文档内容
专题 10 正余弦定理在解三角形中的高级灵活应用与最值问题
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：倍长定比分线模型................................................................................................................2
题型二：倍角定理与正弦平方差........................................................................................................5
题型三：角平分线模型与张角定理....................................................................................................7
题型四：隐圆问题..............................................................................................................................11
题型五：正切比值与和差问题..........................................................................................................12
题型六：四边形定值和最值与托勒密定理......................................................................................15
题型七：边角特殊，构建坐标系......................................................................................................17
题型八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题..........................................19
题型九：三角形的形状判定..............................................................................................................21
题型十：三角形中的几何计算..........................................................................................................23
题型十一：中线长定理与余弦和为0...............................................................................................26
重难点突破：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围......................................................28
02 重难创新练....................................................................................................................................35题型一：倍长定比分线模型
1．在① ，② ，③ ，这三个条件中任选
一个，补充在下面的问题中，并解答问题，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ．
(1)求C；
(2)若△ABC的面积为 ，D在边AC上，且CD= CA，求BD的最小值．
【解析】（1）方案一：选条件①．
由 ，可得 ，
由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故 ，
又 ，于是 ，即 ，
因为 ，所以 ．
方案二：选条件②．
因为 ，所以由正弦定理及同角三角函数的基本关系式得 ，即
，
因为 ，所以 ，
又所以 ，因为 ，所以 ．
方案三：选条件③．
，由正弦定理得 ，
即 ，∴ ，∴由余弦下定得 ．
又 ，所以 ．
（2）由题意知 ，得 ．
由余弦定理得 ，
当且仅当 且 ，即 时取等号，所以 的最小值为 ．
2．如图，设 中角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， 为 边上的中线，已知 ，
， ．
(1)求边 、 的长度；
(2)求 的面积；
(3)点 为 上一点， ，过点 的直线与边 、 （不含端点）分别交于 、 ．若
，求 的值．
【解析】（1）因为 ，
所以， ，即 ，所以， ，即 ，即 ．
又因为 ，所以 ， .
（2）设 ，因为 为 边上的中线，
所以， ，
则 ，
，
，①
整理得 ，即 ，
得 或 ，
由①，得 ，所以， ，则 ，
故 ，
因此， ．
（3）由（2）知， ， 为 的中点，则 ．
设 ， ，其中 、 ．
所以 ，得 ．
又 、 、 三点共线，则 、 共线，
设 ，则 ，所以， ，因为 、 不共线，则 ，即 ，
由 ，得 ，
又 ，
所以 ，
即 ，
又因为 ，
所以， ，所以， ，解得 ，
所以： ， ，
所以 ．
题型二：倍角定理与正弦平方差
3．记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，且 .
(1)证明： ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 的取值范围.
【解析】（1）证明：依题意知 ，
故 ，即 ，
由余弦定理得 ，代入 可得 ，
因为 ，所以 ，即 ；
（2）由题意 为锐角三角形，且 ，
由（1）知，则 ，
由正弦定理得，
，其中 为锐角，所以 ，
因为 ，则 ，解得 ，
则 ，则 ，即 ，
因此 .
4．已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对边，S为 的面积， ．
（1）证明： ；
（2）若 ，且 为锐角三角形，求S的取值范围．
【解析】(1)证明：由 ，即 ，
， ， ，
， ，
， ，
，
， ，，
，B， ， ．
(2) ， ，
．
且 ，
，
，
为锐角三角形， ，
， ，
为增函数，
．
题型三：角平分线模型与张角定理
5．（2024·江西·模拟预测）在 中，内角 所对的边分别为 ，其外接圆的半径为 ，且
．
(1)求角 ；(2)若 的角平分线交 于点 ，点 在线段 上， ，求 的面积．
【解析】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
即 ，
，故 ，
，即 ，
又B∈(0,π)，则 ．
（2）
由（1）可知， ，又外接圆的半径为 ；
由正弦定理可知 ，
所以 ，
因为 是 的平分线，故 ，
又 ，
由 ，
可得 ，即 ．①由余弦定理可知， ，即 ．②
由①②可知 ．
所以 ，
又 ，则 ，
所以 .
6．在① ；② 边上的高为 ；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成
解答．
问题：记 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，______．
(1)求 的值；
(2)设 是 的角平分线，求 的长．
【解析】（1）选条件①： ， ，
由余弦定理 ，即 ，∴ ， ；
选条件②； 边上的高为 ，
由三角形的面积公式得 ，解得 ， ；
选条件③： ，由题意可知 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．由正弦定理得 ，即 ，解得 ， ．
（2）选条件①：因为 是 的角平分线，所以 ，
， ，
则 ，
由正弦定理 ，得 ；
选条件②；因为 是 的角平分线，所以 ，
，
， ，
则 ，
由正弦定理 ，得 ；
选条件③：因为 是 的角平分线，所以 ，
由题意可知 ， ，∴
则 ，
由正弦定理 ，得 ．
7．在 中， ， 为 边上的中线，点 在 边上，设 ．
(1)当 时，求 的值；(2)若 为 的角平分线，且点 也在 边上，求 的值；
(3)在（2）的条件下，若 ，求 为何值时， 最短？
【解析】（1）由题意可知： ，则 ，
即 ，
且 ，整理可得 ，即 或 （舍去），
所以 的值为 .
（2）在 中，由正弦定理可得 ，即 ，
在 中，由正弦定理可得 ，即 ，
若 为 的角平分线，则 ，即 ，
且 ，则 ，
即 ，可知 ，
则 ，可知 ，
又因为 ，则 ，所以 .
（3）由（2）可知： ，则 ，
且 最短，即为 最短，
设 ，则 ， ， ，
可知 ，可得 ，由余弦定理可得 ，
则 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
此时 ，
由（1）可知： ，即 ，
可得 ，即 （负值舍去）
所以当 为何值时， 最短.
题型四：隐圆问题
8．古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科
学成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上，且
满足 ，当 且 时，点P的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在 中，
，且 ，当 面积取得最大值时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由题意设 ， ， ，
由 得： ，
化简得 ，故 ，
∵ ，∴当 时， 面积最大，
此时不妨设 ，则 ， .
∴ .
故选：D.
9．（2023·全国·高三专题练习）若 满足条件 ， ，则 面积的最大值为 .
【答案】
【解析】如图，以 的中点为原点， 为x轴， 的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则 ， ，设 ，由 ，
得 ，
化简可得 ,则点 的轨迹是以 为圆心，半径 的圆，
且去掉点 ， 和 ， ；
所以 的面积的最大值为 ，
故答案为： .
题型五：正切比值与和差问题
10．在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则
的最小值为 ．
【答案】12
【解析】由题意知，在锐角 中， ，
，
等式两边同时除以 ，得 ，
又 ，
所以 ，
得 ，且 ，
所以 ，
令 ，则 ，
故
，
当且仅当 即 时等号成立，此时 ，
所以 的最小值为12.
故答案为：12
11．在锐角 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 的最小值为．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，即 ，
即 ，
所以 ，
又 ，
因为 为锐角三角形，所以 ，因此 ；
所以
，
令 ，则
，
当且仅当 ，即 时，取等号；
12．在 中，点D在边BC上，且 ，记 .
(1)当 ， ，求 ；
(2)若 ，求 的值.
【解析】（1）当 ， 时， ， ，
设 ， ， ， ，
∴在△ACD中，根据余弦定理得： ，．
（2）分别过 作 ， ， ， ，
易知 ，
，且 ，
， ，
．
题型六：四边形定值和最值与托勒密定理
13．托勒密是古希腊天文学家､地理学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边
形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.则图四边形 为圆 的内接凸四边形， ，
且 为等边三角形，则圆 的直径为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 ，因为 为等边三角形，所以 ,
在 中，由余弦定理得到， ，所以 ，
由题有 ，所以 ，解得 ，所以
由正弦定理知， ，解得 ，
故选：D.
14．（2024·高三·山东·开学考试）克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地
理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，
该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形 是圆
的内接四边形，且 ， ．若 ，则圆 的半径为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】由托勒密定理，得 ．
因为 ，所以 ．
设圆 的半径为 ，由正弦定理，得 ．
又 ，所以 ．因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，则 ，故 ．
故选：B
15．在四边形 中， ， .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 .
【解析】（1）在三角形ABD中，根据余弦定理可得， ，
由题得： ，所以 ，
在三角形BCD中，根据余弦定理可得，
，
所以， .
（2）设 ，在三角形ABD中，根据余弦定理可得，
，
在三角形BCD中，根据余弦定理可得， ，
所以 ，得： 或 （舍），
则 .
题型七：边角特殊，构建坐标系
16．在 中， ， ，点 在 内部， ，则 的最小值为______．
【答案】2
【解析】因为 ， ，所以 .
在 中，由正弦定理得： （R为 的外接圆半径），所以 ，解得： .
如图所示：设 的外接圆的圆心为O，建立如图示的坐标系.
设E为AC的中点，所以 ， .
所以点M的轨迹为： ，可写出 （ 为参数）.
因为点 在 内部，所以 （其中 满足 ， ）.
所以
因为 满足 ， ，所以 ，
所以当 时 最小.故答案为：2
17．在等边 中， 为 内一动点， ，则 的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，
以 的BC边的中点O为原点，BC为x轴，过O点垂直于BC的直线为y轴，建立建立直角坐标系如
图，
再将 延x轴翻折得 ，求得 的外接圆的圆心为Q， ， M点 的
劣弧 上，
不妨设等边 的边长为2，可得： ， ， ， ，
点 所在圆的方程为： .
设参数方程为： ，
，
，其中 ，
即 ，解得 ， ；
故选：C.
题型八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题
18．（2024·广西柳州·一模）记 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 的周长．
【解析】（1）由 得， ，即 ，
由于 ， ；
（2）由题设条件和正弦定理 ，
又 ， ，则 ，进而 ，得到 ，
于是 ，
，
由正弦定理得 ，
解得 ， ，
故 的周长为 .19．已知 的内角 的对边分别为 ，若 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的周长.
【解析】（1）依题意， ，
所以 ，
因为 ，所以 或 ，所以 或 .
（2）由 ，
根据正弦定理和三角形内角和定理可得 ，
又 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
在 中，因为 ，则 ，所以 ，
所以 .
根据正弦定理可得 ，即 ，
所以 ，
所以 的周长为 .
20．在 中，角 所对的边分别是 ，若 ，且 .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的面积.【解析】（1）由 可得： ，
，
则 .
（2）由（1）可得 ，
在 中，由正弦定理 ，
得： ，则 .
题型九：三角形的形状判定
21．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 为非零实数），则下列
结论错误的是（ ）
A．当 时， 是直角三角形 B．当 时， 是锐角三角形
C．当 时， 是钝角三角形 D．当 时， 是钝角三角形
【答案】D
【解析】对于选项 ，当 时， ，根据正弦定理不妨设 ， ， ，
显然 是直角三角形，故命题正确；
对于选项 ，当 时， ，根据正弦定理不妨设 ， ， ，
显然 是等腰三角形， ，
说明 为锐角，故 是锐角三角形，故命题正确；
对于选项 ，当 时， ，根据正弦定理不妨设 ， ， ，
可得 ，说明 为钝角，故 是钝角三角形，故命题正确；对于选项 ，当 时， ，根据正弦定理不妨设 ， ， ，
此时 ，不等构成三角形，故命题错误.
故选：D.
22．在 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且 ，则 的形状为
（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】由 及正弦定理，得
,
所以 ,
所以 ,
即 ，
即 ，解得 或 ,
当 时，又 ， ,所以 或 （舍），所以 为等腰三角形;
当 时，又 ，所以 ，所以 为直角三角形;
综上所述， 为等腰或直角三角形.
故选：D.
23．在 中，若 ，则 的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以由正弦定理得 ，因为 ，所以 ，
所以由余弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 或 ，
所以 或 ，
所以 为等腰三角形或直角三角形.
故选：D
题型十：三角形中的几何计算
24．（2024·高三·江西萍乡·期中）如图，在平面四边形 中， ， ， ，
．
(1)求四边形 的周长；
(2)求四边形 的面积．
【解析】（1）因为 ， ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，解得 ，
所以四边形 的周长为 ；
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以四边形 的面积为 ．
25．如图，四边形 中， ．
(1)求 ；
(2) 为边 上一点，且 的面积为 ，求 的外接圆半径．
【解析】（1）因为 ，所以 ，在 中，由余弦定理得： ，
在 中，由余弦定理得： ，
两式作差得： ，解得 ，
因为 ，所以 ．
（2）因为
由（1）知 ，可得 ，且 ，
则 所以 ，
在 中，可得 ，所以 ，
在 中，可得 ，
在 中，可得 ，
可得 ,所以 ，则 ，
所以 ，解得 ，
设 的外接圆半径为 ，
由正弦定理得 ，解得 ，
所以 的外接圆半径为 ．
26．（2024·河南·三模）已知 是 内一点， .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 .【解析】（1）如图所示，
在 中， ，所以 .
所以 .
在 中，由正弦定理得 ，即 ，解得 .
（2）如图所示，
当 时， .
设 ，则 .
在 中，由正弦定理得 .
在 中，由正弦定理得 .因为 ，所以 ，即 ，
整理得 ，即 ，解得 ，即 .
题型十一：中线长定理与余弦和为0
27．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)若 ，求B；
(2)若 ，求 边上的中线 的长．
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
由正弦定理可得 ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．∴ .
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
28．在 中，内角 所对边的长分别为 ，且满足 ．
(1)求 ；
(2)若 ， 是 的中线，求 的长．
【解析】（1）因为 ，
所以由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
又 ，故
又B∈(0,π)，所以 ；
（2）因为 ，由余弦定理得， ，
因为 ，
所以 ，
因为 是 的中线，所以 ，
所以 ，
故 ．29．（2024·高三·山东滨州·期末）在 中，内角 所对的边分别为 且
(1)求角 ；
(2)若 ， 是 的中线， ，求 的面积.
【解析】（1）因为 ，由正弦定理，得 ，
所以 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
（2）解法1：因为 ， 是 的中线，所以 ，
设 ，则 ，
在 中，由正弦定理得 ，所以 ，
在 中，可得 ，
所以 ，
故 的面积
．
解法2：因为 ， 是 的中线，所以 ，
可得 ，即 ，
整理得 ，所以 ，
在 中，可得 ，
所以 ，
故 的面积．
重难点突破：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围
30．（2024·高三·辽宁大连·期中）已知函数 ， 中的三个内角 ， ，
的对边长分别为 ， ， ， ．
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形， ，求 周长的取值范围．
【解析】（1）
，
由 ，则 ，则 ，
即 ，又B∈(0,π)，故 ；
（2）由正弦定理 可得 ，
，
则，
由 为锐角三角形， ，则有 ，解得 ，
则 ，由 在 上单调递增，故 ，
， ，
故 ，故 ，
即 周长的取值范围为 .
31．在锐角 中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足 ．
(1)求角B的大小；
(2)若 ，求 面积的取值范围．
【解析】（1）因为 ，则 ，
整理可得 ，
利用正弦定理可得 ，
又因为 ，则 ，可得 ，即 ，
且 ，所以 .
（2）由正弦定理 ，
可得 ，由题意可知： ，解得 ，
则 ，可得 ，即 ，
又因为 面积 ，
所以 面积的取值范围为 .
32．记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
(1)证明： 是等腰三角形.
(2)若 ，求 的最大值.
【解析】（1）因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ， 是等腰三角形.
（2）由（1）知 ，所以 ， .
.
因为 ，所以 .
.
，其中 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最大值为 .33．在 中，角 、 、 的对边是 、 、 ，已知 ， 为常数．
(1)若 ， ，求 面积的最大值；
(2)若 ， ，求 的值．
【解析】（1）解法一：当 时， ，
由余弦定理 得 ，所以 ，
，
设 ，则
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 面积的最大值为 .
解法二： 时， ，即
以 所在的直线为 轴， 的中点 为原点建立平面直角坐标系 ，
则 、 ，设 ，
由 得 ，化简得 ，即 的轨迹方程为 ，
所以 面积的最大值为 .
（2）解法一：由 及正弦定理可知 ，
由 及 ，
得
，
整理可得 ，解得 或 （舍），
故 .
解法二：不妨设 ，则 .
由 可得 ，
所以，
解得 ，所以 ，
因此 .
解法三：不妨设 ，则 ，即 ， .
以 所在的直线为 轴， 的中点 为原点建立平面直角坐标系 ，
显然有 、 ，
所以点 的轨迹是以点 、 为焦点，且长轴长为 的椭圆（除去长轴端点），
设椭圆方程为 ，则 ， ， ，
故椭圆方程为 ，即点 在椭圆 上.
设 ，其中 ，
则
， ，， ，
因为 ，
， ，
，
由 可得 ，
化简即得 ，从而 .
故 ，
从而 .1．已知 的内角 所对的边分别为 ，若 ，则 边上中线
长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，由正弦定理可得 ，
即 ，则 ，
又 ，所以 ，因为 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，则 ．
设 边上中线的长度为 ，则 ，
所以 边上中线长度的最大值为 ．
故选：C
2． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 的面积为 ，且 ， ，则AB边
上的中线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由 ，解得 ，
1
设AB的中点为D，则⃗CD= (⃗CA+⃗CB)，
2
则
，
则 ，
故AB边上的中线长为 .
故选：D.
3．在锐角 中， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由余弦定理可知： ，
在锐角三角形中又有 ，
即
故答案为：C．
4．在 中， ，则 的面积为（ ）A．6 B．8 C．24 D．48
【答案】C
【解析】设 ，根据余弦定理 ，
已知 ， ， ，代入可得：
，即 ，解得 ，
由于 ，则 为直角三角形，
则 .
故选：C.
5．记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由正弦定理与 可得 ．
整理，得 ．
由余弦定理的推论，得 ．
因为 ，所以 ．
故选：B．
6．在 中内角 所对边分别为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】因为 ，则由正弦定理得 .
由余弦定理可得： ，
即： ，根据正弦定理得 ，
所以 ，
因为 为三角形内角，则 ，则 .
故选：C.
7．在 中， 为边 的中点，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，如图AM 中点为N，过N做AB垂线NO，使 ，以O为圆心，
OA为半径做圆O.由题可得 ，则 ，即C点部分轨迹为优弧
（还有部分轨迹为优弧 关于AM的对称优弧）.如图，设CB与圆O交于D，连接AD，
由外角定理， ，当且仅当C与D重合，即CB与圆O相切时取等号.
由圆幂定理，当CB与圆O相切时可知 ，
由弦切角定理可知 ，设 .
在 中，由正弦定理可得 ，
又注意到 ，
则 ，
解得 ，结合图形可得 ，则此时 ．故选：B
8．在 中，内角 所对边分别为 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】由题可得 ，
， ，当且仅当 取等号，
所以 .
故选：B.
9．（多选题）已知 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是
（ ）
A．若 ，则 为等腰三角形
B．若 ，则
C．若 ， ，则 面积最大值为3
D． ，角B的平分线BD交AC边于D，且 ，则 的最小值为12
【答案】BCD
【解析】对于A：若 ，根据正弦定理则 ，即 ，因为 ，所以 或
即 或 ，所以 为等腰三角形或直角三角形，A错误；
对B，因为 ，则 ， ，
则根据正弦定理有 ， 故B正确；
对C，设 ， .
则 ，
，
所以
，
当 时，三角形 的面积取得最大值 ，故C正确；
对D，由题意可知， ，
由角平分线性质和三角形面积公式得 ，
化简得 ，即 ，
因此 ，
当且仅当 ，即 时取等号，即 的最小值为 ，则D正确.
故选：BCD.
10．（多选题）△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A． ，则△ABC是锐角三角形B．若 ，则△ABC是直角三角形
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】BCD
【解析】选项A，因为 ，
所以 ，因为 ，所以 为钝角，故 是钝角三角形，故A错误；
选项B，因为 ，
所以 ，化简得： ，
由正弦定理得： ，所以 为直角三角形，故B正确；
选项C，因为 ，所以 ，可得： ，
又因为 在 上单增，所以 ，
所以 ，故C正确；
选项D，因为 ，所以 为锐角，
又因为 ，所以 为锐角，
所以 ，可得 ，所以
同理可得： ．
所以 ，所以 ，故D正确．
故选：BCD.
11．（多选题）设 的内角 的对边分别是 ，若 ，且 ，则下列
结论正确的是（ ）
A． B． 的外接圆的面积是C． 的面积的最大值是 D． 的取值范围是
【答案】BCD
【解析】对于A项，因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，故A项错误．
对于B项，设 的外接圆的半径为 ，由正弦定理可得 ，
则 的外接圆的面积是 ，故B项正确．
对于C项，由余弦定理可得 ，即 ①．
因为 ②，当且仅当 时，等号成立，
所以由①②得 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的面积 ，则C项正确．
对于D项，由正弦定理可得 ，则 ，
，
所以
又因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 的取值范围是 ，故D项正确．
故选：BCD.
12．（多选题）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．若 ，则 为等腰直角三角形
C．若 ，则 的面积为
D．若 为锐角三角形， 的最小值为1
【答案】AB
【解析】对于A：因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 或 ，
当 时，此时 显然不成立，所以 ，即 ，故A正确；
对于B：因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 为等腰直角三角形，故B正确；
对于C：因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ， ，
所以 ，所以 ，故C错误；
对于D： ，因为 为锐角三角形，所以 ，所以 ，
所以 ，此时 无最小值，故D错误；
故选：AB.
13．在 中， 是边 的中点，若 ， ， ，则 ．
【答案】 /
【解析】
如图，过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，两平行线交于点 ，
则四边形 为平行四边形， ， ，
∴ ，
∴
.
故答案为： .
14．在 中， 的平分线为 与 交于点 ， ，则
．【答案】
【解析】方法一：设 ，
因为 ，
所以 ，
化简得， ，
故 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，则 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，
故答案为： .
方法二：由余弦定理得 ，
由角平分线定理得 ，
所以 ， ，
所以 ，
故答案为： .
15．在 中， 为边 上一点，且满足 ，则 ．【答案】
【解析】
如图，因为 ，所以 ，
由 ，知 ，
化简得 ，
因 ，则有 ，
因 ,故得 ，解得 ．
在 中， ．
故答案为： ．
16．在 中，内角 所对的边分别为 （ ）.已知 ，则 的最大值
是 .
【答案】 /
【解析】由 ，则由正弦定理可得 ， ，
所以 或 ，而 ，且 ，即 ，
所以 ，且 ，即 ，
，令 ，则 ，所以 ，
当 时， ，则 在 上递增；
当 时， ，则 在 上递减；
所以 .
故答案为： .
17．在 中，角 的对边分别为 ，且 .
(1)求角 的大小;
(2)若 的面积为 ，求 .
【解析】（1）由题设 ，故 ，
所以 ，则 ，
又 ，可得 .
（2）由（1）及题设，有 ，
又 ，则 .
18． 的内角 的对边分别为 ，已知 ，且 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围．
【解析】（1）由 ，得 ．因为 ，所以 ，即 ．
．
（2）由 ，得 ，
因为 为锐角三角形，所以
则 ，解得 ，即 的取值范围为 ．
19．在 中，内角 所对的边分别为 ， .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ， 为 的中点，当 取得最小值时，求 的长.
【解析】（1）通由 及正弦定理，
得 ，
即 ，
即 ，
因为 ，所以 ，所以 .
优因为 ，
所以 ，
由题意得 ，即 ，所以 ，得 ，即 ，
所以 ，
又 ，所以 .
（2）由（1）得 ，
所以 .
在 中，由余弦定理可得，
，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
此时 ，
故 .
20． 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ， ， ，____________.
(1)若在横线处填入 ，求 ；
(2)给出两个条件：
①内角 的平分线长为 ；
②BC边上的中线长为 .
从条件①②中选择一个填入横线，求 的面积 .（若选择①②分别作答，则按选择①给分）.
【解析】（1）由 ，得 ，
因为 中，B∈(0,π)，
所以 或 ，又因为 ，所以 ，所以 .
（2）选择①：设 的平分线交BC于点 ，
则 ， ，
，
，
，即 ，
在 中，由余弦定理 ，
，
， ，
， ， .
选择②：以AB、AC为邻边作平行四边形，记作平行四边形 ，
则有 ，两式平方相加得： ，
即
又结合已知： ， ，
可解得 ，即 ，在 中，由余弦定理得： ，
将 ， ， 代入解得： ，
.
21．已知 中， ．
(1)求证： ；
(2)如图，在 中， ，在 边上存在一点 ，使得 ， ， 的平分线
交 于 ，求 ．
【解析】（1）证法一：由 ，则 ，
．
证法二：因为 ，
所以 ，
所以
．（2）解法一：在 中，由正弦定理得 ，解得 ．
又因为 ，所以 或 ．
当 时， ．因为 ，所以 ；
当 时， ．因为 ，所以 ，
由 ，则不符合题意，舍去，
所以 ，则 ．
，
在 中，由正弦定理，得 ，解得 ．
又因为 为 的平分线，所以 ，则 ，
由 ，则 ，
由正弦定理可得 ，
所以 ，即 ，
解得 ．
解法二：在 中，由正弦定理得 ，解得 ．
又因为 ，所以 或 ．
当 时， ．因为 ，所以 ；
当 时， ．因为 ，所以 ，由 ，则不符合题意，舍去，
所以 ，则 ，所以 ．
在 中，由正弦定理得 ．
因为 ， ，所以 ．
又因为 ，所以 ，所以 ．
