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第 06 讲 因式分解的应用
课程标准 学习目标
1. 能够对式子进行分组，然后在利用相应的分解方法
①分组分解法 进行分解。
②实数范围内因式分解 2. 能够在实数范围内进行分解因式。
③因式分解的应用 3. 能够熟练的运用因式分解进行求值，化简，证明
等。
知识点01 分组分解因式
1. 分组分解因式：
对于四项或者超过四项的多项式分解时，我们通常要对其进行分组，使其分在同一组的项能够使用提
公因式法或公式法或者式子相乘法进行分解。从而达到对整个多项式进行分解的目的。
考点题型：①分组分解因式。
【即学即练1】
1．把1﹣a2﹣b2﹣2ab分解因式，正确的分组为（ ）
A．1﹣（a2+b2+2ab） B．（1﹣a2）﹣（b2﹣2ab）C．（1﹣2ab）+（﹣a2﹣b2） D．（1﹣a2﹣b2）﹣2ab
【即学即练2】
2．因式分解a3+a2b﹣ab2﹣b3的值为（ ）
A．（a﹣b）2（a+b） B．（a+b）2（a﹣b）
C．ab（a+b）2 D．ab（a﹣b）2
【即学即练3】
3．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将 2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．经过小组合作交流，
得到了如下的解决方法：
解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）
＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）
＝（2﹣3b）（a﹣2）
解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）
＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）
＝（a﹣2）（2﹣3b）
小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利
用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的．这种方法可以称为分组分解法．（温馨提示：因式
分解一定要分解到不能再分解为止）
请你也试一试利用分组分解法进行因式分解：
（Ⅰ）因式分解：x2﹣a2+x+a；
（Ⅱ）因式分解：ax+a2﹣2ab﹣bx+b2．
知识点02 实属范围内分解因式
1. 实数范围反内分解因式：
一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式，实数范围内分解
因式是指可以把因式分解到实数的范围，既可以用无理数来表示。
题型考点：①实数范围内分解因式。
【即学即练1】
4．把下列各式在实数范围内分解因式：（1）a2﹣7； （2）x3﹣2x； （3）a2﹣2 a+3； （4）x4﹣25．
【即学即练2】
5．在实数范围内分解因式：x3﹣x2﹣2x+2．
【即学即练3】
6．在实数范围内分解下列因式：
（1）y4﹣6y2+5； （2）x2﹣11； （3）a2﹣2 a+3； （4）5x2﹣2．
知识点03 因式分解的综合应用
1. 因式分解的步骤：
第一步：观察式子是否有公因式可提。若有公因式，则先用公因式进行因式分解。
第二步：观察式子项数：
①若式子是两项，则观察是否具有平方差公式的特点，若具有平方差公式的特点则用平方差公式分
解，若不具有则不能分解。
②若式子是三项，则观察是否具有完全平方公式的特点，如果具有完全平方公式的特点则用完全平
方公式分解。若不具有完全平方公式的特点则观察是否可用十字相乘法分解，若能则用十字相乘法分解，
若不能用十字相乘法分解则多项式不能分解。
因式分解一定要分解彻底，即无论用什么方法都不能再继续分解。
题型考点：①分解因式。
【即学即练1】7．分解因式：
（1）4（3m+2n）2﹣9（m﹣n）2； （2）x4+5x2﹣36；
（3）x3y﹣2x2y2+3x﹣6y； （4）（x2+x+1）（x2+x+2）﹣12；
（5）4x4+12x3+13x2+6x+1； （6）y（y+1）（x2+1）+x（2y2+2y+1）．
【即学即练2】
8．分解因式：
（1）8a3b2+28ab3c； （2）a4﹣64；
（3）x2+（2a+3）x+（a2+3a）； （4）4x2+4xy+12x+6y+y2+8．
知识点04 因式分解的综合应用1. 因式分解的综合应用：
利用因式分解解决求值问题。
利用因式分解解决证明问题。
利用因式分解解决计算问题。
题型考点：①因式分解的实际应用。
【即学即练1】
9．若a+b＝3，x+y＝1，则代数式a2+2ab+b2﹣x﹣y+2015的值是（ ）
A．2019 B．2017 C．2024 D．2023
【即学即练2】
10．已知 a、b、c 是△ABC 的三边长，且满足 a2+2b2+c2＝2ab+2bc，那么据此判断△ABC 的形状是
（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【即学即练3】
11．已知x﹣y＝ ，xy＝ ，则x2y﹣xy2的值是（ ）
A． B．1 C． D．﹣
【即学即练4】
12．生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理
是：将一个多项式分解因式，如多项式x4﹣y4因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），当取x＝
9，y＝9时，各个因式的值是：（x﹣y）＝0，（x+y）＝18，（x2+y2）＝162，于是就可以把“018162”
作为一个六位数的密码．类似地，对于多项式4x3﹣xy2，当取x＝10，y＝10时，用上述方法可以产生一
个六位数密码．则这个密码可以是（ ）
A．102030 B．103020 C．101030 D．102010
【即学即练5】
13．有些多项式不能直接运用提取公因式法分解因式，但它的某些项可以通过适当地结合（或把某项适当
地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如 mx+nx+my+ny＝
（mx+nx）+（my+ny）＝x（m+n）+y（m+n）＝（m+n）（x+y），根据上面的方法因式分解：
（1）2ax+3bx+4ay+6by；
（2）m3﹣mn2﹣m2n+n3；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2﹣ab+c2＝2ac﹣bc，判断△ABC的形状并说明理由．题型01 因式分解
【典例1】
因式分解：
（1）4ab﹣2a2b； （2）25x2﹣9y2；
（3）2a2b﹣8ab2+8b3； （4）x2（x﹣3）+9（3﹣x）．
【典例2】
将下列各式因式分解：
（1）a（x﹣3）+2b（x﹣3）； （2）2x3﹣8x；
（3）（2x+y）2﹣（x+2y）2； （4）﹣x2﹣4y2+4xy．
【典例3】
分解因式：
（1）a（x﹣y）+b（y﹣x）； （2）3m2n﹣12mn+12n；
（3）（x2+9）2﹣36x2； （4） ．【典例4】
阅读下列材料：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足 q＝mn且p＝m+n，则可以把
x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）．
例如：①x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；
②x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．
根据材料，把下列式子进行因式分解．
（1）x2﹣6x+8；
（2）x2﹣2x﹣15；
（3）（x﹣4）（x+7）+18．
题型02 分组分解因式
【典例1】
阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用
提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式
分解的方法叫做分组分解法．如：因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．
（1）利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a2x+a2y+b2x+b2y．
（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝ （直接写出结果）．
【典例2】
常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如 x2﹣9y2
﹣2x+6y，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就
可以完整的分解了，过程为：
x2﹣9y2﹣2x+6y＝（x2﹣9y2）﹣2（x﹣3y）＝（x﹣3y）（x+3y）﹣2（x﹣3y）＝（x﹣3y）（x+3y﹣
2）．
这种方法叫分组分解法，利用这种方法分解因式：
（1）x2﹣2xy+y2﹣16；
（2）xy2﹣2xy+2y﹣4．
【典例3】
有些多项式不能直接运用提取公因式法等方法分解因式，但它的某些项可以通过适当地结合（或把某项适
当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的．
例如：mx+nx+my+ny＝（mx+nx）+（my+ny）＝x（m+n）+y（m+n）＝（m+n）（x+y）．
根据上面的方法因式分解：
（1）2ax+3bx+4ay+6by；
（2）x2+2xy+y2﹣z2．【典例4】
我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法，
分组分解法是将一个多项式适当分组后，再用提公因式或运用公式继续分解的方法．例如：
ax+by+bx+ay＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）．
请你仿照以上方法，解决下列问题．
分解因式：（1）x2﹣y2+2x﹣2y；
（2）x2﹣10x+25﹣y2．
题型03 实数范围内分解因式
【典例1】
在实数范围内分解因式：
（1）4x2﹣20； （2）x2﹣2 x+3．【典例2】
在实数范围内分解因式：
（1）am2﹣6ma+9a； （2）9a4﹣4b4．
【典例3】
在实数范围内分解因式：
（1）m2﹣3 （2）2a2﹣5 （3） ．
题型04 因式分解的应用
【典例1】
已知xy＝2，y﹣x＝1，
（1）求2x2y﹣2xy2的值； （2）求x+y的值．
【典例2】
如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“崇德尚美数”．
如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“崇德尚美数”．
（1）判断：36 “崇德尚美数”（填“是”或“不是”）；
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“崇德尚美数”是
4的倍数吗？为什么？
（3）若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试判断该长方形的面积是否为“崇德尚美数”？为什么？
（请推理证明）【典例3】
观察下列分解因式的过程：
x2+2xy﹣3y2
解：原式＝x2+2xy+y2﹣y2﹣3y2
＝（x2+2xy+y2）﹣4y2
＝（x+y）2﹣（2y）2
＝（x+y+2y）（x+y﹣2y）
＝（x+3y）（x﹣y）．
像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法．
（1）请你运用上述配方法分解因式：x2﹣4xy﹣5y2；
（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2＝8a+6b﹣25，求△ABC周长的最大值．
【典例4】
阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用
上述方法无法分解，如：“m2﹣mn+2m﹣2n”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，
后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成
整个式子的因式分解了，过程为m2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）
＝（m﹣n）（m+2）．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问
题：
（1）因式分解：a3﹣3a2+6a﹣18；
（2）已知m+n＝5，m﹣n＝1，求m2﹣n2+2m﹣2n的值；
（3）△ABC的三边a，b，c满足a2+2b2+c2＝2ab+2bc，判断△ABC的形状并说明理由．【典例5】
阅读材料：要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一
组，从而得到：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n），这时a（m+n）+b
（m+n）中又有公因式（m+n），于是可以提出（m+n），从而得到（m+n）（a+b），因此有
am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b），这种方法称为分组
法．请回答下列问题：
（1）尝试填空：2x﹣18+xy﹣9y＝ ；
（2）解决问题：因式分解；ac﹣bc+a2﹣b2．
（3）拓展应用：已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，试判断这个三
角形的形状，并说明理由．
1．下列因式分解正确的是（ ）
A．ax+y＝a（x+y） B．x2﹣4x+4＝（x+2）2
C．2x2﹣x＝x（2x﹣1） D．x2﹣16＝（x﹣4）2
2．下列多项式，在实数范围内一定可以分解因式的是（ ）
A．x2﹣x+3 B．x2﹣mx﹣ C． ﹣2x+3 D．x2﹣x﹣2m
3．多项式x2y2﹣y2﹣x2+1因式分解的结果是（ ）
A．（x2+1）（y2+1）B．（x﹣1）（x+1）（y2+1）
C．（x2+1）（y+1）（y﹣1）
D．（x+1）（x﹣1）（y+1）（y﹣1）
4．三角形的三边a，b，c满足（a+b）2﹣c2＝2ab，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
5．已知整数a，b满足2ab+4a＝b+3，则a+b的值是（ ）
A．0或﹣3 B．1 C．2或3 D．﹣2
6．如果a﹣b＝2，那么代数式a3﹣2a2b+ab2﹣4a的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
7．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，
分别对应下列六个字：华，我、爱、美、游、中，现将2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）因式分解，结果呈
现的密码信息可能是（ ）
A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱游
8．在△ABC中，三边分别为a、b、c，且满足（a+b+c）2＝25，a2 ，则△ABC为（ ）
A．等腰三角形 B．不等边三角形
C．等边三角形 D．无法判断
9．因式分解：x2+y2﹣z2﹣2xy＝ ．
10．已知x+y＝1，xy＝﹣3，则x3y+xy3＝ ．
11．若a＝2005，b＝2006，c＝2007，求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝ ．
12．现在生活人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，
方便记忆．原理是：如对于多项式x4＝y4因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝
9时则各个因式的值是：x﹣y＝0，x+y＝18，x2+2＝162，把这些值从小到大排列得到018162，于是就可
以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3﹣xy2，取x＝21，y＝19时，请你写出一个用上
述方法产生的密码 ．
13．阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要
分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分
解的方法称为“换元法”．
下面是小胡同学用换元法对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣2x＝y，
原式＝（y﹣1）（y+3）+4（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）＝（x2﹣2x+1）2（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小胡同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；
A．提取公因式法
B．平方差公式法
C．完全平方公式法
（2）老师说，小胡同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ；
（3）请你用换元法对多项式（x2+6x）（x2+6x+18）+81进行因式分解．
14．数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是
边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．现在用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸
片两张拼成如图2所示的大正方形．观察图形并解答下列问题．
（1）由图1到图2的过程可得到的因式分解等式为（用含a，b的代数式表示）；
（2）小敏用图1中的A、B、C三种纸片拼出一个面积为 （3a+b）（a+2b） 的大长方形，求需要A、
B、C三种纸片各多少张；
（3）如图3，C为线段AB上的动点，分别以 AC，BC为边在AB的两侧作正方形 ACDE和正方形BCFG．若AB＝5，记正方形ACDE和正方形BCFG的面积分别为 S S ，且 S +S ＝17，利用（1）中的
1 2 1 2
结论求图中三角形ACF的面积．
15．阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如
果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，
再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式 x2+bx+c（b、c为常数）写成
（x+h）2+k（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不
能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
【知识理解】：
（1）若多项式x2+kx+16是一个完全平方式，那么常数k的值为 ；
（2）配方：x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣ ；
【知识运用】：
（3）已知m2+2mn+2n2﹣4n+4＝0，则m＝ ，n＝ ；
（4）求多项式：x2+y2﹣2x+6y+15的最小值．
