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第 06 讲 切线长定理与弦切角定理
课程标准 学习目标
1. 掌握切线长的定义与切线长定理，并能够熟练的运
①切线长的定义与切线长定理 用切线长解决问题。
②三角形的内切圆与内心 2. 掌握并能够画三角形的内切圆，掌握三角形的内心
③弦切角的定义与弦切角定理 极其性质，并能够运用其解决相关问题。
3. 掌握弦切角的定义与定理并熟练运用。
知识点01 切线长定理
1. 切线长的定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和 切点 之间的线段的
长，叫做这点到圆的切线长。
即如图，若PA与PB是圆的切线，切点分别是A与B，则PA
与PB的长度是切线长。
2. 切线长定理：
从圆外一点作圆的切线，可以作 2 条，它们的长度 相等 。圆心和这一点的连线 平分两
条切线的夹角。
即PA ＝ PB，∠APO ＝ ∠BPO。
推广：有切线长定理的结论可得：
⌒ ⌒
①△APO ≌ △BPO ∠AOP ＝ ∠BOP AM ＝ AM AB ⊥ OP。
题型考点：①切线长定理的应用。
【即学即练1】
1．如图， O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么
BC的长为 7 ．
⊙
【解答】解：∵AB、AC、BC都是 O的切线，
∴AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，
⊙
∵AB＝4，AC＝5，AD＝1，
∴AE＝1，BD＝3，CE＝CF＝4，
∴BC＝BF+CF＝3+4＝7．
【即学即练2】
2．如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若 O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D
点，则DF的长为（ ）
⊙
A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：∵ O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，
∴AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，
⊙
∵BC＝BE+CE＝6，
∴BD+CF＝6，
∵AD＝AF，∠A＝60°，
∴△ADF是等边三角形，∴AD＝AF＝DF，
∵AB+AC+BC＝16，BC＝6，
∴AB+AC＝10，
∵BD+CF＝6，
∴AD+AF＝4，
∵AD＝AF＝DF，
∴DF＝AF＝AD＝ ×4＝2，
故选：A．
【即学即练3】
3．如图，P为 O外一点，PA、PB分别切 O于A、B，CD切 O于点E，分别交PA、PB于点C、D，
若PA＝5，则△PCD的周长为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．5 B．7 C．8 D．10
【解答】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA＝PB，
同理可得：CA＝CE，DE＝DB．
∵△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，
∴△PCD的周长＝10，
故选：D．
【即学即练4】
4．如图所示，P是 O外一点，PA，PB分别和 O切于A，B两点，C是 上任意一点，过C作 O的切
线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（ ）
⊙ ⊙ ⊙A．12 B．6 C．8 D．4
【解答】解：∵PA，PB分别和 O切于A，B两点，
∴PA＝PB，
⊙
∵DE是 O的切线，
∴DA＝DC，EB＝EC，
⊙
∵△PDE的周长为12，
即PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+AD+EB+PE＝PA+PB＝2PA＝12，
∴PA＝6．
故选：B．
知识点02 三角形的内切圆与内心
1. 内切圆的定义：
如图：与三角形各边都 相切 的圆叫三角形的 内切圆 。三角形
叫做圆的 外切三角形 。
2. 内心：
三角形的 内切圆 的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心就是三角
形三个内角 角平分线 的交点。所以圆心到三角形三边的距离 相等 。
特别说明：任意三角形有且只有一个内切圆，圆有无数个外切三角形。
3. 直角三角形内切圆半径与直角三角形的边的关系：
若a、b是直角三角形的直角边，c是直角三角形的斜边。则这个直角三角形的内切圆半径为
或 。
4. 三角形的面积与内切圆半径的关系：
若三角形的三边长分别是a、b、c，内切圆半径为r，则此三角形的面积可表示为：
。
考点题型：内切圆与内心的性质的应用。
【即学即练1】
5．如图， O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
⊙A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
【解答】解：∵ O是△ABC的内切圆，
则点O到三边的距离相等，
⊙
∴点O是△ABC的三条角平分线的交点；
故选：B．
【即学即练2】
6．如图，在△ABC中，∠C＝58°，点O为△ABC的内心，则∠AOB的度数为（ ）
A．119° B．120° C．121° D．122°
【解答】解：∵点O为△ABC的内心，
∴AO平分∠CAB，BO平分∠CBA，
∴∠BAO＝ ∠CAB，∠ABO＝ ∠CBA，
∴∠AOB＝180°﹣ （∠CAB+∠CBA），
∵∠C＝58°，
∴∠CAB+∠CBA＝122°，
∴∠AOB＝180°﹣61°＝119°，
故选：A．
【即学即练3】
7．如图，已知等边△ABC的内切圆 O半径为3，则AB的长为（ ）
⊙
A．3 B．3 C．6 D．6【解答】解：过O点作OD⊥BC，则OD＝3；
∵O是△ABC的内心，
∴∠OBD＝30°；
Rt△OBD中，∠OBD＝30°，OD＝3，
∴OB＝6，
∴BD＝3 ，
∴AB＝BC＝2BD＝6 ．
故选：C．
【即学即练4】
8．已知△ABC的三边长a＝3，b＝4，c＝5，则它的内切圆半径是 1 ．
【解答】解：
∵a＝3，b＝4，c＝5，
∴a2+b2＝c2，
∴∠ACB＝90°，
设△ABC的内切圆切AC于E，切AB于F，切BC于D，连接OE、OF、OD、OA、OC、OB，内切圆的
半径为R，则OE＝OF＝OD＝R，
∵S△ACB ＝S△AOC +S△AOB +S△BOC ，
∴ ×AC×BC＝ ×AC×0E+ ×AB×OF+ ×BC×OD，
∴3×4＝4R+5R+3R，
解得：R＝1．
故答案为：1．
【即学即练5】
9．已知：如图， O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°．若AC＝12cm，BC＝9cm，求 O的半径r；若AC
＝b，BC＝a，AB＝c，求 O的半径r．
⊙ ⊙
⊙【解答】解：如图；
在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝9cm；
根据勾股定理AB＝ ＝15cm；
四边形OFCD中，OD＝OF，∠ODC＝∠OFC＝∠C＝90°；
则四边形OFCD是正方形；
由切线长定理，得：AD＝AE，CD＝CF，BE＝BF；
则CD＝CF＝ （AC+BC﹣AB）；
即：r＝ （12+9﹣15）＝3．
当AC＝b，BC＝a，AB＝c，
由以上可得：
CD＝CF＝ （AC+BC﹣AB）；
即：r＝ （a+b﹣c）．
则 O的半径r为： （a+b﹣c）．
⊙
知识点03 弦切角定理
1. 弦切角的定义：
如图，像∠ACP这样顶点在 圆上 ，一边与圆 相交 ，一
边与圆 相切 的角叫弦切角。即圆的切线与弦构成的夹角。
2. 弦切角定理：
弦切角的度数与它所夹的弧的圆周角度数 相等 。等于它所夹弧
的圆心角度数的 一半 。证明提示：连接圆心与切点，过圆心作弦的切点即可证明。
题型考点：①利用弦切角定理计算。
【即学即练1】
10．如图，在 O中，AB是弦，AC是 O切线，过B点作BD⊥AC于D，BD交 O于E点，若AE平分
∠BAD，则∠ABD的度数是（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．30° B．45° C．50° D．60°
【解答】解：∵AC是 O切线，
∴∠DAE＝∠B，
⊙
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠B＝∠BAE，
∵BD⊥AC，
∴∠DAE＝∠B＝∠BAE＝30°．
故选：A．
【即学即练2】
11．如图，AB是 O的直径，DB、DE分别切 O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（ ）
⊙ ⊙
A．50° B．55° C．60° D．65°
【解答】
解：连接BC，
∵DB、DE分别切 O于点B、C，
∴BD＝DC，
⊙
∵∠ACE＝25°，
∴∠ABC＝25°，∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝50°．
【即学即练3】
12．如图，已知AB是 O的直径，PC切 O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于 5 5 度．
⊙ ⊙
【解答】解：∵PC切 O于点C，∠PCB＝35°，
∴∠A＝∠PCB＝35°，
⊙
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∴∠A+∠B＝90°，
∴35°+∠B＝90°，
解得∠B＝55°．
故答案为：55．
题型01 切线长定理求长度
【典例1】
如图， O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC
的长为 7 ．
⊙【解答】解：∵AB、AC、BC都是 O的切线，
∴AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，
⊙
∵AB＝4，AC＝5，AD＝1，
∴AE＝1，BD＝3，CE＝CF＝4，
∴BC＝BF+CF＝3+4＝7．
【典例2】
如图，AB、AC、BD是 O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝4，AC＝3，则BD的长是（ ）
⊙
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【解答】解：∵AP、AC是 O的切线，
∴AP＝AC＝3，
⊙
∵AB＝4，
∴PB＝AB﹣AP＝4﹣3＝1，
∵BP、BD是 O的切线，
∴BD＝BP＝1，
⊙
故选：D．
【典例3】
如图， O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（ ）
⊙
A．8 B．9 C．10 D．11【解答】解：∵ O内切于四边形ABCD，
∴AD+BC＝AB+CD，
⊙
∵AB＝10，BC＝7，CD＝8，
∴AD+7＝10+8，
解得：AD＝11．
故选：D．
【典例4】
如图，直线AB、CD、BC分别与 O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，则BE+CG
的长等于（ ）
⊙
A．13 B．12 C．11 D．10
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵CD、BC，AB分别与 O相切于G、F、E，
⊙
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠BCD，BE＝BF，CG＝CF，
∴∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴BC＝ ＝10，
∴BE+CG＝10（cm）．
故选：D．
题型02 切线长与周长
【典例1】
如图，P为 O外一点，PA、PB分别切 O于点A、B，CD切 O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若
PA＝8，则△PCD的周长为（ ）
⊙ ⊙ ⊙A．8 B．12 C．16 D．20
【解答】解：∵PA、PB分别切 O于点A、B，CD切 O于点E，
∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED，
⊙ ⊙
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，
即△PCD的周长为16．
故选：C．
【典例2】
如图，四边形ABCD是 O的外切四边形，且AB＝8，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 4 6 ．
⊙
【解答】解：∵四边形ABCD是 O的外切四边形，如图，
⊙
∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，
∴AD+BC＝AB+CD＝23，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝23+23＝46，
故答案为：46．
【典例3】
以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长
为12，则直角梯形ABCE周长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【解答】解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，
∵CE与半圆O相切于点F，
∴AE＝EF，BC＝CF，
∵EF+FC+CD+ED＝12，∴AE+ED+CD+BC＝12，
∵AD＝CD＝BC＝AB，
∴正方形ABCD的边长为4；
在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，
∵AE+EF+FC+BC+AB＝14，
∴直角梯形ABCE周长为14．
故选：C．
题型03 三角形的内切圆与内心的性质
【典例1】
如图，已知圆O是△ABC的内切圆，且∠A＝70°，则∠BOC的度数是（ ）
A．140° B．135° C．125° D．110°
【解答】解：∵圆O是△ABC的内切圆，
∴点O为三角形的内心，即点O为△ABC三个内角平分线的交点，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB．
∴∠OBC＝ ABC，∠OCB＝ ．
∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°．
∴∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝55°．
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°．
故选：C．
【典例2】
如图所示，△ABC内接于 O，点M为△ABC的内心，若∠C＝80°，则∠MAN的度数是（ ）
⊙A．50° B．55° C．60° D．80°
【解答】解：在△ABC中，∠C＝80°，
∴∠BAC+∠ABC＝100°，
∴∠ANB＝80°，
∵M为△ABC的内心，
∴AM、BM为∠BAC、∠ABC的平分线，
∴∠BAM＝ ∠BAC，∠ABM＝ ∠ABC，
∴∠BAM+∠ABM＝ （∠BAC+∠ABC）＝ （180°﹣∠C）＝50°，
∴∠AMN＝50°，
在△AMN中，∠MAN＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣50°﹣80°＝50°．
故选：A．
【典例3】
如图，在△ABC中，∠ACB＝80°，AC＝BC，点M是AB上一点（不与点A重合），点P是△ACM的内心，
则∠MPC的度数（ ）
A．等于115° B．可以等于80°
C．等于120° D．无法确定
【解答】解：∵∠ACB＝80°，AC＝BC，
∴∠B＝∠A＝50°，
设∠BCM＝x°，
则∠MCA＝80°﹣x，
∴∠AMC＝50°+x，
∵点P是ACM的内心，
∴CP平分∠MCA，MP平分∠AMC，
∴∠MCP＝∠ACP＝ MCA＝ （80°﹣x），∠CMP＝∠AMP＝ AMC＝ （50°+x），
∴∠MPC＝180°﹣∠MCP﹣∠CMP＝180°﹣ （80°﹣x）﹣ （50°+x°）＝115°．
故选：A．
【典例4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3． O是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、AB相切于点
D、E、F，则圆心O到顶点A的距离是（ ）
⊙
A． B．3 C． D．
【解答】解：如图，连结OD，OE，OF，设 O半径为r，
⊙
∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝ ＝5，
∵ O是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、AB相切于点D、E、F，，
∴AC⊥OD，AB⊥OF，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r，
⊙
∴四边形OECF是正方形，
∴CE＝CD＝OD＝r，
∴AD＝AF＝AC﹣CD＝4﹣r，BF＝BE＝BC﹣CE＝3﹣r，
∵AF+BF＝AB＝5，
∴3﹣r+4﹣r＝5，
∴r＝1．
∴OD＝CD＝1，
∴AD＝3．
∴AO＝ ＝ ，
故选：C．
【典例5】
如图，在 O中， ＝ ，BC＝6．AC＝3 ，I是△ABC的内心，则线段OI的值为（ ）
⊙A．1 B． ﹣3 C．5﹣ D．
【解答】解：如图，连接AO，延长AO交BC于H，连接OB．
∵ ＝ ，
∴AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝3，
∴AH＝ ＝ ＝9，
设OA＝OB＝x，
在Rt△BOH中，∵OB2＝OH2+BH2，
∴x2＝（9﹣x）2+32，
∴x＝5，
∴OH＝AH﹣AO＝9﹣5＝4，
∵S△ABC ＝ •BC•AH＝ •（AB+AC+BC）•IH，
∴IH＝ ＝ ﹣1，
∴OI＝OH﹣IH＝4﹣（ ﹣1）＝5﹣ ，
故选：C．
【典例6】
如图，△ABC的内切圆 I与BC，CA，AB分别相切于点 D，E，F，若 I的半径为 r，∠A＝ ，则
（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分别为（ ）
⊙ ⊙ αA．2r，90°﹣ B．0，90°﹣ C．2r， D．0，
【解答】解：如图，连接IF，IE．
α α
∵△ABC的内切圆 I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴BF＝BD，CD＝CE，IF⊥AB，IE⊥AC，
⊙
∴BF+CE﹣BC＝BD+CD﹣BC＝BC﹣BC＝0，∠AFI＝∠AEI＝90°，
∴∠EIF＝180°﹣ ，
α
∴∠EDF＝ ∠EIF＝90°﹣ ．
故选：D．
α
题型04 弦切角定理的应用
【典例1】
如图，AB是 O的直径，DB、DE分别切 O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（ ）
⊙ ⊙
A．50° B．55° C．60° D．65°
【解答】
解：连接BC，
∵DB、DE分别切 O于点B、C，
∴BD＝DC，
⊙∵∠ACE＝25°，
∴∠ABC＝25°，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝50°．
【典例2】
如图，AB是 O的直径，点C为 O上一点，过点C作 O的切线，交直径AB的延长线于点D，若
∠ABC＝65°，则∠D的度数是（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．25° B．30° C．40° D．50°
【解答】解：连接OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∵∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣65°＝25°，
∴∠BCD＝∠A＝25°，
∵∠OBC＝∠BCD+∠D
∴∠D＝65°﹣25°＝40°．
故选：C．
【典例3】
如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若
∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（ ）A．97° B．104° C．116° D．142°
【解答】解：∵BD是圆O的直径，
∴∠BAD＝90°，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∵直线ED为圆O的切线，
∴∠ADE＝∠ABD＝19°，
∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠ABD＝180°﹣45°﹣19°＝116°．
故选：C．
【典例4】
如图，PA、PB分别是 O的切线，A、B是切点，AC是 O的直径．已知∠APB＝70°，则∠ACB的度数
为 5 5 °．
⊙ ⊙
【解答】解：∵PA、PB分别是 O的切线，
∴PA＝PB；
⊙
∵∠APB＝70°，
∴∠PBA＝ （180°﹣∠APB）＝55°，
∵PB切 O于B，
∴∠ACB＝∠PBA＝55°．
⊙1．如图，AB、AC、BD分别切 O于点P、C、D．若AB＝5，AC＝3，则BD的长是（ ）
⊙
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：∵AC、AP为 O的切线，
∴AC＝AP＝3，
⊙
∵BP、BD为 O的切线，
∴BP＝BD，
⊙
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝5﹣3＝2．
故选：C．2．如图，P为 O外一点，PA、PB分别切 O于A、B，CD切 O于点E，分别交PA、PB于点C、D，
若PA＝5，则△PCD的周长为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．5 B．7 C．8 D．10
【解答】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA＝PB，
同理可得：CA＝CE，DE＝DB．
∵△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，
∴△PCD的周长＝10，
故选：D．
3．如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm， O是它的内切圆，小明准备用剪刀在
O的右侧沿着与 O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（ ）
⊙
⊙ ⊙
A．12cm B．7cm
C．6cm D．随直线MN的变化而变化
【解答】解：设E、F分别是 O的切点，
∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17cm， O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC
⊙
＝5cm，
⊙
∴BD+CE＝BC＝5cm，则AD+AE＝7cm，
故DM＝MF，FN＝EN，
∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．
故选：B．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的内切圆 O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，若
⊙O的半径为2，AD•DB＝24，则AB的长（ ）
⊙
A．11 B．10 C．9 D．8
【解答】解：如图连接OE、OF．则由题意可知四边形ECFO是正方形，边长为2．
∵△ABC的内切圆 O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，
∴可以假设AD＝AF＝a，BD＝BE＝b，
⊙
则AC＝a+2，BC＝b+2，AB＝a+b，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴（a+2）2+（b+2）2＝（a+b）2，
∴4a+4b+8＝2ab，
∴4（a+b）＝48﹣8，
∴a+b＝10，
∴AB＝10．
故选：B．
5．如图，△ABC的内切圆圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝53°，则∠A的度数是
（ ）
A．36° B．53° C．74° D．128°
【解答】解：连接OD、OF，
∵ O分别与AB、AC相切于点D、点F，
∴AB⊥OD，AC⊥OF，
⊙
∴∠ODA＝∠OFA＝90°，
∵∠DEF＝53°，
∵∠DOF＝2∠DEF＝2×53°＝106°，
∴∠A＝360°﹣∠ODA﹣∠OFA﹣∠DOF＝360°﹣90°﹣90°﹣106°＝74°，
故选：C．6．已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，CA＝b，AB＝c． O是△ABC的内切圆，下列选项中， O的半
径为（ ）
⊙ ⊙
A． B． C． D．
【解答】解：设圆O的半径是x，圆切AC于E，切BC于D，切AB于F，如图，
∵OE⊥AC，OD⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形OECD是矩形，
又∵OE＝OD，
∴四边形OECD是正方形，
∴CE＝CD，
∵AE＝AF，BD＝BF，
∴a﹣x+b﹣x＝c，
∴x＝ ，
∴ O的半径为 ，
故选：A．
⊙
7．点P是 O外一点，PA、PB分别切 O于点A、B，∠P＝70°，点C是 O上的点（不与点A、B重
合），则∠ACB等于（ ）
⊙ ⊙ ⊙A．70° B．55° C．70°或110° D．55°或125°
【解答】解：如图，
∵PA、PB分别切 O于点A、B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
⊙
∵∠P＝70°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠ACB＝55°，
当点C在劣弧AB上，
∵∠AOB＝110°，
∴弧ACB的度数为250°，
∴∠ACB＝125°．
故选：D．
8．如图，等边△ABC边长为a，点O是△ABC的内心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段
AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：
①△ODE形状不变；
②△ODE的面积最小不会小于四边形ODBE的面积的四分之一；
③四边形ODBE的面积始终不变；
④△BDE周长的最小值为1.5a．
上述结论中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：连接OB、OC，如图，∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点O是等边△ABC的内心，
∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，
而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，
∴∠BOD＝∠COE，
在△BOD和△COE中，
∠BOD＝∠COE，BO＝CO，∠OBD＝∠OCE，
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴BD＝CE，OD＝OE，
所以①正确；
∴S△BOD ＝S△COE ，
∴四边形ODBE的面积＝S△OBC ＝ S△ABC ＝ × a2＝ a2，所以③正确；
作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，
∵∠DOE＝120°，
∴∠ODE＝∠OEH＝30°，
∴OH＝ OE，HE＝ OH＝ OE，
∴DE＝ OE，
∴S△ODE ＝ •OE• OE＝ OE2，
即S△ODE 随OE的变化而变化，
而四边形ODBE的面积为定值，
∵BD＝CE，
∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝a+DE＝a+ OE，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝ a，
∴△BDE周长的最小值＝a+ a＝1.5a，所以④正确；
∴△ODE的面积最小为：
（ a）2＝ a2，
而四边形ODBE的面积为： a2，
∴△ODE的面积最小不会小于四边形ODBE的面积的四分之一，所以②正确
综上所述：
上述结论中正确的是①②③④．
故选：A．
9．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图
放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的直径是 6 cm．
【解答】解：∵∠CAD＝60°，
∴∠CAB＝120°，
∵AB和AC与 O相切，
∴∠OAB＝∠OAC，
⊙
∴∠OAB＝ ∠CAB＝60°
∵AB＝3cm，
∴OA＝6cm，
∴由勾股定理得OB＝3 cm，
∴光盘的直径是6 cm．
故答案为：6 ．10．如图，点O是△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝3，OC＝6， ，则 O的半径为 ．
⊙
【解答】解：过O作交BC于E，设BE＝x，
∵点O是△ABC的内心，OB＝3，OC＝6， ，
在Rt△OBE中，由勾股定理可得：32＝x2+r2，
在Rt△OCE中，由勾股定理可得： ，
故 ，
解得 ，
故 ，
故答案为： ．
11．如图，P为 O外一点，PA、PB分别切 O于A、B，CD切 O于点E，分别交PA、PB于点C、D，
若PA＝5，则△PCD的周长为 1 0 ．
⊙ ⊙ ⊙
【解答】解：∵PA、PB切 O于A、B，
⊙∴PA＝PB＝5；
同理，可得：EC＝CA，DE＝DB；
∴△PDC的周长＝PC+CE+DE+DP＝PC+AC+PD+DB＝PA+PB＝2PA＝10．
即△PCD的周长是10．
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，直角边BC在x轴上，
其内切圆的圆心坐标为I（0，1），抛物线y＝ax2+2ax+1的顶点为A，则a＝ ．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，其内切圆的圆心坐标为I（0，1），
∴CE＝OC＝OI＝1，OB＝BD，AE＝AD，
∴AB＝AD+BD＝AE+OB，
设AE＝x，OB＝y，
∴AC＝x+1，BC＝y+1，
∵∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC，即AB＝2（x+1），2（x+1）＝x+y，化简得y＝x+2①，
由勾股定理，得（x+1）2+（y+1）2＝[2（x+1）]2，
化简得3x2+6x﹣y2﹣2y+2＝0②，
把①代入②解得： （负值不符合题意，已舍去），
∴ ，
∴ ，
∵y＝ax2+2ax+1＝a（x+1）2+1﹣a，
∴抛物线y＝ax2+2ax+1的顶点为（﹣1，1﹣a），
∵抛物线y＝ax2+2ax+1的顶点为A，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．如图，PA、PB、DE切 O于点A、B、C、D在PA上，E在PB上，
（1）若PA＝10，求△PDE的周长．
⊙
（2）若∠P＝50°，求∠O度数．【解答】解：（1）∵PA、PB、DE分别切 O于A、B、C，
∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；
⊙
∴C△PDE ＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10+10＝20；
∴△PDE的周长为20；
（2）连接OA、OC、0B，
∵OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，
∴∠DAO＝∠EBO＝90°，
∴∠P+∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣50°＝130°
∵∠AOD＝∠DOC，∠COE＝∠BOE，
∴∠DOE＝ ∠AOB＝ ×130°＝65°．
14．如图，AB为 O直径，PA、PC分别与 O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q．
（1）求证：OQ＝PQ；
⊙ ⊙
（2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长．
【解答】（1）证明：连接OP．
∵PA、PC分别与 O相切于点A，C，
∴PA＝PC，OA⊥PA，
⊙
∵OA＝OC，OP＝OP，∴△OPA≌△OPC（SSS），
∴∠AOP＝∠POC，
∵QP⊥PA，
∴QP∥BA，
∴∠QPO＝∠AOP，
∴∠QOP＝∠QPO，
∴OQ＝PQ．
（2）设OA＝r．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵OB∥QD，
∴∠QDC＝∠B，
∵∠OCB＝∠QCD，
∴∠QCD＝∠QDC，
∴QC＝QD＝6，∵QO＝QP，
∴OC＝DP＝r，
∵PC是 O的切线，
∴OC⊥PC，
⊙
∴∠OCP＝∠PCQ＝90°，
在Rt△PCQ中，∵PQ2＝PC2+QC2，
∴（6+r）2＝62+（2r）2，
r＝4或0（舍弃），
∴OP＝ ＝4 ，
∵OB＝PD，OB∥PD，
∴四边形OBDP是平行四边形，
∴BD＝OP＝4 ．
15．如图，PA、PB、CD是 O的切线，点A、B、E为切点．
（1）如果△PCD的周长为10，求PA的长；
⊙（2）如果∠P＝40°，
①求∠COD；
②连AE，BE，求∠AEB．
【解答】解：（1）∵PA、PB、CD是 O的切线，点A、B、E为切点，
∴PA＝PB，AC＝CE，ED＝BD，
⊙
∵△PCD的周长为10，
∴PC+CD+PD＝10，
∴PC+CE+DE+PD＝PC+AC+PD+BD＝PA+PB＝2PA＝10，
∴PA＝5；
（2）①∵∠P＝40°，
∴∠PCD+∠PDC＝180°﹣40°＝140°，
∴∠ACD+∠BDE＝360°﹣140°＝220°，
∵PA、PB、CD是 O的切线，点A、B、E为切点，
⊙
∴∠ACO＝∠DCO＝ ∠ACD，∠BDO＝∠EDO＝ ∠BDE，
∴∠OCD+∠ODC＝ ×220°＝110°，
∴∠COD＝180°﹣110°＝70°；
②∠AEB＝180°﹣∠AEC﹣∠BED
＝180°﹣ ﹣
＝180°﹣90°+ ∠ACD﹣90°+ ∠BDE
＝ ×220°
＝110°．
