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专题 11 圆锥曲线
易错点一：求轨迹方程时忽略变量的取值范围（求动点轨迹
方程）
求轨迹方程共有四大类，具体方法如下：
第一类：直接法求动点的轨迹方程
利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：
第一步：建系：建立适当的坐标系
第二步：设点：设轨迹上的任一点
第三步：列式：列出有限制关系的几何等式
第四步：代换：将轨迹所满足的条件用含 的代数式表示，如选用距离和斜率
公式等将其转化为 的方程式化简
注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．
第二类：定义法求动点的轨迹方程
回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点 和满足焦点标
志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为
的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线
的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．
第三类：相关点法求动点的轨迹方程
如果动点 的运动是由另外某一点 的运动引发的，而该点的运动规律已知，
（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出 ，用 表示出相关点 的
坐标，然后把 的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点 的轨迹方程．
第四类：交轨法求动点的轨迹方程
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方
法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．
易错提醒：求轨迹方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限
制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致错．
例．已知 是圆 ： 上的动点，点 ，直线 与圆 的另
一个交点为 ，点 在直线 上， ，动点 的轨迹为曲线 .
求曲线 的方程；
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，
因为 ，所以 ，又因为 ，所以
所以
所以点 在以 ， 为焦点， 为实轴长的双曲线上
设双曲线的方程为 ，则 ，
所以 ， ， ，又 不可能在 轴上，所以曲线 的方程为
变式1．在平面直角坐标系中 中，动点 到定点 的距离比它到 轴的距离
大1， 的轨迹为 . 求曲线 的方程；
【详解】设动点 的坐标为 ，由已知得，化简得： ，故曲线 的方程为
变式2．已知y轴右侧一动圆Q与圆P： 相外切，与y轴相切.
求动圆圆心Q的轨迹M的方程；
【详解】圆P： ，所以圆P的圆心坐标为 ，半径为1
设 ，依题意有
化简整理得： ，故所求动圆圆心Q的轨迹M的方程为
变式3．已知点 ，点 ，点 是 轴上的动点，点 在 轴上，直线
与直线 垂直， 关于 的对称点为 ．
求 的轨迹 的方程；
【详解】方法1：设
因为 ，所以 ，即
又 ，所以 ，所以
方法2：如图，设 关于 的对称点为 ，由已知得， 互相垂直平分
所以四边形 为菱形，所以
因为 为 中点，所以 ，即 点在定直线 上，因为 ，所
以 与直线 垂直，即点 到定点 的距离等于点 到定直线 的距离所以点 的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，所以点 的轨迹 的方
程为
1．已知圆 ，圆 ，动圆 与圆 和圆 均相
切，且一个内切、一个外切．
求动圆圆心 的轨迹 的方程．
【详解】设点 的坐标为 ，圆 的半径为 ．
由已知条件，得 ．
①当动圆 与圆 外切，与圆 内切时， ，
从而 ．
②当动圆 与圆 内切，与圆 外切时， ，
从而 ．
综上可知，圆心 的轨迹 是以 为焦点，6为长轴长的椭圆．
易得圆 与圆 交于点 与 ，
所以动圆圆心 的轨迹 的方程为 ．
2．在平面直角坐标系 中，点 到点 的距离等于点 到直线 的距离，
记动点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
【详解】设 ，依题意，得 ，
化简得 ，故 的方程为 ．3．设抛物线 的方程为 ，其中常数 ，F是抛物线 的焦点．
(1)若直线 被抛物线 所截得的弦长为6，求 的值；
(2)设 是点 关于顶点O的对称点， 是抛物线 上的动点，求 的最大值；
(3)设 是两条互相垂直，且均经过点F的直线， 与抛物线 交于点 ,
与抛物线 交于点 ，若点G满足 ，求点G的轨迹方程．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)
【分析】（1）可令 ，代入抛物线方程，计算可得弦长继而得 ；
（2）根据抛物线定义转化线段比值，结合直线与抛物线的位置关系计算即可；
（3）设 坐标及 方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理以及两直
线垂直的条件，结合向量的坐标表示，以及消元转化，可得所求轨迹方程．
【详解】（1）由 可得 ，由题意可知 ；
（2）易知 ，则 ，抛物线准线为 ，
如图所示，过 作 准线，垂足为B，
由抛物线定义可知 ，故 ，设直线 为 ， ，
则 ，
欲求 的最大值，即求 的最小值，
显然当直线 与抛物线相切时， 取得最大，此时其余弦最小，
联立抛物线方程 可得 ，
由直线和抛物线相切可得 ，
结合抛物线对称性，不妨取 ，此时 ，即 ；
（3）
由已知可知 ，则 ，
设 ， ，
则 ，
与抛物线联立可得： ，
即有 ，
同理则有 ，因为点G满足 ，
即 ，
故 ，
可得 ，
则G的轨迹方程为 ．
4．已知平面上动点 到点 与到圆 的圆心 的距离之和等
于该圆的半径.记 的轨迹为曲线 .
说明 是什么曲线，并求 的方程；
【答案】
【详解】根据题意可知圆 可化为 ，
所以可知圆心 ，半径 ，
易知 和 两点关于原点对称，且 ，
所以由椭圆定义可知 的轨迹是以 为焦点，长轴长为 的椭圆，
即 ，可得 ；
因此曲线 的方程为 .
5．已知 为圆 ： 上任一点， ， ， ，
且满足 .
求动点 的轨迹 的方程；
【答案】【详解】
如图，由 ，可得 ，
因为 ，所以 ，
所以动点 的轨迹是以 ， 为焦点，长轴长为 的椭圆，
所以动点 的轨迹 的方程为 .
6．已知点A为圆 上任意一点，点 的坐标为 ，线
段 的垂直平分线与直线 交于点 ．
求点 的轨迹 的方程；
【答案】
【详解】由 得 ，其半径为4，
因为线段 的垂直平分线与直线 交于点 ，
故 ，则 ,
而 ，故点 的轨迹 为以 为焦点的双曲线，
则 ，
故点 的轨迹 的方程为 .7．已知圆 ，一动圆与直线 相切且与圆C外切．
(1)求动圆圆心P的轨迹T的方程；
(2)若经过定点 的直线l与曲线 相交于 两点，M是线段 的中点，过 作
轴的平行线与曲线 相交于点 ，试问是否存在直线l，使得 ，若存在，求
出直线l的方程；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，方程为
【分析】（1）利用直接法，设出 点坐标根据相切关系找到等量关系即可求动圆圆心
P的轨迹T的方程；
（2）由题意设直线l的方程为 ，联立抛物线方程，利用 ，从而由
向量的数量积的坐标运算于韦达定理可得 ，即可求出直线方程．
【详解】（1）由题意知圆 的圆心 ，半径 ；
设 ，易知点 在直线 右侧，
所以 到直线 的距离为 ，又 ，
由相切可得 ，即
化简可得动圆圆心P的轨迹T的方程为 ；
（2）如下图所示：设 ， ．
由题意，设直线l的方程为 联立T的方程可得
则 ，由韦达定理可得 ， ，
所以 ， ，
假设存在 ，使得 ,
则 ，又 ，所以 ；
，
由 可得 ，
所以 ，
代入化简可得 ，解得 ，
∴存在直线 ，使得 .
8．圆 ，圆心为 ，点 ，作圆上任意一点 与 点连线的中
垂线，交 于 .
求 的轨迹 的方程；
【答案】【详解】连接 ，则 ，
其中 ，则 ，
所以 ，
故 的轨迹 为以 两点为焦点，长轴长为4的椭圆，
其中 ，故 ， ，
所以 的方程为 ；
9．已知 ， ，对于平面内一动点 ， 轴于点
M，且 .
求点Р的轨迹C的方程；
【答案】当 ， ；当 ，
【详解】设 ，则 ，
从而
由 ，有 ，
若 ，化简整理得 ；
若 ，化简整理得 .10．在平面直角坐标系 中，已知点 、 ， 的内切圆与直线
相切于点 ，记点M的轨迹为C.
求C的方程；
【答案】
【详解】因为点 、 ， 的内切圆与直线 相切于点 ，
所以 ，
因此根据双曲线的定义可知，点 的轨迹为以 ， 为焦点的双曲线的右支，
设点 的轨迹C的方程为 ，焦距为 ，
所以 ， ，
所以 ， ， ，
所以点 的轨迹方程C为
易错点二：忽略了给定条件对 e 范围的限定（离心率的求
算）
求离心率范围的方法
建立不等式法：
技巧1：建立关于 和 的一次或二次方程与不等式．
技巧2：利用线段长度的大小建立不等关系． 为椭圆 的
左、右焦点， 为椭圆上的任意一点， ； 为双曲线
的左、右焦点， 为双曲线上的任一点， ．
技巧3：利用角度长度的大小建立不等关系． 为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上的动点，若 ，则椭圆离心率 的取值范围为 ．
技巧4：利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
PF⋅PF
1 2
技巧5：涉及 的关系式利用基本不等式，建立不等关系．
易错提醒：圆锥曲线的率的范围是有限定的，椭圆的离心率范围是 ，而双曲
线的离心率范围是 ，在求范围的时候要时刻注意.
例．已知双曲线 ： 的右焦点为 ，关于原点对称的两点A、
B分别在双曲线的左、右两支上， ， ，且点C在双曲线上，则双
曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析方案】由 ，令 且 ， ，则 ，根据题设有
、 、 ，进而有 ，将它们整理为
关于 的齐次方程求离心率即可
【详解】由题设 ，令 且 ， ，则 ，且
①
由 ，即 ②由 ，即
又C在双曲线上，则 ③
由①得： ，代入③并整理得：
由①②及 得：
所以 ，即
显然 ，则 ，故选：B
变式1．已知 分别是双曲线 的左、右焦点，P为双曲线
右支上一点，若 ， ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【分析方案】根据双曲线定义得到 ，由三角形面积公式和余弦定理求
出 ，两边同除以 得到 ，求出离心率
【详解】∵ 分别是双曲线 的左、右焦点，
为双曲线右支上一点，∴ ， ，又∵在 中，
∵ ，∴ ，则又
∴ ，即 ，故 ，解得：
∵ ，∴ 故选：A
变式2．已知双曲线 的上焦点为 ，点P在双曲线的下支上，若
，且 的最小值为7，则双曲线E的离心率为（ ）
A．2或 B．3或 C．2 D．3
【分析方案】根据双曲线定义将 转化为 ，数形结合即可求
解
【详解】设双曲线 的下焦点为 ，可知 ，则 ，即
则
当且仅当 三点共线时，等号成立，由题意可得 ，且
因为 在 上单调递增，且 ，
所以方程 ，且 ，解得 ，则 ，所以双曲线E的
离心率为 ，故选：D变式3．过双曲线 ： 的右焦点 作双曲线一条渐近线的垂线，
垂足为 ，且与另一条渐近线交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率是
（ ）
A． B． 或 C． D．
【分析方案】根据题意，可得 ， 两种情况，分别求解，结合双
曲线的性质，代入离心率公式，即可得到结果
【详解】
如图①，当 时，设 ，则 ，设 ，双曲线的渐近线
方程为 ，所以 ，在 中， ，设 ，
， ，因为 ，所以
又 ，所以 ，所以 ， ， ，
则 ，则 ，且 ，
即 ，解得 ，所以 ，如图②，当 时，设 ， ，设 ，则 ，
，在 中， ，设 ， ，
，因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ， ， ， ，则 ， ，
，所以
，则 ，所以 ，即
，解得 ，所以 故选：B
1．已知圆 与双曲线 ，若在双曲线
上存在一点 ，使得过点 所作的圆 的两条切线，切点为 、 ，且 ，则
双曲线 的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】连接 、 、 ，则 ， ，设点 ，则
，分析可得 ，可得出 的取值范围，由 可求得的取值范围.
【详解】连接 、 、 ，则 ， ，
由切线长定理可知， ，
又因为 ， ，所以， ，
所以， ，则 ，
设点 ，则 ，且 ，
所以， ，
所以， ，故 ，
故选：B.
2．已知双曲线 的离心率为 ，且双曲线 上的点到焦点的
最近距离为2，则双曲线 的方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】利用由双曲线 上的点到焦点的最近距离为2得 ，再由离心率、
可得答案.
【详解】由离心率 ，得 ，由双曲线 上的点到焦点的最近距离为2，
得 ，根据这两个方程解得 ，
则 ，得 ，所以双曲线 的方程为 .
故选：B.
3．已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，P为双曲线C
的右支上一点，且 ， ，则双曲线C的离心率的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先利用双曲线的定义及勾股定理等得到 ，设 ，结合双
曲线的定义得到 ，则 ，构造函数
，利用导数法求解.【详解】解：因为 ， ，
∴ ，
又 ，∴ ．
设 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ．
∴ ，则 ，
设 ，则 ，
∴ 在 上单调递增，∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故选：B．
4．已知直线 过双曲线 的右焦点 ，且与双
曲线右支交于 ， 两点．若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】设 ， ，由 得到 ， 的关系，结合韦达定理得到
， ， 之间的关系式，进而求出离心率.
【详解】设 ， ，则 ， ．
由 ，得 ．
直线l的方程为 ，即 ，
代入双曲线 的方程中，得 ，
即 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
整理得 ．又 ，∴ ．
故选:B．
5．双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 是其右支上一点．
若 ， ， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量法得： ，然后结合双曲线定义： 和
余弦定理即可求解.【详解】由双曲线的几何性质，可知点 是线段 的中点，则 ，
即: ，
所以： ，解得： ，
所以： ，故 ，
由 ，解得： ，
所以： ，故B项正确.
故选：B.
6．已知直线 与双曲线 交于 两点，点 是双曲线上与
不同的一点，直线 的斜率分别为 ，则当 取得最小值时，
该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】联立方程求出 的坐标，通过运算得到 ，代入 ，利用
二次函数的知识求得取最小值时， 的值，即可求解.
【详解】将 代入双曲线方程 中，整理得 ，得 ，
设 ，
则 ， ，
所以 ，
所以 ．当 时， 取得最小值，
此时 ,
所以 ，解得 ，
所以 .
故选：C．
7．如图所示， 是双曲线 的左、右焦点， 的右支上存在
一点 满足 与双曲线 左支的交点 满足 ，则双曲线
的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D【分析】利用正弦定理及已知可得 ，令 ，由双曲线定义及
，应用勾股定理列方程求得 ，进而求离心率.
【详解】 中 ， 中 ，
所以 ， ，
又 ，则 ，又 ，
所以 ，令 ，则 ， ，
而 ，由 ，则 ， ，
可得 ，即 .
故选：D
8．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，以 为直径的圆与
双曲线在第二象限的部分交于点 ，若双曲线上的点 满足 ，则双曲线的
离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，由双曲线的定义结合题意可得 ，又由
，表示出 ， ，在 中，由余弦定理可求得 ，
解方程即可求出答案.
【详解】如图，连接 ，由题意知 ，设 ，由双曲线的定义可得 ．
又由题可得 ，所以 ，即 ．
在 中， ，由 ，得 ，
由双曲线的定义可得 ．因为 ，所以 ，
所以 ，在 中， ，
又由余弦定理可得 ，
即 ，所以 ．
又因为 ，所以 ，
所以 ，故 ，
所以双曲线的离心率 ．
故选：A.
9．已知 为双曲线 ： 的右焦点，平行于 轴的直线 分别交
的渐近线和右支于点 ， ，且 ， ，则 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】设 ，联立方程组求得 ，根据 ，得到
，求得 ，再由 在双曲线 上，化简得到 ，结
合 ，化简得到 ，进而求得双曲线的离心率.
【详解】双曲线 ： 的渐近线方程为 .
设 ，联立方程组 ，解得 .
因为 ，所以 ，即 ，可得 .
又因为点 在双曲线 上，所以 ，
将 代入，可得 ，
由 ，所以 ，所以 ，即 ，
化简得 ，则 ，所以双曲线的离心率为 .
故选：B.
10．已知双曲线 的右焦点为 ，过点 的直线 与双曲线
的右支交于 ， 两点，且 ，点 关于原点 的对称点为点 ，若
，则双曲线 的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由双曲线的性质可得四边形 为矩形，然后结合双曲线的定义及
的勾股定理可得 ， ，再由 的勾股定理即可求得结果.
【详解】设双曲线的左焦点为 ，连接 ， ， ，如图所示，
又因为 ，所以 ，
所以四边形 为矩形，
设 ，则 ，
由双曲线的定义可得： ， ，
又因为 为直角三角形，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 ， ，
又因为 为直角三角形， ，
所以 ，即： ，
所以 ，即 .
故选：D.易错点三：易忽略判别式自身参数范围（求最值问题）
知识点一、直线和圆锥曲线联立（设点设线联立化解韦达判别）
与直线 相交于 两点，设 ，
（1）椭圆
，
椭圆 与过定点 的直线 相交于 两点，设为
， 如 此 消 去 ， 保 留 ， 构 造 的 方 程 如 下 ： ，
与直线 相交于 两点，设 ，
（2）抛物线
联立可得 ， 时，
特 殊 地 ， 当 直 线 过 焦 点 的 时 候 ， 即 ，
抛物线 与直线 相交于 两点，设 ，
联立可得 ， 时，
知识点二、根的判别式和韦达定理
与 联 立 ， 两 边 同 时 乘 上 即 可 得 到
， 为 了 方 便 叙 述 ， 将 上 式 简 记 为
． 该 式 可 以 看 成 一 个 关 于 的 一 元 二 次 方 程 ， 判 别 式 为
可简单记 ．
遇到过轴上定点或斜率已知的情况可以设，这种情况下直线一般在题设中都存
和 联立 ，
同理为了方便叙述，将上式简记为 ，
与C相离 ； 与C相切 ； 与C相交 ．
注意：
1.如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把 ， 互换位置即可．
2.
直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把 换成 即可；焦点在
y轴的双曲线，把 换成 即可， 换成 即可．
易错提醒：求最值问题时一般转化为函数最值问题，自变量范围一般容易忽略判别式
的前提（判别式也存在隐含自变量的范围）
例．已知 ， 是椭圆 的两个焦点，P是椭圆E上任一点，则
的取值范围是 ．
【分析方案】求出焦点坐标，设出 （ ），利用向量的数量积的坐
标表示和椭圆方程表达出 ，结合 的取值范围，得到 的取值范
围
【详解】由 ， ，解得： ，所以
不妨令 ， ，因为P是椭圆E上任一设点，设 （ ）
则 ，即 ，其中
因为 ，所以 ， ，所以 的取值范围是
故答案为：
变式1．已知椭圆 的左焦点为 是C上的动点，点 ，
若 的最大值为6，则C的离心率为 ．
【分析方案】设出右焦点 ,将 转化成 ，最后利用三点共线表示最大值求出，进而求出离心率
【详解】设右焦点 ，由椭圆定义， ，
当且仅当 三点共线时，取等号， .又 ， ，
，故答案为：
变式2．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为椭圆上一个动点，
为圆 上一个动点，则 的最大值为
【分析方案】根据椭圆定义及圆心位置、半径，应用分析法要使 最大只需
让 最大即可，由数形结合的方法分析知 共线时有最大值，进而求
目标式的最大值
【详解】由题意得： ，根据椭圆的定义得 ，∴
圆 变形得 ，即圆心 ，半径
要使 最大，即 最大，又
∴使 最大即可，如图所示：
∴当 共线时， 有最大值为
∴ 的最大值为∴ 的最大值，即 的最大值为11+1=12
故答案为：12
变式3．设 ， 分别为椭圆 （ ）的左，右焦点， 为 内
一点， 为 上任意一点，若 的最小值为 ，则 的方程为 .
【分析方案】由题意知， ，则 ；由三角形的三边关系可知
，从而可求出 ，由椭圆的定义知
，从而可求出 ，进而可求出椭圆的标准
方程
【详解】由椭圆定义可知 ，且 ，则
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，故 的方程为 ，故答案为：
1．已知直线 过圆 的圆心，且与圆相交于 ， 两点， 为椭圆
上一个动点，则 的最大值与最小值之和为 ．
【答案】【分析】求出圆的圆心 ，根据题意可得 、 ，利用
平面向量的线性运算可得 ，即可求解.
【详解】圆 ，圆心 ，半径 ，
因为直线 过圆 的圆心，且与圆相交于 ， 两点，
所以 ，又椭圆 ，则 ， ，右焦点为 ，
所以
，
又 ，即 ，所以 ，
即 ，所以 的最大值为 ，最小值为 .
则 的最大值与最小值之和为 .
故答案为：
2．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，
则 面积的最大值为 ．
【答案】【分析】由余弦定理变形得出 ， 在以 为焦点，长轴长为6的椭圆
上，因此当 是椭圆短轴顶点时， 到 的距离最大，由此可求得三角形面积最大
值．
【详解】 , ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
即 ，又 ，
所以 在以 为焦点，长轴长为6的椭圆上（不在直线 上），
如图以 为 轴，线段 中垂线为 轴建立平面直角坐标系，
设椭圆方程为 ，则 ，
所以 ，
当 是椭圆短轴顶点时， 到 的距离最大为 ，
所以 的最大值为 ，
故答案为： ．
3．已知椭圆 离心率为 ， 为椭圆 的右焦点， ， 是
椭圆 上的两点，且 .若 ，则实数 的取值范围是 .
【答案】【分析】以椭圆的右焦点为极点，建立极坐标系，设 ， ，可表示
出 ， ，再由 可得 ，此时
表示 与 两点的连线的斜率，由几何意义求解即可得
出实数 的取值范围.
【详解】以椭圆的右焦点为极点，建立极坐标系，设 ，
过点 作 交 于点 ， 为椭圆的右准线 ，
过点A作 极轴交极轴于点 ，
由椭圆的第二定义知： ，则 ，所以 ，
则 ，代入化简可得： ，
同理可得： ，
由 可得 ，
， 表示 与 两点的连线的斜率，
而 可看作圆 上任意一点，
所以 的几何意义为圆 上一点与 两点的连线的斜率，过点 作圆的切线可求出 的最大值和最小值，
由分析知，过点 直线的斜率一定存在，设为 ，
，故圆心 到直线 的距离为：
，化简可得： ，解得： 或 ，
所以 ，故 .
故答案为： .
4．已知椭圆 是椭圆上两点，线段 的垂直平分线与 轴交于 ，
则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】设 ， ，线段 的中点为 ，利用点差法可得
，从而可得线段AB的垂直平分线 的方程 ，则
，再由点 在椭圆内部可求出结果
【详解】设 ， ，线段 的中点为 .
若 ，即 ，则 ，满足题意；
若 ，即 ，则不满足题意，应舍去；
当 时，有 ，作差得：
因为 ， ，所以 ，因为 ，所以 ，
设线段 的垂直平分线为 ，则 ，得 ： ，
令 ，得 ，又因为点 在椭圆内部，则 ，则 ，
故 .
故答案为： .
5．已知椭圆 的面积为 ，点 在椭圆
上，点A关于x轴，y轴，原点的对称点分别为B，C，D，记四边
形ABDC的面积为S，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由条件求 的关系，再求四边形 的面积，由此可得 的表达式，再
结合基本不等式求 的取值范围.
【详解】点 在椭圆 上，
所以 上，
解得 ，所以 ，
又因为四边形 为正方形，
所以 ，
故 ，由于 ，所以 ，
所以 的取值范围为 ．
故答案为： ．
6．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 是 上异于左、右顶点
的一点， 外接圆的圆心为M，O为坐标原点，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】根据向量的加法法则和向量垂直的表示，结合均值不等式代入即可.
【详解】 ，
取线段 的中点 ，则 ，
所以 ，
同理 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
即 的最小值为 .
故答案为： .
7．椭圆 的左､右焦点分别为 ，离心率为 为椭圆 的
左顶点，且 ，过原点的直线交椭圆 于 两点，则 的取值
范围为 .【答案】
【分析】根据已知先求出 的值，记 ，得到
，记 ， 再利用导数求函数的最值得解.
【详解】解：由题可知 ，即 ，
又
由题可知， ，
记 ，则 ，
记 ，
则 在 上恒成立，
在 上恒成立，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ，
.
故答案为：
8．已知 为函数 图象上第一象限内的一个动点， 为
坐标原点，则四边形 的面积最大值为 .
【答案】【分析】利用三角代换可得 ，然后利用辅助角公式及三角函数的
性质即得.
【详解】由 可得 ，
易得 在椭圆 的第一象限内动点，
可设 ， ,又 ，
则
，其中 ，
当 时， ，
即四边形 的面积最大值为 .
故答案为： .
9．过椭圆 左焦点F的直线与椭圆C交于A，B两点，若线段AB的垂直平
分线与x轴及y轴各有唯一公共点M，N，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】设 ， ， 中点 ， ，利用
点差法及两点的斜率公式得到 ，即可求出 的取值范围，再根据
，可得 ，最后根据 计算可得；
【详解】解：设 ， ， 中点 ， ，由 与 相减得 ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 ．
故答案为：
10．如图，在直角坐标系 中，已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，
点 、 为椭圆上位于 轴上方的两点，且 ，则 的取值范围为
.
【答案】
【分析】作点 关于原点的对称点 ，连接 、 、 ，分析可知 且
、 、 三点共线，故 ，设直线 的方程为 ，
设点 、 ，将直线 的方程与椭圆 的方程联立，利用弦长公式可求得 的取值范围，即可得解.
【详解】作点 关于原点的对称点 ，连接 、 、 ，易知点 、
，
由椭圆的对称性可知点 也在椭圆 上，
因为 为 、 的中点，所以，四边形 为平行四边形，
所以， 且 ，
因为 ，故 、 、 三点共线，则 ，
所以， .
因为点 、 为椭圆上位于 轴上方的两点，则直线 不与 轴重合，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ，
则 ，
由韦达定理可得 ， ，
所以， ，
所以， .
故答案为： .易错点四：意义不明导致定点问题错误（有关直线与圆锥曲
线的定点与定值问题）
1、求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
常用消参方法：
①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系 ，用一个参数表示另外一
个参数 ，即可带用其他式子，消去参数 ．
②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．
③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．
④参数无关消参：当与参数相关的因式为 时，此时与参数的取值没什么关系，比如：
，只要因式 ，就和参数 没什么关系了，或者说参数 不起作
用．
2、求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目
的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个
直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个
方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式
来证明．
一般解题步骤：
①斜截式设直线方程： ，此时引入了两个参数，需要消掉一个．
②找关系：找到 和 的关系： ，等式带入消参，消掉 ．
③参数无关找定点：找到和 没有关系的点．
易错提醒：直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线
的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必
有一组常数解．解决定点与定值问题，不能仅靠研究特殊情况来说明．例．椭圆 的离心率 ，过点 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点 且斜率不为0的直线 与椭圆交于 两点，椭圆的左顶点为 ，求直
线 与直线 的斜率之积.
【详解】（1）解：因为椭圆 的离心率 ，
所以 ，即 ，又因为椭圆过点 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以椭圆的方程为 ；
（2）如图所示：
当直线的斜率不存在时，直线的方程为 ，
与椭圆方程联立求得 ，
又 ，所以 ，
所以 ；当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，
由 ，消去y得： ，
，
由韦达定理得 ，
所以 ，
，
.
变式1．已知圆 ： ，点 ， 是圆 上任意一点，线段 的
垂直平分线和半径 相交于
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)经过点 和 的圆与直线 ： 交于 ， ，已知点 ，且 、 分
别与 交于 、 .试探究直线 是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，
请说明理由.
【详解】（1）如图所示，∵ ，且 ，
∴点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，
设椭圆方程 ，则 ， ，∴ ， .
所以点 的轨迹方程为： .
（2）设直线 的方程为： ，
由 ，得
设 ， ，则 ， .
所以， ，
因为直线 的方程为： ，令 ，得 ，
所以， ，同理可得 ，
以 为直径的圆的方程为： ，
即 ，
因为圆过点 ，所以， ，
得 ，代入得 ，
化简得， ，解得 或 （舍去），
所以直线 经过定点 ，当直线 的斜率为0时，此时直线 与 轴重合，直线 经过点 ，
综上所述，直线 经过定点 .
变式2．在平面直角坐标系 中，已知定点 ，定直线 ，动点 在 上
的射影为 ，且满足 .
(1)记点 的运动轨迹为 ，求 的方程；
(2)过点 作斜率不为0 的直线与 交于 两点， 与 轴的交点为 ，记直线
和直线 的斜率分别为 ，求证： .
【详解】（1）设 ，则 ，因为 ，
所以 ，化简得， ，
即 的方程为 .
（2）由题意知 ，
设过点 作斜率不为0的直线为 ， ， ，
联立 可得， ，
则 ， ，
又 ， ，
则
，所以 得证.
变式3．已知点 ， 在椭圆 上.
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆 交于 两个不同的点（异于 ），过 作 轴的垂线分别交直
线 于点 ，当 是 中点时，证明．直线 过定点.
【详解】（1）由题知 ，又椭圆经过 ，代入可得
，解得 ，故椭圆的方程为：
（2）
由题意知，当 轴时，不符合题意，故 的斜率存在，设 的方程为 ，
联立 消去 得 ，则 ，
即
设 ， ， ，
的方程为 ，令 得 ，
的方程为 ，令 得 ，
由 是 中点，得 ，即 ，
即 ，
即 ，
即 ，所以 ，
得 或 ，
当 ，此时由 ，得 ，符合题意；
当 ，此时直线 经过点 ，与题意不符，舍去.
所以 的方程为 ，即 ，所以 过定点 .
1．已知椭圆C： 的离心率为 ，点 在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若O为坐标原点，过点 的直线l与椭圆C交于M，N两点，椭圆C上是否存在
点Q，使得直线 与直线 分别交于点A，B，且点A，B关于x轴对称？若存
在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)
(2)存在，点Q的坐标为 或
【分析】（1）根据已知 ，根据 的关系得出 .将点代入椭圆方程，
即可解出 ，进而得出 ；
（2）当直线l的斜率不为0时，设 ， ， ，设直线l：
，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理表示出坐标关系，求出 坐标.根据
已知列出方程，整理推得 ， .代入椭圆方程求出 点坐标；检验当直线
l的斜率为0时，满足对称关系，即可得出答案.
【详解】（1）因为椭圆C的离心率为 ，
所以 ， .
又 ，所以 .
将 代入椭圆方程，得 ，
所以 ， ，
所以椭圆C的标准方程为 ．（2）
当直线l的斜率不为0时，
设直线l： ，联立得 ，
整理得 ．
则 ，解得 或 .
设 ， ， ，
由韦达定理可得 ， ，
则直线MQ： ，
令 ，得 ，所以 .
同理得 ．
由点A，B关于x轴对称得 ，
即 ，
整理可得， .
易知点 不在 上，所以 ，
所以， ，
所以，有 ，整理得 .
由n的任意性知 ，
将 坐标代入代入椭圆方程有 ，解得 ，
所以点Q的坐标为 或 ．
当直线l的斜率为0时，不妨令 ， ， ，
此时直线MQ： ，
令 ，得 ，所以 ，
同理得 ，显然点A，B关于x轴对称，满足.
综上，存在满足题意的点Q，且点Q的坐标为 或 ．
【点睛】方法点睛：解决与圆锥曲线有关的顶点问题时，设出直线方程，联立直线与
圆锥曲线的方程，根据韦达定理表示出坐标关系.分析已知条件，得出等量关系，整理
化简即可得出结论.
2．已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
(1)求椭圆 的标准方程.
(2)已知过右焦点 的直线 与 交于 两点，在 轴上是否存在一个定点 ，使
？若存在，求出定点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，【分析】（1）由离心率 与定点 代入椭圆方程，建立方程组 待定系
数即可；
（2）由 条件转化为 ，设直线 的方程为
，将斜率坐标化，利用韦达定理代入，得到 的等式，
不论 如何变化，等式恒成立求 值即可.
【详解】（1）因为 ，所以 .
所以椭圆 的方程为 .
因为点 在椭圆 上，所以 ，解得 ，
所以 .
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）存在定点 ，使 .理由如下：
由（1）知， ，则点 .
设在 轴上存在定点 ，使 成立.
当直线 斜率为 时，直线右焦点 的直线 即 轴与 交于长轴两端点，
若 ，则 ，或 .
当直线 斜率不为 时，设直线 的方程为 ，.
由 消去 并整理，得 ，
则 .因为 ，所以 ，
所以 ，即 .
所以 ，
即 ，
恒成立，
即对 ， 恒成立，则 ，即 .
又点 满足条件 .
综上所述，故存在定点 ，使 .
3．已知椭圆 ，其离心率为 ，直线 被椭圆截得的弦长
为 ．
(1)求椭圆 的标准方程．
(2)圆 的切线交椭圆 于 ， 两点，切点为 ，求证： 是定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由离心率为 可以先得到 ，然后结合其余已知条件即可得解.
（2）分直线 的斜率是否存在进行讨论，当直线 斜率不存在时，算出，当直线 斜率存在时，设直线 的方程为 ，将其与椭圆方程
联立，由韦达定理结合直线 与圆 相切于点 ，从而即可得解.
【详解】（1）如图所示：
因为椭圆的离心率为 ，所以 ，所以 ，
则椭圆 的方程为 ．
将 代入椭圆方程，得 ，
则 ，所以 ．
所以椭圆 的标准方程为 ．
（2）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ．
将 代入椭圆 的方程 ，得 ，
所以 ，则 ．
如图所示：
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ．将 与 联立，消去 并整理，得 ．
由 ，得 ．
设 ， ， ，
则 ， ， ，
则 ．
由直线 与圆 相切，可得 ，即 ．
由 ，得 ．
结合 ，得 ．
又 ，两边平方并整理，
得 ，
所以 ．
所以
．
综上， ，即 是定值．
4．已知平面上动点 到点 与到圆 的圆心 的距离之和等
于该圆的半径.记 的轨迹为曲线 .(1)说明 是什么曲线，并求 的方程；
(2)设 是 上关于 轴对称的不同两点，点 在 上，且 异于 两点， 为
原点，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，试问 是否为定值?
若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由.
【答案】(1)
(2) 为定值，这个值为
【分析】（1）根据圆 的一般方程可知圆心 ，半径 ，再利用椭圆定义即
可求得 的轨迹曲线 的方程为 ；
（2）依题意设出 , 可得 ，求出直线 的直线方程解
出其与 轴的交点坐标 ， ，即可得出 的表达式，
再进行化简即可知 .
【详解】（1）根据题意可知圆 可化为 ，
所以可知圆心 ，半径 ，
易知 和 两点关于原点对称，且 ，
所以由椭圆定义可知 的轨迹是以 为焦点，长轴长为 的椭圆，
即 ，可得 ；
因此曲线 的方程为 .
（2）不妨设 ， ，且 ， ；则易知 ；
易知直线 的斜率都存在，如下图所示：
所以直线 的斜率为 ，其方程为 ，
可得直线 交 轴于点
直线 的斜率为 ，其方程为 ，
可得直线 交 轴于点
所以 ，
可得 ；
由 ， 可得， ， ；
所以 ；
因此 为定值， .
5．已知 为椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上异于左､右顶点的任意
一点， 的周长为6，面积的最大值为 ：(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆 的另一交点为 ，与 轴的交点为 .若 ，
.试问： 是否为定值？并说明理由.
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
【分析】（1）利用椭圆的定义及椭圆的性质即可求解；
（2）根据已知条件作出图形并设出直线方程，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理
及向量的坐标运算即可求解.
【详解】（1）设椭圆 的方程为 ，则
由椭圆的定义及 的周长为6，知 ①，
由于 为椭圆 上异于左､右顶点的任意一点，得 到 轴距离最大为 ，
因为 的面积的最大值为 ，
所以 ②，
又 ③，
联立①②③，得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2） 为定值 ，理由如下：
根据已知条件作出图形如图所示,设 ，则 ，
因为 在椭圆内部，则直线 与椭圆一定有两交点，
联立 消去 得： ，
，
又 ，且 ，
所以 ，同理
所以 .
所以 为定值 .
6．已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，长轴长为短轴长的2倍，若椭圆 经过
点 ，
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 是椭圆上不同于点 的两个动点，直线 与 轴围成底边在 轴上的等
腰三角形，证明：直线 的斜率为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析【分析】（1）根据长轴和短轴长度关系，将点 代入解方程组即可求得椭圆的
方程；
（2）设出直线方程并于椭圆方程联立，利用韦达定理以及直线 的斜率为零即可
化简整理计算得出直线 的斜率为定值 .
【详解】（1）设椭圆的方程为
根据题意得 ，解得
故所求椭圆方程为
（2）如下图所示：
设直线 交该椭圆 与 两点．
将 代入
得
所以
由直线 能与 轴共同围成底边在 轴上的等腰三角形，
可得 ，即
整理得
，
即
即 ，
所以当 时，不论 为何值时 都成立，
所以直线 与 轴共同围成底边在 轴上的等腰三角形时直线 的斜率为定值
7．已知椭圆 的离心率为 ，且直线 是抛物线
的一条切线．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的动直线 交椭圆 于 两点，试问：在直角坐标平面上是否存在
一个定点 ，使得以 为直径的圆恒过定点 ？若存在，求出 的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【分析】（1）先根据直线 是抛物线 的一条切线，求出 的值，再
由椭圆离心率为 ，求出 的值，则椭圆方程可得．
（2）先假设存在一个定点 ，使得以 为直径的圆恒过定点，再用垂直时，向量， 的数量积为0，得到关于直线斜率 的方程，求 ，若能求出，则存在，若求
不出，则不存在．
【详解】（1）由 得
直线 是抛物线 的一条切线．所以
，所以椭圆
（2）
当直线 与 轴平行时，以 为直径的圆方程为
当直线 与 轴重合时，以 为直径的圆方程为
所以两圆的交点为点 猜想：所求的点 为点 ．
证明如下．当直线 与 轴垂直时，以 为直径的圆过点
当直线 与 轴不垂直时，可设直线 为：
由 得 ，设 ， 则
则所以 ，即以 为直径的圆过点
所以存在一个定点 ，使得以 为直径的圆恒过定点 ．
8．已知椭圆 的焦距为2，圆 与椭圆 恰有两个公共
点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知结论：若点 为椭圆 上一点，则椭圆在该点处的切线方程为
．若椭圆 的短轴长小于4，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别
为 ，求证：直线 过定点．
【答案】(1) 或
(2)证明见解析
【分析】（1）设椭圆 的半焦距为 ，再分圆 在椭圆 的内部和外部两种
情况分别求解即可；
（2）由题意椭圆 的方程为 ，再设 ，得出切线
的方程，将 代入 可得 的坐标都满足方程 即可得定点.
【详解】（1）设椭圆 的半焦距为 ．当圆 在椭圆 的内部时，
，椭圆 的方程为 ．
当圆 在椭圆 的外部时， ，
椭圆 的方程为 ．（2）证明：设 ．
因为椭圆 的短轴长小于4，所以 的方程为 ．
则由已知可得，切线 的方程为 的方程为 ，
将 代入 的方程整理可得，
．
显然 的坐标都满足方程 ，
故直线 的方程为 ，
令 ，可得 ，即直线 过定点 ．
9．已知椭圆 过点 两点，椭圆的离心率为 ，
为坐标原点，且 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设P为椭圆 上第一象限内任意一点，直线 与y轴交于点M，直线 与x轴交
于点N，求证：四边形 的面积为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据离心率和 可解得 ，可写出椭圆 的方程；
（2）设 分别求出直线 ， 的方程并解出 的坐标，可得四边形
的面积 .
【详解】（1）根据题意可知 ，又 ，即可得 ，结合 ，
解得 ；
即椭圆 的方程为 .
（2）证明：由（1）可知 ，如下图所示：
设 ，且 ；
易知直线 的斜率 ，所以 的直线方程为 ；
同理直线 的斜率 ，所以 的直线方程为 ；
由题意解得 ；
所以可得 ，
四边形 的面积
又 ，可得 ，
故
，即四边形 的面积为定值.
10．已知椭圆 与椭圆 的离心率相同，
且椭圆 的焦距是椭圆 的焦距的 倍．
(1)求实数 和 的值；
(2)若梯形 的顶点都在椭圆 上， ， ，直线 与直线 相
交于点 ．且点 在椭圆 上，证明直线 恒过定点．
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用 表示出椭圆 的焦距和离心率，由此可构造方程组求得结
果；
（2）利用中点坐标公式可表示出 坐标，将 代入椭圆方程可整理得到
，同理得到 ，由此可得直线 方程，进而得到定点坐
标.
【详解】（1）由椭圆 方程可得其焦距为 ，离心率为 ；
由椭圆 可得其焦距为 ，离心率为 ；
由题意知： ，解得： （舍）或 ，
， .
（2）设 ， ， ，则 ，， ， 分别为 的中点，
， ， ，
，
， ， ，即 ，
同理可得： ， 直线 的方程为 ，
直线 恒过定点 .
【点睛】资料来源：微信公众号 智慧学库
关键点点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的直线过定点问题的求解，解题关键是
能够利用中点坐标公式表示出 坐标，利用点在椭圆上可构造方程组整理得到
所满足的直线方程，根据直线 方程可确定定点坐标.
