，利用待定系数法求解即可；
（2）只要判断出乒乓球在运行中，高于AB，并落在B、C之间即可；
【详解】（1）解：由题意得P(0,1.5)，抛物线的顶点坐标为(1,2)，
设抛物线的解析式为y=a(x−1) 2+2(a≠0)，
∵抛物线y=a(x−1) 2+2经过点P(0,1.5)，
∴1.5=a+2，
∴a=−0.5，
∴抛物线的解析式为y=−0.5(x−1) 2+2，即y=−0.5x2+x+1.5
（2）解：能，理由如下：
当x=2时，y=1.5>AB，
当y=0时，−0.5x2+x+1.5=0，解得x =−1（舍去），x =3，
1 2
∴乒乓球在运行中，高于AB，并落在BC的中点处，
∴小明抛出的乒乓球能投入箱子；
【变式1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）再一次校运会上，一名男同学仍铅球时，其运动轨
迹为如图所示的一条抛物线，已知仍出铅球时，铅球距离男同学的水平距离长为x
（单位：m），距离地面高度为y（单位：m）满足下表关系：.
x 0 1 2 3 4
1. 1. 2. 2. 2.
y
4 9 2 3 2
(1)求出铅球的运动轨迹的解析式；
(2)若铅球落地的沙坑低于水平面EF=0.2m，沙坑边缘EF与男同学的距离OE=5m，
计算裁判员测量的铅球落地位置G到F的距离；
(3)为了使铅球抛出距离更远，该男同学计划让铅球扔出后，达到的最大高度在B的下
方0.7m米处，试计算说明，该男同学的抛出的铅球距离是增大还是减少？增大（或减
少）多少．
【答案】(1)y=−0.1(x−3) 2+2.3
(2)所以G到F的距离3m
(3)增大，该男同学成绩增大4m
【分析】（1）设抛物线的表达式为y=a(x−3) 2+2.3，将点(0，1.4)代入得：
a(0−3) 2+2.3=1.4解答即可；
（2）当y=−0.2m时，−0.1(x−3) 2+2.3=−0.2，解方程求解即可；
（3）设变化后的二次函数表达式为 ，将点 代入得：
y=m(x−3) 2+2.3−0.7 (0，1.4)；解答即可．
m(0−3) 2+2.3−0.7=1.4
本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的平移，抛物线与一元二次方程的关系，熟
练掌握待定系数法，解方程是解题的关键．
【详解】（1）解：由表可知，抛物线的顶点坐标为(3，2.3)，
设抛物线的表达式为y=a(x−3) 2+2.3，
将点(0，1.4)代入得：a(0−3) 2+2.3=1.4；
解得：a=−0.1，
y=−0.1(x−3) 2+2.3，
∴
（2）解：当y=−0.2m时，
−0.1(x−3) 2+2.3=−0.2，
解得：x =−2，x =8，
1 2
8−5=3(m)，
所以G到F的距离3m
（3）由题意，变化后的二次函数表达式为y=m(x−3) 2+2.3−0.7，
将点(0，1.4)代入得：m(0−3) 2+2.3−0.7=1.4；
1
解得：a=− ，
45
1
y=− (x−3) 2+1.6，
45
∴
1
当y=−0.2m时，− (x−3) 2+1.6=−0.2，
45
解得：x =−6，x =12
1 2
12−8=4(m)，
所以该男同学成绩增加4m.
【变式2】（2025·河南信阳·三模）掷沙包是一种传统儿童游戏，投掷者用内装谷粒或者沙
子的布包向远处的目标进行投掷，以投中目标为胜，沙包的飞行轨迹近似抛物线．设
沙包飞行的水平距离为x（单位：m），相对应的飞行高度为y（单位：m）．李华在O处以跪蹲姿势向远处的布幔投掷沙包，沙包飞行轨迹的相关数据如图所示，M为抛
物线的顶点，已知布幔AB垂直于x轴，且BO=13m，布幔上的目标P与B的距离为
0.26米．
(1)求沙包飞行轨迹抛物线的解析式 （无需写出自变量的取值范围）；
(2)为了击中目标P，应将布幔向前或后移动多少米？
1
【答案】(1)y=− (x−5) 2+0.98
50
(2)前移动2m
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关
键．
（1）由顶点式(5,0.98)，可设抛物线的解析式为y=a(x−5) 2+0.98，再把(0,0.48)代
入求出a的值即可；
（2）求出y=0.26时，x =11即可解得．
2
【详解】（1）解：由题意可知抛物线顶点为(5,0.98)．
故可设抛物线的解析式为y=a(x−5) 2+0.98，
又∵抛物线过(0,0.48)，
∴0.48=a(0−5) 2+0.98，
1
∴a=− ，
50
1
∴解析式为y=− (x−5) 2+0.98；
50
（2）当y=0.26时，
1
即0.26=− (x−5) 2+0.98
50
∴x =−1（舍），x =11，
1 2
13−11=2m，∴应将布幔向前移动2m．
【变式3】（2025·湖北随州·模拟预测）如图，以40m/s速度将小球沿着地面成30°的方向
击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度ℎ
（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足二次函数关系．小明在一次击球过程
中测得一些数据，如表所示，根据相关信息解答下列问题．
飞行时间t/s 0 0.5 2
飞行高度 0 8.25 24
ℎ
/m
(1)直接写出小球的飞行高度ℎ关于飞行时间t的二次函数关系式（不写自变量取值范
围）；
(2)若小球飞行时间不超过4s，则小球飞行高度能否达到15m？若能，求出此时t的值，
若不能，说明理由；
(3)当t值为多少时，小球飞行的高度最大？最大高度是多少？
【答案】(1)ℎ =−3t2+18t
(2)小球飞行高度能达到15m，此时t=1秒．
(3)当t值为3秒时，小球飞行的高度最大，最大高度是27m．
【分析】此题主要考查一元二次方程与二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意
求出函数解析式，再根据题意进行解答．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）令ℎ =15，解一元二次方程，即可求解；
（3）将解析式配方成顶点式，进而根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可设ℎ关于t的二次函数关系式为
ℎ
=at2+bt，
将(0.5,8.25)，(2,24)代入得
{8.25=0.25a+0.5b)
∴ ，
24=4a+2b
{a=−3)
解得： ．
b=18
∴ℎ关于t的二次函数关系式为ℎ =−3t2+18t．（2）当ℎ =15，−3t2+18t=15，
解得：t =1，t =5（舍去）．
1 2
∴小球飞行高度能达到15m，此时t=1秒．
（3）解：
ℎ
=−3t2+18t=−3(t−3) 2+27
∵−3<0
∴当t值为3秒时，小球飞行的高度最大，最大高度是27m．
【题型6：喷水问题】
【典例6】（24-25九年级下·全国·假期作业）【问题情境】如图是喷水管OA从点A向四周
喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点O为原点，水平
方向为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落水点且
在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为y=a(x−4) 2+5(x≥0)，喷水管OA的高度为
7
m．
3
【问题解决】
(1)求a的值；
(2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管OA
要降低的高度．
1
【答案】(1)−
6
5
(2) 米
6
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确二次函数平移的特点，利用
二次函数的性质解答．
( 7)
（1）将A 0, 代入y=a(x−4) 2+5(x≥0)，求出相应的a的值即可；
31
（2）先设喷水管OA要降低的高度，然后将(9,0)代入y=− (x−4) 2+5−b，再求出
6
相应的降低的高度即可；
( 7)
【详解】（1）解：由题意得：A 0, ；
3
∵将A ( 0, 7) 代入y=a(x−4) 2+5(x≥0)中可得， 7 =a×(0−4) 2+5，
3 3
1
解得a=− ，
6
1
∴a的值为− ．
6
（2）解：设喷水管OA要降低的高度为bm，则降低高度后的右侧抛物线的解析式为
1
y=− (x−4) 2+5−b，
6
1 1
将(9,0)代入y=− (x−4) 2+5−b，可得0=− (9−4) 2+5−b，
6 6
5
解得b= ；
6
5
答：喷水管OA要降低的高度为 米；
6
【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴P，将开关
开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)．当水流距离地面
2m时，距喷灌嘴的水平距离为2m，水流落地点距喷灌嘴的水平距离OA=6m．
(1)求水流所在抛物线的函数表达式；
(2)为了给公园增添艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑．
①若雕塑的高度为1m，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到；
②若在距喷灌嘴水平距离为0.5m处有一高度为1.2m的雕塑，请判断该雕塑是否会被
水流直接喷到？
1 5
【答案】(1)y=− x2+ x+1(0≤x≤6)
6 6
(2)①高度为1m的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在01.2，
∴不会被水流直接喷到．
【变式2】（24-25九年级上·河南南阳·期末）某小区有一个喷水池，喷水池的中心有一圈
喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1m处达到最大高度3m，水柱B落地点到
水池中心的水平距离为3m，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平
面直角坐标系．(1)点C，点D的坐标分别为________、__________；
(2)求水柱所在抛物线对应的函数表达式；
(3)王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为
2m的地方，通过计算说明身高1.85m的王师傅是否会被淋湿？
【答案】(1)(3,0)，(1,3)
3
(2)y=− (x−1) 2+3
4
(3)王师傅不会被淋湿，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）由图可得点C、D的坐标；
（2）根据抛物线的顶点设出其顶点式，再将点C坐标代入计算即可；
（3）求出x=2时y的值，与1.85比较大小即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意知抛物线顶点D坐标为(1,3)，点C坐标为(3,0)，
故答案为：(3,0)，(1,3)；
（2）解：由题意，可设抛物线的表达式为y=a(x−1) 2+3，
将点C的坐标(3,0)代入得0=a(3−1) 2+3，
3
解得a=− ，
4
3
∴抛物线的表达式为：y=− (x−1) 2+3；
4
3
（3）解：当x=2时，y=− ×(2−1) 2+3=2.25，
4
2.25>1.85．
答：王师傅不会被淋湿．
【变式3】（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，护林员在一个斜坡上的点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地AB进行浇灌，OA=10m，点A处的自动浇灌
装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口A的水平距离为6m时，达到距离地
面OB的竖直高度的最大值为13m．以OB所在的水平方向为x轴，OA所在的竖直方向
为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，经过测量，可知斜坡AB的函数表达式为
1
y=− x+10．
2
(1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式；
(2)若该装置浇灌的最远点C离地面的竖直高度为1m，求此时喷到C处的水柱距出水口
的水平距离．
1
【答案】(1)y=− (x−6) 2+13
12
(2)18米
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质及其应用、一次函数的图象与性质，解一
元二次方程，熟练掌握与灵活运用相关知识，运用数形结合的思想分析问题是解题的
关键．
（1）利用顶点坐标设抛物线解析式为y=a(x−6) 2+13，求出A(0,10)，将(0,10)代入
抛物线解析式求解即可；
1
（2）对于抛物线y=− (x−6) 2+13，令y=1，求解即可．
12
1
【详解】（1）解：令x=0，则y=− x+10=10，
2
则A(0,10)，
根据题意可知，抛物线的顶点坐标为(6,13)，
则设抛物线解析式为y=a(x−6) 2+13，
将A(0,10)代入，可得：10=a(0−6) 2+13，
1
解得：a=− ，
12
1
∴水柱所在抛物线的函数表达式为y=− (x−6) 2+13；
12
1
（2）解：对于抛物线y=− (x−6) 2+13，
12
1
令y=1，得：− (x−6) 2+13=1，
12
整理可得：(x−6) 2=144，
解得：x =18，x =−6（舍去），
1 2
∴此时喷到C处的水柱距出水口的水平距离18米．
【题型7：其他问题】
【典例7】（2025·贵州遵义·二模）汽车行驶在高速公路上遇到意外情况时，紧急停车需要
经历反应（反应时间为0.6秒）和制动两个过程，反应距离和制动距离分别记为S 和S （单
1 2
5
位：m），停车距离为S=S +S ．（参考数据：1km/h= m/s）
1 2 18
汽车在反应过程保持原速度匀速运动，制动过程中的路程与行驶速度关系如下表所示：
原速度x（km/h
0 20 40 60 80 …
）
制动距离S （m 0 2 8 18 32 …
2
）(1)将表格中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，并求出S 与x的函数关系式；
2
(2)当行驶速度为60km/h时，求刹车距离S；
(3)疲劳驾驶会导致司机制动反应时间增加，反应时间为正常时间的3倍，当疲劳驾驶
停车距离比正常情况下增加30m时，求汽车原速度为多少．
1
【答案】(1)图见解析；S = x2
2 200
(2)刹车距离为28m
(3)汽车原速度为90km/h
【分析】此题考查了画函数图象，待定系数法求函数解析式，求自变量的值，正确掌
握函数知识是解题的关键．
（1）根据表格，描点、连线即可得出相应图象；然后设S =ax2+bx，利用待定系数
2
法即可确定函数解析式；
1 1
（2）根据题意确定S=S +S = x2+ x，然后代入求解即可；
1 2 200 6
1 1
（3）根据题意得出疲劳驾驶下反应距离S ′=3S = x，确定S ′−S = x=30，求解
1 1 2 1 1 3
即可．
【详解】（1）解：图象如图所示：∴设S =ax2+bx，将点(20,2)，(40,8)代入得：
2
{400a+20b=2
)
，
1600a+40b=8
{ a= 1 )
解得 200
b=0
1
故S = x2 ．
2 200
5 1
（2）由题意：S =0.6× x= x，
1 18 6
1 1
则S=S +S = x2+ x
1 2 200 6
当x=60km/h时，S=28m．
故刹车距离为28m．
1
（3）疲劳驾驶下反应距离S ′=3S = x
1 1 2
1
由题意：S ′−S = x=30，
1 1 3
解得x=90
故汽车原速度为90km/h．
【变式1】（2025·陕西榆林·二模）如图1是我们生活中常见的一只碗，图2是从正面看到
的碗的形状示意图，碗壁近似呈抛物线形，该抛物线关于碗口AB的垂直平分线对称，
且碗底MN与碗口AB平行，C、D均在抛物线上，CM⊥MN，DN⊥MN，已知5
AB=12cm，MN=4cm，CM=DN= cm，以MN所在直线为x轴，过点A且垂直于
3
1
MN的直线为y轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式y= x2+bx+c（b、
6
c为常数）．
(1)求b、c的值和点B的坐标；
11
(2)若碗中装入一定量的水，水面EF∥AB，且EF与AB之间的距离为 cm，求水面
6
的宽度EF．
【答案】(1)b=−2，c=7，点B的坐标为(12,7)
(2)10cm
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式
是解题的关键．
（1）根据题意可得抛物线的对称轴为直线x=6，则由对称轴计算公式可得b=−2，再
( 5)
求出C 4, ，利用待定系数法求出c的值，进而求出点B的坐标即可；
3
（2）求出点E和点F的纵坐标，进而求出点E和点F的横坐标即可得到答案．
【详解】（1）解：∵AB=12，
∴抛物线的对称轴为直线x=6，
b
∴− =6
1 ，
2×
6
解得b=−2．
5
∵MN=4cm，CM=DN= cm，CM⊥MN，DN⊥MN，
312−4
∴OM= =4cm
2
( 5)
∴C 4, ．
3
将点C ( 4, 5) 代入y= 1 x2−2x+c，得c=7，
3 6
1
∴抛物线解析式为y= x2−2x+7，
6
1 1
在y= x2−2x+7中，当x=12时，y= ×122−2×12+7=7，
6 6
∴点B的坐标为(12,7)．
11
（2）解：∵EF与AB之间的距离为 cm，
6
11 31
∴点E与点F的纵坐标为7− = ．
6 6
31 1 31
令y= ，得 x2−2x+7= ，解得x =1，x =11，
6 6 6 1 2
∴11−1=10(cm)，
即水面的宽度EF为10cm．
【变式2】（2025·湖北襄阳·模拟预测）某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离
有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考查刹车距离．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由
于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距
离称为刹车距离（如图所示）．
【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一
速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
刹车后行驶的时间t 0 1 2 4
刹车后行驶的距离s 0 27 48 72
发现：①开始刹车后行驶的距离单位s（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系；
②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最
远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
(1)求s关于t的函数解析式，不要求写出自变量的取值范围；
(2)当汽车刹车后行驶了63m时，求t的值；
(3)当汽车司机发现正前方处有一辆抛锚车停在路面时立刻刹车，若刹车时汽车距离抛
锚车76m，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚车？试说明理由．
【答案】(1)s=−3t2+30t
(2)当汽车刹车后行驶了63m时，t=3
(3)该车在不变道的情况下不会撞到抛锚车，详见解析
【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，求函数值，自变量的值的
计算是关键．
（1）根据表格信息，运用待定系数法求解即可；
（2）根据函数值求自变量的值即可；
（3）根据二次函数最值的计算即可求解．
【详解】（1）解：由表格中数据可设s=at2+bt，
{ a+b=27 )
则 ，
4a+2b=48
{a=−3)
解得， ，
b=30
∴s=−3t2+30t．
（2）解：由题意可得，−3t2+30t=63，
解得t =3,t =7，
1 2
∵s=63<72，
∴t<4，
∴t=3．
答：当汽车刹车后行驶了63m时，t=3．
（3）解：∵−3<0，由二次函数图象性质可知，s有最大值，
30
当t=− =5时，s =−3×52+30×5=75，
2×(−3) 最大值
∵75<76，∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚车．
【变式3】（24-25九年级上·浙江·阶段练习）“立定跳远”是田径运动项目之一．运动员
起跳后的腾空路线可以近似地看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标
系（起跳点为原点，地面所在直线为x轴，起跳点所在的竖直方向为y轴），从起跳到
落地的过程中，设运动员距离地面的竖直高度为y(m)，距离起跳点的水平距离为x(m)．
已知，运动员跳到最高处时距离地面的竖直高度为0.4m，距离起跳点的水平距离为
1.1m．
(1)求该运动员腾空路线的解析式；
(2)求该运动员落地时距离起跳点的水平距离．
40
【答案】(1)y=− (x−1.1) 2+0.4
121
(2)该运动员落地时距离起跳点的水平距离为2.2m．
【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数与x轴的交点问题．
（1）由表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为(1.1,0.4)，得y=a(x−1.1) 2+0.4，
将x=0时，y=0，代入其中，利用待定系数法即可求解；
（2）令y=0，求出y的值，即可得解．
【详解】（1）解：由表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为(1.1,0.4)，
∴设该运动员腾空路线的解析式为y=a(x−1.1) 2+0.4，
当x=0时，y=0，代入y=a(x−1.1) 2+0.4得0=a(0−1.1) 2+0.4，
40
解得a=− ，
121
40
∴函数关系式为y=− (x−1.1) 2+0.4；
121
（2）解：令y=0，
40
即− (x−1.1) 2+0.4=0，
121解得x =0，x =2.2，
1 2
∴该运动员落地时距离起跳点的水平距离为2.2m．
一、单选题
1．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，若被击打的小球飞行高度
ℎ
（单位：m）
与飞行时间t（单位：s）具有函数关系为
ℎ
=20t−5t2，则小球从飞出到落地的所用时
间为（ ）
A．4s B．5s C．6s D．7s
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象的运用，掌握二次函数图象的性质，理解小球从飞出
到落地的含义是解题的关键．
根据题意，小球从飞出到落地，则高度ℎ =0，代入计算，结合题意即可求解．
【详解】解：小球从飞出到落地，
∴高度ℎ =0，
∴20t−5t2=0，即5t(4−t)=0，
∴t =0（不符合题意，舍去），t =4，
1 2
∴小球从飞出到落地的所用时间为4s，
故选：A ．
2．（24-25九年级上·云南昆明·期中）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一
带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月
份销售1500个，9月份销售y个，设7月份到9月份销售量的月增长率为x，那么y与x
的函数关系是（ ）
A．y=1500(1+x) 2 B．y=1500(1−x) 2
C．y=(1+x) 2+1500 D．y=x2+1500
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的应用．设增长率为x，根据“7月份销售1500个，9月份销售y个”列得函数关系式即可求解．
【详解】解：设增长率为x，
根据题意得：y=1500(1+x) 2，
故选：A．
3．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度
h（单位：米）与经过的时间t（单位：秒）满足函数关系式
ℎ
=−5t2+15t，那么球弹
起后又回到地面所经过的时间t是（ ）
A．1秒 B．2秒 C．2.4秒 D．3秒
【答案】D
【分析】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了已知函数值求自变量的值，根据题
意可知当ℎ =0时符合题意，进而求出答案即可．
【详解】当ℎ =0时，−5t2+15t=0，
解得t=0或t=3，
所以球弹起后又回到地面所经过的时间是3秒．
故选：D．
4．（23-24九年级上·全国·单元测试）若一种服装销售盈利y（万元）与销售数量x（万
元）满足函数关系式y=−2x2+4x+5，则盈利（ ）
A．最大值为5万元 B．最大值为7万元
C．最小值为5万元 D．最大值为6万元
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的应用，求二次函数的最值；将二次函数化为
y=−2(x−1) 2+7，由二次函数的性质，即可求解；掌握二次函数最值的求法是解题的
关键．
【详解】解：y=−2x2+4x+5
=−2(x−1) 2+7
∵−2<0，
∴当x=1时，
y =7（万元）；
最大
故选：B．5．（2022九年级上·全国·专题练习）如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形
水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．2+❑√6
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质，在顶点处取最值即可．
【详解】解：∵抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，
∵a=-1＜0
∴当x=2时，水柱的最大高度是：6．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用—喷水问题．根据二次函数的解析式得到抛物线
顶点坐标是解决此类问题的关键．
二、填空题
6．（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）如图1是小峡水电站黄河公路大桥，它的一个桥拱可
以近似看作抛物线，一个桥拱在水面的跨度OA约为40米，若按如图2所示方式建立平
1
面直角坐标系，则桥拱所在抛物线可以表示为y=− (x−20) 2+k，则此时桥拱最高
25
点P离水面的高度是 米．
【答案】16【分析】本题考查了二次函数的运用，根据桥拱在水面的跨度OA约为40米，则
1
A(40,0)，且桥拱所在抛物线可以表示为y=− (x−20) 2+k，代入计算即可求解k
25
的值，根据顶点坐标，即可求出此时桥拱最高点P离水面的高度．
1
【详解】解：桥拱所在抛物线可以表示为y=− (x−20) 2+k，桥拱在水面的跨度
25
OA约为40米，则A(40,0)，
1
∴0=− (40−20) 2+k，
25
解得，k=16，
∴P(20,16)，
即此时桥拱最高点P离水面的高度是16米，
故答案为：16．
7．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线
y=a(x−3) 2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．
若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 m．
【答案】8
【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握
待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得A(0,1.6)，代入
1
y=a(x−3) 2+2.5，得出抛物线的解析式为y=− (x−3) 2+2.5，令y=0，求解即可，
10
【详解】解：由题意，OA=1.6m，
得A(0,1.6)，
将A(0,1.6)代入y=a(x−3) 2+2.5，
得：1.6=a(0−3) 2+2.5，1
解得：a=− ，
10
1
∴y=− (x−3) 2+2.5，
10
1
令y=0，得− (x−3) 2+2.5=0，
10
解得：x =8，x =−2，
1 2
∴OB为8m，
故答案为：8．
8．（2025·山东济南·二模）湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图所示建立平
1
面直角坐标系，得到抛物线解析式为y=− x2 ，正常水位时水面宽AB为24m，当水
72
位上升1.5m时水面宽CD为 ．
【答案】12m
【分析】本题考查了实际问题与二次函数，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关
键，根据二次函数的图象可得当水位上升1.5m时，此时y=−0.5，进而可求得此时的x
的值，进而可求解．
【详解】解：依题意得：
24 1
当x=− =−12，y=− ×(−12) 2=−2，
2 72
当水位上升 1.5m时，则此时y=−2+1.5=−0.5，
1
则：−0.5=− x2 ，
72
解得：x=6或x=−6，
∴水面宽CD为：2×6=12m，
故答案为：12m．
9．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：
m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s=30t−5t2，遇到刹车时，汽车从刹
车后到停下来前进了 m．【答案】45
【分析】根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时时间，将其代入二次函数解析式中即
可得出s的值.
【详解】解：根据二次函数解析式s=30t−5t2 =−5(t2−6t+9−9)=−5(t−3) 2+45
可知，汽车的刹车时间为t=3s，
当t=3时，s=30t−5t2 =45(m)
故答案为：45．
【点睛】本题考查了二次函数性质的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题
10．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，要搭建一个矩形的自行车棚，一边靠墙，
墙长25m，另外三边围栏总长60m，平行于墙的一边的长为xm，自行车棚的面积为
Sm2
(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求车棚的面积S的最大值及此时x的值．
1
【答案】(1)S=− x2+30x，040)元，求该商品销售量y与x之间的函数
关系式；
(2)若获利不得高于进价的80%，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获
利润最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)y=−2x+160
(2)当每个毛绒玩具的售价定为54元，每天最大利润是1248元
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，
对于（1），先表示出上涨的价格，进而得出销售量与售价的关系式；
对于（2），根据单件利润乘以销售量等于总利润列出关系式，再根据自变量取值范围
讨论极值即可．
【详解】（1）解：根据题意，得y=80−2(x−40)=−2x+160；
（2）解：设总利润为w，根据题意，得
w=(x−30)(−2x+160)=−2(x−55) 2+1250，且x−30≤30×80%，
∵−2<0，x≤54，
∴抛物线的开口向下，
当x<55时，函数值y随着x的增大而增大，
当x=54时，w =−2×1+1250=1248（元）．
最大
所以每个毛绒玩具售价定为54元，每天销售玩具所获得利润最大，最大利润是1248
元．
12．（24-25九年级上·河北邢台·期中）小宇同学是足球社团的一名成员，同时喜欢运用数
学知识对足球训练进行技术分析，下面是他对某次足球射门路线的分析．在如图所示
的平面直角坐标系中，点O是原点，小宇从球门正前方8m的点A处射门，球射向球门
的路线呈抛物线．当球离球门OB的水平距离为2m时，球达到最高点，此时球离地面
3m．．
(1)求抛物线（足球的飞行路线）的函数表达式；
(2)已知球门高OB为2.44m，通过计算判断球能否被射进球门（不考虑其他因素）．
1
【答案】(1)y=− (x−2) 2+3
12
(2)球不能被射进球门
【分析】此题考查了二次函数的应用，求出抛物线（足球的飞行路线）的函数表达式
是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出当x=0时的函数值，进行比较即可．
【详解】（1）解：由题意，得A(8,0)，抛物线顶点坐标为(2,3)，
设抛物线的函数表达式为y=a(x−2) 2+3，
∵点A(8,0)在抛物线上，
1
∴ a(8−2) 2+3=0，解得a=−
12
1
∴抛物线的函数表达式为y=− (x−2) 2+3；
12
1 8
（2）当x=0时，y=− (0−2) 2+3= >2.44
12 3
∴球不能被射进球门．
13．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）周末，小明跟父母去宁强网红打卡地玩耍，小明的
爸爸在树荫下将吊床绑在距离为2.6米的树OA与树DB之间（OD=2.6米），两边拴
绳的地方A、B距地面的高度均为2.5米（AO=BD=2.5米），吊床形状近似呈抛物
线形，此时吊床最低点C离地面的高度为0.81米．已知AO⊥OD，BD⊥OD，图中
所有的点都在同一平面内．以树OA与地面的交点O为原点，地面上OD所在直线为x
轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示．(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当吊床上某处离地面高度为2.25米时，求吊床上该处离右边树BD的距离．
【答案】(1)y=x2−2.6x+2.5
(2)0.1米或2.5米
【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，根据函数值求自变量的值
的方法是解题的关键．
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）将y=2.25代入y=(x−1.3) 2+0.81解得x =0.1，x =2.5，由此即可求解．
1 2
【详解】（1）解：根据题意得A(0,2.5)，B(2.6,2.5)，C(1.3,0.81)，
设抛物线的函数表达式为y=a(x−1.3) 2+0.81(a≠0)，
将点A(0,2.5)代入y=a(x−1.3) 2+0.81，
得1.69a+0.81=2.5，
解得a=1，
∴抛物线的函数表达式为y=(x−1.3) 2+0.81=x2−2.6x+2.5．
（2）解：将y=2.25代入y=(x−1.3) 2+0.81得2.25=(x−1.3) 2+0.81，
解得x =0.1，x =2.5，
1 2
当x=0.1时，2.6−0.1=2.5（米），
当x=2.5时，2.6−2.5=0.1（米），
∴吊床上该处离右边树BD的距离为0.1米或2.5米．
14．（24-25九年级上·广西钦州·期中）露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外
活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲
旅行使用．
【建立模型】如图2，该款帐篷搭建时张开的宽度AB=3m，顶部高度ℎ =1.8m．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式；
【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张
椅子摆入该款帐篷后的简易视图，椅子高度EC=1m，宽度CD=0.6m，若在帐篷内
沿AB方向摆放一排此款椅子，最多可摆放多少张椅子？
4 9
【答案】[建立模型]y=− x2+ ；[运用模型]3张
5 5
【分析】本题考查了二次函数的应用．
( 3 ) (3 )
[建立模型]以AB的中点为平面直角坐标系的原点，此时A − ，0 ，B ，0 ，
2 2
且经过(0，1.8)，代入抛物线函数关系式，即可作答．
[运用模型]在[建立模型]的基础上，令y=1，解出x ，x 的值，根据宽度CD=0.6m建
1 2
立不等式，即可作答．
【详解】解：[建立模型] 以AB的中点为平面直角坐标系的原点，如图所示：
∵A款帐篷搭建时张开的宽度AB=3m，顶部高度ℎ =1.8m
( 3 ) (3 )
∴A − ，0 ，B ，0
2 2
( 3)( 3)
设抛物线函数关系式为y=b x+ x−
2 2
∵抛物线经过点(0，1.8)( 3) ( 3)
∴1.8=b× 0+ × 0−
2 2
4
解得b=−
5
即y=−
4(
x+
3)(
x−
3)
=−
4
x2+
9
；
5 2 2 5 5
4 9
[运用模型]∵y=− x2+ ，且椅子高度EC=1m，宽度CD=0.6m
5 5
4 9
∴1=− x2+
5 5
解得x =1，x =−1
1 2
则x ，x 的距离为2；
1 2
20 1
2÷0.6= =3 <4
6 3
∵椅子数量为正整数
∴最多可摆放的椅子数量为3张．
