文档内容
【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题7.5平面直角坐标系及应用大题提升训练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压
轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己
的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．（2022秋•李沧区期末）有一张图纸被污染，上面只有如图所示的两个标志点 A（﹣2，1），B（﹣3，
﹣4）可识别．
请根据以上信息解答下列问题：
（1）在图中画出平面直角坐标系，并标出主要建筑C（3，2）的位置；
（2）标志点A与主要建筑C的图上距离为 ．
【分析】（1）根据点A（﹣2，1）确定x轴，y轴的位置，进而确定平面直角坐标系，再由点的坐标的
定义确定点C的位置即可；
（2）根据网格构造直角三角形，利用勾股定理求出答案即可．
【解答】解：（1）画出平面直角坐标系，并标出主要建筑C（3，2）的位置如图所示：
（2）由网格构造直角三角形，由勾股定理得，
AC＝ ＝ ，
故答案为： ．2．在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了A（2，﹣1）和B（2，1）两个标志点（如图），并且知道
藏宝地点的坐标为（3，3），除此之外不知道其他信息．请作图确定“宝藏”的位置．
【分析】直接利用已知点坐标确定原点位置进而得出答案．
【解答】解：如图所示：（3，3）即为“宝藏”位置．
3．（2022•南京模拟）根据描述标出每个同学家的位置
（1）小红家在学校东偏北30°方向150米处．
（2）学校在小平家北偏西45°方向200米处．
（3）小华家在学校南偏西60°方向100米处．
（4）小刚家在学校西偏北30°方向150米处．
【分析】（1）利用方向角的定义即可解答；
（2）利用方向角的定义即可解答；
（3）利用方向角的定义即可解答；（4）利用方向角的定义即可解答．
【解答】解：（1）如图所示，
（2）如图所示，
（3）如图所示，
（4）
如图所示，4．（2022春•新乐市校级月考）如图，我们把杜甫的《绝句》整齐排列放在平面直角坐标系中．
（1）“岭”和“船”的坐标依次是 （ 4 ， 2 ）和（ 7 ， 1 ） ；
（2）将第2行与第3行对调，再将第3列与第7列对调，“雪”由开始的坐标依次变换为 （ 7 ， 3 ）
和 （ 3 ， 3 ） ；
（3）“泊”开始的坐标是（2，1），使它的坐标变换到（5，3），应该哪两行对调，同时哪两列对调？
【分析】（1）根据平面直角坐标系内点的坐标是：前横后纵，中间逗号隔开，可得答案；
（2）根据行对调，纵坐标变化，列对调，横坐标变化，可得答案；
（3）根据行对调，纵坐标变化，列对调，横坐标变化，可得答案．
【解答】解：（1）“岭”和“船”的坐标依次是：（4，2）和（7，1）．
故答案为：（4，2）和（7，1）；
（2）将第2行与第3行对调，再将第3列与第7列对调，
“雪”由开始的坐标（7，2）依次变换到：（7，3）和（3，3）．
故答案为：（7，3），（3，3）；
（3）“泊”开始的坐标是（2，1），使它的坐标到（5，3），
应该第1行与第3行对调，同时第2列与第5列对调．
5．（2022秋•宁明县月考）如图，每个小正方形网格的边长表示50米，A同学上学时从家中出发，先向东
走250米，再向北走50米就到达学校．
（1）请你以学校为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴的正方向，在图中建立平面直角坐标系；（2）利用（1）中建立的平面直角坐标系，写出 B同学家的坐标，若 C同学家的坐标为（﹣150，
100），请在图上标出C同学家的位置．
【分析】（1）直接利用已知点坐标得出原点位置，即可建立平面直角坐标系；
（2）直接利用平面直角坐标系得出B点坐标以及C同学家的位置．
【解答】解：（1）如图所示：学校位置即为所求；
（2）如图所示：B同学家的坐标为（200，150），
C同学家的位置即为所求．
6．（2021秋•宝塔区校级期末）如图，A、B两点的坐标分别是（2，﹣3）、（﹣4，﹣3）．
（1）请你建立合适的平面直角坐标系；
（2）标出点P（4，3）、点Q（﹣2，2）的位置．
【分析】（1）利用已知点坐标得出原点位置，进而得出答案；（2）利用平面直角坐标系得出点P、点Q的坐标．
【解答】解：（1）如图；
（2）点P、点Q的位置如图．
7．（2022秋•南海区月考）在直角坐标系中描绘下列各点，并将各组内这些点依次用线段连接起来．C
（﹣6，3），D（﹣6，0），A（0，0），B（0，3）．
（1）图形中哪些点在坐标轴上？
（2）线段BC与x轴有什么位置关系？
【分析】（1）在坐标系中描出各点，再顺次连接可得一个长方形，结合图案得出点 D、A、B在坐标轴
上；
（2）根据图形可得平行于x轴的两点B、C的纵坐标相等．
【解答】解：（1）如图所示：点D、A、B在坐标轴上；
（2）线段BC平行于x轴．
8．（2022•南京模拟）如图是某校校门台阶截面图，每级台阶高度与宽度相同且均为 1个单位长度，点A
到台阶的距离等于台阶的宽度，如果点C的坐标是（0，0），点B的坐标为（1，﹣1）．
（1）在图中画出相应的平面直角坐标系，并写出A，D两点的坐标；
（2）学校将要安装一条经由线段AH，HG的线路，则安装这条线路需要多少个单位长度？
【分析】（1）根据点C、B坐标画出相应的平面直角坐标系，进而可得出点A、D坐标；
（2）由图可得出点G、H的坐标，进而求得AH、GH的长度即可解答．
【解答】解：（1）平面直角坐标系如图所示，则A（2，﹣2），D（﹣1，1）；
（2）由题意得：G（﹣4，3），H（﹣4，﹣2），
∴AH＝2﹣（﹣4）＝6，GH＝3﹣（﹣2）＝5，
∴AH+GH＝6+5＝11，
答：安装这条线路需要11个单位长度．9．（2021秋•梧州期末）先建立一个平面直角坐标系，再用坐标表示图中各点的位置关系．
【分析】以广场为坐标原点建立平面直角坐标系，然后结合图形写出其他各点的坐标即可．
【解答】解：如图，
广场（0，0），1中学（﹣1，﹣2），酒店（﹣2，0），商场（﹣1，2），2中学（2，1）．
10．（2022秋•晋源区校级月考）研学旅行继承和发扬了我国的传统游学，成为素质教育的新内容和新方
式，是当下很多学生暑假都要参加的活动．2021年7月，某校举行了去远方的研学活动，主办方告诉学
员们A、B两点的位置及坐标分别为（﹣3，1）．（﹣2．﹣3），同时只告诉学员们活动中心C的坐标
为（3，2）（单位：km）．
（1）请在图中建立直角坐标系并确定点C的位置；
（2）若学员们打算从点B处直接赶往C处，请用方向角和距离描述点C相对于点B的位置．
【分析】（1）利用A，B点坐标得出原点位置，建立坐标系，进而得出C点位置；
（2）利用所画图形，进而结合勾股定理得出答案．【解答】解：（1）根据A（﹣3，1），B（﹣2，﹣3）画出直角坐标系，
描出点C（3，2），如图所示；
（2）BC＝5 ，所以点C在点B北偏东45°方向上，距离点B的5 km处．
11．如图，这是冉冉所在学校的平面示意图，图中小方格都是边长为 1个单位长度的正方形，若艺术楼的
坐标为（2，1），实验楼的坐标为（﹣2，﹣1）．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，并写出教学楼和体育馆的坐标．
（2）若食堂的坐标为（1，2），请在（1）中所画的平面直角坐标系中标出食堂的位置．
【分析】（1）根据已知点坐标得出原点位置，进而得出答案；
（2）利用（1）中平面直角坐标系得出答案．
【解答】解：（1）教学楼的坐标：（0，﹣2），体育馆的坐标：（﹣1，2）；
（2）食堂的位置如图所示．12．（2022秋•靖江市月考）如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．规定：
向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣
1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中：
（1）A→C （ + 3 ， + 4 ）；
（2）B→D（ + 3 ， ﹣ 2 ）；
（3）若这只甲虫按最短路径行走的路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程；
（4）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+1，﹣1），（﹣2，+3），
（0，﹣2），请在图中标出P的位置．
【分析】（1）A→C先向右走3格，再向上走4格；
（2）B→D先向右走3格，再向下走2格；由此写出即可；
（3）A→B→C→D，先向右移动1格，向上移动4格，向右移动2格，在向下移动2格，最后向右移动
1格，把移动的距离相加即可；
（4）由（+2，+2），（+1，﹣1），（﹣2，+3），（0，﹣2）可知从A处右移2格，上移2格，再右
移1格，下移1格，左移2格，上移3格，下移2个即是甲虫P处的位置．
【解答】解：（1）A→C（+3，+4 ）；
故答案为：+3，+4；
（2）B→D（+3，﹣2 ），
故答案为：+3，﹣2；
（3）1+4+2+2+1＝10，
答：甲虫走过的路程为10个格；
（4）如图，13．（2022秋•槐荫区校级月考）八年级（2）班的同学组织到人民公园游玩，张明、王励、李华三位同学
和其他同学走散了，同学们已到中心广场，他们三个对着景区示意图在电话中向在中心广场的同学们说
他们的位置，张明说他的坐标是（200，﹣200），王励说他的坐标是（﹣200，﹣100），李华说他的坐
标是（﹣300，200）．
（1）请你据此写出坐标原点的位置；
（2）请你写出这三位同学所在的景点．
【分析】（1）根据题意画出直角坐标系，得出坐标；
（2）利用坐标系根据它们所处的坐标位置即可得到．
【解答】解：（1）如图所示：
坐标原点为中心广场；
（2）张明位置是游乐园，王励位置为望春亭，李华位置是湖心亭．14．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图1，一只甲虫在5×5的方格（每一格边长为1）上沿着网格线运动．
它从A处出发去看望B、C、D处的其他甲虫，规定：向上向右为正，向下向左为负．例如：从A到B
记为：A→B（+1，+3）；从C到D记为：C→D（+1，﹣2）．
（1）填空：A→C（ + 3 ， + 4 ）；C→B（ ﹣ 2 ， ﹣ 1 ）；
（2）若甲虫的行走路线为：A→B→C→D→A，请计算甲虫走过的路程；
（3）若这只甲虫从A处去Q处的行走路线依次为：（+3，+1），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣
1，﹣2），请在图2上标出点Q的位置．
【分析】（1）根据题意，向上向右为正，向下向左为负，进而得出答案；
（2）根据甲虫的行走路线，借助网格求出总路程即可；
（3）结合各点变化得出其位置，进而得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得出：A→C（+3，+4）；C→B（﹣2，﹣1）
故答案为：+3，+4；﹣2，﹣1；
（2）∵甲虫的行走路线为：A→B→C→D→A，
∴甲虫走过的路程为：1+3+2+1+1+2+2+4＝16；
（3）如图2所示：
15．（2022春•沂水县期中）春天到了，七（1）班组织同学公园春游，张明、李华对着景区示意图描述牡
丹亭位置（图中小正方形边长0.5cm代表100m）．
张明：“牡丹亭坐标（300，300）”．李华：“望春亭约在南偏西63°方向220m处”．
实际上，他们所说的位置都是正确的．根据所学的知识解答下列问题：
（1）请指出张明同学是如何在景区示意图上建立平面直角坐标系的，并在图中画出所建立的平面直角
坐标系；
（2）李华同学是用什么来描述望春亭的位置？
（3）请分别用张明、李华的方法，描述出音乐台、牡丹亭、游乐园的位置．
【分析】（1）根据牡丹亭坐标（300，300）画出直角坐标系；
（2）利用方向角和距离描述望春亭的位置；
（3）利用所画的坐标坐标系，根据各特殊位置点的坐标特征写出其它景点的坐标．
【解答】解：（1）张明是以中心广场为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立
如图所示的平面直角坐标系，如图：
（2）李华是用方向和距离描述望春亭的位置；
（3）张明的方法：音乐台坐标（0，400），牡丹亭坐标（300，300），游乐园坐标（200，﹣400），
李华的方法：音乐台在正北方向 400m处，牡丹亭在西北方向 424m处，游乐园约在南偏东 27°方向
447m处．
16．（2022春•青龙县期中）如图，这是一所学校的平面示意图，以校门、国旗杆、教学楼所在直线为x轴建立适当的平面直角坐标系，并用坐标表示教学楼、图书馆、校门、实验楼、国旗杆的位置．
【分析】得出原点位置进而建立坐标系得出各点坐标．
【解答】解：如图所示：
国旗杆（0，0），校门（﹣3，0），教学楼（3，0），实验楼（3，﹣3），图书馆（2，3）．
17．（2022秋•南岸区校级月考）图是我校的平面示意图．
（1）以大门所在位置为原点，画出平面直角坐标系；
（2）在（1）的基础上，表示下列各点坐标：教学楼： （﹣ 3 ， 2 ） ，图书馆： （﹣ 4 ， 5 ） ，实
验楼： （ 4 ， 4 ） ，操场： （ 3 ， 7 ） ；
（3）若行政楼的位置坐标为（5，﹣1），在图中标出它的位置．
【分析】（1）根据坐标原点画出平面直角坐标系；（2）根据平面直角坐标系直接写出答案；
（3）由行政楼的位置坐标在平面直角坐标系中找到该位置．
【解答】解：（1）所画坐标系如图所示．
（2）由图示知，教学楼（﹣3，2）；图书馆（﹣4，5）；实验楼（4，4）；操场（3，7）．
故答案为：（﹣3，2）；（﹣4，5）；（4，4）；（3，7）．
（3）如图，点F为行政楼的位置．
18．（2022春•广安期末）如图是某市火车站及周围的平面示意图，已知超市的坐标是（﹣2，4），市场
的坐标是（1，3）．
（1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系，并在图中标出汽车站（﹣3，﹣2），花坛（2，﹣1）的
位置；
（2）分别写出体育场、火车站和文化宫的坐标．
【分析】（1）直接利用宿舍楼的位置是（3，4），艺术楼的位置是（﹣3，1）得出原点的位置，进而
得出答案；根据点的坐标的定义在图中标出汽车站（﹣3，﹣2），花坛（2，﹣1）的位置；
（2）利用所建立的平面直角坐标系即可得出答案．
【解答】解：（1）汽车站和花坛的位置如图所示；（2）如图所示：由平面直角坐标系知，体育场的坐标为（﹣4，2），火车站的坐标为（﹣1，1），文
化宫的坐标为（0，﹣2）．
19．（2022春•随州期末）为了庆祝中国共产主义青年团成立100周年，学校团委组织手拉手活动．小明
在寄给小伙伴的信中附了一张自己电视塔学校，周边环境的示意图（如图）来介绍自己学校位置情况．
（1）相对于学校来说，正东方向上有哪些设施？要明确这些设施相对于学校的位置，还需要哪些数据
离学校最近的设施是什么？在学校哪个方向上？
（2）选取学校所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系（直接
在图中画出来）．假设图中各设施近似的看作正好在格点上，如果用坐标（2，2）表示图书馆的位置，
请你用坐标分别表示电视塔、菜市场、植物园的位置．
【分析】（1）根据图形可知正东方的设施，再根据坐标确定位置需要两个因素解答；
（2）根据题意建立平面直角坐标系，即可得到结论．
【解答】解：（1）正东方向上体育场，要明确这些设施相对于学校的位置还需要距离；离学校最近的
设施是游乐园，在学校南偏西27°方向上；
（2）如图建立平面直角坐标系，∴电视塔（﹣4，3）、菜市场（﹣2，﹣4）、植物园（1，﹣3）．
20．（2022春•灵台县期末）如图为某中学新校区分布图的一部分，方格纸中每个小方格都是边长为1个
单位长度的正方形，若教学楼的坐标为A（1，2），图书馆的坐标为B（﹣2，﹣1），解答下列问题：
（1）在图中找到坐标系中的原点，并建立平面直角坐标系；
（2）若体育馆的坐标为C（1，﹣3），食堂的坐标为D（2，0）请在图中标出体育馆和食堂的位置，
并求出教学楼到体育馆的距离（1格＝150米）．
【分析】（1）根据点A的坐标即可确定原点的位置；
（2）由（1）可直接标出C，D的位置．
【解答】解：（1）原点O如图所示，
（2）位置如图，
教学楼到体育馆的距离为5×150＝750（米）．21．（2022秋•渠县期末）已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列各题：
（1）若点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥y轴，求点P的坐标：
（2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2022+ 的值．
【分析】（1）根据直线PQ∥y轴，得到P，Q横坐标相等，列出方程求出a的值，求出点P的纵坐标
即可；
（2）根据题意得：|2a﹣2|＝|a+5|，2a﹣2＜0，a+5＞0，根据绝对值的性质化简即可求出a的值，代入
代数式求值即可．
【解答】解：（1）∵直线PQ∥y轴，
∴2a﹣2＝4，
∴a＝3，
∴a+5＝3+5＝8，
∴P（4，8）；
（2）∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，
∴|2a﹣2|＝|a+5|，2a﹣2＜0，a+5＞0，
∴2﹣2a＝a+5，
∴a＝﹣1，
∴原式＝（﹣1）2020+
＝1+（﹣1）
＝0．
22．（2022秋•历城区校级期末）已知点P（﹣3a﹣4，2+a），解答下列各题：
（1）若点P在x轴上，则点P的坐标为P （ 2 ， 0 ） ；
（2）若Q（5，8），且PQ∥y轴，则点P的坐标为P （ 5 ，﹣ 1 ） ；
（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2020+2021的值．
【分析】（1）根据题意列出方程即可解决问题；
（2）根据题意列出方程即可解决问题；
（3）根据题意列出方程得出a的值代入即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意可得：2+a＝0，解得：a＝﹣2，
﹣3a﹣4＝6﹣4＝2，
所以点P的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）；（2）根据题意可得：﹣3a﹣4＝5，解得：a＝﹣3，
2+a＝﹣1，
所以点P的坐标为（5，﹣1），
故答案为：（5，﹣1）；
（3）根据题意可得：﹣3a﹣4＝﹣2﹣a，
解得：a＝﹣1，
则：﹣3a﹣4＝﹣1，2+a＝1，
∵点P在第二象限，
∴P点的坐标为（﹣1，1）
把a＝﹣1代入a2020+2021＝2022．
23．（2022秋•法库县期中）已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列各题：
（1）若点P在x轴上，求点P的坐标；
（2）若点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥y轴，求点P的坐标；
（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2022+ 的值．
【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标为0，可得关于a的方程，解得a的值，再求得点P的横坐标即
可得出答案．
（2）根据平行于y轴的直线的横坐标相等，可得关于a的方程，解得a的值，再求得其纵坐标即可得
出答案．
（3）根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点及它到x轴、y轴的距离相等，可得关于a的方程，解得
a的值，再代入要求的式子计算即可．
【解答】解：（1）∵点P在x轴上，
∴a+5＝0，
∴a＝﹣5，
∴2a﹣2＝2×（﹣5）﹣2＝﹣12，
∴点P的坐标为（﹣12，0）；
（2）点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥y轴，
∴2a﹣2＝4，
∴a＝3，
∴a+5＝8，
∴点P的坐标为（4，8）；（3）∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，
∴2a﹣2＝﹣（a+5），
∴2a﹣2+a+5＝0，
∴a＝﹣1，
∴a2022+ ＝（﹣1）2022﹣1＝1﹣1＝0．
24．（2022秋•大兴区期中）在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P不在同一直线上，对于点P和线段AB
给出如下定义：过点P向线段AB所在直线作垂线，若垂足Q在线段AB上，则称点P为线段AB的内垂
点，当垂足Q满足|AQ﹣BQ|最小时，称点P为线段AB的最佳内垂点．
已知点S（﹣3，1），T（1，1）．
（1）在点P （2，4），P （﹣4，0），P （﹣2， ），P （1，3）中，线段ST的内垂点为 P ， P
1 2 3 4 3 4
；
（2）若点M是线段ST的最佳内垂点，则点M的坐标可以是 （﹣ 1 ， 4 ），（﹣ 1 ， 2 ） （写出两个
满足条件的点M即可）；
（3）已知点C（m﹣2，3），D（m，3），若线段CD上的每一个点都是线段ST的内垂点，直接写出
m的取值范围；
（4）已知点E（n+2，0），F（n+4，﹣1），若线段EF上存在线段ST的最佳内垂点，直接写出n的取
值范围．
【分析】（1）利用图象法画出图形解决问题即可；
（2）满足条件的点在线段ST的中垂线上；
（3）构建不等式组解决问题即可；
（4）构建不等式组解决问题即可．
【解答】解：（1）如图1中，观察图象可知，线段ST的内垂点为P ，P ．
3 4故答案为：P ，P ；
3 4
（2）如图，点M（﹣1，4），M′（﹣1，2）是线段ST的最佳内垂点，
故答案为：（﹣1，4），（﹣1，2）（答案不唯一）；
（3）由题意， ，
解得﹣1≤m≤1．
故答案为：﹣1≤m≤1．
（4）如图2中，观察图象可知，m满足 ，
解得﹣5≤n≤﹣3．
25．（2022春•德化县期中）现给出如下各点：A（0，4），B（﹣4，1），C（﹣2，﹣3），D（2，﹣
3），E（4，1）．
（1）请你在给出的平面直角坐标系中描出上述各点，然后依次连接AB，BC，CD，DE，EA．
（2）观察（1）中得到的图形．
①直接写出点C到x轴的距离．②是否存在经过上述点中的任意两点的直线与直线CD平行？请说明理由．
【分析】（1）根据平面直角坐标系找出各点的位置即可；
（2）①根据点C的坐标即可得出点C到x轴的距离；
②根据C，D的坐标可知直线CD是一条平行于x轴的直线，由此可得结果．
【解答】解：（1）描点，连接如图所示，
（2）①观察图象可得，点C到x轴的距离为3；
②存在经过B，E两点的直线与直线CD平行，理由如下：
∵B，E两点的纵坐标相等，C，D两点的纵坐标相等，直线BE．，CD都平行于x轴，
∴BE∥CD．
26．（2022春•西城区校级期中）在平面直角坐标系中，已知（0，﹣3），M（4，﹣3），把一个直角三
角尺ABC的边与x轴分别交于O、G两点，与直线DM分别交于E、F两点．（1）把直角三角板按图①位置摆放，求证：∠CEF﹣∠AOG＝90°；
（2）把直角三角板按图②位置摆放，N为AC上一点，∠NEF+∠CEF＝180°，试探索∠NEF和∠AOG
的数量关系．
【分析】（1）作CP∥x轴，利用D、M点的坐标可得到DM∥x轴，则CP∥DM∥x轴，根据平行线的
性质有∠AOG＝∠1，∠2+∠CEF＝180°，然后利用∠1+∠2＝90°得到∠AOG+∠180°﹣∠CEF＝90°，
可求解；
（2）作CP∥x轴，则CP∥DM∥x轴，根据平行线的性质得∠AOG＝∠1，∠2+∠CEF＝180°，由于
∠NED+∠CEF＝180°，所以∠2＝∠NED，然后利用∠1+∠2＝90°即可得到∠AOG+∠NEF＝90°．
【解答】（1）证明：如图1，作CP∥x轴，
∵D（0，﹣3），M（4，﹣3），
∴DM∥x轴，
∴CP∥DM∥x轴，
∴∠AOG＝∠1，∠2+∠CEF＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠CEF，∵∠1+∠2＝90°，
∴∠AOG+180°﹣∠CEF＝90°，
∴∠CEF﹣∠AOG＝90°；
（2）解：∠AOG+∠NEF＝90°．
理由如下：如图2，作CP∥x轴，
∵CP∥DM∥x轴，
∴∠AOG＝∠1，∠2+∠CEF＝180°，
而∠NED+∠CEF＝180°，
∴∠2＝∠NED，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠AOG+∠NEF＝90°．
27．（2022春•西城区校级期中）如图1，在平面直角坐标系xOy内，已知点A（﹣1，0），B（﹣1，
1），C（1，0），D（1，1），记线段AB为T ，线段CD为T ，点P是坐标系内一点．给出如下定义：
1 2
若存在过点P的直线l与T ，T 都有公共点，则称点P是T ﹣T 联络点．
1 2 1 2
例如，点P（0， ）是T ﹣T 联络点．
1 2
（1）以下各点中， ② 是T ﹣T 联络点（填出所有正确的序号）；
1 2
①（0，2）；②（﹣4，2）；③（2，4）．
（ 2 ） 直 接 在 图 1 中 画 出 所 有 T ﹣ T 联 络 点 所 组 成 的 区 域 ， 用 阴 影 部 分 表 示 ．
1 2【分析】（1）根据题意画出T ﹣T 联络点P的区域，然后根据区域的界限函数解析式判断各个点是否
1 2
在区域内，进而判断是否是T ﹣T 联络点．
1 2
（2）根据联络点的意义画出图形是直线AD、直线BC、线段BD、线段AC围成的区域．
【解答】解：（1）设过点A（﹣1，0）、点D（1，1）的直线为
y＝ax+b，
∴ ，
得a＝b＝ ，
∴y＝ x+ ，
同样的方法求得过点B（﹣1，1），点C（1，0）的直线为
y＝ ，
如图所示，直线AD、直线BC、线段BD、线段AC围成的阴影区域就是T ﹣T 联络点P点的区域．
1 2
①（0，2）；②（﹣4，2）；③（2，4）．
当x＝0时，0＜y＜1，这样的点在区域内，所以①（0，2）不是T ﹣T 联络点．
1 2
当x＝﹣4时，﹣1.5＜y＜2.5，这样的点在区域内，所以②（﹣4，2）是T ﹣T 联络点．
1 2
当x＝2时，﹣0.5＜y＜1.5，这样的点在区域内，所以③（2，4）不是T ﹣T 联络点．
1 2故答案为：②．
（2）所有T ﹣T 的联络点所组成的区域为图中阴影部分（含边界），如图所示：
1 2
．
28．（2022春•郧阳区期中）在平面直角坐标系中，点A，C的坐标分别是A（a，0），C（b，4），且满
足： ，过点C作CB⊥x轴于点B，过点B作BD∥AC，交y轴于点D．
（1）a＝ ﹣ 2 ，b＝ 4 ；
（2）如图1，若AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数；
（3）如图2，若点P是线段BD的中点，求P点坐标．
【分析】（1）根据非负数的性质可列方程求出答案．
（2）过E作EF//AC，延长 DB至点H．可得∠ODB＝∠CBH，进而可得 BD//AC//EF，即∠AEF＝
∠CAE，∠DEF＝∠BDE，结合角平分线的定义可得出答案．
（3）连接AD，CD，分别过点D，A，B作MN//x轴，AN//y轴，BM//y轴，交于点M，N．由BD//AC，
可得S
Δ
ABC＝S
Δ
ADC．进而有S梯形ACMN ﹣S△AND ﹣S△DCM ＝12，设D（0，m），列方程可求得m的值，
再利用中点坐标公式可得点P的坐标．
【解答】解：（1）∵ ，
∴a+2＝0，b﹣4＝0，解得a＝﹣2，b＝4．
故答案为：﹣2；4．
（2）如图1，过E作EF//AC，延长DB至点H．
∵CB⊥x轴，
∴CB//y轴，∠CBA＝90°，
∴∠ODB＝∠CBH．
又∵BD//AC，
∴∠CAB＝∠ABD，
∴∠CAB+∠ODB＝∠ABD+∠CBH＝180°﹣∠CBA＝90°．
∵BD//AC，
∴BD//AC//EF，
∴∠AEF＝∠CAE，∠DEF＝∠BDE．
∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，
∴∠CAE＝ ∠CAB，∠BDE＝ ∠ODB，
∴∠AED＝∠AEF+∠DEF＝∠CAE+∠BDE＝ （∠CAB+∠ODB）＝45°．
（2）如图2，连接AD，CD，分别过点D，A，B作MN//x轴，AN//y轴，BM//y轴，交于点M，N．设D（0，m），则AN＝﹣m，CM＝4﹣m，MN＝6，DN＝2，DM＝4．
∵BD//AC，
∴S ABC＝S ADC．
Δ Δ
∵ ，
∴S
Δ
ADC＝S梯形ACMN ﹣S△AND ﹣S△DCM ＝12，
∴ ，
解得 ，
即点D的坐标为 ．
∵P是线段BD的中点，
∴点P的坐标为（2，﹣ ）．
29．（2022春•朝阳区校级期中）对平面直角坐标系xOy中的任意两点M（x ，y ）和N（x ，y ）我们定
1 1 2 2
义|x ﹣x |+|y ﹣y |为点M和点N的“绝对和距离”，记作d（M，N），即d（M，N）＝|x ﹣x |+|y ﹣
1 2 1 2 1 2 1
y |．
2
（1）若点A（1，3），点B（﹣3，5），则d（A，B）＝ 6 ．
（2）在点C （4，2），C （﹣3，3），C （﹣2.5，﹣3.5），C （0，5）中，与原点O“绝对和距离”
1 2 3 4
为6的点是 C ， C ， C ．
1 2 3
（3）已知点P（m，﹣2），Q（m+4，﹣2），E（m+4，6），F（m，6），若以点P，Q，E，F为顶
点的四边形上存在一点K，使得d（K，O）＝6，则m的最小值为 ﹣ 1 0 ，最大值为 6 ．【分析】（1）根据“绝对和距离”定义求解即可；
（2）根据“绝对和距离”定义，求出距离即可判断；
（3）考虑以点P，Q，E，F为顶点的四边形上存在一点K，使得d（K，O）＝6的边界，即可确定m
最小值和最大值．
【解答】解：（1）根据“绝对和距离”定义，可得d（A，B）＝|1﹣（﹣3）|+|3﹣5|＝4+2＝6，
故答案为：6；
（2）点C （4，2）与原点的“绝对和距离”为|4|+|2|＝4+2＝6，
1
点C （﹣3，3）与原点的“绝对和距离”为|﹣3|+|3|＝3+3＝6，
2
点C （﹣2.5，﹣3.5）与原点的“绝对和距离”为|﹣2.5|+|﹣3.5|＝6，
3
点C （0，5）与原点的“绝对和距离”为|0|+|5|＝5≠6，
4
故答案为：C ，C ，C ；
1 2 3
（3）根据题意，当K（m+4，0）时，d（K，O）＝6，
∴|m+4|＝6，
∴m＝2或m＝﹣10，
当K（m，0）时，d（K，O）＝6，
∴|m|＝6，
∴m＝6或m＝﹣6，
∴m的最小值为﹣10，m的最大值为6，
故答案为：﹣10，6．30．（2022春•江油市期末）对于平面直角坐标系 xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任
意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N
间的“闭距离”，记作d（M，N）．
已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．
（1）求d（点O，△ABC）；
（2）MN是经过原点O的一条直线，记MN上横坐标x满足﹣1≤x≤1的部分为图形G．若d（G，
△ABC）＝1，直接写出MN与x轴正半轴夹角 的范围．
α
【分析】（1）画出图形，根据图形可直接解答；
（2）根据题意分MN所在直线平行于x轴及MN所在直线不平行于x轴两种情况分别求解，再结合图象
即可求出MN与x轴正半轴夹角 的范围．
【解答】解：根据题意，做出图α形如下：
根据图形可知，d（点O，△ABC）＝2；（2）根据题意可知，当MN所在直线平行于x轴时，d（G，△ABC）＝1，此时 ＝0°，
当MN所在直线不平行于x轴时，设MN所在直线的解析式为y＝kx（k≠0）， α
∵﹣1≤x≤1，
∴图形G为一线段，
当图形G经过点（1，﹣1）时，k＝﹣1，
此时d（G，△ABC）＝1，
此时MN与x轴正半轴夹角 为45°，
当图形G经过点（﹣1，﹣1α）时，k＝1，
此时d（G，△ABC）＝1，
此时MN与x轴正半轴夹角 为45°，
∴0°≤ ≤45°或135°≤ ＜1α80°．
α α
