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4.2.2 等差数列的前n项和（1）
一、单选题
1．记等差数列的前 项和为 ，若 ，则该数列的公差 （ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
【答案】B
【解析】 ,
故选B
2．若数列{a}的前n项和S＝n2－1，则a 等于（ ）
n n 4
A．7 B．8 C．9 D．17
【答案】A
【解析】 ，
故选A.
3．在等差数列 中，若d=2， =55，则 为（ ）
A．5或7 B．3或5-1 C．7 D．5
【答案】C
【解析】 ，，解得 ，
故选 .
4．已知等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 =（ ）
A．16 B．12 C．8 D．6
【答案】D
【解析】∵S =90=（a+a ）× =（a+a）× ，a=8，
10 1 10 5 6 5
∴a=10
6∴a=2a﹣a=6
4 5 6
故选D．
5．“嫦娥”奔月，举国欢庆．据科学计算运载“嫦娥”飞船的“长征3号甲”火箭，点火1 min内通过的
路程为2 km，以后每分钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这
一过程大约需要的时间是（ ）
A．10 min B．13 min C．15 min D．20 min
【答案】C
【解析】根据题意分析可以知道，这是一个首项为 ，公差为 的等差数列，即
，解得 ，
故选C.
6．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于
（ ）
A．12 B．16 C．9 D．16或9
【答案】C
【解析】依题意可知，凸多边形的内角成等差数列，
故内角和为 ，解得 或 .
由于内角小于 ，所以 ，所以 ，
故选 .
7．某运输卡车从材料工地运送电线杆到500 m以外的公路，沿公路一侧每隔50 m埋一根电线杆，又知每
次最多只能运3根，要完成运载20根电线杆的任务，最佳方案是使运输卡车运行（ ）
A．11 700 m B．14 600 m C．14 500 m D．14 000 m
【答案】D
【解析】由于总的任务量 是固定的，每次最多运 根，所以有 根是单独的，必须第一趟运送.每
次来回行走的米数构成一个等差数列，记为 ，则 ， ， ，所以，
故选D.
8．一个等差数列共有2n+1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项的值为（ ）
A．30 B．31 C．32 D．33
【答案】C
【解析】中间项为 .因为 ，
，所以 .
故选C.
9．已知 是等差数列，公差 ，设 ，则在数列 中（ ）
A．任一项均不为零 B．必有一项为零
C．至多一项为零 D．没有一项为零或无穷多项为零
【答案】C
【解析】因为已知 是等差数列，公差 ，设 ，
所以 ，
因为 ，令 即 解得 或 ，
当 ，即 时 存在一项为零，当 时， 不存在为零的项，
故选C
10．在等差数列 中， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】由于数列 是等差数列，所以由 ， ，
得 ，解得 .
故选C.
11．设 是等差数列 的前n项和，已知 ，那么n等于（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】C
【解析】因为 是等差数列 的前n项和， ，
所以 ，即 ，所以 ，
又 ，所以 .
故选C
12．把正整数下列方法分组：（1），（2，3），（4，5，6），…，其中每组都比它的前一组多一个数.设
表示第n组中所有数的和，那么 等于（ ）
A．1113 B．4641 C．5082 D．53 361
【答案】B
【解析】因为第 组有 个数，
所以前20组一共有 （个）数，
所以第21组的第一个数为211，这一组共有21个数，
所以 ，
故选B.二、填空题
13．在数列 中，若 ， ，则它的前 项和 ______.
【答案】 ，
【解析】 ，
所以数列为首项 ,公差为 的等差数列.
故填 , .
14．在等差数列 中，已知 ， ，则 ______.
【答案】3840
【解析】依题意得 ，解得 ，故 ，
故 ，所以原式 .
故填3840
15．在等差数列 中， ，记 ，则 等于______.
【答案】156
【解析】依题意，
∵ ， 即 ，∴ ，∴ .
故填156.
16．已知数列 的通项公式 ， ，则 ______.
【答案】50
【解析】由 ，得 ，
∴数列 的前5项为正数，从第6项起为负数，
又由 ，得 ， ，
∴数列 是首项为9，公差为－2的等差数列.
则
.
故填50.
17．等差数列 的前n项和为 .若 ，则 __________.
【答案】
【解析】由题意，设等差数列的公差为 ，因为 ，
所以 ，解得 ，所以 .
故填-110
18．等差数列 中， ， ， ，则 ______.
【答案】28
【解析】因为数列 为等差数列，则
，
又 ，所以
又 ，所以 ，
所以 ，
故填28.
三、解答题
19．已知等差数列 中， ， ， ，求 与 的值.
【解析】由于数列 是等差数列，
故 ，解得 ， .
20．（1）等差数列 前 项和为 ，求证： ；（2）等差数列 、 的前 项和分别为 和 ，若 ，求 的表达式.
【解析】（1）等差数列 前 项和为 ,设首项为 公差为 ,
;
,
成立.
（2） ，
由（1）得 ，
，
.
21．设 ，d为实数，首项为 ，公差为d的等差数列 的前n项和为 ，满足 。
（1）若 ，求 及 ；
（2）求d的取值范围.
【解析】（1）由题意知 ， ，
所以 解得 。
综上， ， 。（2）因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 .
故 的取值范围为 或 .
22．设等差数列 的前n项和为 ，已知 ， ．
（1）求公差d的取值范围并说明理由；
（2）指出 中哪一个值最大，并说明理由．
【解析】（1）依题意，可得
，故 ，解得 .
（2）因为 ，它是 关于n的二次函数表达式，
设顶点的横坐标为 ，如图所示：由 ，可得 ，
则最靠近顶点横坐标的自然数值为6，因此当 时， 最大．
