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【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题5.11平行线基本模型之子弹模型专项提升训练
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
一、解答题（本大题共30小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．（2021·广东·东莞市长安实验中学七年级期中）如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ．
【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°
【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；
（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；
（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；
（4）由（2）（3）类比可得答案．
【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：180°；
（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°；（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，
类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，
故答案为：540°；
（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，
故答案为：（n-1）×180°．
【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．
2．（2021·广西贺州·七年级期末）请在横线上填上合适的内容．
（1）如图（1）已知AB//CD，则∠B+∠D=∠BED．
解：过点E作直线EF//AB．
∴∠FEB=（ ）．（ ）
∵AB//CD，EF//AB，
∴（ ）//（ ）．（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）
∴∠FED=（ ）．（ ）．
∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED．
∴∠B+∠D=∠BED．
（2）如图②，如果AB//CD AB//CD，则∠B+∠BED+∠D=（ ）
【答案】（1）∠B，两直线平行，内错角相等，EF，CD，∠D，两直线平行，内错角相等；
（2）360°
【分析】（1）过点E作直线EF∥AB，则∠FEB=∠B，继而由EF∥CD可得∠FED=∠D．所以
∠B+∠D=∠BEF+∠FED，即∠B+∠D=∠BED；
（2）过点E作直线EF∥AB，则∠FEB+∠B=180°，继而由EF∥CD可得∠FED+∠D=180°．所以
∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°，即∠B+∠BED+∠D=360°．【详解】解：（1）解：过点E作直线EF∥AB．
∴∠FEB=∠B．（ 两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴ EF∥CD（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）．
∴∠FED=∠D（ 两直线平行，内错角相等）．
∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED．
∴∠B+∠D=∠BED．
故答案为：∠B，两直线平行，内错角相等，EF，CD，∠D，两直线平行，内错角相等；
（2）解：过点E作直线EF∥AB，如图．
∴∠FEB+∠B=180°．两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴ EF∥CD（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）．
∴∠FED+∠D=180° （ 两直线平行，内错角相等）．
∴∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°．
∴∠B+∠BED+∠D=360°．
故答案为：360°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及其推论，熟练掌握平行线判定、性质说理是关键．
3．（2021·吉林松原·七年级期中）（1）问题发现
如图①，直线AB//CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现：∠B+∠C=∠BEC，
请你写出证明过程；
（2）拓展探究
如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：∠B+∠C=360°−∠BEC．
（3）解决问题
如图③，AB//DC，∠C=120°，∠AEC=80°，则∠A=________．（直接写出结论，不用写计算过
程）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）20°
【分析】（1）根据平行判定得到EF//DC，利用平行线的性质得∠C=∠CEF，∠B=∠BEF，得到
∠B+∠C=∠BEF+∠CEF，即可求证出答案；
（2）类比（1），过点E作EF∥AB，然后根据平行线的判定和性质即可求证出答案；
（3）类比，过点E作EF//AB，根据平行判定得到EF//DC，再根据平行的性质得：
∠C+∠CEF=180°，∠A=∠AEF，根据角与角的关系求得：∠AEF=80°−60°=20°，则可求出答
案．
【详解】（1）证明：如图①，过点E作EF//AB，
∵AB//DC（已知），EF//AB（辅助线的作法）.
∴EF//DC（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）.
∵EF//AB，
∴∠B=∠BEF，
∴∠B+∠C=∠BEF+∠CEF（等量代换）
即∠B+∠C=∠BEC.
（2）证明：如图②，过点E作EF//AB，
∵AB//DC（已知），EF//AB（辅助线的作法）.∴EF//DC（平行于同一直线的两直线平行）.
∴∠C+∠CEF=180°，∠B+∠BEF=180°，
∴∠B+∠C+∠BEC=360°，
∴∠B+∠C=360°−∠BEC.
（3）解：如图③，过点E作EF//AB，
∵AB//DC（已知），EF//AB（辅助线的作法），
∴EF//DC（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C+∠CEF=180°，∠A=∠BEF，
∵∠C=120°，∠AEC=80°，
∴∠CEF=180°−120°=60°，
∴∠AEF=80°−60°=20°，
∴∠A=∠AEF=20°.
故答案为：20°.
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，灵活运用平行判断以及平行线的性质
找到角与角之间的关系．
4．（2020·广东·湛江市第二中学七年级期中）探索：小明在研究数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不
经过点P，探索∠P与∠C的数量关系．
发现：在如图中：∠APC＝∠A＋∠C；如图
小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB
∴∠APQ＝∠A（ ）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（ ）
∴∠CPQ＝∠C∴∠APQ＋∠CPQ＝∠A＋∠C
即∠APC＝∠A＋∠C
（1）为小明的证明填上推理的依据；
（2）应用：①在如图中，∠P与∠A、∠C的数量关系为 ；
②在如图中，若∠A＝30°，∠C＝70°，则∠P的度数为 ；
（3）拓展：在如图中，探究∠P与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；（2）∠APC＋∠A＋∠C＝
360；40°；（3）∠APC=∠A−∠C
【分析】（1）过点P作PQ∥AB，根据平行线的性质得出∠APQ＝∠A，∠CPQ＝∠C，即可得出答案；
（2）①过点P作PQ∥AB，根据平行线的性质得出∠APQ＋∠A＝180°，∠CPQ＋∠C＝180°，即可得出答
案；
②根据平行线的性质得出∠PEB＝∠C＝70°，根据三角形外角性质得出即可；
（3）根据平行线的性质得出∠APG＋∠A＝180°，求出∠APG＝180°－∠A，根据PG∥CD得出∠CPG＋
∠C＝180°，即可得出答案．
【详解】（1）证明：过点P作PQ∥AB，
所以∠APQ＝∠A（两直线平行，内错角相等）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPQ＝∠C
∴∠APQ＋∠CPQ＝∠A＋∠C
即∠APC＝∠A＋∠C
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；
（2）①过点P作PQ∥AB，所以∠APQ＋∠A＝180°，
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD，
∴∠CPQ＋∠C＝180°，
∴∠APQ＋∠CPQ＋∠A＋∠C＝360°，
即∠APC＋∠A＋∠C＝360°，
故答案为：∠APC＋∠A＋∠C＝360°；
②∵AB∥CD，∠C＝70°，
∴∠PEB＝∠C＝70°，
∵∠A＝30°，
∴∠P＝∠PEB－∠A＝40°，
故答案为：40°；
（3）∠APC＝∠A－∠C．理由如下：
如图4，过点P作PG∥AB，
∵PG∥AB，
∴∠APG＋∠A＝180°，
∴∠APG＝180°－∠A∵PG∥AB，AB∥CD，
∴PG∥CD，（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPG＋∠C＝180°，
∴∠CPG＝180°－∠C，
∴∠APC＝∠CPG－∠APG＝∠A－∠C．
【点睛】考查了角平分线定义和平行线的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键．
5．（2019·内蒙古·康巴什区第二中学七年级期中）问题探究：
如下面四个图形中， AB∥CD．
（1）分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．
（2）请你从中任选一个加以说明理由．
解决问题：
（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平
行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．
【答案】(1) 图1：∠1+∠2＝∠3； 图2：∠1+∠2+∠3＝360°； 图3：∠1＝∠2+∠3； 图4：∠1+∠3＝
∠2；(2)见解析；(3)101°
【分析】(1) 图1：首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根据两直线平行，内错
角相等，即可求得答案；
图2：首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根据两直线平行，同旁内角互补，
即可求得答案；图3：由AB∥CD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案；
图4：由AB∥CD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案．
（2）选图1，过点P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等，
即可求得答案；
（3）利用图1结论进行求解
【详解】(1)图1：∠1+∠2＝∠3；
图2：∠1+∠2+∠3＝360°
图3：∠1＝∠2+∠3；
图4：∠1+∠3＝∠2；
(2)选择图1，
如图所示：过点P作EP//AB
∵AB∥CD，EP∥AB
∴AB∥EP∥CD
∴∠1=∠APE，∠2=∠EPC
又∵∠3＝∠APE+∠EPC
∴∠1+∠2＝∠3；
(3)由图1可得：∠BOC＝∠ABO+∠DCO，
又∵∠ABO=57°，∠DCO=44°，
∴∠BOC=57°+44°＝101°
【点睛】考查了平行线的性质与三角形外角的性质．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，两直
线平行，内错角相等以及两直线平行，同位角相等定理的应用与辅助线的作法．
6．（2021·全国·七年级专题练习）AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．
（1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的
平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数．【答案】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明详见解析；（2）∠APC＝∠A ∠C，证明详见解析；（3）
55°． −
【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，然后由“两直线平行，同旁内角互补”
进一步分析即可证得∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，根据“两直线平行，内错角相等”进一步分析即可证得
∠APC＝∠A ∠C；
（3）由（2）−知，∠APC＝∠PAB ∠PCD，先利用平行线性质得出∠BEF＝∠PQB＝110°，然后进一步得
−
1 1
出∠PEG＝ ∠FEG，∠GEH＝ ∠BEG，最后根据∠PEH＝∠PEG ∠GEH即可得出答案．
2 2
−
【详解】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明如下：
如图1所示，过点P作PQ∥AB，
∴∠A+∠APQ＝180°，
又∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C+∠CPQ＝180°，
∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°，
即∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）∠APC＝∠A ∠C，证明如下：
如图2所示，过点P−作PQ∥AB，∴∠A＝∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C＝∠CPQ，
∵∠APC＝∠APQ ∠CPQ，
∴∠APC＝∠A ∠−C；
（3）由（2）知−，∠APC＝∠PAB ∠PCD，
∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°， −
∴∠PCD＝110°，
∵AB∥CD，
∴∠PQB＝∠PCD＝110°，
∵EF∥PC，
∴∠BEF＝∠PQB＝110°，
∵∠PEG＝∠PEF，
1
∴∠PEG＝ ∠FEG，
2
∵EH平分∠BEG，
1
∴∠GEH＝ ∠BEG，
2
∴∠PEH＝∠PEG ∠GEH
1 1 −
＝ ∠FEG ∠BEG
2 2
−
1
＝ ∠BEF
2
＝55°．
【点睛】本题主要考查了利用平行线性质与角平分线性质求角度的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
7．（2021·全国·七年级专题练习）（1）如图1，AM∥CN，求证：
①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；
②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．
【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）
•180°，证明详见解析
【分析】（1）①过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG，依据平行线的性质，即可得到∠ABG+∠BAM＝180°，
∠CBG+∠BCN＝180°，即可得到结论；②过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，依据平行线的性质，即可得到
∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°，即可得到结论；（2）过n个点作AM
的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，即可得出所有角的和为（n+1）•180°．
【详解】解：（1）①证明：如图1，过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG
∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°
∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360°
∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°
②如图，过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，
∵AM∥CN，∴EP∥FQ，
∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°
∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°；
（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°．
证明：如图2，过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，
∴结合（1）问得：所有角的和为（n+1）•180°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线，利用两直线平行，同旁内角互补得
出结论．
8．（2022·全国·七年级）(1)问题情景：如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
小明想到一种方法，但是没有解答完：
如图2，过P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°，
∴∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50°
∵AB//CD，∴PE//CD．
……
请你帮助小明完成剩余的解答．
(2)问题迁移：请你依据小明的解题思路，解答下面的问题：
如图3，AD//BC，当点P在A、B两点之间时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，则∠CPD，∠α，∠β之间有何数
量关系？请说明理由．
【答案】(1) 110°，见解析；(2) ∠CPD=∠α+∠β，理由见解析
【分析】(1)过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°
(2)过P作PE∥AD交CD于E点，推出AD∥PE∥BC，根据平行线性质得到∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得
出答案.
【详解】解：(1)剩余过程：∠CPE+∠PCD=180°，
∴∠CPE=180°-120°=60°
∠APC=50°+60°=110°；
(2)∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如下图，过P作PE∥AD交CD于点E，
∵AD∥BC
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β.
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考察学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线
构造内错角以及同旁内角.
9．（2021·全国·七年级专题练习）如图所示，AD//BC，∠CFE=∠1+∠D，∠B−∠CFE=30°，
求∠2的度数.
【答案】∠2=30°.
【分析】根据平行线的性质，由靴子图ABEFC知，∠B=∠CFE+∠1，∠1=∠B−∠CFE=30°，由
靴子图ABEDC知，∠B=∠BED+∠D=∠1+∠2+∠D，
又因为∠B=∠CFE+∠1，得到∠2+∠D=∠CFE，所以∠2=∠1=30°.
【详解】因为AD//BC，结合题意，由靴子图ABEFC知，∠B=∠CFE+∠1，
∠1=∠B−∠CFE=30°，由靴子图ABEDC知，∠B=∠BED+∠D=∠1+∠2+∠D，
∵∠B=∠CFE+∠1，
∴∠1+∠2+∠D=∠CFE+∠1即∠2+∠D=∠CFE，
∵∠CFE=∠1+∠D，∴∠2=∠1=30°
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质.
10．（2021·全国·七年级专题练习）如图所示，直线l //l ，∠CAB=145°，∠DBE=85°，求∠1+∠2
1 2的度数.
【答案】∠1+∠2=60°.
【分析】作AT∥l ，得AT∥l ，由题意得∠TAB+∠ABD+∠BDS=360°，又因为AT∥l ，得到
1 2 1
∠TAB+∠ABD+∠BDS+∠PCA+∠CAT=540°，即∠1+∠2=60°.
【详解】如图，作AT∥l ，易证AT∥l ，由笔尖图TABDS知，∠TAB+∠ABD+∠BDS=360°，又因
1 2
为AT∥l ，所以∠PCA+∠CAT=180°，所以∠TAB+∠ABD+∠BDS+∠PCA+∠CAT=540°
1
∠1+∠2=180°+180°+145°+180°-85°−540°=60°.
【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
11．（2022·上海·七年级期中）已知，直线AB∥CD
（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则∠AGC的度数是
多少？
（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC的度数是多少？（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．
【答案】（1）70°；（2）∠AGC=（x+y）°；（3）∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．
【分析】（1）过点G作GE∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解．
（2）过点G作GF∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解．
（3）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，利用平行线的性质即可进行转化找到角的
关系．
【详解】解：（1）如图，过点G作GE∥AB，
∵AB∥GE，
∴∠A+∠AGE=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠A=140°，
∴∠AGE=40°．
∵AB∥GE，AB∥CD，
∴GE∥CD．
∴∠C+∠CGE=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠C=150°，
∴∠CGE=30°．
∴∠AGC=∠AGE+∠CGE=40°+30°=70°．
（2）如图，过点G作GF∥AB
∵AB∥GF，
∴∠A=AGF（两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥GF，AB∥CD，
∴GF∥CD．
∴∠C=∠CGF．
∴∠AGC=∠AGF+∠CGF=∠A+∠C ．
∵∠A=x°，∠C=y°，
∴∠AGC=（x+y）°．
（3）如图所示，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD．
∴∠BAE=∠AEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGQ，∠QGC=∠GCD（两直线平行，内错角相等）．
∴∠AEF=∠BAE+∠EFN，∠FGC=∠NFG+GCD．
∵∠EFN+∠NFG=∠EFG，
∴∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，本题构造辅助线利用平行线的传递性结合平行线性质是解题关键．
12．（2021·山东德州·七年级期中）（1）如图1，AB//CD，∠A=33°，∠C=40°，则∠APC=°；
（2）如图2，AB//DC，点P在射线OM上运动，当点P在B、D两点之间运动时，∠BAP=∠α，
∠DCP=∠β，求∠CPA与∠α、∠β之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点B、D、O三点不重合），请你直接
写出∠CPA与∠α、β之间的数量关系．
【答案】（1）73；（2）∠APC=∠α+∠β，理由详见解析；（3）当点P在射线DM上时，
∠APC=∠α−∠β；当点P在OB上时，∠APC=∠β−∠α．
【分析】（1）做出辅助线，根据平行线的性质求解即可；
（2）过点P作PE//AB交AC于点E，然后根据平行线的性质求解即可；
（3）根据题意做出辅助线，然后根据平行线的性质求解即可；
【详解】（1）如图1，过P作PE//AB
∵AB//CD，
∴PE//AB//CD，
∴∠A=∠APE，∠C=∠CPE
又∵∠A=33°，∠C=40°
∴∠APE=33°，∠CPE=40°
则∠CPA=∠APE+∠CPE=33°+40°=73°
（2）∠APC=∠α+∠β
理由是：
如图2，过点P作PE//AB交AC于点E
∵AB//CD，∴PE//AB//CD
∴∠APE=∠PAB=∠α，∠CPE=∠PCD=∠β
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β
（3）当点P在射线DM上时，设CD与AP交于点P，如图所示，
∵AB//DC，
∴∠α=∠DHP，
又∵在 CHP中，∠DHP=∠β+∠APC，
∴∠α= △∠β+∠APC，
即：∠APC=∠α−∠β．
当点P在OB上时，如图所示，
作PE∥AB，
∴∠APE=∠BAP=∠α，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠CPE=∠PCD=∠β，
∴∠CPA=∠CPE-∠APE=∠β-∠α．答：∠CPA与∠α，∠β之间的数量关系为：∠CPA=∠β-∠α．
即∠APC=∠β−∠α．
【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线．
13．（2022·全国·八年级专题练习）如图1，四边形MNBD为一张长方形纸片．
（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），则
∠BAE+∠AEC+∠ECD=__________°．
（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），则
∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=__________°．
（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），
则∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=___________°．
（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出(n+1)个角，那么这(n+1)个角的和是
____________°．
【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．
【分析】（1）过点E作EH∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍；
（2）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的
三倍；
（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于
180°的三倍；
（4）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．
【详解】（1）过E作EH∥AB（如图②）．
∵原四边形是长方形，
∴AB∥CD，
又∵EH∥AB，
∴CD∥EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∵EH∥AB，
∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵CD∥EH，∴∠2+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，
又∵∠1+∠2=∠AEC，
∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；
（2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示，
用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；
（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示，
用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；
（4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．
故答案为：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，
总结规律求解是本题的难点．
14．（2021·全国·七年级专题练习）请你探究：如图（1），木杆EB与FC平行，木杆的两端B、C用一橡
皮筋连接．（1）在图（1）中，∠B与∠C有何关系？
（2）若将橡皮筋拉成图（2）的形状，则∠A、∠B、∠C之间有何关系？
（3）若将橡皮筋拉成图（3）的形状，则∠A、∠B、∠C之间有何关系？
（4）若将橡皮筋拉成图（4）的形状，则∠A、∠B、∠C之间有何关系？
（5）若将橡皮筋拉成图（5）的形状，则∠A、∠B、∠C之间有何关系？
（注：以上各问，只写出探究结果，不用说明理由）
【答案】（1）∠B+∠C=180º；（2）∠B+∠C=∠A；（3）∠A +∠B+∠C=360º；（4）∠A+∠B=∠C；（5）
∠A+∠C =∠B
【分析】（1）利用平行线的性质“两直线平行，同旁内角相等”即可解答；
（2）过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，内错角相等”即可得出结论；
（3）同样过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，同旁内角互补”即可得出结论；
（4）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论；
（5）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论．
【详解】（1）如图（1）∵EB与FC平行，∴∠B+∠C=180º；
（2）如图（2），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC，
∴∠B+∠C=∠BAD+∠DAC=∠BAC，
即∠B+∠C=∠A；
（3）如图（3），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF，
∴∠B+∠BAD=180º，∠DAC+∠C=180º，
∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=360º，
即∠B+∠A+∠C=360º；
（4）如图（4），设BE与AC相交于D，
∵EB与FC平行，
∴∠C=∠ADE，
∵∠ADE=∠A+∠B，
∴∠A+∠B=∠C；
（5）如图（5），设CF与AB相交于D，
∵EB与FC平行，
∴∠B=∠ADF，
∵∠ADF=∠A+∠C，∴∠A+∠C=∠B．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质，作辅助平行线是解答的
关键．
15．（2022·江苏·灌南县新知双语学校七年级阶段练习）阅读下面材料，完成（1)～（3）题．
数学课上，老师出示了这样—道题：
如图1，已知AB//CD,点E,F分别在AB,CD上，EP⊥FP,∠1=60°．求∠2的度数．
同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：
小明：“如图2，通过作平行线，发现∠1=∠3,∠2=∠4，由已知EP⊥FP,可以求出∠2的度数．”
小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得∠2=∠3=∠4,也能求出∠2的度数．”小华：∵如图4，也能求出∠2的度数．”
(1)请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______；
(2)请你根据以上同学所画的图形，直接写出∠2的度数为_________°；
老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”
请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：
(3)如图，AB//CD，点E,F分别在AB，CD上，FP平分∠EFD,∠PEF=∠PDF,若∠EPD=a,请
探究∠CFE与∠PEF的数量关系（(用含α的式子表示)，并验证你的结论．
【答案】（1）过点Р作PQ//AC；（2）30；（3）∠CFE−2∠PEF=180∘−a．
【分析】（1）根据图中所画虚线的位置解答即可；
（2）过点Р作PQ//AC，根据平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP⊥FP可得∠3+∠4=90°，即可
得出∠1+∠2=90°，进而可得答案；
（3）设∠CFE=x,∠PEF=∠PDF= y，过点P作PQ//AB，根据平行线的性质可得
∠BEP+∠EPQ=180°,∠CFE=∠FEB=x，∠PDF=∠DPQ，进而根据角的和差关系即可得答案．
【详解】（1）由图中虚线可知PQ//AC，
∴小明同学辅助线的做法为过点Р作PQ//AC，故答案为：过点Р作PQ//AC
（2）如图2，过点Р作PQ//AC，
∵AB//CD，
∴PQ//AB//CD，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵EP⊥FP，
∴∠EPF=∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1=60°，
∴∠2=30°，
故答案为：30
（3）如图，设∠CFE=x,∠PEF=∠PDF= y，过点P作PQ//AB，
∴∠BEP+∠EPQ=180°,∠CFE=∠FEB=x
∵AB//CD,
∴PQ//CD,
∴∠PDF=∠DPQ
∴∠DPQ=∠EHF=∠PDF= y
∵∠CFE=∠FEB=x=∠FEP+∠BEP
∴x= y+(180−a+ y)
∴x−2y=180−α，即∠CFE−2∠PEF=180∘−a．【点睛】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同
旁内角互补；正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
16．（2022·全国·七年级）综合探究：已知AB//CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、
CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG=40°，求
∠MGN+∠MPN的度数．
【答案】（1）90°；（2）120°
【分析】（1）过G作GH//AB，根据平行线的传递性、两直线平行内错角相等解题；
（2）过G作GK//AB，过点P作PQ//AB，根据两直线平行，内错角相等性质解得
∠MGK=∠BMG=40°，再根据角平分线性质，求得∠BMP=80°，最后再用平行线定理解题，证明
∠QPN=∠DNP，进而计算∠MGN+∠MPN的值即可．
【详解】解：（1）如图1，过G作GH//AB，
∵AB//CD，
∴GH//AB//CD
∴∠AMG=∠HGM，∠CNG=∠HGN
∵MG⊥NG
∴∠MGN=∠MGH+∠NCH=∠AMG+∠CNG=90°图1
（2）如图2，过G作GK//AB，过点P作PQ//AB设∠GND=α
∵GK//AB，AB//CD，
∴GK//CD
∴∠KGN=∠GND=α，
∵GK//AB，∠BMG=40°，
∴∠MGK=∠BMG=40°
∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，
∴∠GMP=∠BMG=40°
∴∠BMP=80°，
∵PQ//AB，
∴∠MPQ=∠BMP=80°
∵ND平分∠CNP，
∴∠DNP=∠GND=α，
∵AB//CD，
∴PQ//CD，∴∠QPN=∠DNP=α，
∴∠MGN=40°+α，∠MPN=80°−α，
∴∠MGN+∠MPN=40°+α+80°−α=120°
图2
【点睛】本题考查平行线的定理、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题
关键．
17．（2021·全国·七年级专题练习）（1）问题情境：如图1，AB//CD，∠PAB=120°，∠PCD=130°，求
∠APC的度数．
小辰的思路是：如图2，过点P作PE//AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数，请写出具体求解过程．
（2）问题迁移：①如图3，AD//BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，设∠CPD=∠α，∠ADP=β
，∠BCP=∠γ，问：∠α、β、∠γ之间有何数量关系？请说明理由．
②在①的条件下，如果点P不在A，B两点之间运动（点P与点A，B，O三点不重合），请直接写出∠α、
β、∠γ间的数量关系．
【答案】(1)110 ；（2）①∠α=∠β+∠γ；②∠α=∠γ−∠β或∠α=∠β−∠γ
【分析】（1）过° 点P作PE//AB，可得PE//CD，所以由平行线的性质可以求得∠EPA和∠EPC的度数，
进一步可以得到∠APC的度数；
（2）分别过P作PQ//AD，则可得PQ//BC，再由平行线的性质和角的加减运算可以得解．
【详解】解：（1）如图，过点P作PE//AB，则由平行线的性质可得PE//CD，所以：
∠PAB+∠EPA=180∘，∠PCD+∠EPC=180∘，所以：
∠EPA=180∘−∠PAB=180∘−120∘=60∘，∠EPC=180∘−∠PCD=180∘−130∘=50∘
所以，∠APC=∠EPA+∠EPC=110∘；
（2）①∠α=∠β+∠γ，理由如下：
如图，过P作PQ//AD交DC于Q，则由平行线的性质得PQ//BC，所以：
∠DPQ=∠β，∠CPQ=∠γ，
∵∠DPQ+∠CPQ=∠α，∴∠α=∠β+∠γ；
②分两种情况讨论：第一种情况，P在射线AM上，如图，过P作PQ//AD交射线DN于Q，则由平行线的性质得PQ//BC，所
以：
∠QPD=∠β，∠QPC=∠γ，∠α=∠QPC−∠QPD=∠γ−∠β；
第二种情况，点P在OB之间，如图，过P作PQ//AD交射线OD于Q，则由平行线的性质得PQ//BC，所
以：
∠DPQ=∠β，∠CPQ=∠γ，∠α=∠DPC=∠DPQ−∠CPQ=∠β−∠γ
【点睛】本题考查平行线性质的综合应用，在添加辅助线的基础上灵活应用平行线的性质和角的加减运算
是解题关键．
18．（2021·浙江·金华海亮外国语学校七年级阶段练习）问题情境：如图1，已知AB//CD，
∠APC=108°．求∠PAB+∠PCD的度数．
经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE//AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD=
________．
问题迁移：如图3，AD//BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．
（1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、
∠β之间的数量关系，
问题拓展：如图4，M A //N A ，A −B −A −⋯−B −A 是一条折线段，依据此图所含信息，把
1 n 1 1 2 n−1 n
你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为________．
【答案】问题情境： 252°；问题迁移：（1）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（2）∠CPD=∠β-∠α；理由
见解析；或∠CPD=∠α-∠β．理由见解析；问题拓展：∠A+∠A +…+∠A=∠B +∠B +…+∠B ．
1 2 n 1 2 n
【分析】问题情境：根据平行线的判定可得PE∥AB∥CD，再根据平行线的性质即可求解；
问题迁移：（1）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；
（2）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；
问题拓展：分别过A，A…，A 作直线∥AM，过B ，B ，…，B 作直线∥AM，根据平行线的判定和
2 3 n-1 1 1 2 n-1 1
性质即可求解．
【详解】解：问题情境：如图，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，
∵∠APC=108°，
∴∠PAB+∠PCD=360°-108°=252°；
故答案为：252°；
问题迁移：（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；理由：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；
当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β．理由：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β．
问题拓展：分别过A，A…，A 作直线∥AM，过B ，B ，…，B 作直线∥AM，
2 3 n-1 1 1 2 n-1 1
由平行线的性质和角的和差关系得∠A+∠A +…+∠A=∠B +∠B +…+∠B ．
1 2 n 1 2 n
故答案为：∠A+∠A +…+∠A=∠B +∠B +…+∠B ．
1 2 n 1 2 n
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力，第（2）问在解题时注意分类思想的运用．
19．（2022·广东·惠阳竹贤学校八年级阶段练习）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝
120°，求∠APC度数．
思路点拨：
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求
出∠APC的度数；
小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；
小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出
∠APC的度数．
问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为
°；
问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝
∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接
写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
【答案】问题解决：110°；问题迁移：（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由见解析；（2）∠CPD＝∠β﹣∠α，理
由见解析
【分析】小明的思路是：过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC＝110°．
（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
即可得出答案；
（2）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．
【详解】解：小明的思路：如图2，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，
∴∠APC＝50°+60°＝110°，
故答案为：110；
（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图6，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．
理由：如图7，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是
作辅助线构造内错角以及同旁内角．
20．（2021·全国·七年级专题练习）如图1、图2，已知∠1+∠2＝180°．
（1）若图1中∠AEF＝∠HLN，试找出图中的平行线，并说明理由；
（2）如图2，∠PMB＝3∠QMB，∠PND＝3∠QND，试探究∠P与∠Q的数量关系？（直接写答案，不写
过程）．
【答案】（1）AB∥CD，EF∥HL，理由详见解析；（2）∠P＝3∠Q．
【分析】（1）AB//CD，EF//HL；由同旁内角互补可得AB//CD；延长EF 交CD于G，由平行线
的性质及已知∠AEF=∠HIN，可得∠EGL=∠HLN，从而可判定EF//HL；（2）∠P=3∠Q；作QR//AB，先由平行线的性质推得∠RQN=∠QND，从而
∠MQN=∠QMB+∠QND；同理可得∠P=∠PMB+∠PND；再将已知代入计算即可得解．
【详解】解：（1）AB//CD，EF//HL
理由如下：
∵∠1=∠AMN，∠1+∠2=180°
∴∠AMN+∠2=180°
∴AB//CD；
延长EF 交CD于G
∵AB//CD
∴∠AEF=∠EGL
∵∠AEF=∠HLN
∴∠EGL=∠HLN
∴EF//HL；
（2）∠P=3∠Q
理由如下：
∵AB//CD，作QR//AB，
∴∠RQM=∠QMB，QR//CD
∴∠RQN=∠QND，
∴∠MQN=∠RQM+∠RQN=∠QMB+∠QND同理可得∠P=∠PMB+∠PND
∵∠PMB=3∠QMB，∠PND=3∠QND
∴∠P=∠PMB+∠PND
=3∠QMB+3∠QND
=3(∠QMB+∠QND)
=3∠MQN
∴∠P=3∠Q．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线三线八角的基本模型是解题的关键．
