第06讲二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（知识解读+真题演练+课后巩固）（教师版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_知识解读与题型专练-V14_2024版

第 06 讲 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 1.会用配方法将二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k，从而 确定顶点坐标、对称轴. 2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会应用. 3.会利用二次函数的对称性画出二次函数的图象. 4. 掌握二次函数字母系数与图象的关系. 知识点1 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与y=a（x-h)²+k之间的相互关系 1. 顶点式化成一般式 y a(xh)2 k 2. 从函数解析式 我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称 y a(xh)2 k y a(xh)2 k 为顶点式，将顶点式 去括号，合并同类项就可化成一 y ax2 bxc 般式 ． 3. 一般式化成顶点式  b   b  b  2  b  2 y ax2 bxca  x2  x  cax2 x      c  a   a 2a 2a   b  2 4acb2 a x     2a 4a ． b 4acb2 h k  对照 y a(xh)2 k ，可知 2a ， 4a ．  b 4acb2  b x  ,  ∴ 抛物线 y ax2 bxc 的对称轴是直线 2a ，顶点坐标是  2a 4a  ． 知识点2 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点 M，并用虚 线画出对称轴． y ax2 bxc (2)求抛物线 与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这 两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、 D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 注意：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称 点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图 象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 知识点3 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像和性质 函数 y ax2 bxc 二次函数 （a、b、c为常数，a≠0） a0 a0 图象 开口方向 向上 向下 b b 对称轴 x x 直线 2a 直线 2a  b 4acb2   b 4acb2  顶点坐标  ,   ,   2a 4a   2a 4a  b b x x 在对称轴的左侧，即当 2a时，y随x的 在对称轴的左侧，即当 2a时，y b 随x的增大而增大；在对称轴的右侧， 增减性 x b 增大而减小；在对称轴的右侧，即当 2a x 时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 即当 2a 时，y 随 x 的增大而减 小．简记：左增右减 b b x x 抛物线有最低点，当 2a 时，y 有最小 抛物线有最高点，当 2a 时，y有 最大(小)值 4acb2 4acb2 y  y  值， 最小值 4a 最大值， 最大值 4a y  ax2 bxc(a  0) 知识点4 二次函数 图象和性质 a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母的符号 图象的特征 字母 a a＞0 开口向上a＜0 开口向下 ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 b ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c=0 图象过原点 c c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 【题型1：二次函数的y=ax2+bx+c顶点、对称轴与最值问题】 【典例1】（2022秋•郊区期末）抛物线y＝﹣4x2+3的开口方向和顶点坐标分别 是（ ） A．向上，（﹣4，3） B．向下，（﹣4，3） C．向下，（0，3） D．向上，（0，3） 【答案】C 【解答】解：抛物线y＝﹣4x2+3的开口向下，顶点坐标是（0，3）． 故选：C 【变式 1-1】（2022 秋•镇海区期末）抛物线 y＝﹣3x2+6x﹣1 的对称轴是 （ ） A．直线x＝2 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝﹣1 【答案】B 【解答】解：∵y＝﹣3x2+6x﹣1， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝1， 故选：B． 【变式 1-2】（2022 秋•厦门期末）点 A（0，5），B（4，5）是抛物线 y＝ ax2+bx+c上的两点，则该抛物线的顶点可能是（ ） A．（2，5） B．（2，4） C．（5，2） D．（4，2） 【答案】B 【解答】解：∵点A（0，5），B（4，5）的纵坐标相等， ∴点A（0，5），B（4，5）关于对称轴对称，∴对称轴为直线x＝ ＝2， 即直线x＝2， ∵抛物线的顶点在对称轴上， ∴顶点的纵坐标不等于5． 故选：B． 【题型2: 二次函数y=ax2+bx+c图像变换问题】 【典例2】（2023•纳溪区模拟）把函数 y＝x2﹣2x+3的图象向左平移1个单位 长度，平移后图象的函数解析式为（ ） A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣3 【答案】A 【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴把函数y＝x2﹣2x+3的图象向左平移1个单位长度，平移后图象的函数解 析式为：y＝（x﹣1+1）2+2，即y＝x2+2． 故选：A． 【变式2-1】（2023•纳溪区模拟）把函数y＝x2﹣2x+3的图象向左平移1个单位 长度，平移后图象的函数解析式为（ ） A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣3 【答案】A 【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴把函数y＝x2﹣2x+3的图象向左平移1个单位长度，平移后图象的函数解 析式为：y＝（x﹣1+1）2+2，即y＝x2+2． 故选：A． 【变式2-2】（2022•泸州）抛物线y＝﹣ x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物 线是（ ） A．y＝﹣ x2+x B．y＝﹣ x2﹣4 C．y＝﹣ x2+2021x﹣2022 D．y＝﹣x2+x+1 【答案】D【解答】解：∵将抛物线y＝﹣ x2+x+1经过平移后开口方向不变，开口大小 也不变， ∴抛物线y＝﹣ x2+x+1经过平移后不可能得到的抛物线是y＝﹣x2+x+1． 故选：D． 【变式2-3】（2023•神木市一模）把抛物线y＝x2+bx+c向右平移4个单位，再 向下平移3个单位，得到抛物线y＝x2﹣4x+3，则b、c的值分别为 （ ） A．b＝﹣12，c＝32B．b＝4，c＝﹣3 C．b＝0，c＝6 D．b＝4，c＝6 【答案】D 【解答】解：将抛物线y＝x2﹣4x+3化成顶点式为y＝（x﹣2）2﹣1， 将抛物线y＝x2﹣4x+3向左平移4个单位，再向上平移3个单位得新抛物线解 析式为y＝（x﹣2+4）2﹣1+3， 即y＝x2+4x+6， 即抛物线y＝x2+bx+c的解析式为y＝x2+4x+6， ∴b＝4，c＝6， 故选：D． 【题型3： 二次函数y=ax2+bx+c的性质】 【典例3】（2023•成都模拟）下列关于抛物线 y＝x2+4x﹣5的说法正确的是（ ） ①开口方向向上； ②对称轴是直线x＝﹣4； ③当x＜﹣2时，y随x的增大而减小； ④当x＜﹣5或x＞1时，y＞0． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【解答】解：∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，a＝1＞0， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 x＝﹣2，当x＜﹣2时，y随x的增大而减 小； 故①正确，②错误，③正确； 令y＝0，即x2+4x﹣5＝0，解得：x ＝1，x ＝﹣5， 1 2 ∴抛物线开口向上，与x轴交于（1，0），（﹣5，0）， ∴当x＜﹣5或x＞1时，y＞0， 故④正确， 综上所述，正确的有：①③④， 故选：C． 【变式3-1】（2022秋•绵阳期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部 分对应值如表： x … 1 3 4 6 … y … 8 18 20 18 … 下列结论中，正确的是（ ） A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线x＝4 C．当x＞4时，y随x的增大而减小 D．当x＜4.5时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解答】解：由图可知，x＝3和x＝6时对应的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为直线 ，此时抛物线有最大值， ∴抛物线开口向下，故选项A、B错误， ∴当x＜4.5时，y随x的增大而增大；当x＞4.5时，y随x的增大而减小， 故选项C错误，选项D正确， 故选：D． 【变式3-2】（2022秋•金水区期末）关于二次函数y＝x2+4x﹣1，下列说法不正 确的是（ ） A．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1） B．图象的对称轴在y轴的左侧 C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣5） D．当x＜2时，y的值随x值的增大而减小 【答案】D 【解答】解：∵y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，∴当x＝0时，y＝﹣1， 故选项A正确； 该函数的对称轴是直线x＝﹣2， 故B选项正确； 函数的顶点坐标为（﹣2，﹣5）， 故C选项正确； 当﹣2＜x＜2时，y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小， 故选项D错误． 故选：D． 【变式3-3】（2023•秦都区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横 坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 ﹣1 m 3 … 以下结论错误的是（ ） A．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣1） B．当x＞1时，y随x增大而增大 C．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2 D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2 【答案】D 【解答】解：将（﹣1，3），（3，3），（1，﹣1）代入y＝ax2+bx+c得： ， 解得： ， ∴y＝x2﹣2x， A．∵a＝1， ∴抛物线开口向上，顶点（1，﹣1）， 故A正确，不符合题意； B．∵图象对称轴为直线x＝1，且开口向上，∴x＞1时，y随x增大而增大， 故B正确，不符合题意； C．∵y＝x2﹣2x＝x（x﹣2）， ∴当x＝0或x＝2时y＝0， 故C正确，不符合题意； D．∵抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（0，0），（2，0）， ∴x＜0或x＞2时，y＞0， 故D错误，符合题意； 故选：D． 【题型4:二次函数y=ax2+bx+c的y值大小比较】 【典例4】（2023•汉中二模）二次函数 y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象经过A （﹣4，y ），B（﹣2，y ），C（3，y ），D（5，y ）四个点，y ＜0，y ＞ 1 2 3 4 2 4 0，则下列结论正确的是（ ） A．y y ＞0 B．y y ＜0 C．y y ＜0 D．y y ＞0 3 4 2 3 1 2 1 3 【答案】C 【解答】解：∵二次函数 y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣ ＝1，且开口向上， ∴点B（﹣2，y ）与点（4，y ）关于对称轴对称，点 D（5，y ）与点（﹣ 2 2 4 3，y ）关于对称轴对称， 4 ∵y ＜0，y ＞0， 2 4 ∵A（﹣4，y ）在点（﹣3，y ）左侧， 1 4 ∴y ＞0， 1 ∵C（3，y ）在点（4，y ）的左侧， 3 2 ∴y ＜0， 3 ∴y y ＜0，故A错误； 3 4 y y ＞0，故B错误； 2 3 y y ＜0，故C正确； 1 2 y y ＜0，故D错误． 1 3 故选：C． 【变式4-1】（2023•宜州区二模）P （﹣2，y ），P （﹣1，y ），P （3，y ） 1 1 2 2 3 3均在二次函数y＝x2+2x﹣3的图象上，则y ，y ，y 的大小关系是（ ） 1 2 3 A．y ＞y ＞y B．y ＝y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y 1 3 2 1 2 1 3 1 2 1 2 3 【答案】C 【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1， ∵a＝1＞0， ∴x＜﹣1时，y随x的增大而减小， ∵P （3，y ）的对称点为（﹣5，y ），且﹣5＜﹣2＜﹣1， 3 3 3 ∴y ＞y ＞y ． 3 1 2 故选：C． 【变式4-2】（2023•邯郸模拟）已知点A（n﹣2，y ），B（n，y ）在二次函数 1 2 的y＝﹣x2+2x+3图象上，若y ＜y ，则n的取值范围为（ ） 1 2 A．n≤1 B．n＜2 C．1＜n＜2 D．n＞2 【答案】B 【解答】解：∵点A（n﹣2，y ），B（n，y ）在二次函数的y＝﹣x2+2x+3 1 2 图象上，且y ＜y ， 1 2 ∴﹣n2+2n+3＞﹣（n﹣2）2+2（n﹣2）+3， 化简整理得，4n﹣8＜0， ∴n＜2， ∴n的取值范围是n＜2， 故选：B． 【变式4-3】（2023•洞头区二模）已知（﹣1，y ），（2，y ），（4，y ）是 1 2 3 抛物线y＝﹣x2+4x+c上的点，则（ ） A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y 3 2 1 3 1 2 2 3 1 1 3 2 【答案】D 【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣4x+a， ∴图象开口向下，对称轴是直线x＝ ＝2， 当x＞2时，y随x的增大而减小， ∵（﹣1，y ），（2，y ），（4，y ）是抛物线y＝﹣x2﹣4x+a上的点， 1 2 3 ∴点（﹣1，y ）关于对称轴x＝2的对称点是（5，y ）， 1 4∴y ＝y ， 1 4 ∵2＜4＜5， ∴y ＞y ＞y ， 2 3 4 即y ＞y ＞y ， 2 3 1 故选：D． 【变式4-4】（2023•南岗区模拟）已知（﹣3，y ），（﹣2，y ）是抛物线y＝ 1 2 ﹣x2﹣4x+1上的点，则（ ） A．y ＜y B．y ＜y C．y ＝y D．y ≤y 2 1 1 2 1 2 1 2 【答案】B 【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2﹣4x+1， ∴图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣ ＝﹣2，当x＜﹣2时，y随x 的增大而增大， ∵（﹣3，y ），（﹣2，y ）是抛物线y＝﹣x2﹣4x+1上的点，﹣3＜﹣2， 1 2 ∴y ＜y ， 1 2 故选：B． 【题型5:二次函数y=ax2+bx+c的最值问题探究】 【典例5】（2022秋•江门校级期末）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）在 ﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（ ） A．﹣4或﹣ B．4或﹣ C．﹣4或 D．4或 【答案】B 【解答】解：∵二次函数解析式为y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）， ∴二次函数对称轴为直线 ， 当m＞0时， ∵在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2， ∴当x＝1时，y＝m﹣2m+2＝﹣2， ∴m＝4； 当m＜0时， ∵在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，∴当x＝﹣2时，y＝4m+4m+2＝﹣2， ∴m＝﹣ ； 综上所述，m＝4或m＝﹣ ， 故选：B． 【变式5-1】（2023•山丹县模拟）二次函数y＝2x2﹣8x﹣2的最小值是（ ） A．﹣2 B．﹣10 C．﹣6 D．6 【答案】B 【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣8x﹣2可化为y＝2（x﹣2）2﹣10， ∴二次函数y＝2x2﹣8x﹣2的最小值是﹣10； 故选：B． 【变式5-2】（2022秋•江阳区期末）若函数 y＝x2﹣2x+1在a≤x≤a+2上的最 小值为4，则实数a的值为（ ） A．﹣3或3 B．﹣1或1 C．0或2 D．2或4 【答案】A 【解答】解：∵函数y＝x2﹣2x+1在a≤x≤a+2上的最小值为4， ∴令y＝4， 解得：x＝﹣1或x＝3， ∵1＞0， ∴函数图象开口向上， ∴a+2＝﹣1或a＝3， ∴a＝﹣3或a＝3． 故选：A． 【变式5-3】（2022秋•盐山县校级期末）当 y＝x2﹣6x﹣3的值最小时，x的取 值是（ ） A．0 B．﹣3 C．3 D．﹣9 【答案】C 【解答】解：∵y＝x2﹣6x﹣3＝（x﹣3）2﹣12， ∴该抛物线的顶点坐标是（3，﹣12）且抛物线开口向上， ∴当x＝3时，该函数取最小值．故选：C． 【变式 5-4】（2022 秋•和平区校级期末）已知二次函数 y＝x2﹣2x+2 在 m≤x≤m+1时有最小值m，则整数m的值是（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．±1或2 【答案】C 【解答】解：∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，函数最小值为1， 当m+1＜1，即m＜0时，x＝m+1时y取最小值， ∴m＝（m+1﹣1）2+1，即m2﹣m+1＝0（无解）， 当m≥1时，x＝m时y取最小值， ∵m＝（m﹣1）2+1， 解得m＝1或2， ∴整数m的值为1或2， 故选：C 【题型6: 二次函数y=ax2+bx+c的图像问题】 【典例6】（2023•兴庆区校级二模）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如 图所示，则一次函数y＝bx﹣a在坐标系内的大致图象为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，对称轴在 y 轴右边，与y轴的交点在y轴正半轴，∴a＞0，﹣ ＞0，c＞0， ∴b＜0，﹣a＜0， ∴一次函数y＝bx﹣a的图象经过第二、三、四象限， 故选：A． 【变式6-1】（2023•绥化模拟）函数 y＝ax2+bx+1和y＝ax﹣b（a是常数，且 a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0， 故不一致，不合题意； B、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故不一致，不 合题意； C、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故一致，符合 题意； D、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故不一致，不 合题意． 故选：C． 【变式6-2】（2023•新都区模拟）如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝acx+b的图象可能是（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，则ac＜0，由直线可知， ac＞0，b＞0，故本选项不合题意； B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞ 0，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜ 0，故本选项不合题意； D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞ 0，故本选项不合题意． 故选：B． 【变式6-3】（2023•拱墅区模拟）二次函数y＝ax2﹣2x+1和一次函数y＝ax﹣a （a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A． B． C． D．【答案】B 【解答】解：A：根据图象可得二次函数开口向上，则a＞0，此时一次函数y ＝ax﹣a的图象经过一三四象限，而图中是经过一次函数图象是经过一二四 象限，故选项A不符合题意； B：根据图象可得二次函数开口向上，则a＞0，对称轴x＝ ＝ ＞0，对 称轴在y轴的右边，图象符合要求，此时此时一次函数 y＝ax﹣a的图象经过 一三四现象，图中所给符合要求，故选项B符合题意； C：根据图象可得二次函数开口向上，则 a＞0，对称轴x＝ ＝ ＞0，对 称轴在y轴的右边，而图中所给对称轴在y轴左边，故选项C不符合题意； D：根据图象可得二次函数开口向下，则a＜0，当a＜0时，一次函数y＝ax ﹣a的图象经过一二四象限，图中所给是经过一三四象限，故选项 D不符合 题意； 故选：B． 【题型7: 二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c系数间的关系】 【典例7】（2023•梅州一模）如图是二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象， 有如下结论： ①abc＞0：②a+b+c＜0：③4a+b＜0；④4a＞c． 其中正确的结论有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，∴a＞0，c＞0， ∵抛物线对称轴为x＝﹣ ＞0， ∴b＜0， ∴abc＜0， ∴①错误； ∵当x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， ∴②正确； ∵抛物线对称轴为x＝﹣ ＜2，a＞0， ∵b＞﹣4a， ∴4a+b＞0， ∴③错误； ∵抛物线对称轴为x＝﹣ ＜2，a＞0， ∴b＞﹣4a， ∵a+b+c＜0， ∴a﹣4a+c＜0， ∴﹣3a+c＜0， ∴3a＞c， ∵a＞0， ∴4a＞c， ∴④正确． 故选：B． 【变式7-2】（2023•广东模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下 结论：①abc＜0；②2a﹣b+c≤0；③3b﹣2c＜0；④对任意实数m，都有 2am2+2bm﹣b≥0．其中正确的有（ ）A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线对称轴为直线x＝1， ∴﹣ ＝1， ∴b＝﹣2a＜0， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＞0，故①错误； ∵x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0， ∵a＞0， ∴2a﹣b+c＞0，故②错误； ∵b＝﹣2a， ∴a＝﹣ ， 由图象可得x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝﹣ b+c＞0， ∴3b﹣2c＜0，故③正确； 由x＝1时函数取最小值可得am2+bm+c≥a+b+c， ∴am2+bm≥a+b， ∵a＝﹣ ，∴am2+bm≥ ， ∴2am2+2bm﹣b≥0，故④正确． 故选：D． 【变式 7-3】（2023•雁塔区校级三模）如图，直线 x＝1 是二次函数 y＝ ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴，则下列结论：①abc＞0；②b+2a＝0； ③3a+c＞0；④4a+2b+c＞0，正确的是（ ） A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【解答】解：①∵开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴在y轴右侧， ∴﹣ ＞0， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0，故结论错误； ②∵对称轴为直线x＝1， ∴﹣ ＝1． ∴2a+b＝0． 故结论正确； ③∵2a+b＝0， ∴b＝﹣2a，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故结论不正确； ④当x＝2时，4a+2b+c＞0，故结论正确； 综上所述，正确的结论是②④． 故选：B． 【变式7-4】（2023•滕州市校级模拟）在平面直角坐标系中，已知二次函数 y ＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列 5个结论：①abc＞0；②a﹣ b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵图象开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线x＝﹣ ＝1， ∴b＝﹣2a＞0， ∵图象与y轴的交点在x轴的上方， ∴c＞0， ∴abc＜0， ∴①说法错误， ∵﹣ ＝1， ∴2a＝﹣b， ∴a﹣b＝3a＜0， ∴②说法错误，由图象可知点（﹣1，0）的对称点为（3，0）， ∵当x＝﹣1时，y＜0， ∴当x＝3时，y＜0， ∴9a+3b+c＜0， ∴③说法错误， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac， ∴④说法正确； 当x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0， ∴a+c＜b， ∴⑤说法正确， ∴正确的为④⑤， 故选：B． 1．（2021•兰州）二次函数y＝x2+4x+1的图象的对称轴是（ ） A．x＝2 B．x＝4 C．x＝﹣2 D．x＝﹣4 【答案】C 【解答】解：∵二次函数y＝x2+4x+1， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣2． 故选：C． 2．（2021•河池）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法中， 错误的是（ ）A．对称轴是直线x＝ B．当﹣1＜x＜2时，y＜0 C．a+c＝b D．a+b＞﹣c 【答案】D 【解答】解：A、对称轴是直线x＝ ＝ ，故选项A不符合题意； B、由函数图象知，当﹣1＜x＜2时，函数图象在x轴的下方， ∴当﹣1＜x＜2时，y＜0，故选项B不符合题意； C、由图可知：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0， ∴a+c＝b，故选项C不符合题意； D、由图可知：当x＝1时，y＝a+b+c＜0， ∴a+b＜﹣c，故选项D符合题意； 故选：D． 3．（2022•六盘水）如图是二次函数 y＝x2+bx+c的图象，该函数的最小值是 ﹣ 4 ． 【答案】﹣4． 【解答】解：由函数图象可得：﹣ ＝﹣ ＝﹣1，解得：b＝2， ∵图象经过（﹣3，0）点， ∴0＝（﹣3）2﹣3×2+c， 解得：c＝﹣3， 故二次函数解析式为：y＝x2+2x﹣3， 则二次函数的最小值为： ＝ ＝﹣4． 故答案为：﹣4． 4．（2022•盐城）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到 y轴的距离小于2，则n的取值范围是 1 ≤ n ＜ 1 0 ． 【答案】1≤n＜10． 【解答】解：∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1， ∴二次函数y＝x2+2x+2的图象开口向上，顶点为（﹣1，1），对称轴是直线 x＝﹣1， ∵P（m，n）到y轴的距离小于2， ∴﹣2＜m＜2， 而﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1）， 当m＝2，n＝（2+1）2+1＝10， 当m＝﹣1时，n＝1， ∴n的取值范围是1≤n＜10， 故答案为：1≤n＜10． 5．（2022•长春）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤ 时，函数值y的最 小值为1，则a的值为 ﹣ 1 ﹣ ． 【答案】﹣1﹣ ． 【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴图象开口向下，顶点坐标为（﹣1，4）， 根据题意，当a≤x≤ 时，函数值y的最小值为1，当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1， ∴x＝﹣1± ， ∵﹣1+ ＞ ， ∴﹣1﹣ ≤x≤ 时，函数值y的最小值为1， ∴a＝﹣1﹣ ． 故答案为：﹣1﹣ ． 5．（2022•北京）在平面直角坐标系 xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线 y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t． （1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值； （2）点（x ，m）（x ≠1）在抛物线上．若 m＜n＜c，求t的取值范围及x 0 0 0 的取值范围． 【答案】（1）t＝2；抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）． （2） ＜t＜2；x 的取值范围2＜x ＜3． 0 0 【解答】解：（1）法一、将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式， ∴ ， ∵m＝n， ∴a+b+c＝9a+3b+c，整理得，b＝﹣4a， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣ ＝2； ∴t＝2， ∵c＝2， ∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）． 法二、当m＝n时，点A（1，m），B（3，n）的纵坐标相等， 由抛物线的对称性可得，抛物线的对称轴为x＝ ， ∴t＝2，∵c＝2， ∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）． （2）∵m＜n＜c， ∴a+b+c＜9a+3b+c＜c， 解得﹣4a＜b＜﹣3a， ∴3a＜﹣b＜4a， ∴ ＜﹣ ＜ ，即 ＜t＜2． 由题意可知，点（x ，m）与点（1，m）关于x＝t对称； 0 ∴t＝ ； 当t＝ 时，x ＝2； 0 当t＝2时，x ＝3． 0 ∴x 的取值范围2＜x ＜3． 0 0 综上，t的取值范围为： ＜t＜2；x 的取值范围2＜x ＜3． 0 0 6．（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣ 3），（﹣6，﹣3）． （1）求b，c的值． （2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值． （3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值． 【答案】（1）b＝﹣6，c＝﹣3； （2）6； （3）m＝﹣2或 ． 【解答】解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c， 得b＝﹣6，c＝﹣3． （2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6， 又∵﹣4≤x≤0， ∴当x＝﹣3时，y有最大值为6．（3）①当﹣3＜m≤0时， 当x＝0时，y有最小值为﹣3， 当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3， ∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2， ∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）． ②当m≤﹣3时， 当x＝﹣3时y有最大值为6， ∵y的最大值与最小值之和为2， ∴y最小值为﹣4， ∴﹣（m+3）2+6＝﹣4， ∴m＝ 或m＝ （舍去）． 综上所述，m＝﹣2或 ． 1．（2023•高阳县校级模拟）抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为（ ） A．（1，﹣4） B．（1，4） C．（0，﹣3） D．（2，﹣3） 【答案】A 【解答】解：由题意可得：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为：（1，﹣4）． 故选：A． 2．（2022秋•云州区期末）已知点（﹣3，y ），（﹣2，y ），（0，y ）在函 1 2 3 数y＝x2+4x+3的图象上，则y ，y ，y 的大小关系是（ ） 1 2 3 A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y 2 3 1 2 1 3 1 2 3 1 3 2 【答案】B 【解答】解：y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1， a＝1＞0，抛物线的开口向下，对称轴是直线 x＝﹣2，在y轴的左侧，y随x 的增大而减小增大，在y轴右侧，y随x的增大而增大， ∵点（2，y ）关于对称轴的对称点是（﹣4，y ）， 3 3又∵﹣4＜﹣3＜﹣2， ∴y ＜y ＜y ， 2 1 3 故选：B． 3．（2023•拱墅区模拟）将二次函数 y＝5x2的图象先向右平移3个单位，再向 下平移2个单位，得到的函数图象的解析式为（ ） A．y＝5（x+3）2+2 B．y＝5（x﹣3）2+2 C．y＝5（x+3）2﹣2 D．y＝5（x﹣3）2﹣2 【答案】D 【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数 y＝5x2的图象先向右 平移3个单位所得函数的解析式为：y＝5（x﹣3）2； 由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝5（x﹣2）2的图象先向下平移2 个单位所得函数的解析式为：y＝5（x﹣3）2﹣2． 故选：D． 4．（2023•宛城区校级模拟）将抛物线y＝x2﹣2x+1向上平移2个单位长度，再 向左平移3个单位长度，得到抛物线y＝x2+bx+c，则b，c的值为 （ ） A．b＝﹣8，c＝18 B．b＝8，c＝14 C．b＝﹣4，c＝6 D．b＝4，c＝6 【答案】D 【解答】解：二次函数 y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2的图象向上平移2个单位， 再向左平移3个单位， ∴平移后解析式为：y＝（x﹣1+3）2+2＝（x+2）2+2＝x2+4x+6， 则b＝4，c＝6． 故选：D． 5．（2023•碑林区校级模拟）已知二次函数 y＝x2﹣2x﹣2，当y＞1时，则x的 取值范围为（ ） A．﹣1＜x＜3 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣1或x＞3 D．x＜﹣3或x＞ 1 【答案】C 【解答】解：根据题意可得：当y＝1时，即x2﹣2x﹣2＝1， 解得：x ＝3，x ＝﹣1， 1 2 ∵a＝1＞0，图象开口向上，且y＞1，∴x＜﹣1或x＞3， 故选：C． 6．（2022秋•大连期末）画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下： x … 1 2 3 4 5 … y … 0 1 0 ﹣3 ﹣8 … 关于此函数有下列三个结论：①函数图象开口向上；②当x＞2时，y随x 的增大而减小；③当x＝0时，y＝﹣3．其中正确的结论个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：由表中数据可知，y随x的增大先增大后减小， ∴函数图象开口向下， 故①错误，不符合题意； ∵y＝0时，x＝1或x＝3， ∴函数的对称轴为直线x＝2， ∵开口向下， ∴当x＞2时，y随x的增大而减小， 故②正确，符合题意； ∵对称轴为直线x＝1，当x＝4时y＝﹣3， ∴x＝0时，y＝﹣3， 故③正确，符合题意； 故选：C． 7．（2023•鄞州区校级一模）二次函数y＝x2+bx+1中，当x＞1时，y随x的增 大而增大，则一次项系数b满足（ ） A．b＞﹣2 B．b≥﹣2 C．b＜﹣2 D．b＝﹣2 【答案】B 【解答】解：∵a＝1＞0， ∴二次函数y＝x2+bx+1的图象开口向上， ∵当x＞1时，y随x的增大而增大， ∴﹣ ≤1，解得：b≥﹣2， 故选：B． 8．（2022秋•盐湖区期末）二次函数 y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函 数y＝abx+c的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由二次函数的图象可得， ∵开口向上，图象与y轴的负半轴相交， ∴a＞0，c＜0， ∵对称轴在y轴的左侧，a＞0， ∴b＞0， ∵a＞0，b＞0， ∴ab＞0， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故选：C． 9．（2022秋•金水区期末）关于二次函数y＝x2+4x﹣1，下列说法不正确的是（ ）A．图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1） B．图象的对称轴在y轴的左侧 C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣5） D．当x＜2时，y的值随x值的增大而减小 【答案】D 【解答】解：∵y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5， ∴当x＝0时，y＝﹣1， 故选项A正确； 该函数的对称轴是直线x＝﹣2， 故B选项正确； 函数的顶点坐标为（﹣2，﹣5）， 故C选项正确； 当﹣2＜x＜2时，y随x的增大而增大，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小， 故选项D错误． 故选：D． 10．（2022秋•盐山县校级期末）当 y＝x2﹣6x﹣3的值最小时，x的取值是（ ） A．0 B．﹣3 C．3 D．﹣9 【答案】C 【解答】解：∵y＝x2﹣6x﹣3＝（x﹣3）2﹣12， ∴该抛物线的顶点坐标是（3，﹣12）且抛物线开口向上， ∴当x＝3时，该函数取最小值． 故选：C． 11．（2022秋•梅里斯区期末）抛物线y＝ax2+bx+c（x≠0）的部分图象如图， 则下列说法：①abc＞0；②2a+b＝0；③b2＞4ac；④a+b+c＜﹣3，正确 的是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（x≠0）的图象开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴 ， ∴b＝﹣2a， ∴b＜0， 抛物线y＝ax2+bx+c（x≠0）的图象与y轴交于（0，﹣3）， ∴c＝﹣3， ∴abc＞0，故①正确； ∵对称轴 ， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故②正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（x≠0）的图象与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac，故③正确； ∵根据抛物线y＝ax2+bx+c（x≠0）的图象可知，x＝1时，y＜﹣3， ∴a+b+c＜﹣3，故④正确； 故选：D． 12．（2022秋•番禺区校级期中）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值（ ） A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3 【答案】A 【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c＝﹣（x+1）2+c2﹣2c+1， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣3）， ∴在﹣3≤x≤2的范围内，x＝2时，y＝﹣4﹣4+c2﹣2c＝c2﹣2c﹣8＝（c﹣ 1）2﹣9为函数最小值， ∴（c﹣1）2﹣9＝﹣5， 解得c＝3或c＝﹣1， 故选：A． 13．（2022•兰州）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增 大时，x的取值范围是（ ） A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2 【答案】B 【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴x＞1时，y随x增大而增大， 故选：B． 14．（2022•贺州）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值 为15，则a的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3， ∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点（1，﹣3）， ∴当y＝﹣3时，x＝1， 当y＝15时，2（x﹣1）2﹣3＝15， 解得x＝4或x＝﹣2， ∵当0≤x≤a时，y的最大值为15， ∴a＝4，故选：D． 15．（2022秋•济南期末）已知二次函数 y＝mx2+（m﹣1）x+m﹣1有最小值为 0，求m的值． 【答案】m的值为1． 【解答】解：∵y＝mx2+（m﹣1）x+m﹣1有最小值0， ∴ ＝0，m＞0， 解得：m＝1．