文档内容
专题 10 磁场 带电粒子在磁场中的运动
目录
01 模拟基础练...............................................................................................................2
题型一：磁场的性质..................................................................................................2
题型二：带电粒子在匀强磁场中的运动..................................................................7
题型三：带电粒子在匀强磁场中的动态模型........................................................14
题型四：计算大题专练（带电粒子在匀强磁场中的运动）................................21
02 重难创新练.............................................................................................................30题型一：磁场的性质
1．（2024·辽宁·三模）如图所示，ACD为一等边三角形，两根通过电流相等的长直导线分别垂直纸面置于
A、D两个顶点，A处导线中的电流方向垂直纸面向里，D处导线中的电流方向垂直纸面向外。已知通电长
直导线在其周围某点处产生的磁感应强度大小为 ，k为常量，为该点到通电直导线的距离。已知C
处磁感应强度大小为 ，则CD边中点E的磁感应强度大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设三角形ACD的边长为L，则A处导线在C点产生的磁感应强度大小为
D处导线在C点产生的磁感应强度大小为 如图所示C处合磁感应强度为 结合上述分析知，A处导线在E点产生的磁感应强度大小
为 D处导线在E点产生的磁感应强度大小为 E点的合磁感应强度为
故选C。
2．（2024·陕西·模拟预测）如图所示，等边三角形线框 由三根相同的导体棒连接而成，O为线框的
几何中心。线框顶点M、N与直流电源两端相接，已知电流为I的直导线产生的磁场的磁感应强度计算公
式为 （k为常数，r为某点到直导线的距离），若MN边在O点产生的磁场的磁感应强度大小为
，则ML、LN两边在O点产生的合磁场磁感应强度大小及方向为（ ）
A．0 B． ，垂直纸面向里
C． ，垂直纸面向外 D．2 ，垂直纸面向里
【答案】B
【详解】设每一根导体棒的电阻为R，长度为L，则电路中，上下两路电阻之比为 根据并联电路
两端各电压相等的特点可知，上下两路电流之比 又因为通电直导线在O点产生磁场的磁感应强
度与导线中的电流强度成正比，根据右手螺旋定则和矢量的叠加原理可知，MLN支路电流在O点产生的磁
场垂直纸面向里，磁感应强度与MN边在O点产生的磁感应强度相等，为 。故选B。3．（2024·山西吕梁·三模）同学们在学校操场上做摇绳发电实验，用手机软件测得当地的磁感应强度如下
表所示。其中x轴正方向为水平由南向北，y轴正方向为水平自东向西，z轴正方向为竖直向上。两位同学
各握长金属软绳 的一端，以平行于y轴方向的 为轴匀速摇动绳子，周期为0.5s，摇绳过程中金属
软绳 与轴 所围成的面积可视为恒值2m2，将 接到灵敏电流计两端，如图所示。已知电路总阻
值为40Ω，图中金属软绳在最高位置。则下列说法正确的是（ ）
方向 磁感应强度
x 40μT
y 0μT
z -30μT
A．该学校位于地球北半球
B．金属软绳在最高位置时电路中的感应电流不为0
C．摇绳发电得到的是正弦式交流电，电动势的峰值为40πμV
D．金属软绳从最高位置运动到最低位置的过程中，通过电流计的电荷量为
【答案】ABD
【详解】A．地磁场特点：“地北极为磁南极，地南极为磁北极”，故地磁线由南极（点）指向北极
（点），即北半球磁场特点为有向北且向下的磁场，则该学校位于地球北半球，故A 正确；
B．由题中表格知B = 方向与水平方向成37°，由 知，当v
合
与B 垂直时，电流最大，感应电动势最大，金属软绳在最高位置时，v与B 成37°，此时
合 合
故 B正确；C．由交流电产生的条件是一个闭合回路绕轴匀速旋转，所以摇绳发电是正弦式交流电峰值E =NBSω=1
m
V故C错误；
D．由电荷量的公式可得 ， ， 则q=4×10-6C故D 正确。
故选ABD。
4．（2025·浙江·一模）如图所示，匀强磁场中有两个相同的弹簧测力计，测力计下方竖直悬挂一副边长为
L，粗细均匀的均质金属等边三角形，将三条边分别记为a、b、c。在a的左右端点M、N连上导线，并通
入由M到N的恒定电流，此时a边中电流大小为I，两弹簧测力计的示数均为 。仅将电流反向，两弹簧
测力计的示数均为 。电流产生的磁场忽略不计，下列说法正确的是（ ）
A．三条边a、b、c中电流大小相等
B．两次弹簧测力计示数
C．金属等边三角形的总质量
D．匀强磁场的磁感应强度
【答案】C
【详解】A．根据题意可知，b与c串联后再与a并联，电压相等，bc的电阻为a的电阻的两倍，此时a边
中电流大小为I，则bc中的电流为 ，故A错误；
BCD．电流反向前，根据左手定则，可知a边的安培力方向竖直向上，bc边的安培力方向也竖直向上，a边的安培力大小为 bc边的安培力大小为 对金属等边三角形受力分析，可得
解得 电流反向后，根据左手定则，可知a边的安培力方向竖直向下，bc
边的安培力方向竖直向下，a边的安培力大小仍然为 bc边的安培力大小仍然为
对金属等边三角形受力分析，可得 解得 由上分析可
得 ， ， 解得 ， 故BD错误，C正确。故选C。
5．（2024·江苏·模拟预测）通电直导线 的质量为 、长为 ，用两根细线把导线水平吊起，导线上的电
流为 ，方向如图所示。在竖直方向加一个方向向上的匀强磁场，磁感应强度大小为 ，导线处于平衡时
悬线与竖直方向成 ，已知 ， ，重力加速度为 。下列说法正确的是
（ ）
A．
B．悬线的拉力大小为
C．若增大磁感应强度，则导线静止时悬线与竖直方向的夹角将变小
D．若将导线拉到最低处由静止释放，则导线 的最大速度为
【答案】D
【详解】AB．对导线受力分析，如图所示根据平衡条件，可得 ， 解得 ， 故A B错误；
C．由上面选项分析可知 若增大磁感应强度，安培力增大，则悬线的偏角将增大。故C错误；
D．由受力分析可知，导线静止时的位置为等效最低点，若将导线拉到最低处由静止释放，则导线处于等
效最低点时具有最大速度，由根据动能定理，可得 解得 故D正
确。故选D。
6．（2024·四川成都·模拟预测）如图所示，在倾角为 的光滑斜面上，垂直纸面放置一根长为L、质量为
m的直导体棒，导体棒中通有大小为I、方向垂直于纸面向里的电流，欲使导体棒静止在斜面上，可以施
加方向垂直于导体棒的匀强磁场。则（ ）
A．磁感应强度的最小值为
B．若使施加的匀强磁场磁感应强度最小，则方向应垂直于斜面向上
C．若匀强磁场的方向在竖直方向，则磁场方向向下，磁感应强度为
D．若导体棒与斜面间无挤压，则施加的磁场方向向上
【答案】B
【详解】C．若匀强磁场的方向在竖直方向，根据共点力平衡条件结合左手定则可知，磁场方向竖直向上，
安培力水平向右，此时，导体棒的受力分析如图甲所示，则有 解得 故C错误；D．若导体棒与斜面间无挤压，则导体棒所受安培力方向竖直向上，由左手定则可知，磁场方向水平向左，
故D错误；
AB．如图乙所示，当安培力的方向平行斜面向上时，安培力最小，施加的匀强磁场磁感应强度最小，由左
手定则可知，磁场方向垂直于斜面向上，此时有 磁感应强度的最小值 故A错误，
B正确。
故选B。
题型二：带电粒子在匀强磁场中的运动
7．（2024·北京朝阳·模拟预测）用三块大小相同的正方形绝缘薄板制成的固定框架如图所示，框架处在平
行于棱 的匀强磁场中，而 中心有一小孔 。沿垂直于面 方向，从小孔 射入质量为 、
电荷量为 的粒子。已知：正方形薄板的边长为 ，粒子射入框架时速率为 ，粒子与框架的碰撞为弹性
碰撞，粒子重力忽略不计。若此粒子经过与框架的多次碰撞最终能垂直于面 从小孔 射出，则下列
判断正确的有（ ）
A．匀强磁场的磁感应强度最小值为 B．粒子在框架中运动的最短时间为
C．匀强磁场的磁感应强度可能为 D．匀强磁场的磁感应强度可能为
【答案】BD
【详解】过小孔 的剖面图要使粒子最终能垂直AD方向从小孔射出，粒子运动轨迹圆的圆心一定位于三角形的边上，由公式
，解得 ，
B．由题意可得，粒子在框架中运动的最短时间如上图，半径为 ，三个 圆弧，时间为
故B正确。
ACD．由题意可得，粒子做圆周运动的半径满足 n=0，1，2，3…解得
n=0，1，2，3…结合公式 可得 n=0，1，2，3…由上式可得，n=0时匀强磁场的磁
感应强度最小值为 n=1时匀强磁场的磁感应强度值为 故D正确，AC错误。故选BD。
8．（2023·河北·三模）如图所示，边长为l的正六边形ACDEFG和以O为圆心、半径为l的圆形区域内分
别存在垂直纸面方向的匀强磁场B、B，现有一质量为m、电荷量为q的粒子以速度v从A点沿AE连线方
1 2
向垂直磁场射入，粒子恰好经过D点进入圆形磁场，经圆形磁场偏转后从H点沿OH方向射出磁场，在H
点下方某处有一弹性挡板，可使粒子以碰撞前大小相等的速度反弹后从E点沿EA方向返回六边形磁场区
域（图中未画出）。已知∠DOH = 90°，不计粒子重力，下列说法正确的是（ ）A．B、B 方向相同
1 2
B．B、B 大小的比值为
1 2
C．粒子在磁场内运动的时间为
D．粒子从H点运动到E点的时间为
【答案】BD
【详解】A．粒子在磁场中运动的轨迹如图所示
由左手定则可知，B、B 方向相反，故A错误；
1 2
B．根据几何关系可得，粒子在六边形磁场中运动的轨道半径为 在圆形磁场中运动的轨
道半径为 根据洛伦兹力提供向心力 联立可得 故B正确；C．粒子在六边形磁场中运动轨迹的圆心角为120°，在圆形磁场中运动轨迹的圆心角为90°，粒子在磁场中
运动的时间 故C错误；
D．根据几何关系可得，粒子在磁场外运动的轨迹长度为 所以粒子运动的
时间 故D正确。故选BD。
9．（2024·河北·模拟预测）长7l、高2l的矩形区域abcd中，有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为
B。纸面内大量电荷量为q、质量为m的带负电粒子（不计重力），从d点以相等的速率 沿各个方
向射入磁场，e为bc边中点，如图所示。则下列说法正确的是（ ）
A．从c点射出的粒子速度偏转角度最大 B．be区域没有粒子射出
C．粒子在磁场运动的最大位移为 D．粒子在磁场中运动的最长时间为
【答案】BCD
【详解】ABC．如图，轨迹与ab边相切的粒子位移最大，轨迹所对的线最长，运动时间最长，偏角最大，
根据 可得r=5l若轨迹与ab线切，则由几何关系可得af=4l，fb=3l，gf=l，则粒子恰好从bc边中
点e射出，be区域没有粒子射出；可得最大位移为 选项A错误，BC正确；
D．由几何关系可知圆弧dfe所对的圆心角为直角，则时间为四分之一周期 所以D正确。故
选BCD。10．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强
磁场，磁感应强度大小为B，一束质量均为m、带电荷量均为 的粒子从P点沿竖直方向以不同速
率射入磁场，P点与圆心的连线与竖直方向之间的夹角为 ，不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列
说法正确的是（ ）
A．该束粒子射出磁场时速度方向与过出射点的磁场区域圆半径的夹角为
B．若粒子恰好从C点射出，则其在磁场中运动的时间为
C．若粒子恰好从A点射出，则其在磁场中运动的速度为
D．从B点射出的粒子比从A点射出的粒子在磁场中运动的时间短
【答案】ABC
【详解】A．根据题意可知，粒子从P点射入磁场时，速度方向与过入射点的圆形磁场半径之间的夹角为
，如图所示由几何知识可知，该束粒子射出磁场时速度方向与过出射点的磁场区域圆半径的夹角也为 ，A正确；
B．若粒子恰好从C点射出，粒子的运动轨迹如图甲所示，根据几何关系可知，粒子在磁场中转过的圆心
角为 ，运动的时间为 ，B正确；
C．若粒子恰好从A点射出，粒子的运动轨迹如图乙所示
根据几何关系可知，轨迹半径 由洛伦兹力提供向心力可知 解得 ，C正
确；
D．从B点射出的粒子在磁场中转过的圆心角大于从A点射出的粒子在磁场中转过的圆心角，根据
可知从B点射出的粒子比从A点射出的粒子在磁场中运动的时间长，D错误。
故选ABC。
11．（2024·四川乐山·三模）如图所示，在一个半径为R的圆形区域内存在磁感应强度为B、方向垂直于纸
面向里的匀强磁场，O为区域磁场圆心。现有一质量为m，带电量为-q（ ）的粒子从距直径MON为
的P点平行于直径MON方向射入磁场，其运动轨迹通过磁场圆心O。不计粒子重力，则下列说法正确
的是（ ）A．粒子运动的轨道半径为R B．粒子射入磁场的速率为
C．粒子在磁场中运动时间为 D．粒子会从O点正下方射出磁场
【答案】AD
【详解】AD．作出粒子的运动轨迹，如图所示
由几何关系可得 可得 由几何关系 可得粒子运动的轨道半径
为 由图可知，粒子会从O点正下方射出磁场，故AD正确；
B．由洛伦兹力提供向心力 可得粒子射入磁场的速率为 故B错误；
C．由几何关系可得，粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心角为 所以粒子在磁场中运动时间为
故C错误。故选AD。
12．（2024·四川眉山·模拟预测）如图所示，为某速度选择器的主要工作区域，圆形区域内存在垂直纸面
向里的匀强磁场（图中未画出），O点为磁场的圆心，水平虚线为圆的一条直径。S点有一粒子发射源能
在纸面内沿SO向外发射一系列比荷均为k的正粒子，M、N为水平虚线下方半圆的三等分点，P为水平虚
线下方半圆的一个四等分点。粒子发射速率为v 时，粒子在磁场中运动时间为t 并从M点离开磁场，粒子
0 0
初速度范围为[0.1v，10v]，可连续变化，且不同速度的粒子数量相同。下列说法正确的是（ ）
0 0A．磁感应强度大小为
B．从P点射出的粒子的速率为
C．粒子的速度越小，在磁场中运动时间越短
D．从弧SM射出的粒子数小于从弧MN射出的
【答案】AD
【详解】A．当粒子从M点离开磁场时，轨迹如图所示
粒子在磁场中运动的时间为 所以 故A正确；
B．当粒子从M点射出时，根据洛伦兹力提供向心力 ， 当粒子从P点射出时，根据
洛伦兹力提供向心力 ， 联立解得 故B错误；
C．粒子的速度越小，半径越小，圆心角越大，则粒子在磁场中运动时间越长，故C错误；
D．若粒子从N点射出，则 ， 所以 从弧SM射出的粒子的速度大小为0.1v~v，从弧MN射出的粒子速度大小为v~3v，由此可知，从弧SM射出的粒子数小于从弧MN射出的
0 0 0 0
粒子数，故D正确。故选AD。
题型三：带电粒子在匀强磁场中的动态模型
13．（24-25高三上·陕西·开学考试）如图， 平面内有大量电子（质量为m、电荷量为e）从原点O连
续以相同速率 向各个方向发射，右侧远处放置与 平面垂直且足够大的荧光屏。现在各象限施加面积
最小的垂直于该平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场，使第 象限的电子最终平行于x轴并沿x轴正向
运动，第 象限的电子最终平行于x轴并沿x轴负向运动。忽略电子间的相互作用，则（ ）
A．第 象限磁场方向垂直平面向外 B．整场的最小总面积为
C．电子在磁场中运动的最长时间为 D．电子在光屏上形成的光斑长度为
【答案】D
【详解】A．第 象限的电子最终平行于x轴并沿x轴正向运动，根据左手定则可知第1象限磁场方向垂
直平面向里，第4象限磁场方向垂直平面向外，故A错误；
B．如图所示电子在磁场中做匀速圆周运动，半径为 在由O点射入第I象限的所有电子中，沿y轴正方向射出的
电子转过 圆周，速度变为沿x轴正方向，这条轨迹为磁场区域的上边界。设某电子做匀速圆周运动的圆
心 与O点的连线与y轴正方向夹角为 ，若离开磁场时电子速度变为沿x轴正方向，其射出点（也就是
轨迹与磁场边界的交点）的坐标为（x，y）。由图中几何关系可得 ， 消去参数
可知磁场区域的下边界满足的方程为 （x>0，y>0）这是一个圆的方程，圆心在（0，R）
处，磁场区域为图中两条圆弧所围成的面积，磁场的最小面积为 根据对
称性可知，整场的最小总面积为 故B错误；
C．电子在磁场中运动的最长时间对应的圆心角为90°，时间为 故C错误；
D．电子在光屏上形成的光斑长度为电子运动半径之和，即 故D正确；故选D。
14．（2024高三下·河南·模拟预测）如图所示，匀强磁场垂直纸面向里，其边界如图所示，磁场的磁感应
强度大小为B，半圆形边界的半径为R，O为半圆的圆心，ab是半圆的直径，边界上c点到a的距离为R，
a、b、c、O在同一直线上，从c点沿垂直边界、垂直磁场向上射出速度大小不同的质量为m、电荷量为q
的带负电的粒子，粒子均能从圆弧（含a、b点）上射出磁场，不计粒子的重力和粒子间作用，则能从圆弧
边界射出的粒子（ ）A．粒子速度大小范围为
B．粒子的速度越大，粒子在磁场中运动的时间越短
C．从圆弧面射出后能到达b点的粒子速度大小可能为
D．从圆弧面射出后经过O点的粒子在磁场中做圆周运动的半径为R
【答案】AC
【详解】A．若粒子恰好从 点射出，则粒子有最小速度，若粒子恰好从 点射出，则粒子有最大速度，由
几何关系可得粒子在磁场中做圆周运动的最小半径和最大半径分别为 ， 由洛伦兹力提供
向心力得 解得 可得 ， 即粒子速度的取值范围为
故A正确；
C．从圆弧面射出后能到达b点的粒子的运动轨迹如图所示
由几何关系可知，粒子做圆周运动的圆心一定在 点，轨道半径为 ，则此种情况下粒子的速度大小为
故C正确；
B．如图所示由图中几何关系可知，从圆弧面射出后能到达b点的粒子的运动轨迹所对应的圆心角最小，根据
可知从圆弧面射出后能到达b点的粒子在磁场中的运动时间最小，可知粒子的速度越大，粒
子在磁场中运动的时间并不越短，故B错误；
D．从圆弧面射出后经过O点的粒子的运动轨迹如图所示
由图可知粒子在磁场中做圆周运动的半径小于 ，故D错误。故选AC。
15．（2024·山西·模拟预测）如图所示，ab为一足够大感光板，板下方有一匀强磁场，板面与磁场方向平
行，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度大小B=0.60T，在到ab的距离 处，有一个点状的 放
射源S，它在纸面内同时向各个方向均匀连续发射大量 粒子， 粒子的速度大小为 ，已知
粒子的电荷与质量之比 =5.0×107C/kg， 粒子撞在感光板上则会被吸收。不考虑粒子重力及粒子间作用
力，下列选项正确的是（ ）
A．撞在感光板ab上的 粒子在磁场中运动的最短时间为
B．撞在感光板ab上的 粒子在磁场中运动的最长时间为
C．撞在感光板ab的粒子数占发射的总粒子数的
D．感光板ab上有粒子撞击的长度范围为16cm
【答案】AC
【详解】A．用R表示轨道半径，则有 可得 周期为 粒子在磁场中运动的圆心角 最小时，弧长最短，运动时间最短，最短弧长为S与ab垂直的距离，则有 可得 粒
子在磁场中运动的最短时间为 故A正确；
B．撞在感光板ab上的 粒子在磁场中运动的弧长最长时，运动时间最长，则粒子到达ab板时与板相切，
由几何关系可得 最长运动时间为 故B错误；
C．粒子的运动轨迹与感光板ab分别相切与P、P，圆心在以S为圆心，半径为R的圆弧O、O 上的α粒
1 2 1 2
子均可搭载感光板上，如图
有几何关系可得 则撞在感光板ab的粒子数占发射的总粒子数的
故C正确；
D．如图
由几何关系可得感光板ab上有粒子撞击的长度范围为 故D错
误。故选AC。
16．（2024·安徽淮北·二模）在电子技术中，科研人员经常通过在适当的区域施加磁场控制带电粒子的运
动。如图所示，正方形 边长为 ，一束相同的正离子以相同的速度 垂直 边射入，如果在 的某区域内存在着磁感应强度大小为 、方向垂直纸面的匀强磁场，最终所有离子均从 点射出，则（ ）
A．磁场方向垂直纸面向里 B．离子的比荷为
C．磁场区域的最小面积为 D．离子在磁场中运动的最长时间为
【答案】BD
【详解】A．由题意可知，粒子向下偏转，由左手定则知，磁场方向垂直纸面向外，故A错误；
B．画出粒子轨迹，如图
可知为磁聚焦模型，故运动半径 ，再由 得 故B正确；
C．由图知，磁场区域最小面积为“叶”型面积 故C错误；
D．粒子最大圆心角为 ，则最长时间为 故D正确。故选BD。
17．（2024高三上·广西·模拟预测）如图所示，长方形abcd长 ，宽 ，e、f分别是ad、
bc的中点，以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度 。一群不计重力、质
量 、电荷量 的带电粒子以速度 从左右两侧沿垂直ad和bc方向射
入磁场区域（不考虑边界粒子），则以下正确的是（ ）A．从ae边射入的粒子，出射点分布在ab边
B．从ed边射入的粒子，出射点全部分布在bf边
C．从bf边射入的粒子，出射点全部分布在ae边
D．从fc边射入的粒子，全部从d点射出
【答案】BD
【详解】根据牛顿第二定律得 解得
A．如果矩形区域全部存在磁场，则从e点射入的粒子，将从b点射出，但是磁场限定在半圆区域，则粒
子离开磁场后做匀速直线运动，所以粒子会从bf射出。因此从ae边射入的粒子，有部分靠近e点射入的粒
子从bf边射出。A错误；
B．从d点射入的粒子，将从f点射出，所以从ed边射入的粒子，将都从bf边射出。B正确；
C．从f点射入的粒子，将从d点射出，所以从bf边射入的粒子，将有部分从ed边射出。C错误；
D．因为轨道半径等于磁场半径，所以从fc边射入的粒子，会发生磁聚焦，全部从d点射出。D正确。
故选BD。
18．（2024高三下·福建·模拟预测）如图所示，有一等腰直角三角形AOC，直角边长为 ，AOC区域范
围内（包含边界）存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，质量为m、电荷量为 的粒子
可在直角边AO上的不同位置垂直边界、垂直磁场射入，入射速度大小为 ，D、E是AO边界上的两点
（图中未画出）， ，不计粒子重力，则（ ）A．粒子在磁场做圆周运动的半径为
B．粒子距A点 处射入，恰好不从AC边界出射
C．从D点射入的粒子，在磁场中运动的时间为
D．从E点射入的粒子，在磁场中运动的时间为
【答案】BD
【详解】A．由洛伦兹力提供向心力，可得 解得 ，A错误；
BC．粒子刚好不出磁场区域的运动轨迹如图所示，恰好与AC相切，根据几何关系可得，此时入射点到A
的距离为 ，即入射点到A点距离大于 的粒子都不能出磁场，运动轨迹为半圆，则时间为
B正确，C错误；
D．从D点处入射的粒子在磁场中的运动轨迹为一个半圆，在磁场中运动的时间为 ，在E点入射的粒子运动轨迹的圆心角为 ，在磁场中运动的时间为 ，D正确。
故选BD。
题型四：计算大题专练（带电粒子在匀强磁场中的运动）
19．（2025·浙江·模拟预测）在如图所示的xOy平面内，边长为2R的正方形区域中存在方向垂直xOy平面
向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，沿x轴放置一长为2R的探测板，与磁场下边界的间距为R，质量
为m、电荷量为q的正离子源从正方形一边（位于y轴上）的中点P向垂直于磁场方向持续发射离子，发
射速度方向与水平方向夹角范围为0﹣60°并沿0﹣60°范围均匀分布，单位时间发射N个离子，其发射离子
速度大小随发射角变化的关系为 ，α为发射速度方向与水平方向夹角，其中当α＝0°的离子恰好
从磁场下边界的中点沿y轴负方向射出。不计离子间的相互作用和离子的重力，离子打在探测板即被吸收
并中和，已知R＝0.05m，B＝1T，v＝5×105m/s，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
0
(1)求离子的比荷 （结果保留一位有效数字）；
(2)求单位时间内能打在探测板上的离子数n（结果保留分数）；
(3)求探测板至少多长能吸收到所有离子（结果保留根式）。
【答案】(1)1×107C/kg(2) N(3) m
【详解】（1）α＝0°离子的轨迹如图所示：根据几何关系r＝R根据洛伦兹力提供向心力有qvB 联立代入数据解得比荷 1×107C/kg
0
（2）发射速度方向与水平方向夹角为α的离子运动轨迹半径为 如果第一、四象
限都有磁场，根据几何关系可得离子在磁场中运动时在y轴上的弦长 即所有粒子都打到
O点；根据对称性可得从P向磁场发射的离子均垂直磁场下边界射出，离子要打在探测板最右边时，需满
足 解得α＝37°所以当α＞37°时粒子从磁场右边界射出磁场不能打到探测板上，则单
位时间内能打在探测板上的离子数n N
（3）根据几何关系可知当α＝60°时，从有边界射出的粒子运动最远，如图：
此时可知QM＝2R，β＝60°解得此时粒子在x轴上的距离 m所以探测板
至少 m才能接到所有的粒子。
20．（2024·江苏无锡·三模）反物质太空磁谱仪是一种可以探测宇宙中的奇异物质（包括暗物质及反物质）的装置。中国团队参与建造了其中的磁场结构部分，用于探测慢速粒子，该部分的工作原理图简化后
如图所示。在 平面内，以 为圆心、半径 的圆形区域内有方向垂直纸面向里的匀
强磁场，在 的区域内有方向垂直纸面向外的匀强磁场，两区域磁场的磁感应强度大小相等且 。
在第一象限有与 轴成 角倾斜放置的接收器，并与 、 轴交于 ， 两点，且 、 间的距离为
。在圆形磁场区域左侧 的区域内，均匀分布着质量 、电荷量
的带正电粒子，所有粒子均以相同速度沿 轴正方向射入圆形磁场区域，其中正对 点射入的粒子经磁场
偏转后恰好垂直于 轴进入 的磁场区域。不计粒子受到的重力，不考虑粒子间的相互作用。
(1)求粒子的速度大小 ；
(2)求正对 点射入的粒子，从刚射入磁场至刚到达接收器 的时间 ；
(3)若粒子击中接收器 能产生亮斑，求接收器上产生的亮斑的长度 。
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）由正对 点的粒子通过圆形磁场后垂直于 轴进入 的磁场区域，可知粒子在圆形磁场
中的运动轨迹如图所示
由几何关系知粒子的运动半径为 由牛顿第二定律 代入数据解得（2）粒子在圆形磁场中运动的周期为 正对 点射入的粒子在圆形磁场中运动轨迹对应的圆心角
为 在 中，由正弦定理有 其中 解得 正对 点射
入的粒子进入 的磁场区域中运动的轨迹如图所示，在 的磁场区域中运动轨迹对应的圆心角为
所以，正对 点射入的粒子从刚进入磁场至刚到达接收器 的时间为 解得
（3）如上图所示，由几何关系知：右下方最远击中C点 左上方最远击中
D点 所以
21．（2024·天津滨海新·三模）科学实验中，常用电场和磁场控制带电粒子的运动。如图为绝缘材料围成
边长为 的等边三角形，其中一条边的中点有一开口P，可以允许带电粒子通过。开口处存在沿OP方向
的匀强电场，加速电压U大小可调；三角形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B大小可
调。现有一个质量为m、带电量为 的粒子，从加速电场的正极板静止释放，经电场加速后穿过开口P进
入磁场区域，当调节 时，它与绝缘边界内壁发生两次弹性碰撞（电荷不转移）后又垂直返回P位置。
不计粒子重力。
（1）求此时加速电场两极板的电势差 ；
（2）若取 不变，只调节加速电场电势差U，使得粒子仍能够垂直返回开口P，试推导U的表达式；
（3）若取 不变，只改变磁感应强度为B的大小，求粒子从进入磁场到垂直返回P处所用时间的最
大值t。【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）如图，由几何关系得 ①根据牛顿第二定律可得 ②
根据动能定理得 ③由①②③得 ④
（2）根据几何关系，得 ⑤根据牛顿第二定律得 ⑥根据动能定理得
⑦由⑤⑥⑦得 ⑧
（3）当 时，由③可知在磁场中运行的速度大小不变，粒子在磁场中圆周运动的周期为 ⑨
代入⑤式可得 ⑩在三角形区域的总时间为 ⑪由⑩⑪得 ⑫当
，t最大 ⑬由③⑬得
22．（2024·辽宁·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限内，有一圆心为O、半径为R的 圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于坐标平面向外，C、D为圆弧AE的三等分点，
第二象限内存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场。两个电荷量均为＋q、质量分别为2m、m的带电粒子
a、b分别以速率 ， ，均从C点以平行于x轴方向射入磁场，a、b粒子经过第一象限内的匀强磁场后分
别从D、E两点射出，之后b粒子刚好不从x轴射出而再次到达y轴，不计粒子重力和粒子间的相互作用。
求：
（1）第二象限内匀强磁场的磁感应强度 的大小；
（2）速率 、 的比值；
（3）b粒子从C点进入磁场到再次到达y轴所经历的时间t。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）两个电荷量均为＋q、质量分别为2m、m的带电粒子a、b分别以速率 ， ，均从C点以
平行于x轴方向射入磁场，a、b粒子经过第一象限内的匀强磁场后分别从D、E两点射出，作出它们的运
动轨迹如图所示对b粒子，在第一象限中，由几何关系得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 在第
二象限中，由几何关系知， 与y轴的夹角为30°，由几何关系知 解得 根据洛伦
兹力提供向心力有 解得
（2）在第一象限中，作出a粒子的运动轨迹，其做匀速圆周运动的圆心为O，连接OO 、OC、DO 、延
1 1 1
长OC交OA于F点，由于C、D为圆弧AE的三等分点，可知 根据几何关系可得
1
， ， 则有 对a、b粒子，
根据洛伦兹力提供向心力有 ， 可得 ， 解得
（3）粒子b在第一象限中运动的周期为 由几何关系知粒子b在第一象限中运动的圆心角为60°，
则在第一象限运动的时间为 在第二象限中运动的周期为 由几何
关系知粒子b在第二象限中运动的圆心角为300°，则 b粒子从C点进入磁场到再
次到达y轴所经历的时间为
23．（2024·广西·模拟预测）现代科学研究中，经常用磁场约束带电粒子的运动轨迹。如图所示，有一棱
长为 的正方体电磁区域 ，以棱 中点为坐标原点建立三维坐标系 ，正方体区域内充满
沿 轴负方向的匀强磁场，在 点有一粒子源，沿 轴正方向发射不同速率的带电粒子，粒子质量均为 ，
电荷量均为 。已知速度大小为 的粒子，恰从坐标（ ， ，0）点飞出（图中未标出），不计粒子
的重力。求（1）磁感应强度大小 ；
（2）从正方体上表面 飞出的速率范围；
（3）若从 点射入的粒子初速度与 轴正方向、 轴负方向均成 ，大小为 ，求粒子射出区域
时的坐标。
【答案】（1） ；（2） ；（3）（ ， ）
【详解】（1）带电粒子在匀强磁场的作用下做匀速圆周运动，粒子从 点开始沿 轴正方向发射，其匀速
圆周运动的圆心必定在 轴上。根据几何关系可知，粒子到达 点时，
由几何关系 解得 根据洛伦兹力提供向心力可得 解得
（2）由上述分析可知当粒子从正方体上表面 飞出时，粒子速率越大，匀速圆周运动的半径越大，图
1中的 点越靠近 。当粒子速率最大为 时在 点射出，对应的圆周运动轨迹为 圆周，其半径等于则有 解得 当粒子速率最小为 时在 点射出，对应的圆周运动轨迹为
圆周，其半径等于 则有 解得 所以从正方体上表面 飞出的速率范围为
（3）假设粒子沿 轴负方向的分运动匀速运动到 点时（其位移大小等于 ），粒子能够在 边射出，
设粒子运动时间为 ，则有 解得 粒子的分运动匀速圆周运动的周期为
设圆心角为 ，有 联立解得 此情况粒子的运动轨迹在正方体前表面 内的投影如图2
所示，可知假设成立，设此时圆周运动半径为 ，则有 解得 粒子射出区
域时的坐标 ，
24．（2024·江苏·模拟预测）如图所示，在 平面内，在 且 的区域内存在匀强电
场，方向沿 轴正方向，电场强度的大小为 ；在 及 区间内分别存在垂
直 平面向外的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，磁感应强度大小和方向均相同。平面内 点有一粒子源，可向平面的第一象限和第四象限内沿不同方向射入速度大小均为 的粒子，粒子质量为 ，带正电且电荷
量为 。不计粒子重力和粒子间的相互作用。
（1）求粒子首次进入匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ后，在磁场中做匀速圆周运动的半径之比；
（2）若匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ的磁感应强度大小为 ，当粒子射入的速度方向与 轴方向的夹角为
时，粒子首次进入匀强磁场区域Ⅱ时恰好不从下边界射出磁场，求 ；
（3）若匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ的磁感应强度大小为 ，粒子沿 方向射入，求粒子在电场中被加速
的次数。
【答案】（1） ；（2） ；（3）18
【详解】（1）粒子进入匀强磁场区域I，根据洛伦兹力提供向心力有 粒子经过电场的过程，
根据动能定理有 粒子首次进入匀强磁场区域II，根据洛伦兹力提供向心力
联立解得
（2）在匀强磁场区域I中，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 粒子经过电场的过程根据动能定理有 粒子在电场中运动时x轴方向的速度不变，设出电场时粒子速度方向
与y轴负方向的夹角为 ，则有 在匀强磁场区域II中根据洛伦兹力提供向心力有
粒子不从下边界离开磁场，则有 解得
（3）在匀强磁场区域I中，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 则在匀强磁场区域II中
运动的半径为 粒子沿y轴正方向射入，则粒子在匀强磁场区域I和II中的轨迹均是半圆，在一个
周期内，其沿x轴方向移动的距离为 在电场中被减、加速各n 次后，粒子在电场中只
1
被加速，则有 n 取正整数，则n=15次设粒子再被加速n 次后，速度为vn，则
1 1 2
解得 (n 为正整数)在匀强磁场区域II中根据洛伦兹力提供向心力
2
有 粒子从磁场下边界射出，则有 n 为正整数，解得n=4粒子运动15个周期后，再
2 2
被加速3次，从匀强磁场区域II射出，则粒子共被加速的次数为n=15次+3次=18次
25．（2024·湖南岳阳·二模）如图所示，空间中存在水平向右的匀强磁场，磁感应强度为B。某处S点有电
子射出，电子的初速度大小均为v，初速度方向呈圆锥形，且均与磁场方向成 角（ ），S点右侧有一与磁场垂直的足够大的荧光屏，电子打在荧光屏上的位置会出现亮斑。若从左向右缓慢移动荧光屏，
可以看到大小变化的圆形亮斑（最小为点状亮斑），不考虑其它因素的影响，下列说法正确的是（ ）
A．若圆形亮斑的最大半径为R，则电子的比荷为
B．若圆形亮斑的最大半径为R，则电子的比荷为
C．若荧光屏上出现点状亮斑时，S到屏的距离为d，则电子的比荷可能为
D．若荧光屏上出现点状亮斑时，S到屏的距离为d，则电子的比荷可能为
【答案】ACD
【详解】AB．将电子的速度分解为水平方向的速度 ，和竖直方向的速度 ，即 ，
在水平方向因为电子速度与磁场方向平行，所以不会受到洛伦兹力，即电子在水平方向做匀速直线运动，
在竖直方向因为粒子与磁场方向垂直，所以受到洛伦兹力，由于不计重力，所以在竖直方向粒子做匀速圆
周运动。综上所述，可以将其看成水平方向的匀速直线，与竖直方向的粒子源问题，即，电子圆形亮斑的
最大半径是电子轨迹圆周的半径的二倍，由此可知，在竖直方向轨迹圆周的半径为 ，有 整理
有 故A正确，B错误；
CD．由于电子在水平方向做匀速直线运动，设电子到荧光屏的时间为t，有 解得 电子在竖
直方向圆周运动，有 其周期为T，有 若荧光屏上出现点状亮斑时，即电子到达荧光屏上时，恰好在竖直方向完成一个完成的圆周运动，即电子到荧光屏的时间是电子竖直方向做圆周运动的周
期的整数倍，有 （ ，2，3……）整理有 （ ，2，3……）当 时，其比荷
为 当 时，比荷为 故CD正确。故选ACD。
26．（2023·山东·模拟预测）利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用
到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图，宽度为 的带正电粒子流水平向右射入半径为 的
圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为 ，这些带电粒子都将从磁场圆上O点进入正方形区域，正方形过
O点的一边与半径为 的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚到O点
的粒子经过该磁场区域后宽度变为 ，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重
力，下列说法正确的是（ ）
A．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为 ，方向垂直纸面向里
B．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为 ，方向垂直纸面向里
C．正方形区域中匀强磁场的最小面积为
D．正方形区域中匀强磁场的最小面积为【答案】BC
【详解】AB． 根据磁聚焦原理，粒子在半径为 的圆形磁场区域中运动，粒子运动的轨迹半径为 ，有
解得 要使汇聚到O点的粒子经正方形区域内的磁场偏转后宽度变为 ，且粒子仍沿水
平向右射出，作出轨迹如图所示，由几何关系可知粒子的轨迹半径 ，正方形中磁场区域内应该为圆形磁
场的一部分，有 解得 比较可得 由左手定则可知，方向垂直纸面向里，A错误，
B正确；
CD． 如图，磁场区域的最小面积为 ，C正确，D错误。
故选BC。
27．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）近年来，我国可控核聚变研究不断取得突破。东方超环（EAST）首次
实现403秒的长时间高约束模式运行，国内当前规模最大、参数能力最高的新一代人造太阳“中国环流三
号”实现100万安培等离子体电流下的高约束模式运行，再次刷新我国磁约束聚变装置运行纪录，标志我
国磁约束核聚变研究向高性能聚变等离子体运行迈出重要一步。托卡马克是一种利用磁约束来实现受控核
聚变的环形容器，如图甲所示，它的中央是一个环形的真空室，外面缠绕着线圈，在通电的时候托卡马克
的内部产生的磁场可以把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内。如图乙为该磁约束装置的简化模型，
两个圆心均在O点，半径分别为R和3R的圆，将空间分成区域I和II，区域I内无磁场，区域Ⅱ内有方向
垂直于纸面向里、大小为B的匀强磁场。一群电荷量为+q、质量为m的粒子在纸面内以不同速率从区域I
中的O点沿半径方向射入到环形磁场后，都没有从区域II的外圆射出，不计粒子相互作用与粒子重力，：对于这些粒子，下列说法正确的是（ ）
A．粒子运动的速率不超过
B．粒子从区域I射入区域II，在区域II中运动的时间不超过 ，就会返回到区域I
C．粒子从区域Ⅱ射出返回区域I，在区域I中运动的时间不少于 ，才会进入区域Ⅱ
D．若粒子运动速率为 ，则粒子每运动距离（6π+8）R，轨迹就会重复一次
【答案】ACD
【详解】A．粒子从区域Ⅰ中的O点沿半径方向射入到环形磁场后，都没有从区域Ⅱ的外圆射出，设粒子
在磁场中运动最大半径为r ，此时粒子的运动轨迹如图所示
m
由几何关系可得 解得 根据洛伦兹力提供向心力 解得粒子运动的速率
最大值为 故A正确；B．粒子从区域Ⅰ射入区域Ⅱ，在区域Ⅱ中运动的时间为 根据几何关系，粒子在磁场中轨迹
对应的圆心角为 则当 时，粒子在区域Ⅱ中运动的时间为 故B错误；
C．根据对称性可知，粒子从区域Ⅱ射出返回区域Ⅰ时，速度方向为径向，则粒子在区域Ⅰ中，运动的距
离为2R，在区域Ⅰ中运动最短的时间为 故C正确；
D．若粒子运动速率为 ，根据洛伦兹力提供向心力 解得 根据题意，做出粒子的运动轨
迹，如图所示
可知粒子将在区域Ⅰ、区域Ⅱ间做周期运动，粒子每运动距离 轨迹就会重
复一次，故D正确。故选ACD。
28．（2024·安徽·三模）如图所示，用边长为a的六块荧光屏组成的正六边形ABCDEF区域内存在垂直纸
面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一束比荷（电荷量与质量之比）为k的带电粒子从A点沿AE方
向射入磁场区域。粒子打在荧光屏上会使其感光且粒子被吸收并导走。粒子速率均匀分布在
范围之内。若不计粒子重力及粒子间相互作用力，则（ ）A．若粒子带正电，DE屏（除D点外）会发光
B．若粒子带正电，磁场中有粒子经过的区域的面积为
C．若粒子带负电，AF屏上会发光的长度为
D．若粒子带负电，在磁场中运动时间相等的粒子数目占总粒子数的一半
【答案】BC
【详解】A．若粒子带正电，粒子在磁场中做圆周运动，由左手定则可以判断，粒子向右偏转，洛伦兹力
提供向心力，由牛顿定律可知 而粒子速率的分布为 ，代入可得粒子的半径
由几何关系可知粒子轨迹如图
由图可知速度最大时，从 点射出，DE屏（除D点外）不会发光，故A错误；
B．由图可知，粒子经过的区域的面积为 ，故B正确；
C．若粒子带负电荷，粒子将向左偏，最小速度轨迹如图中 在六边形中部分由几何关系可知，AF屏上会发光的长度为 ，故C正确；
D．由几何关系可知，在磁场中运动时间相等的粒子为半径在 范围内，其数目占总数目的 ，故
D错误。故选BC。
29．（2024·贵州黔南·二模）如图所示，半径为 的平圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应
强度大小为 ，其中 点为圆心， 点为圆弧的中点。直径 处有一接收屏，粒子打到接收屏上即被吸
收。一粒子源可以向纸面内各个方向发射速度为 （v未知）的带电粒子，粒子源可沿圆弧 移动。已知
粒子的质量为 ，电荷量为 ，忽略粒子重力及相互间的作用力，则下列说法正确的是（ ）
A．若粒子源位于 点，粒子速度 ，则粒子到达接收屏的最短时间为
B．若粒子源位于 点，粒子速度 ，则粒子到达接收屏的最短时间为
C．若粒子速度 ，则将粒子源沿圆弧从 移动到 过程中，接收屏上有粒子到达区域的长度
为
D．若粒子速度 ，则将粒子源沿圆弧从 移动到 过程中，接收屏上有粒子到达区域的长度
为【答案】BD
【详解】AB．粒子在磁场中做圆周运动，若粒子源位于 点，粒子速度 由洛伦兹力提供向心
力 可得 如图由几何关系可知，当粒子到达光屏的时间最短时，弦长最短，最短弦长为
R，则所对的圆心角为90°，时间为 选项A错误，B正确；
CD．若粒子速度 则在磁场中的运动半径为 在PM圆弧部分射出的粒子打到荧光屏上离O
最近的位置在图中H点，在荧光屏上HP长度上有粒子打上，则 MQ圆弧部分射出的粒子打
到荧光屏上最靠近O的粒子圆周半径为r，圆心为O，与PQ相切于L点，则荧光屏上QL长度上有粒子打
1
上，设OL距离为x，由几何关系可知 解得 则荧光屏能接收到粒子的总长度为
选项C错误，D正确。故选BD。
30．（2024·湖南永州·三模）如图所示为某离子速度分析器截面图，用于探究空间区域离子发射的速度。
建立如图的坐标系，在 平面（纸面）内，圆Ⅰ与圆Ⅱ相切于F点，与x、y轴相切于A、C两点，圆心
位置分别为 、 ，半径均为R，两圆心连线与 垂直，圆内分别存在垂直纸面向外的匀强磁场 、 。
离子源发射质量为m、电荷量为q、速度大小为 的正离子，从A点沿 方向射入磁场 ，经F点进入磁场 。不计离子的重力及相互作用，已知 ，下列说法正确的是（ ）
A．磁感应强度 的大小为
B．若离子不会碰到y轴，则 的最小值为
C．若离子源发射点可在圆Ⅰ内移动，且离子的速度大小可调、发射方向均沿y轴正方向，要使离子都
能从F点垂直 方向射入圆Ⅱ，则离子发射点位置需满足的函数关系式为
D．若离子源发射点可在圆Ⅰ内移动，且离子的速度大小可调、发射方向均沿y轴正方向，要使离子都
能从F点垂直 方向射入圆Ⅱ，则圆Ⅰ内可能有离子经过的区域面积为
【答案】AC
【详解】A． 与x轴夹角为 ，由几何关系 离子运动半径为 根据 得
，A正确；
B．若离子不会碰到y轴，离子出磁场时速度与y轴平行，则离子运动轨迹如图由几何关系 同理（1）得， 的最小值为 ，B错误；
C．由题意，画出离子可能的运动轨迹，如图
由几何关系 ， 联立得 圆Ⅰ内可能有离子经过的区域
面积为 C正确，D错误。故选AC。
