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【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题7.6坐标与新定义问题大题提升训练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压
轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己
的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
n
1．（2022秋•埇桥区期中）已知当m、n都是实数，且满足2m＝6+n，则称点A(m−1， )为“智慧点”．
2
（1）判断点P（4，10）是否为“智慧点”，并说明理由．
（2）若点M（a，1﹣2a）是“智慧点”．请判断点M在第几象限？并说明理由．
2．（2022春•镇巴县期末）已知a，b都是实数，设点P（a，b），若满足3a＝2b+5，则称点P为“新奇
点”．
（1）判断点A（3，2）是否为“新奇点”，并说明理由；
（2）若点M（m﹣1，3m+2）是“新奇点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．
3．（2021秋•漳州期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值称为
点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．
（1）求点A（﹣5，2）的“长距”；
（2）若C（﹣1，k+3），D（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．
4．（2022秋•渠县校级期中）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay）
（其中a为常数），则称点Q是点P的“a级关联点”、例如，点P（1，4）的“3级关联点”为点Q
（3×1+4，1+3×4），即点Q（7，13）．
在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，6）的“2级关联点”是点B，求点B的坐标；
在平面直角坐标系中，已知点M（m，2m﹣1）的“3级关联点”是点N，且点N位于x轴上，求点N的
坐标．
5．（2022秋•天长市月考）在平面直角坐标系中，对于点P、Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距
离的较大值等于点Q到x，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点P（﹣2，5）和点
Q（﹣5，﹣1）就是等距点．
（1）已知点B的坐标是（﹣4，2），点C的坐标是（m﹣1，m），若点B与点C是“等距点”，求点
C的坐标；
（2）若点D（3，4+k）与点E（2k﹣5，6）是“等距点”，求k的值．6．（2022秋•蚌山区月考）在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（ax+y，x+ay），
则称点B是点A的“a级开心点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级开心点”
为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则点P的“3级开心点”的坐标为 ；
（2）若点P的“2级开心点”是点Q（4，8），求点P的坐标；
（3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”P'位于坐标轴上，求点P'的坐标．
7．（2022春•芜湖期中）在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（x+ay，ax+y），则
1 1 1
称点B是点A的a级亲密点．例如：点A（﹣2，6）的 级亲密点为B(−2+ ×6， ×(−2)+6)，即
2 2 2
点B的坐标为（1，5）．
（1）已知点C（﹣1，5）的3级亲密点是点D，则点D的坐标为 ．
（2）已知点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点M 位于y轴上，求点M 的坐标．
1 1
（3）若点E在x轴上，点E不与原点重合，点E的a级亲密点为点F，且EF的长度为OE长度的√3倍，
求a的值．
8．（2021秋•舒城县校级月考）点P坐标为（x，2x﹣4），点P到x轴、y轴的距离分别为d ，d ．
1 2
（1）当点P在坐标轴上时，求d +d 的值；
1 2
（2）当d +d ＝3时，求点P的坐标；
1 2
（3）点P不可能在哪个象限内？
n+2
9．（2020春•新余期末）已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，就称点P（m﹣1， ）为“爱心
2
点”．
（1）判断点A（5，3），B（4，8）哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点M（a，2a﹣1）是“爱心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．
10．（2022春•商南县校级期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离中的较
大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．
（1）点A（2，3）的“长距”等于 ，点B（﹣7，5）的“长距”等于 ．
（2）若C（﹣1，2k+3），D（6，k﹣2）两点为“等距点”，求k的值．
11．（2022春•思明区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大
值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．
（1）点A（﹣5，2）的“长距”为 ；
（2）点B（﹣2，﹣2m+1）的“长距”为3，求m的值；（3）若C（﹣1，k+3），D（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．
12．（2022•南京模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），
其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”例如，点P（1，4）的“3级关联点”为Q（3×1+4，
1+3×4），即Q（7，13）．
1
（1）已知点A（2，﹣6）的“ 级关联点”是点B，求点B的坐标；
2
（2）已知点P的5级关联点为（9，﹣3），求点P坐标；
（3）已知点M（m﹣1，2m）的“﹣4级关联点”N位于坐标轴上，求点N的坐标．
13．（2022春•上杭县期中）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x轴、y
轴的距离之差的绝对值等于点Q到x轴、y轴的距离之差的绝对值，则称P，Q两点互为“等差点”．
例如，点P（1，2）与点Q（﹣2，3）到x轴、y轴的距离之差的绝对值都等于1，它们互为“等差点”．
（1）已知点A的坐标为（3，﹣6），在点B（﹣4，1）．C（﹣3，7）．D（2，﹣5）中，与点A互为
等差点的是 ．
（2）若点M（﹣2，4）与点N（1，n+1）互为“等差点”，求点N的坐标．
14．（2022秋•海淀区校级期中）给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点P （a，b），P （c，
1 2
b），P （c，d），这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点 P ，P ，P 的“完美间距″．例如：
3 1 2 3
如图，点P （﹣1，2），P （1，2），P （1，3）的“完美间距”是1．
1 2 3
（1）点Q （4，1），Q （5，1），Q （5，5）的“完美间距”是 ；
1 2 3
（2）已知点O（0，0），A（4，0），B（4，y）．
①若点O，A，B的“完美间距”是2，则y的值为 ；
②点O，A，B的“完美间距”的最大值为 ；
③已知点C（0，4），D（﹣4，0），点P（m，n）为线段CD上一动点，当O（0，0），E（m，
0），P（m，n）的“完美间距”取最大值时，求此时点P的坐标．
15．（2022春•泗水县期末）对于平面直角坐标系中的点P（x，y）给出如下定义：把点P（x，y）的横坐
标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的折线距离，记作[P]，即[P]＝|x|+|y|，例如，点P（﹣1，2）的折线距离为[P]＝|﹣1|+|2|＝3．
（1）已知点A（﹣3，4），B（√2，﹣2√2），求点A，点B的折线距离．
（2）若点M在x轴的上方，点M的横坐标为整数，且满足[M]＝2，直接写出点M的坐标．
16．（2022春•思明区校级期中）在平面直角坐标系中，对于点 P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，
x+ay），其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”，例如，点P（1，4）的3级关联点”为Q
（3×1+4，1+3×4）即Q（7，13），若点B的“2级关联点”是B（3，3）．
（1）求点B的坐标；
（2）已知点M（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”N位于y轴上，求N的坐标．
17．（2022春•罗山县期末）阅读理解，解答下列问题：
在平面直角坐标系中，对于点A（x，y）若点B的坐标为（kx+y，x﹣ky），则称点B为A的“k级牵挂
点”，如点A（2，5）的“2级牵挂点”为B（2×2+5，2﹣2×5），即B（9，5）．
（1）已知点P（﹣5，1）的“﹣3级牵挂点”为P ，求点P 的坐标，并写出点P 到x轴的距离；
1 1 1
（2）已知点Q的“4级牵挂点”为Q （5，﹣3），求Q点的坐标及所在象限．
1
1 1
18．（2022秋•东城区校级期中）对有序数对（m，n）定义“f运算”：f（m，n）＝（ m+a， n+b），
2 2
其中a，b为常数，f运算的结果也是一个有序数对，在此基础上，可对平面直角坐标系中的任意一点A
（x，y）规定“F变换”；点A（x，y）在F的变换下的对应点即为坐标是f（x，y）的点A'．
（1）当a＝0，b＝0时，f（﹣2，4）＝ ．
（2）若点P（2，﹣2）在F变换下的对应点是它本身，求ab的值．
19．（2022春•海门市期末）在平面直角坐标系 xOy中，点A（x ，y ），B（x ，y ），若x ﹣x ＝y ﹣
1 1 2 2 2 1 2
y ≠0，则称点A与点B互为“对角点”，例如：点A（﹣1，3），点B（2，6），因为2﹣（﹣1）＝6
1
﹣3≠0，所以点A与点B互为“对角点”．（1）若点A的坐标是（4，﹣2），则在点B （2，0），B （﹣1，﹣7），B （0，﹣6）中，点A的
1 2 3
“对角点”为点 ；
（2）若点A的坐标是（﹣2，4）的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标；
（3）若点A的坐标是（3，﹣1）与点B（m，n）互为“对角点”，且点B在第四象限，求m，n的取
值范围．
20．（2020•朝阳区校级开学）我们规定：在平面直角坐标系xOy中，任意不重合的两点M（x ，y ），N
1 1
（x ，y ）之间的“折线距离”为d（M，N）＝|x ﹣x |+|y ﹣y |．例如图1中，点M（﹣2，3）与点N
2 2 1 2 1 2
（1，﹣1）之间的“折线距离”为d（M，N）＝|﹣2﹣1|+|3﹣（﹣1）|＝3+4＝7．
根据上述知识，解决下面问题：
（1）已知点P（3，﹣4），在点A（5，2），B（﹣1，0），C（﹣2，1），D（0，1）中，与点P之间
的“折线距离”为8的点是 ；
（2）如图2，已知点P（3，﹣4），若点Q的坐标为（t，2），且d（P，Q）＝10，求t的值；
（3）如图2，已知点P（3，﹣4），若点Q的坐标为（t，t+1），且d（P，Q）＝8，直接写出t的取值
范围．
21．（2022春•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M（x ，y ），N（x ，y ），定义k|
1 1 2 2x ﹣x |+（1﹣k）|y ﹣y |为点M和点N的“k阶距离”，其中0≤k≤1．例如：点M（1，3），N（﹣2，
1 2 1 2
1 1 4 7
4）的 阶距离”为 |1−(−2)|+ |3−4|= ．已知点A（﹣1，2）．
5 5 5 5
1
（1）若点B（0，4），求点A和点B的“ 阶距离”；
4
1
（2）若点B在x轴上，且点A和点B的“ 阶距离”为4，求点B的坐标；
3
1
（3）若点B（a，b），且点A和点B的“ 阶距离”为1，直接写出a+b的取值范围．
2
22．（2022春•福州期末）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义；a＝2x﹣y，
b＝x+y，将点M（a，b）与N
（b，a）称为点P的一对“关联点”．例如：P（2，3）的一对“关联点”是点（1，5）与（5，1）．
（1）点Q（4，3）的一对“关联点”是点 与 ．
（2）点A（x，8）的一对“关联点”重合，求x的值．
（3）点B一个“关联点”的坐标是（﹣1，7），求点B的坐标．
23．（2022春•雨花区校级期中）对于平面直角坐标系中任一点（a，b），规定三种变换如下：
①f（a，b）＝（﹣a，b）．如：f（7，3）＝（﹣7，3）；
②g（a，b）＝（b，a）．如：g（7，3）＝（3，7）；
③h（a，b）＝（﹣a，﹣b）．如：h（7，3）＝（﹣7，﹣3）；
例如：f（g（2，﹣3））＝f（﹣3，2）＝（3，2）
规定坐标的部分规则与运算如下：①若a＝b，且c＝d，则（a，c）＝（b，d），反之若（a，c）＝（b，d），则a＝b，且c＝d．
②（a，c）+（b，d）＝（a+b，c+d）；（a，c）﹣（b，d）＝（a﹣b，c﹣d）．
例如：f（g（2，﹣3））+h（g（2，﹣3））＝f（﹣3，2）+h（﹣3，2）＝（3，2）+（3，﹣2）＝
（6，0）．
请回答下列问题：
（1）化简：f（h（6，﹣3））＝ （填写坐标）；
（2）化简：h（f（﹣1，﹣2））﹣g（h（﹣1，﹣2））＝ （填写坐标）；
（3）若f（g（2x，﹣kx））﹣h（f（1+y，﹣2））＝h（g（ky﹣1，﹣1））+f（h（y，x））且k为绝对
值不超过5的整数，点P（x，y）在第三象限，求满足条件的k的所有可能取值．
24．（2022春•嵩县期末）对于平面直角坐标系中的点P（x，y）给出如下定义：把点P（x，y）的横坐标
与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的折线距离，记作[P]，即[P]＝|x|+|y|，例如，点P（﹣1，2）
的折线距离为[P]＝|﹣1|+|2|＝3．
（1）已知点A（﹣3，4），B（√2，−3√2），求点A，点B的折线距离．
（2）若点M在x轴的上方，点M的横坐标为整数，且满足[M]＝2，直接写出点M的坐标．
b+3
25．（2022春•濠江区期末）已知a，b都是实数，设点P（a+2， ），且满足3a＝2+b，我们称点P
2
为“梦之点”．
（1）判断点A（3，2）是否为“梦之点”，并说明理由．
（2）若点M（m﹣1，3m+2）是“梦之点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．
26．（2022秋•兴化市校级期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（x ，y ），B（x ，y ），若x ﹣x ＝y
1 1 2 2 2 1 2
﹣y ≠0，则称点A与点B互为“对角点”，例如：点A（﹣1，3），点B（2，6），因为2﹣（﹣1）＝
1
6﹣3≠0，所以点A与点B互为“对角点”．（1）若点A的坐标是（4，﹣2），则在点B （2，0），B （﹣1，﹣7），B （0，﹣6）中，点A的
1 2 3
“对角点”为点 ；
（2）若点A的坐标是（5，﹣3）的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标；
（3）若点A的坐标是（−√3，2√3）与点B（2m，﹣n）互为“对角点”，且m、n互为相反数，求B
点的坐标．
27．（2022秋•朝阳区校级期末）如图①，将射线OX按逆时针方向旋转 角（0°≤ ＜360°），得到射线
OY，如果点P为射线OY上的一点，且OP＝m，那么我们规定用（m，β ）表示点βP在平面内的位置，
并记为P（m， ）．例如，图2中，如果OM＝5，∠XOM＝110°，那β么点M在平面内的位置记为M
（5，110°），根β据图形，解答下列问题：
（1）如图3，若点N在平面内的位置记为N（6，30°），则ON＝ ，∠XON＝ °．
（2）已知点A在平面内的位置记为A（4，30°），
①若点B在平面内的位置记为B（3，210°），则A、B两点间的距离为 ．
②若点B在平面内的位置记为B（m，90°），且AB＝4，则m的值为 ．
③若点B在平面内的位置记为B（3， ），且AB＝5，则a的值为 ．
α
28．（2022秋•大兴区期中）在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P不在同一直线上，对于点P和线段AB给出如下定义：过点P向线段AB所在直线作垂线，若垂足Q在线段AB上，则称点P为线段AB的内垂
点，当垂足Q满足|AQ﹣BQ|最小时，称点P为线段AB的最佳内垂点．
已知点S（﹣3，1），T（1，1）．
1
（1）在点P （2，4），P （﹣4，0），P （﹣2， ），P （1，3）中，线段ST的内垂点为 ；
1 2 3 4
2
（2）若点M是线段ST的最佳内垂点，则点M的坐标可以是 （写出两个满足条件的点M即
可）；
（3）已知点C（m﹣2，3），D（m，3），若线段CD上的每一个点都是线段ST的内垂点，直接写出
m的取值范围；
（4）已知点E（n+2，0），F（n+4，﹣1），若线段EF上存在线段ST的最佳内垂点，直接写出n的取
值范围．
29．（2022春•嘉鱼县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B（1，0），点C（5，0），以BC为边
在x轴的上方作正方形ABCD，点M（﹣5，0），N（0，5）．
（1）点A的坐标为 ；点D的坐标为 ；
（2）将正方形ABCD向左平移m个单位，得到正方形A'B'C'D'，记正方形A'B'C'D'与△OMN重叠的区域
（不含边界）为W：
①当m＝3时，区域内整点（横，纵坐标都是整数）的个数为 ；
②若区域W内恰好有3个整点，请直接写出m的取值范围．30．（2022春•李沧区期末）对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们
的面积．下面我们再研究一种求某些三角形或四边形面积的新方法：
如图1，2所示，分别过三角形或四边形的顶点A，C作水平线的铅垂线l ，l ，l ，l 之间的距离d叫做
1 2 1 2
水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交AC于点D，称线段BD的长叫做这个三角形的铅垂
高；如图2所示，分别过四边形的顶点B，D作水平线l ，l ，l ，l 之间的距离h叫做四边形的铅垂高．
3 4 3 4
【结论提炼】
1
容易证明：“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S= dh”
2
【结论应用】
为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系．
已知：如图3，点A（﹣5，2），B（5，0），C（0，5），则△ABC的水平宽为10，铅垂高为 ，
所以△ABC面积的大小为 ．
【再探新知】
三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带
着这个问题，我们进行如下探索：
（1）在图4所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（4，1），D（﹣2，﹣4）四
个点，得到四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形 ABCD面积的大小
1
是 ；用其它的方法进行计算得到其面积的大小是 ，由此发现：用“S= dh”这一方法
2
对求图4中四边形的面积 ．（填“适合”或“不适合”）
（2）在图5所示的平面直角坐标系中，取A（﹣5，2），B（1，5），C（4，2），D（﹣2，﹣3）四
个点，得到了四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形 ABCD面积的大1
小是 ，用其它的方法进行计算得到面积的大小是 ，由此发现：用“S= dh”这一方法
2
对求图5中四边形的面积 ．（“适合”或“不适合”）
（3）在图6所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（5，1），D（1，﹣5）四个
1
点，得到了四边形ABCD．通过计算发现：用“S= dh”这一方法对求图6中四边形的面积 ．
2
（填“适合”或“不适合”）
【归纳总结】我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到：当四边形满足某些条件时，
1 1
可以用“S= dh”来求面积．那么，可以用“S= dh”来求面积的四边形应满足的条件是： ．
2 2
