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第 07 讲 提公因式法分解因式
课程标准 学习目标
1. 掌握因式分解的概念，并能够熟练的判断式子因式分解变形是否正
①因式分解的概念 确。
②提公因式法分解因式 2. 掌握公因式的概念以及提公因式分解因式的方法，并能快速判断多项
式的公因式以及根据方法准确无误的进行分解。
知识点01 因式分解的概念
1. 分解因式的概念：
把一个多项式写成几个整式的 的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的 ，也
叫做把这个多项式 。与整式的乘法互为逆运算。
左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，即右边的加减号必须在括号内。且左右两边必须相
等。
【即学即练1】
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A．x（x+1）＝x2+x B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．x2+4x+4＝（x+2）2 D．
【即学即练2】
2．把x2+5x+c分解因式，得（x+2）（x+3），则c的值＝ ．
知识点02 提公因式法分解因式
1. 公因式的概念：
多项式中各项都有的 叫做这个多项式的公因式。如多项式 ，各项都有一
个公因式 ，则它就是这个多项式的公因式。
2. 公因式的求法：
公因式＝系数的 ×相同字母（式子）的 。若多项式首项为负号，则公因
式为 。
3. 多项式提取公因式后的另一个因式的求法：
多项式提取公因式后，另一个因式＝多项式的每一项÷ 。
4. 提公因式分解因式：
一般地，如果多项式的各项都有 ，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 与
另一个因式的 的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
【即学即练1】
3．将多项式﹣6a3b2﹣3a2b2+12a2b3分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．﹣3a2b2 B．﹣3ab C．﹣3a2b D．﹣3a3b3
【即学即练2】
4．多项式2x2﹣4xy+2x提取公因式2x后，另一个因式为 ．
【即学即练3】
5．把下列各式因式分解：
（1）﹣20a﹣15ax； （2）﹣4a3b3+6a2b﹣2ab； （3）﹣10a2bc+15bc2﹣20ab2c．
题型01 判断因式分解的变形【典例1】下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（ ）
A．x3﹣x＝x（x﹣1）（x+1） B．a2（a﹣1）＝a3﹣a2
C．a2﹣2a﹣1＝a（a﹣2）﹣1 D．（a﹣3）（a+3）＝a2﹣9
【变式1】下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣4+4x＝（x+2）（x﹣2）+4x
B．（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3
C．x2﹣6x＝x（x﹣6）
D．a（x﹣y）＝ax﹣ay
【变式2】下列变形是因式分解的是（ ）
A．x（x+1）＝x2+x B．x2+2x+1＝（x+1）2
C．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3 D．x2+6x+4＝（x+3）2﹣5
【变式3】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6 D．x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6
题型02 利用因式分解的变形求值
【典例1】若x2+mx﹣18能分解为（x﹣9）（x+n），那么m、n的值是（ ）
A．7、2 B．﹣7、2 C．﹣7、﹣2 D．7、﹣2
【变式1】已知在x2+mx﹣16＝（x+a）（x+b）中，a，b为整数，能使这个因式分解过程成立的m值的个
数有（ ）
A．4个 B．5个 C．8个 D．10个
【变式2】已知多项式ax2+bx+c分解因式后结果2（x﹣3）（x+1），则b，c的值为（ ）
A．b＝3，c＝﹣1 B．b＝﹣6，c＝2 C．b＝﹣6，c＝﹣4 D．b＝﹣4，c＝﹣6
【变式3】若将多项式2x3﹣x2+m进行因式分解后，有一个因式是x+1，则m的值为 ．
【变式4】多项式2x2﹣13x+b中，有一个因式为（x﹣5），则b的值为（ ）
A．﹣15 B．﹣3 C．15 D．3
题型03 求多项式的公因式
【典例1】在多项式8a3b2﹣4a3bc中，各项的公因式是（ ）
A．a3b B．4a3b C．4a3 D．﹣a3
【变式1】多项式4x3yz2﹣8x2yz4+12x4y2z3的公因式是（ ）
A．4x3yz2 B．﹣8x2yz4 C．12x4y2z3 D．4x2yz2
【变式2】多项式2xmyn﹣1﹣4xm﹣1yn（m，n均为大于1的整数）各项的公因式是（ ）
A．4xm﹣1yn﹣1 B．2xm﹣1yn﹣1 C．2xmyn D．4xmyn
【变式3】若A＝10a2+3b2﹣5a+5，B＝a2+3b2﹣8a+5，则A﹣B的值与﹣9a3b2的公因式为（ ）
A．a B．﹣3 C．9a3b2 D．3a题型04 求多项式提取公因式后的式子
【典例1】把多项式﹣7ab﹣14abx+49aby分解因式，提公因式﹣7ab后，另一个因式是（ ）
A．1+2x﹣7y B．1﹣2x﹣7y C．﹣1+2x+2y D．﹣1﹣2x+7y
【变式1】把5（a﹣b）+m（b﹣a）提公因式后一个因式是（a﹣b），则另一个因式是（ ）
A．5﹣m B．5+m C．m﹣5 D．﹣m﹣5
【变式2】把多项式（m+1）（m﹣1）+（m﹣1）提取公因式m﹣1后，另一个因式为（ ）
A．m+1 B．2m C．2 D．m+2
【变式3】多项式x2y（a﹣b）﹣xy（b﹣a）+y（a﹣b）提公因式后，另一个因式为（ ）
A．x2﹣x+1 B．x2+x+1 C．x2﹣x﹣1 D．x2+x﹣1
题型05 提公因式法分解因式
【典例1】分解因式：2a3b2﹣3a2b2＝ ．
【变式1】把下列各式分解因式：
（1）﹣8a3b2+6ab3c； （2）x（x﹣y）2﹣y（y﹣x）．
【变式2】因式分解：
（1）4x2y3+8x2y2z﹣12xy2z． （2）5x（x﹣2y）3﹣20y（2y﹣x）3．
【变式3】把下列各式因式分解：
（1）（x﹣y）2+（y﹣x）3； （2）ab（3x﹣y）+ac（y﹣3x）﹣ad（y﹣3x）．
1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．a（2a﹣4b）＝2a2﹣4ab
C．x（x+2y）＝x2+2xy D．x2﹣2xy＝x（x﹣2y）
2．多项式﹣8x2y3z+12xy2z3﹣24x3yz2的公因式是（ ）
A．﹣xyz B．﹣4x3y3z3 C．﹣4xyz D．﹣x3y3z3
3．已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），则b、c的值为（ ）
A．b＝3，c＝﹣1 B．b＝﹣6，c＝2 C．b＝﹣6，c＝﹣4 D．b＝﹣4，c＝﹣64．已知关于x的二次三项式x2+7x+n有一个因式为（x+5），则n的值为（ ）
A．﹣18 B．2 C．10 D．12
5．如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则a2b+ab2的值为（ ）
A．80 B．96 C．192 D．240
6．若（x+y）3﹣xy（x+y）＝（x+y）•M（x+y≠0），则M是（ ）
A．x2+y2 B．x2﹣xy+y2 C．x2﹣3xy+y2 D．x2+xy+y2
7．如果a﹣b＝3，ab＝7，那么a2b﹣ab2的值是（ ）
A．﹣21 B．﹣10 C．21 D．10
8．计算（﹣5）2013+（﹣5）2014的结果是（ ）
A．4×52013 B．﹣5 C．﹣4×52013 D．﹣4
9．已知a﹣b＝5，b﹣c＝﹣6，则代数式a2﹣ac﹣b（a﹣c）的值为（ ）
A．﹣30 B．30 C．﹣5 D．﹣6
10．计算1﹣a﹣a（1﹣a）﹣a（1﹣a）2﹣a（1﹣a）3﹣…﹣a（1﹣a）2013﹣[（1﹣a）2014﹣3]的结果为（
）
A．3 B．1
C．（1﹣a）2015 D．（1﹣a）2015+3
11．单项式12a2b2与9a3b的公因式是 ．
12．请你写出一个整式A，使得多项式x2+A能因式分解，这个整式A可以是 ．
13．计算：20232﹣2023×2022＝ ．
14．（1）若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为 ．
（2）若x2﹣4x+m＝（x﹣2）（x+n），m＝ ，n＝ ．
15．已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为 ．
16．分解因式：
（1）6m2n﹣15n2m+30m2n2 （2）x（x﹣y）2﹣y（x﹣y）
17．简便计算：
①1.992+1.99×0.01 ②20132+2013﹣20142．18．已知：a+b＝3，ab＝2，求下列各式的值：
（1）a2b+ab2； （2）a2+b2．
19．先阅读下面的内容，再解决问题．
如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式．
如：①因为36＝4×9，所以4和9是36的因数；
因为x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2），所以x+1和x﹣2是x2﹣x﹣2的因式．
②若x+1是x2+ax﹣2的因式，则求常数a的值的过程如下：
解：∵x+1是x2+ax﹣2的因式
∴存在一个整式（mx+n），使得x2+ax﹣2＝（x+1）（mx+n）
∵当x＝﹣1时，（x+1）（mx+n）＝0
∴当x＝﹣1时，x2+ax﹣2＝0
∴1﹣a﹣2＝0
∴a＝﹣1
（1）若x+5是整式x2+mx﹣10的一个因式，则m＝ ．
（2）若整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1的因式，求 的值．
20．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
＝（1+x）[1+x+x（x+1）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 ，共用了 次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，则结果是 ．
（3）依照上述方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．
