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专题 10 立体几何中球的切接问题
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题型01 外接球模型一：墙角模型..............................................................................................................................1
题型02 外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型.................................................................................4
题型03 外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型.............................................................................6
题型04 外接球模型四：垂面模型............................................................................................................................12
题型05 外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型...................................................................................................18
题型06 内切球............................................................................................................................................................24
题型 01 外接球模型一：墙角模型
【解题规律·提分快招】
外接球模型一：墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方
体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球
的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：
D 1 C 1 D 1 C 1 D 1 C 1 D 1 C 1
A B A B A B A B
1 1 1 1 1 1 1 1
D C D C D C D C
A B A B A B A B
类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅲ 例外型
【典例训练】
一、单选题
1．（云南省昭通市普通高中云南师范大学附属镇雄中学教研联盟2024-2025学年高三上学期联考检测数学
试题）棱长分别为 ， ， 的长方体外接球的表面积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】由条件结合球的表面积公式求球的半径，根据关系长方体体对角线等于其外接球的直径列方程求
.
【详解】设长方体的外接球的半径为 ，
由已知 ，所以 ，
又棱长分别为 ， ， 的长方体的体对角线长为 ，
长方体体对角线等于其外接球的直径，
所以 ，
所以 .
故选：C.
2．（2024·陕西商洛·一模）在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是正方形，
，则四棱锥 外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方体的外接球即可求解体对角线得半径，进而利用体积公式求解.
【详解】将四棱锥 放入正方体中，则四棱锥 的外接球与正方体的外接球相同，
设四棱锥 外接球的半径为 ，则 ，所以 ，
故四棱锥 外接球的体积 ．
故选：C
3．（23-24高三下·广西南宁·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在
鳖臑 中， 平面ABC， ， ， ，则此四面体的外接球表面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，可得 平面 ，将鳖臑 补全成长方体，进而可求外接球半径，从而得
解.【详解】根据题意， 平面ABC， 平面ABC，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
将鳖臑 补全成长方体，如图，
则此四面体的外接球的半径为 ，
其外接球的表面积为 .
故选：B.
4．（23-24高三下·广西河池·阶段练习）已知三棱锥 的所有棱长均为 ，球 为三棱锥
的外接球，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正方体的外接球来研究正四面体的外接球，只需要把正四面体放入正方体中，如图分析研究
即可得到球的半径.
【详解】因为三棱锥 的所有棱长均为 ，故可把已知三棱锥 放置在正方体
上，如图所示，
设正方体的棱长为 ，则 ，解得 ，
三棱锥 的外接球就是正方体的外接球，故球 的半径 ，
所以球 的体积 ，
故选：C.5．（2024·甘肃白银·一模）在三棱锥 中， 两两垂直，且该三棱锥外接球
的表面积为 ，则该三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将该三棱柱放入正方体中，借助正方体的外接球求解长度，即可根据体积公式求解.
【详解】由于 两两垂直,将该三棱柱放入正方体中，如图：
故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，
故该三棱锥外接球的半径为 .
由 ，得 .
由于 平面 ，所以该三棱锥的体积为 .
故选：B
题型 02 外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型
【解题规律·提分快招】
四面体 中， ， ， ，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通
过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为 ，则 ，三式相加可得 而
显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为 ，则 ，所以
．【典例训练】
一、填空题
1．（2024·湖北·模拟预测）已知三棱锥 的四个顶点都在球O的球面上，且 ，
， ，则球O的半径为 .
【答案】 /
【分析】利用三棱锥对棱相等，将三棱锥 补全为为长方体，再利用长方体的外接圆直径为长方体
的体对角线即可得解.
【详解】
如图，由于三棱锥对棱相等，
将三棱锥 补全为为长方体，
从而外接圆直径为长方体的体对角线，
设长方体的棱长分别为 ，球 的半径为 ，
则 ，
所以 ，
解得 .
故答案为：
2．（23-24高三下·重庆荣昌·阶段练习）在四面体 中， ， ，
.则四面体 外接球的表面积为 ．
【答案】【分析】将四面体 补形成长方体，使得对棱的长度分别为长方体面对角线的长，则长方体的体对角
线即为四面体 的外接球的直径，再结合球表面积公式计算即可.
【详解】由题意知，将四面体 补形成长方体，使得对棱的长度分别为长方体面对角线的长，如图所
示，
设长方体的长、宽、高分别为 ， ， ，
则 ，解得 ，
所以长方体的体对角线长为 ，
所以外接球的直径为 ，即 ，
所以四面体 的外接球的表面积为 .
故答案为： .
题型 03 外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型
【解题规律·提分快招】
外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两
个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方
法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下
图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O 与△ABC 的外心O 连线的中点，算出小圆O 的半径
1 1 1 1 2 1
AO＝r，OO ＝ ， ．
1 1A C
1 1
O
2
B
1
h
O
R
h
2
A C
r
O
1
B
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·山西·模拟预测）已知圆柱的底面半径为1，高为2，该圆柱的上下底面圆周上的点均在球 的
表面上，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用圆的截面性质与圆柱的结构特征，结合勾股定理求出球的半径，从而得解.
【详解】依题意，圆柱的底面半径为 ，高为 ，
因为该圆柱的底面圆周都在球 的表面上，设球的半径为 ，
则 ，即 ，
所以球 的表面积为 ，
故选：B.
2．（24-25高三上·广东河源·期中）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 ，顶点都在一个球面
上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意条件可知三棱柱是棱长都为 的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，即可求
解.
【详解】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 ．上下底面中心连线的中点就是球心，
如图， 为三棱柱上底面的中心， 为球心，易知 ， ，
所以球的半径 满足 ，故 ．
故选：B
3．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知一个正三棱柱的底面边长为6，高为4，则该正三棱柱的外接球的
表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，用勾股定理求出外接球的半径即可求其表面
积.
【详解】根据题意，
底面外接圆半径设为 ，则 ，∴ ，
外接球半径设为R，
则 ， .
故选：C.
4．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）如图，在正三棱柱 中， ，直线 与平面
所成角的正切值为 ，则正三棱柱 的外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用线面角的正切求出 ，再求出正三棱柱的外接球半径，再得出球的表面积
即可.
【详解】在正三棱柱 中，取 的中点 ，连接 ，如图，
则 ，
由 平面 ， 平面 ，得 ，又 ，
平面 ，因此 平面 ，
所以 是直线 与平面 所成的角，
则 ，由 ，得 ，而 ，
则 ， ，
因此正三棱柱 的外接球球心到平面 的距离 ，
而 的外接圆半径 ，
所以正三棱柱 的外接球的半径 ，所以 .
故选：D
5．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知直三棱柱 中， ，
， 点到直线 的距离为 ，则三棱柱 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点到直线的距离可得三棱柱的高，确定外接球球心，结合勾股定理可得外接球半径与外接球
表面积.
【详解】
过点 作 于点 ，连接 ，
因为三棱柱 为直三棱柱，
平面 ，
又 平面 ，
，
， ，平面 ，且 ，平面 ，
平面 ，
，
易知 ， ，
， ，
，
则 ，
设 外接圆圆心为 ， 外接圆圆心为 ，
则 ，即 ，
且三棱柱外接球球心 为 中点，
则外接球半径 ，
表面积为 ，
故选： .
6．（24-25高三上·河南·阶段练习）将2个棱长均为2的直三棱柱密封在一个球体内，则该球体的体积的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分将这2个直三棱柱柱合成1个高为4的直三棱柱，或合成1个高为2的直四棱柱，两种情况，
分别求得底面正三角形或菱形的外接圆半径，利用勾股定理计算出球的半径，并比较大小，进而计算出球
的体积的最小值.
【详解】
若将这2个直三棱柱合成1个高为4的直三棱柱，则底面正三角形的外接圆半径 ，
所以其外接球的半径为 ；
若将这2个直三棱柱合成1个高为2的直四棱柱，
则底面为边长为2，锐角为 的菱形，
则底面菱形的外接圆半径 ，
所以其外接球的半径为 ．
故该球体的体积的最小值为 ．
故选：A.
题型 04 外接球模型四：垂面模型
【解题规律·提分快招】
外接球模型四：
1、垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是
△CBD的外心O 与△ABD 的外心O 连线的中点，算出小圆O 的半径AO＝r，OO ＝ ，
1 2 2 2 1 1 1
．
D
A A 2
O
2
B
h h 2
R O R O
h h
C r 2 D C r 2 D
O O
1 1
B B
2、或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面
BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角
形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所
在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心
O 作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为
1R，球心为O．△BCD的外心为O，O 到BD的距离为d，O与O 的距离为m，则解得R．可用秒杀公
1 1 1
式：R2＝r2＋r2－(其中r、r 为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长)
1 2 1 2
d
A
h－m
A A A R
O C O
O 2
O D
B O C B O 1 C B C R m
O 1 d O 1
r
D D B D
D
类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅲ 类型Ⅳ
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理先求出底面三角形 的外接圆半径 ，再利用 为三棱锥的高， 为
外接球半径），即可求解．
【详解】在 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ，
即 ，所以 ，
设 的外接圆半径为 ，
则 ，所以 ，
平面 ，且 ，
设三棱锥 外接球半径为 ，
则 ，即 ，
所以三棱锥 外接球的表面积为 ．
故选：B．2．（24-25高三上·四川成都·期中）在体积为 的三棱锥 中， ， ，平面
平面 ， ， ，若点 ， ， ， 都在球 的表面上，则球 的体积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，取 的中点 ，连接 ， ，根据题中条件确定点 为球心，设球 半径为 ，利用
三棱锥 的体积求出 ，最后利用球的体积公式求结论.
【详解】如图，取 的中点 ，连接 ， ，
因为 ， ，所以 ，
因此点 就是三棱锥 的外接球球心，
在平面 内过点 作 ， 为垂足，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，
设球 半径为 ，则 ，
又 ，则 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以三棱锥 的体积 ，
所以 ，所以球 的体积为 ．
故选：C．
3．（24-25高三上·广东·阶段练习）在三棱锥P-ABC中， ，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（ ）
A．96π B．84π C．72π D．48π
【答案】B
【分析】令 的外心为 ，取 中点 ，由已知可得四边形 是矩形，利用球的截
面性质求出球半径即可得解.
【详解】在 中， ，则 ， 中点 为 的外心，
于是 平面 ，取 中点 ，连接 ，则 ，而平面PAB⊥平面ABC，
平面 平面 ， 平面 ，则 平面 ， ，
令正 的外心为 ，则 为 的3等分点， ，
又 平面 ，则 ，而 ，则四边形 是矩形，
，因此球O的半径 ，
所以球O的表面积为 .
故选：B
4．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 是以
为斜边的等腰直角三角形， ， ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 中点为 ，连接 ，过点 作 ，进而根据已知条件证明三棱锥的外接球的球
心在 上，再设外接球的半径为 ，球心为 ， 中点为 ，连接 ，再根据几何关系得
，进而代入数据计算即可得答案
【详解】设 中点为 ，连接 ，因为 是以 为斜边的等腰直角三角形， ，
所以 ， ，
过点 作 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面
所以 平面 ， 平面 ，
所以三棱锥的外接球的球心在 上，设外接球的半径为 ，
则由 得 ，由 得 ，
又因为 ，
所以 为等腰直角三角形，
设球心为 ， 中点为 ，连接 ，
则 ，
所以 ，
即 ，解得 ，
所以三棱锥的外接球的表面积为 .
故选：C
二、填空题
5．（23-24高三下·辽宁葫芦岛·期末）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏，“蹴”有用脚蹴､踢的含义，
“鞠”最早系外包皮革内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动.已知某鞠（球）的
表面上有四个点 ，满足 平面 ，若三棱锥 体积为 ，则该
“鞠”的体积最小值为 .
【答案】【分析】根据三棱锥的外接球的球心到所有顶点距离相等，且都为球半径，即可找到球心的位置，然后在
直角三角形 中，根据基本不等式即可求解 最小值，进而可得球半径的最小值.
【详解】
取 中点为 ,过 作 交 于 ，则 ,即 为 中点.
因为 平面 ,所以 平面 .
因为 ,所以 ,
所以， ,
所以， 是三棱锥 外接球球心, 为球的半径.
由 ,
又 ,当且仅当 ,等号成立,此时 ,
所以球半径 ,故 ,
该“鞠”的体积最小值为
故答案为： .
6．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）在三棱锥 中， ，平面
平面 ，则三棱锥 外接球表面积为 .
【答案】 /
【分析】取 中点 ，连接 ，根据等边三角形的性质及面面垂直的性质定理得 平面 ，根
据直角三角形的性质得 的外接圆的圆心为M，所以三棱锥 的球心 在 上，利用勾股定
理求解球的半径，代入球的表面积公式即可求解.
【详解】取 中点 ，连接 ，由 ，得 ，
由于平面 平面 ，且交线为 ， 平面 ，故 平面 ，
又 ， ，故 为等腰直角三角形，故 ，因此外接球的球心 在 上，且
设球半径为 ，则 ，
解得 ，故表面积为 .
故答案为：
题型 05 外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型
【解题规律·提分快招】
1、正棱锥外接球半径： ．
A
l
h
B
r
D
C
2、侧棱相等模型：
如图， 的射影是 的外心
三棱锥 的三条侧棱相等
三棱锥 的底面 在圆锥的底上，顶点 点也是圆锥的顶点．P
O
C
A O1 B
解题步骤：
第一步：确定球心 的位置，取 的外心 ，则 三点共线；
第二步：先算出小圆 的半径 ，再算出棱锥的高 （也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理： ，解出 ．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·湖北十堰·期末）已知正三棱锥 的体积为 ，则该三棱锥外接球的表
面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取正三棱锥 的底面中心为 ，设外接球的球心为 ，先由三棱锥的体积求出正三棱锥
的高为 ，再由勾股定理求出球的半径，最后求出表面积即可.
【详解】设正三棱锥 的底面中心为 ，外接球的球心为 ，显然球心 在直线 上.
设正三棱锥 的高为 ，外接球的半径为 ，
由 ，可得正三角形 的面积为 ，
所以 ，解得 .
球心 到底面 的距离为 ，
由 ，得 ，
所以外接球的表面积为 .故选：D.
2．（2024·陕西榆林·三模）已知正三棱锥 的侧棱与底面边长的比值为 ，若三棱锥 外接
球的表面积为 ，则三棱锥 的高为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据球心到底面的距离、底面三角形的外接圆半径和球的半径满足勾股定理，求得 ，然后
可得棱锥的高.
【详解】如图， 为等边三角形，
设 为 中点， 面 ， ，则 ，
所以 ，
设三棱锥 外接球的半径为 ，由正棱锥的性质可知球心为 在 上，
则 ，即 ，所以 .
由 ，解得 .
所以三棱锥 的高为 .
故选：B.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知正三棱锥 ，点 都在半径为 的球面上，若两两垂直，则球心到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方法一：根据正三棱锥 的外接球就是所在正方体的外接球，结合等体积法根据
求解即可；
方法二： 为等边三角形 的中心，连接 ，则三棱锥 的外接球球心 在直线 上，
连接 ，设 ，根据垂径定理求解即可；
方法三：设正方体的体对角线为 ，再证明 平面 ，根据几何关系求解即可.
【详解】方法一：因为 两两垂直，所以正三棱锥 的外接球就是所在正方体的外接球．
如图，外接球的球心即为正方体的中心 ，正方体的体对角线就是外接球的直径．
设正方体的棱长为 ，外接球的半径为 ，则 ，即 ，
即 ， ， ，
．设点 到平面 的距离为 ，
由 ，得 ，
所以 ，
所以球心 到平面 的距离为 ．
方法二：如图， 为等边三角形 的中心，连接 ，
则三棱锥 的外接球球心 在直线 上，连接 ，设 ，
则 ， ，
，（或 ），
在 中， ，即
（或 ），解得 （ 舍去），
所以 ，即球心 到平面 的距离为 ．
方法三：因为 两两垂直，所以正三棱锥 为正方体的一部分，
它的外接球就是该正方体的外接球，如图，外接球的球心即为正方体的中心 ，
正方体的体对角线就是外接球的直径，即 ．
因为 ，且 ，故四边形 为平行四边形，则 ，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
同理 平面 ，又 ， 平面 ，
故平面 平面 ，设体对角线 交平面 于点 ，交平面 于点 ，
由正方体的性质知 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，故 ， ，
又 平面 ， ，故 平面 ，
又 平面 ，则 ，同理 ，又 平面 ， ，
故 平面 ，所以球心 到平面 的距离为 ．
故选：C．4．（24-25高三上·山东德州·期中）已知四棱锥 的各侧棱与底面所成的角都相等，其各个顶点都
在球O的球面上，满足 ， ， ，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据侧棱与底面所成角相等推出顶点在底面的射影是底面外接圆的圆心，然后利用底面四边
形的条件求出底面外接圆的半径，再结合四棱锥的棱的长度求出该几何体外接球的半径，最后根据球的表
面积公式求出表面积即可.
【详解】因为四棱锥 的各侧棱与底面所成的角都相等，
所以顶点 在底面 的射影 是底面四边形 外接圆的圆心.
因为 ，所以△ 为等腰三角形. 因为 ，所以 ，
故△ 为等边三角形，则 .设底面四边形 外接圆半径为 ，
则根据正弦定理得 ，即 ，解得 .
设线段 的中点 , 则 ，
那么由勾股定理可知 ，所以 ，
故 是等边三角形 的中心，则 .
设球 的半径为 ，根据题意可知球心 在射线 上，
当球心 在线段 上时，如图1所示， 则 ，即 ，
解得 ，此时 ，不符合题意舍去.
当球心 在射线 上且在平面 的下方时，如图2所示， ，
即 ，解得 ，此时 符合题意，
故球 的半径 ，所以根据球体的表面积公式知该四棱锥外接球的表面积为 .
故选：B.
【点睛】求解几何体外接球问题的关键是通过找到球体球心的位置确定球体的半径.
二、填空题5．（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一个球面上，若该球
的体积为 ，则该正四棱锥的侧棱与底面所成的角的正弦值为 .
【答案】
【分析】根据已知条件求得正四棱锥的底面边长和高，结合线面角的知识求得正确答案.
【详解】如图所示正四棱锥 ， ，则 平面 .
设正四棱锥外接球的半径为 ，则R=2，
设正四棱锥底面边长为 ，高为 ，则 ①，
由 整理得 ②，
由①②解得 ，
由于 平面 ，所以正四棱锥的侧棱与底面所成的角为 ，
.
故答案为：
题型 06 内切球
【解题规律·提分快招】
内切球思路：
1、等积法思路
以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径．
方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；
第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：V
P－ABC
＝V
O－ABC
＋V
O－PAB
＋V
O－PAC
＋V
O－PBC
⇒V
P－ABC
＝
S ·r＋S ·r＋S ·r＋S ·r＝(S ＋S ＋S ＋S )·r；
△ABC △PAB △PAC △PBC △ABC △PAB △PAC △PBC第三步：解出r＝＝．
2、球内接圆锥
如图 ，设圆锥的高为 ，底面圆半径为 ，球的半径为 ．通常在 中，由勾股定理建立方程来计
算 ．如图 ，当 时，球心在圆锥内部；如图 ，当 时，球心在圆锥外部．和本专题前
面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．
由图 、图 可知， 或 ，故 ，所以 ．
3、球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为 ，高为 ，其外接球的半径为 ，三者之间满足 ．
4、球内接圆台
，其中 分别为圆台的上底面、下底面、高．
5、棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·贵州·阶段练习）正方体的棱长为2，其内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方体与其内切球的几何关系得出内切球半径，再根据球体表面积公式求得结果.
【详解】分析正方体与其内切球的几何关系得，内切球直径 与正方体的棱长相等，
即半径 ，所以球体表面积为 .
故选：C.2．（2024·重庆·模拟预测）已知体积为 的圆柱存在内切球．则该内切球的表面积为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】假设内切球的半径为 ，依题意可求出 ，进而利用球的表面积公式求解即可.
【详解】设内切球的半径为 ，依题意可知圆柱的高和底面直径均为 ，
圆柱的体积 ，解得 ，
故圆柱内切球的表面积为 ,
故选：C.
3．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知圆锥的母线与底面所成角为 ，其内切球（球与圆锥底面及
侧面均相切）的表面积为 ，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出轴截面，根据直角三角形的知识计算出底面半径 和高 ，再根据圆锥的体积计算公式即
可.
【详解】作出轴截面如图所示， 为内切球的圆心， 为圆锥底面圆的圆心， 为切点，由已知条件可
知 ，内切球的表面积等于 ，即 ，而 ，在
中， ，所以 ，在 中 ，所以圆锥的体
积 .
故选：C
4．（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有
面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相
邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为（
）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】对于正八面体，需要找出其外接球半径和内切球半径的关系，再根据球的表面积公式 ，
来计算表面积的比.
【详解】设正八面体的棱长为a，正八面体的中心到顶点的距离就是外接球半径R，
∴ 中心到面的距离就是内切球半径r,
正八面体的体积 ，
，解得
根据球的表面积公式 ，外接球表面积 ，
内切球表面积 ；
则外接球与内切球表面积之比
故选：D
5．（23-24高三下·山东·期中）已知正四棱锥 的底面边长为2，高为 ，则其内切球半径是
（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正四棱锥的轴截面，转化成等腰三角形的内切圆问题，转化为直角三角形，运用勾股定理解
出内切球半径.
【详解】设正四棱锥内切球球心为 ，其在底面 的投影为 ，则 三点共线，内切球半径为 ，取
中点 ， 中点 ，则正四棱锥 内切球半径即为 的内切圆半径，
因为底面边长为 ，所以 ， ，
因为高为 ，即 ，则 ，
所以 ，
在 中， 即 ，解得 ，
故选：D.
6．（23-24高三下·广东深圳·阶段练习）已知圆台 存在内切球 （与圆台的上、下底面及侧面都相切
的球），若圆台 的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为 ，设球 的体积与圆台 分别为
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，探讨圆台两底半径与母线的
关系，再利用圆台侧面积公式及圆台、球的体积公式求解即得．
【详解】设圆台 的上、下底面半径分别为 ，r (r >r >0)，母线长为 ，高为 ，内切球 的半径为
2 2 1
，
显然圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，则 ， ，
π(r2+r2
) 5
由 1 2 = ，整理得3r2−10r r +3r2=0，而 ，解得 ，l=4r ，
π(r +r )l 8 1 1 2 2 1
1 2因此圆台的高ℎ =√l2−(r
2
−r
1
) 2=2√3r
1
，R=√3r
1
，
1
26√3πr3
则圆台 的体积V = π[r2+r ⋅3r +(3r ) 2 ]⋅2√3r = 1，
1 3 1 1 1 1 1 3
4 V 6
内切球 的体积V = π(√3r ) 3=4√3πr3 ，所以 2= ．
2 3 1 1 V 13
1
故选： C
7．（2024·湖北·二模）已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，则圆
锥PO的内切球表面职与圆锥侧面积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知和正弦定理，勾股定理求出圆锥底面圆的半径和高，再由三角形面积相等求出圆锥内切球
半径 ，然后由球的表面积公式和圆锥的侧面积公式求出结果即可.
【详解】因为三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，
所以 为圆锥底面圆的内接正三角形，且边长 ，
由正弦定理可得底面圆的半径 ，
所以圆锥的高 ，
如图，圆锥轴截面三角形的内切圆半径即为圆锥内切球半径 ，
轴截面三角形面积为 ，
所以内切球半径 ，
内切球的表面积为 ，圆锥的侧面积为 ，
所以其和为 ，
故选：C.
二、填空题
8．（24-25高三上·江西赣州·开学考试）若正三棱柱 的内切球体积为 ，则该正三棱柱的
底面边长为 ．
【答案】
【分析】根据球的体积公式可得内切球的半径 ，根据正三棱柱结构特征可知 即为底面正三角形内
切圆半径，从而即可得解.
【详解】解：设正三棱柱 的内切球的半径为 ，
则有 ，
解得 ，
设正三棱柱的底面边长为 ，
则正三棱柱的底面三角形的内切圆半径即为正三棱柱内切球半径，
又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径 ，
所以 ，
解得 .
故答案为：
9．（2024高三·全国·专题练习）已知三棱锥 ，若 ， ， 两两垂直，且 ，
，则三棱锥 的内切球的表面积为 ．
【答案】
【分析】利用三棱锥内切球球心与各顶点相连将原三棱锥分成4个三棱锥，借助等体积法可求内切球的半
径，从而可求表面积.
【详解】由题意，设三棱锥 的内切球的半径为 ，球心为 ，
则由等体积得 ，
即 ，
解得 ．故内切球的表面积为 ．故答案为： .
10．（24-25高三上·广东深圳·期中）在正方形 中， ， 分别为线段 ， 的中点，连接 ，
， ，将 ， ， 分别沿 ， ， 折起，使 ， ， 三点重合，得到三棱
锥 ，则该三棱锥的外接球半径 与内切球半径 的比值为 .
【答案】
【分析】利用补为长方体法来求这个三棱锥的外接球半径，利用等体积法来求内切球半径，最后求比值即
可.
【详解】因为在正方形 中， ， ， ，
所以折起后 ， ， 两两互相垂直，
故该三棱锥的外接球，即以 ， ， 为棱的长方体的外接球.
设正方形 的边长为2，则 ， ， ，
故 ，则 .
设内切球球心为 ，由 ，三棱锥 的表面积 ，
，所以 ，
则有 .
故答案为：2√6.
一、单选题
1．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面
ABCD,PA=AB=3,AD=4，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将四棱锥补形为长方体，则长方体的外接球即为该四棱锥的外接球，又长方体的体对角线即为外
接球的直径，求出外接球的半径，即可求出其表面积.
【详解】因为在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，
如图将四棱锥补形为长方体，则长方体的外接球即为该四棱锥的外接球，
又PA=AB=3,AD=4，设长方体外接球的半径为 ，则 ，
2
所以外接球的表面积S=4πR2=4π×
(√34)
=34π.
2
故选：A
2．（2024·海南海口·模拟预测）如图，在平面四边形 中， 与 交于点 ，且 ，
， ，剪去 ，将 沿 翻折， 沿 翻折，使点 与点 重合
于点 ，则翻折后的三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，可得 两两垂直，再补形成长方体，借助长方体求出球的表面积.
【详解】依题意，在三棱锥 中， ，因此三棱锥 可以补形成以 为共点三条棱的长方体，
该长方体的外接球即为三棱锥 的外接球，设球半径为 ，
则 ，
所以三棱锥 外接球的表面积为 .
故选：C
3．（23-24高三下·福建福州·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体
体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．在堑堵 中， ， ，
， ，则此堑堵的外接球半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用勾股定理求出 即为 外接圆的直径，设此堑堵的外接球半径为 ，则
，即可求出 .
【详解】因为 ， ， ，则 ，
则 外接圆的直径为 ，
设此堑堵的外接球半径为 ，则 ，
即 ，所以 .
故选：C4．（24-25高三上·福建福州·期中）已知在高为 的正四棱锥 中， ，则正四棱锥
外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先计算出外接球的半径，从而计算出外接球的表面积.
【详解】设正方形 的中心为 ，连接 ，则外接球的球心 在 上，
，设外接球的半径为 ，则 ，
解得 ，所以外接球的表面积为 .
故选：A
5．（24-25高三上·广东·开学考试）外接球半径为 的正四面体的体积为（ ）
A． B．24 C．32 D．
【答案】A
【分析】设出正四面体棱长，通过作辅助线表示出四面体的高，解直角三角形表示外接球半径，由已知外
接球半径为 可得棱长，再由三棱锥体积公式可得.
【详解】如图，设正四面体 的下底面中心为 ，连接 ，则 平面 ，连接 并延长，交 于 ，设此正四面体的棱长为x，则 ，
， ，即四面体的高 ．
设四面体外接球的球心为 ，连接 ，外接球半径为 ，
则 ，化简得 ，由 ，
得 ，即正四面体棱长为 ，
所以正四面体的体积 .
故选：A.
6．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知三棱锥 的所有顶点都在球O的球面上， ， ，
， ， 平面 ，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出 外接圆半径，球心 到平面 的距离，再利用球的截面圆性质计算
即可.
【详解】在三棱锥 中，球心 在棱 的中垂面 上，由 平面 ，得 平面 ，
则球心 到平面 的距离为 ，在 中，由余弦定理得：
，
因此 外接圆半径 ，球 的半径 ，
所以球O的表面积 .
故选：C
7．（24-25高三上·广东·阶段练习）在四面体 中， ，且四面体 的各个顶点均在球 的表面上，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取 的中点为 ，根据已知条件证 为 的外心，且 平面 ，进而确定外接球
球心的位置，并求出半径，即可得球的体积.
【详解】如图，取 的中点为 ，由 ，则 ，
连接 ，又 ，故 ，故 为 的外心，
由题设，易得 ，所以 ，即 ，
又 ，且 、 平面 ，所以 平面 ，
所以球心 在 上，设球 的半径为 ，
在 中， ，即 ，解得 ，
所以球 的体积为 ．
故选：C
8．（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知球O是正三棱锥 的外接球，若正三棱锥 的高为
，底边 ，则球心O到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设正三棱锥 的底面中心为M，D为BC的中点，连接AD，显然球心O在直线PM上，
由 可得外接球半径，从而得解.
【详解】设正三棱锥 的底面中心为M，D为BC的中点，连接AD，显然球心O在直线PM上，设球O的半径为R，因为 ，
所以球心O到底面ABC的距离为 ， ，
由 ，得 ， ，
所以球心O到平面ABC的距离为 ．
故选：A
9．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）已知圆锥的轴截面为 为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的
表面积为 ，若 ，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】研究圆锥与内切球的轴截面，由题可得内切球半径 ，在轴截面中解直角三角形分别求出圆
锥的高与底面半径即可.
【详解】如图所示，设内切球 与 相切于点 ，因为 ，所以 ，
由内切球的表面积为 ，可得球的半径 ，
在直角 中得 ，则圆锥的高为 ，
在直角 中得 ，即圆锥的底面半径为3，
所以该圆锥的体积 ．
故选：A．10．（24-25高三上·湖北荆州·阶段练习）若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），
且母线与底面所成角的正弦值为 ，则此圆台与其内切球的表面积之比为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据圆台的内切球的性质以及线面夹角可得 ，且 ，以及内切球 的半径 ，
再结合圆台和球的面积公式运算求解.
【详解】设上底面半径为 ，下底面半径为 ，
如图，取圆台的轴截面，作 ，垂足为 ，
设内切球 与梯形两腰分别切于点 ，
可知 ， ，
由题意可知：母线与底面所成角为 ，
则 ，可得 ，
即 ， ，可得 ，
可知内切球 的半径 ，
可得 ， ，
所以 .故选：C.
二、填空题
11．（24-25高三上·湖北·开学考试）三棱锥 中， 平面 ，
则该三棱锥的外接球体积等于 .
【答案】
【分析】将三棱锥补成长方体，求长方体外接球的体积即可.
【详解】如图：
将三棱锥 补成长方体，则三棱锥 的外接球和长方体的外接球是一致的.
设长方体外接球半径为 ，则： ，所以
所以三棱锥的外接球体积为： .
故答案为：
12．（2024·湖南株洲·一模）若半径为R的球O是圆柱的内切球，则该球的表面积与该圆柱的侧面积之差
为 .
【答案】
【分析】由题意可得该圆柱的高 ，底面半径为 ，计算该球的表面积与该圆柱的侧面积即可得.
【详解】由题意可得该圆柱的高 ，底面半径为 ，
故该圆柱的侧面积 ,
该球的表面积 ,
则 .
故答案为： .
13．（2024·陕西西安·模拟预测）三棱锥 中， ， ， ，那么该
三棱锥外接球的表面积是 ．
【答案】
【分析】根据题意得到三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，再求长方体外接球的表面积即可得.
【详解】由题意，该三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，如图所示：
记该长方体的棱长为 ，则 ，
即 ，所以外接球半径为 ，
．
故答案为： .
14．（23-24高三下·山东枣庄·期中）已知三棱锥V—ABC，满足 ， ，
则该三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】在长方体中构造满足条件的三棱锥，通过求解长方体外接球半径即可求得三棱锥外接球半径，进
而求得结果.
【详解】根据三棱锥 对棱相等的特点，在长方体中构造三棱锥 如下所示：
设该长方体长宽高分别为 ，由题可知： ，
故可得 ，又该长方体外接球半径 ，也为该三棱锥外接球半径，
故该三棱锥的外接球的表面积为 .
故答案为： .
15．（23-24高三下·河南·阶段练习）直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若
，则此球的表面积等于 .
【答案】 /【分析】由余弦定理求得 ，根据正弦定理求出 的外接圆半径，结合勾股定理和球的表面积
公式计算即可求解.
【详解】在 中，由余弦定理得 ，
由 ，得 ，设 的外接圆半径为r，
由正弦定理得 ，则 ，
设三棱柱的外接球半径为R，则 ，
所以球O的表面积 .
故答案为：
16．（2024·陕西汉中·二模）已知三棱锥 ，点 到平面
的距离是 ，则三棱锥 的外接球表面积为 ．
【答案】
【分析】根据题意求得 外接圆的半径，再利用勾股定理证得 平面 ，从而利用侧棱垂直
于底面的三棱锥的外接球的性质即可得解.
【详解】记 为 的中点，连接 ，
由题意知 ，且 ，
所以 外接圆的直径为 ，且 ，即半径 ，过 作 平面 ，因为 平面 ，则 ，
又点 到平面 的距离是 ，即 ，而 ，
所以 ，同理 ，
又 ，所以 是同一个点，所以 平面 ，
设三棱锥 的外接球的半径为 ，
则 ，
则三棱锥 的外接球表面积为 .
故答案为：
17．（23-24高三下·陕西西安·期中）在四面体 中， ， ， ，
，则该四面体外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】首先求出 ，利用勾股定理逆定理得到 ，设 的中点为 ，根据直角三角形的性质
性质得到 ，即 为外接球的球心， 即为外接球的半径，从而求出球的表面积.
【详解】如图所示：
由 ， ，可知 .
因为 ， ，所以 ，即 .
设 的中点为 ，则 ，
所以 为四面体 外接球的球心，四面体 的外接球半径 ，
所以外接球表面积 .
故答案为：
18．（24-25高三上·上海·期中）已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为
.【答案】
【分析】借助于轴截面，根据内切圆的性质分析可知圆台的母线长为 ，进而可求表面积.
【详解】如图所示，等腰梯形 为圆台轴截面，
内接圆 与梯形 切于点 ，其中 分别为上、下底面圆心，
则梯形的腰长 ，即圆台的母线长为 ，
所以该圆台的表面积为 .
故答案为： .
19．（24-25高三上·北京·阶段练习）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 ，顶点都在一个球面上，
则该球的表面积为 ，体积为 .
【答案】
【分析】利用正棱柱外接球的性质，结合正弦定理与勾股定理，球的表面积与体积公式即可得解.
【详解】根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，
上下底面中心连线的中点就是球心，如图：
则 的外接圆的半径为 ，
所以其外接球的半径为 ，
所以球的表面积为 ；
体积为 .
故答案为： ；20．（24-25高三上·江苏·阶段练习）若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四
棱锥的侧面积为 .
【答案】
【分析】设正四棱锥 的顶点 在底面的投影为 ，由题意结合勾股定理计算可得该正四棱柱底
面边长与侧棱长，再计算出侧面的高后，结合侧面积公式计算即可得解.
【详解】如图所示，设P在底面的投影为 ，易知正四棱锥 的外接球球心在PG上，
由题意球 的半径为 ， ，
所以 ， ，
则 ，故 中，边 的高为 ，
所以该正四棱锥的侧面积为
故答案为：
21．（24-25高三上·浙江杭州·期中）在四边长均为 的菱形ABCD中， 沿对角线BD折成二面
角 为 的四面体ABCD，则此四面体的外接球表面积为 .
【答案】
【分析】设两三角形外心分别为 ,球心为 ，取 中点 ，得 ，从而可求得
，再根据勾股定理即可求得外接球的半径，从而可求表面积.
【详解】如图所示，设两三角形外心分别为 ,球心为 ，
则 平面 ， 平面 ，取 中点 ，
则 ，所以二面角 的平面角为 ，即 ，
所以 ，
在 中， ，所以 ，
又 ，所以球的半径为 ，
故球的表面积为 .故答案为： .
22．（2024高三下·广东佛山·竞赛）已知三棱锥 的三条侧棱两两垂直，且 ，
则该三棱锥的内切球的半径为 .
【答案】
【分析】内切球的半径可利用等体积法进行求解.
【详解】设该三棱锥的体积为 ，表面积为 ，内切球的半径为 ，球心为 ，
则 ，且 ，则 ，
∵三棱锥 的三条侧棱两两垂直，且 ，
∴ ，
∴ ，
又 ，∴ ，
∴ ,
又 ， ，
，
∴ ，∴由 ，得 ，因此 .
故答案为： .
23．（23-24高三下·广东江门·阶段练习）已知正四面体 的内切球的表面积为 ，过该四面体的
一条棱以及球心的平面截正四面体 ，则所得截面的面积为 ．
【答案】
【分析】由内切球的表面积求出内切球的半径，过点A作 平面BCD，连接BH并延长交CD于点
E，且点E为CD中点，连接 ，记内切球球心为O，过O作 ，设正四面体边长为 ，然后结
合正四面体的性质可求出 ，从而可求出截面的面积.
【详解】解：由内切球的表面积 ，得内切球半径
如图，过点A作 平面BCD，则点H为等边 的中心
连接BH并延长交CD于点E，且点E为CD中点，连接 ，
记内切球球心为O，过O作 ，设正四面体边长为 ，
则 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
由 ，得 ，即 ，解得
因为 过棱AB和球心O，所以 即为所求截面
且 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查正四面体与其外接球问题，考查球的表面积公式，解题的关键是根据正四面体的性质找出外接球的球心，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.
24．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱 中， 底面ABC， ，
， ，D在上底面 （包括边界）上运动，则三棱锥 的外接球体积的
最大值为
【答案】
【分析】先确定球心的位置，结合勾股定理，得出半径的最大值，进而可求外接球的体积的最大值.
【详解】因为 ， ，
所以 的外接圆的圆心为 的中点 ，且 ，
取 的中点 ，连接 ，则 ，所以 平面 ；
设三棱锥 的外接球的球心为 ，则 在 上，
设 ， ，球半径为 ，
因为 ，所以 ，
则 所以 ，
因为 ，所以 ，因为 ，
所以 ，即外接球半径的最大值为 ，
所以三棱锥 的外接球的体积的最大值为 .
故答案为：【点睛】关键点睛：对于外接球问题，一般处理方式为优先确定球心，后由图形得到关于半径的方程.
25．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知四面体 的各顶点都在同一球面上，若
，二面角 的平面角为 ，则该球的表面积是
【答案】 /
【分析】取 中点 ，连接 ，推得 ，即得 是等边三角形，分别取 与
的外心 ，过 分别作两平面的垂线，两线相交于点 ，可得点 为四面体 的外接球
的球心，分别求出 ，即可求得外接球半径即得.
【详解】
如图，取 中点 ，连接 ，
因 ，则 ，且 ，
又二面角 的平面角为 60°，即 ， 故 是等边三角形，
分别取 与 的外心 ，过 分别作两平面的垂线，两线相交于点 ，
则点 为四面体 的外接球的球心，
由已知可得 ，
连接 ，易得 ，故得 ， ，则 ，
在 中， ，
故该球的表面积是 .
故答案为： .
【点睛】思路点睛：本题主要考查三棱锥的外接球的半径求法问题，属于难题.
解题思路在于：先找到二面角的平面角 ，推得正三角形 ，分别取 与 的外心
，过 分别作两平面的垂线，两线相交于点 ，即外接球球心，结合图形即可求得外接球半径.
