文档内容
【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题8.7二元一次方程组与材料阅读问题大题专练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压
轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己
的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．（2022•宛城区校级开学）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
{17x+19 y=21①
解方程组 时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且
23x+25 y=27②
易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1．③
③×17得：17x+17y＝17．④
①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1．
{x=−1
所以这个方程组的解是 ．
y=2
{1997x+1999 y=2001
（1）请你运用小明的方法解方程组 ．
2017x+2019 y=2021
{ax+(a+2)y=a+4 {x=−1
（2）猜想关于x、y的方程组 （a≠b）的解是 ．
bx+(b+2)y=b+4 y=2
【分析】（1）先计算得x+y＝1，再运用题目中的方法求解此方程组的解；
（2）先计算得x+y＝1，再运用题目中的方法求解此方程组的解．
{1997x+1999 y=2001①
【解答】解：（1） ，
2017x+2019 y=2021②
②﹣①得：20x+20y＝20，即x+y＝1③，
③×1997得：1997x+1997y＝1997，
①−④
得，y＝2，
2
把y＝2代入③得x＝﹣1，
{x=−1
所以这个方程组的解是 ；
y=2{x=−1
（2）这个方程组的解是 ．
y=2
{x=−1
故答案为： ．
y=2
2．（2022春•卧龙区校级月考）阅读探索
（1）知识积累
{(a−1)+2(b+2)=6
解方程组 ．
2(a−1)+(b+2)=6
{x+2y=6 {x=2 {a−1=2
解：设a﹣1＝x，b+2＝y．原方程组可变为 ，解这个方程组得 ，即 ，所以
2x+ y=6 y=2 b+2=2
{a=3
，这种解方程组的方法叫换元法．
b=0
（2）拓展提高
m n
{ ( −1)+2( +2)=4
3 5
运用上述方法解下列方程组： ．
m n
3( −1)−( +2)=5
3 5
（3）能力运用
{a x+b y=c {x=3
已知关于 x，y 的方程组 1 1 1的解为 ，请直接写出关于 m、n 的方程组
a x+b y=c y=4
2 2 2
{a (m+2)−b n=c {m=1
1 1 1
的解是 ．
a (m+2)−b n=c n=−4
2 2 2
【分析】（2）仿照（1）的思路，利用换元法进行计算即可解答；
（3）仿照前两个题的思路，利用换元法进行计算即可解答．
m n
【解答】解：（2）设 −1＝x， +2＝y，
3 5
∴原方程组可变为：
{x+2y=4
，
3x−y=5
{x=2
解这个方程组得： ，
y=1m
{ −1=2
3
即： ，
n
+2=1
5
{m=9
所以： ；
n=−5
{m+2=x
（3）设 ，
−n= y
{m+2=3
可得： ，
−n=4
{m=1
解得： ．
n=−4
{ax+5 y=c①
3．（2022春•新乐市校级月考）在解关于x，y的方程组 时，甲把方程组中的a看成了﹣
4x−by=1②
{ x=4 {x=−3
8，得解为 乙看错了方程组中的b，得解为 ．
y=3， y=−1
（1）求正确的a，b，c的值；
（2）求原方程组的解；
{a(s+t)+5(s−t)=c
（3）若关于s，t的二元一次方程组为 ，求s，t的值．
4(s+t)−b(s−t)=1
{x=4 {−8x+5 y=c①
【分析】（1）把 代入方程组 可求出b、c的值，再根据乙看错了方程组中的b，
y=3 4x−by=1②
{x=−3 {x=−3
得解为 ．得到 是方程①ax+5y＝c的解，进而求出a的值；
y=−1 y=−1
（2）将a、b、c的值代入原方程组后，再解这个二元一次方程组即可；
（3）将a、b、c的值代入，得出关于s、t的二元一次方程组，求解即可．
{x=4 {−8x+5 y=c①
【解答】解：（1）由题意可知， 是方程组 的解，
y=3 4x−by=1②
∴c＝﹣8×4+5×3＝﹣17，4×4﹣3b＝1，
解得b＝5，c＝﹣17，
{x=−3 {x=−3
由于乙看错了方程组中的b，得解为 ．可知 是方程①ax+5y＝c的解，
y=−1 y=−1所以﹣3a﹣5＝﹣17，
解得a＝4，
答：a＝4，b＝5，c＝﹣17；
{4x+5 y=−17①
（2）当a＝4，b＝5，c＝﹣17时，原方程组可变为 ，
4x−5 y=1②
①+②得，8x＝﹣16，
解得x＝﹣2，
把x＝﹣2代入①得，﹣8+5y＝﹣17，
9
解得y=− ，
5
{x=−2
所以原方程组的解为 9；
y=−
5
（3）把a＝4，b＝5，c＝﹣17代入关于s，t的二元一次方程组，得
{4(s+t)+5(s−t)=−17
，
4(s+t)−5(s−t)=1
{s=−0.1
解得 ，
t=−1.9
答：s＝﹣0.1，t＝﹣1.9．
4．（2021秋•晋中期末）下面是小明同学解二元一次方程组的过程，请你阅读并完成相应的任务：
{3x+4 y=5①
解方程组：
x−2y=4②
解：②×2，得2x﹣4y＝4 ③……………………第一步
①+③，得5x＝9……………………第二步
9
x= ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第三步
5
9 11
把x= 代入②，得y=− ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第四步
5 10
∴原方程组的解为¿第五步
任务一：
①上述材料中小明同学解二元一次方程组的数学方法是 D （填序号即可）；
A．公式法
B．换元法
C．代入法D．加减法
②上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现
的数学思想是 A （填序号即可）；
A．转化
B．公理化
C．演绎
D．数形结合
③第 一 步开始出现错误，这一步错误的原因是 等号右边没有乘以 2 ；
任务二：请你直接写出原方程组的解．
【分析】任务一：根据数学素养求解；
任务二：利用加减消元法解方程．
【解答】解：任务一：
①小明同学解二元一次方程组的数学方法是加减法，
故选：D；
②第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想
是：转换思想，
故选为：A；
③从第一步开始出现错误，原因是等号右边没有乘以2，
故答案为：一，等号右边没有乘以2；
任务二：
{3x+4 y=5①
，
x−2y=4②
②×2得：2x﹣4y＝8③，
①+③得：5x＝13，
∴x＝2.6，
把x＝2.6代入②得：2.6﹣2y＝4，
解得：y＝﹣0.7，
{ x=2.6
所以方程组的解为： ．
y=−0.7
5．（2022春•兴化市月考）对于有理数x，y，定义新运算：x&y＝ax+by，x y＝ax﹣by，其中a，b是常
数．已知1&1＝1，3 2＝8． ⊗
（1）求a，b的值；⊗{x& y=4−m
（2）若关于x，y的方程组 的解也满足方程x+y＝5，求m的值；
x⊗y=5m
{a x&b y=c {x=4
（ 3 ） 若 关 于 x ， y 的 方 程 组 1 1 1的 解 为 ， 求 关 于 x ， y 的 方 程 组
a x⊗b y=c y=5
2 2 2
{3a (x+ y)&4b (x−y)=5c
1 1 1
的解．
3a (x+ y)⊗4b (x−y)=5c
2 2 2
【分析】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；
（2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程x+y＝3求解即可；
（3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可．
{ a+b=1 { a=2
【解答】解：（1）由题意得 ，解得 ；
3a−2b=8 b=−1
{2x−y=4−m { x=m+1
（2）依题意得 ，解得 ，
2x+5=5m y=3m−2
∵x+y＝5，
∴m+1+3m﹣2＝5，
3
解得m= ；
2
{2a +b y=c {x=4
（3）由题意得 1 1 1的解为 ，
2a +b y=c y=5
2 2 2
{3a (x+ y)&4b (x−y)=5c {6a (x+ y)−4b (x−y)=5c
1 1 1 1 1 1
由方程组 得 ，
3a (x+ y)⊗4b (x−y)=5c 6a (x+ y)+4b (x−y)=5c
2 2 2 2 2 2
3 4
{2a ⋅ (x+ y)−b ⋅ (x−y)=c
1 5 2 5 1
整理，得 ，
3 4
2a ⋅ (x+ y)+b ⋅ (x−y)=c
2 5 2 5 2
3
{ (x+ y)=4
5
即 ，
4
(x−y)=5
5155
{x=
24
解得 ．
5
y=
24
6．（2022春•泌阳县月考）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
{ 3x+4 y=3①
已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足2x+3y＝1③，求m的值．
x+2y=2−3m②
请结合他们的对话，解答下列问题：
（1）按照小云的方法，x的值为 5 ，y的值为 ﹣ 3 ．
（2）老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出m的值．
【分析】（1）根据题意列方程组求解即可；
（2）利用整体代入的方法求解即可．
【解答】解：（1）③×3﹣①×2，得y＝﹣3，
把y＝﹣3代入①，得3x﹣12＝3，
解得x＝5，
故答案为：5；﹣3；
（2）①+②，得4x+6y＝5﹣3m，
即2（2x+3y）＝5﹣3m，
5−3m
∴2x+3y= ，
2
∵2x+3y＝1，
5−3m
∴ =1，
2
解得m＝1．
7．（2022秋•济南期中）阅读下列材料：2x+3 y 2x−3 y
{ + =7
4 3
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组 ，小明发现
2x+3 y 2x−3 y
+ =8
3 2
如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一
个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令 m＝
2x+3y，n＝2x﹣3y．
m n
{ + =7
4 3
原方程组化为 ，
m n
+ =8
3 2
{m=60
解得 ，
n=−24
{m=60
把 代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，
n=−24
{ 2x+3 y=60
得 ，
2x−3 y=−24
{ x=9
解得 ．
y=14
{ x=9
∴原方程组的解为 ．
y=14
请你参考小明同学的做法解方程组：
{2(x+1)+3(y−2)=1
（1） ；
(x+1)−2(y−2)=4
{ x+ y x−y
+ =−3
（2） 2 5 ．
2(x+ y)−3x+3 y=26
{2m+3n=1
【分析】（1）令m＝x+1，n＝y﹣2，原方程组化为 ，解出m和n的值代入m＝x+1，n＝y
m−2n=4
﹣2，即可求出x和y的值；
{ a b
+ =−3
（2）令a＝x+y，b＝x﹣y，原方程组化为 2 5 ，解出a和b的值代入a＝x+y，b＝x﹣y，即可
2a−3b=26求出x和y的值．
【解答】解：（1）令m＝x+1，n＝y﹣2，
{2m+3n=1
原方程组化为 ，
m−2n=4
{m=2
解得 ，
n=−1
{m=2
把 代入m＝x+1，n＝y﹣2，
n=−1
{ x+1=2
得 ，
y−2=−1
解得x＝1，y＝1，
{x=1
∴原方程组的解为 ；
y=1
（2）令a＝x+y，b＝x﹣y，
{ a b
+ =−3
原方程组化为 2 5 ，
2a−3b=26
{a=−2
解得 ，
b=−10
{a=−2
将 代入a＝x+y，b＝x﹣y，
b=−10
{ x+ y=−2
得 ，
x−y=−10
{x=−6
解得 ，
y=4
{x=−6
∴原方程组的解为 ．
y=4
8．（2022秋•深圳校级期中）我们在学习二元一次方程组的解法时学习过“加减消元法”，这里提出一种
{ x+ y=3
新的解二元一次方程组的方法．对于方程 ，我们可以将方程组中未知数的系数和等式右边的
2x+ y=4
(1 1 3)
数字提取出来写成 这样的数字排列形式，我们在求解时，将每一行看作整体，进行运算．这
2 1 4
里规定每行只能进行三种运算：①交换两行的位置；②将某一行整体乘以一个非零数；③将某一行乘
以一个数后，再加到另一行上，原来的行不变．我们在求解二元一次方程组时，需要利用上面运算的一种或多种，使第一行第一列、第二行第二列的数字变为1，第一行第二列、第二行第一列的数字变为
(1 0 ？)
0，即 的形式，那么第三列的数字从上到下分别是x和y的解．例如，对于上述方程的数字
0 1 ？
排列形式，有：
Ⅰ ． 将 第 一 行 乘 以 ﹣ 2 加 到 第 二 行 ， 数 字 排 列 变 为
( 1 1 3 )=(1 1 3 )
；
2+1×(−2) 1+1×(−2) 4+3×(−2) 0 −1 −2
Ⅱ．将第二行乘以﹣1，数字排列变为
( 1 1 3 )=(1 1 3)
；
0×(−1) −1×(−1) −2×(−1) 0 1 2
Ⅲ ． 将 第 二 行 乘 以 ﹣ 1 加 到 第 一 行 ， 数 字 排 列 变 为
(1+0×(−1) 1+1×(−1) 3+2×(−1)) =(1 0 1)
；
0 1 2×(−1) 0 1 2
所以第三列数字中1就是x的解，2就是y的解．
{ x−y=4
对于方程组 ，
2x+3 y=−2
（1）请写出对应的数字排列形式；
（2）请参照上述方法求解该方程组．
【分析】（1）根据已知方法即可写出答案；
（2）参照上述方法求解该方程组即可．
(1 −1 4 )
【解答】解：（1）根据已知得 ；
2 3 −2
（ 2 ） Ⅰ ． 将 第 一 行 乘 以 ﹣ 2 加 到 第 二 行 ， 数 字 排 列 变 为
( 1 −1 4 )=(1 −1 4 )
；
2+1×(−2) 3+(−1)×(−2) −2+4×(−2) 0 5 −10
1 (1 −1 4 )
Ⅱ．将第二行乘以 ，数字排列变为 ；
5 0 1 −2
(1 0 2 )
Ⅲ．将第二行乘以1加到第一行，数字排列变为 ；
0 1 −2
{ x=2
所以方程组的解为 ．
y=−2
9．（2022春•仓山区校级期中）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，那么我们称这个方程组为“奇妙方程组”．
{2x−3 y=7
（1）请判断关于x，y的方程组 是否为“奇妙方程组”，并说明理由；
3x−2y=7
{2x+4 y=6−a
（2）如果关于x，y的方程组 是“奇妙方程组，求a的值．
x−y=4a
【分析】（1）只需判断x+y的值是否为0即可；
（2）根据该方程组是奇妙方程组，得到x＝﹣y，代入原方程组，从而列出a的方程求解．
【解答】解：（1）是奇妙方程组，理由如下：
{2x−3 y=7①
，
3x−2y=7②
②﹣①得x+y＝0，
∴原方程组是“奇妙方程组”；
（2）∵该方程组是奇妙方程组，
∴x＝﹣y，
{2y=6−a①
∴原方程组可化为 ，
−2y=4a②
①+②，得6﹣a+4a＝0，
∴a＝﹣2，
即a的值为﹣2．
{2x+5 y=3①
10．（2022春•安溪县期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组 时，采用了一种“整
4x+11y=5②
体代入”的解法如下：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③；
把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1；
{ x=4
把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为 ；
y=−1
{
3x+2y−2=0
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组 3x+2y+1 2．
−x=−
5 5
3x+2y+1 2
【分析】由3x+2y﹣2＝0得3x+2y＝2①．然后整体代入 −x=− ，从而求得x，进而解决
5 5
此题．
【解答】解：由3x+2y﹣2＝0得3x+2y＝2①．3x+2y+1 2 2+1 2
把①代入 −x=− ，得 −x=− ．
5 5 5 5
∴x＝1．
把x＝1代入①，得3+2y＝2．
1
∴y=− ．
2
{x=1，
∴方程组的解为 1．
y=−
2
{ax+by=17
11．（2022春•卧龙区校级月考）在解二元一次方程组 时，甲同学因看错了b的符号，从而求
cx−y=5
{x=4 {x=3
得解为 ，乙同学因看错了c，从而求得解为 ，求a+b+c的值．
y=3 y=2
【分析】把方程组的两组解分别代入原方程组，把所得到的等式联立组成三元一次方程组，求出a、
b、c的数值，问题得以解决．
{4a−3b=17
【解答】解：由题意得方程组 4c−3=5 ，
3a+2b=17
{a=5
解得 b=1，
c=2
则a+b+c＝8．
故答案为：8．
{3(m+5)−2(n+3)=−1
12．（2021秋•包头期末）阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组 时，采用
3(m+5)+2(n+3)=7
了一种“整体换元”的解法．
解：把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，
{3x−2y=−1
原方程组可化为 ，
3x+2y=7
{x=1 {m+5=1
解得 ， ．
y=2 n+3=2
{m=−4
∴原方程组的解为 ．
n=−1{3(x+ y)−4(x−y)=5
请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组 x+ y x−y ．
+ =0
2 6
{3m−4n=5 {n=−1
【分析】设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程可化为 m n ，求出方程的解为 1 ，再得方程组
+ =0 m=
2 6 3
{ 1
x+ y=
3 ，解出方程组即可．
x−y=−1
【解答】解：设x+y＝m，x﹣y＝n，
{3m−4n=5
{3m−4n=5①
原方程可化为 m n ，即 ，
+ =0 3m+n=0②
2 6
②﹣①得，n＝﹣1，
1
把n＝﹣1代入②得，m= ，
3
{n=−1
∴ 1 ，
m=
3
{ 1
x+ y=
∴ 3 ，
x−y=−1
1
{x=−
3
解得 ．
2
y=
3
13．（2022春•伊川县期中）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
{17x+19 y=21①
解方程组 时，小曼发现如果用常规的代入消元法，加减消元法来解，计算量大，且
23x+25 y=27②
易出现运算错误，她采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1③
③×17得：17x+17y＝17④
①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1{x=−1
所以这个方程组的解是 ．
y=2
{1997x+1999 y=2001①
请你运用小曼的方法解方程组 ．
2017x+2019 y=2021②
【分析】先用②﹣①得到一个新方程20x+20y＝20，即x+y＝1③，然后③×1997④，然后用①﹣④
进行求解可得答案．
【解答】解：②﹣①得，20x+20y＝20，即x+y＝1③，
③×1997得，1997x+1997y＝1997④，
①﹣④得，y＝2，
将y＝2代入③得，x＝﹣1，
{x=−1
所以这个方程组的解是 ．
y=2
14．（2022春•德化县期中）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
{22x+21y=20①
解方程组：
20x+19 y=18②
解：①﹣②，得2x+2y＝2，即x+y＝1③，③×19．得19x+19y＝19④，
②﹣④，得x＝﹣1，从而可得y＝2，
{x=−1
∴原方程组的解是 ．
y=2
{2023x+2022y=2021①
（1）请你仿照上面的解题方法解方程组： ；
2021x+2020 y=2019②
{(a+2)x+(a+1)y=a①
（2）请直接写出关于x，y的方程组 的解．
(b+2)x+(b+1)y=b②
【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
{2023x+2022y=2021①
【解答】解：（1） ，
2021x+2020 y=2019②
①﹣②，得2x+2y＝2，即x+y＝1③，
③×2021，得2021x+2021y＝2021④，
④﹣②，得y＝2，
将y＝2代入③，得x＝﹣1，
{x=−1
∴方程组的解为 ；
y=2{(a+2)x+(a+1)y=a①
（2） ，
(b+2)x+(b+1)y=b②
①﹣②，得（a﹣b）x+（a﹣b）y＝a﹣b，即x+y＝1③，
③×（a+2），得（a+2）x+（a+2）y＝a+2④，
④﹣①，得y＝2，
将y＝2代入③，得x＝﹣1，
{x=−1
∴方程组的解为 ．
y=2
15．（2022春•宽城区校级期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
{17x+19 y=21①
解方程组 时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且
23x+25 y=27②
易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1．③
③×17得：17x+17y＝17．④
①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1．
{x=−1
所以这个方程组的解是 ．
y=2
{1996x+1999 y=2002①
（1）请你运用小明的方法解方程组 ．
2016x+2019 y=2022②
{ax+(a+4)y=a+8 {x=−1
（2）规律探究：猜想关于x，y的方程组 ，（a≠b）的解是 ．
bx+(b+4)y=b+8 y=2
【分析】（1）先计算得x+y＝1，再运用题目中的方法求解此方程组的解；
（2）先计算得x+y＝1，再运用题目中的方法求解此方程组的解．
{1996x+1999 y=2002①
【解答】解：（1） ，
2016x+2019 y=2022②
②﹣①得：20x+20y＝20，即x+y＝1③，
③×1996：1996x+1996y＝1996④，
（①﹣④）÷3得，y＝2，
把y＝2代入③得x＝﹣1
{x=−1
所以这个方程组的解是 ；
y=2{ax+(a+4)y=a+8①
（2）
bx+(b+4)y=b+8②
②﹣①得：（b﹣a）x+（b﹣a）y＝b﹣a，即x+y＝1③，
③•a得：ax+ay＝a④，
（①﹣④）÷4得，y＝2，
把y＝2代入③得x＝﹣1
{x=−1
这个方程组的解是 ．
y=2
{x=−1
故答案为： ．
y=2
{nx+(n+1)y=n+2
16．（2022春•兴化市期末）已知关于x、y的方程组 （n是常数）．
x−2y+mx=−5
{ x+2y=3
（1）当n＝1时，则方程组可化为 ，
x−2y+mx=−5
①请直接写出方程x+2y＝3的所有非负整数解；
②若该方程组的解也满足方程x+y＝2，求m的值；
（2）当m每取一个值时，x﹣2y+mx＝﹣5就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个
公共解吗？
（3）当n＝3时，如果方程组有整数解，求整数m的值．
【分析】（1）①由题意对x、y进行取值即可求解；
{x+2y=3 {x=1 {x=1
②解二元一次方程组 可得 ，再将 代入x﹣2y+mx＝﹣5中，即可求m的值；
x+ y=2 y=1 y=1
{
x=0
（2）x﹣2y+mx＝﹣5变形为（m+1）x﹣2y＝﹣5，由题意可求 5是公共解；
y=−
2
（3）通过解二元一次方程组可得（5+2m）x＝﹣5，再由题意可得5+2m＝±1，5+2m＝±5，分别求出m
即方程组的解，对所求的结果进行取舍即可．
【解答】解：（1）①当y＝0时，x＝3；
当y＝1时，x＝1；
{x=3 {x=1
∴x+2y＝3的所有非负整数解为 或 ；
y=0 y=1
{x+2y=3①
②由题意可得 ，
x+ y=2②①﹣②得，y＝1，
将y＝1代入②，得x＝1，
{x=1
∴方程组的解为 ，
y=1
{x=1
将 代入x﹣2y+mx＝﹣5中，
y=1
∴1﹣2+m＝﹣5，
解得m＝﹣4；
（2）x﹣2y+mx＝﹣5变形为（m+1）x﹣2y＝﹣5，
∵当m每取一个值时，方程有一个公共解，
5
∴当x＝0时，y= ，
2
{
x=0
∴ 5是方程的公共解；
y=−
2
{ 3x+4 y=5①
（3）当n＝3时， ，
x−2y+mx=−5②
②×2得，2x﹣4y+2mx＝﹣10③，
①+③得，5x+2mx＝﹣5，
整理得（5+2m）x＝﹣5，
∵方程组有整数解，且m是整数，
∴5+2m＝±1，5+2m＝±5，
{x=−5
当5+2m＝1时，m＝﹣2，此时方程组的解为 ；
y=5
{
x=5
当5+2m＝﹣1时，m＝﹣3，此时方程组的解为 5；
y=−
2
{x=−1
当5+2m＝5时，m＝0，此时方程组的解为 ；
y=2
{x=1
当5+2m＝﹣5时，m＝﹣5，此时方程组的解为 1；
y=
2
综上所述：m＝﹣2或m＝0．
{ax+5 y=10
17．（2022春•文峰区校级期末）甲乙两名同学在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组
4x−by=−4{ x=3 {x=5
中的a，而得解为 ；乙看错了方程组中的b，而得解为 ．
y=−1 y=4
（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？
（2）请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
{ x=3
【分析】（1）把 代入ax+5y＝10得出关于a的一元一次方程，解一元一次方程即可得出甲把a
y=−1
{x=5
看成了什么，把 代入4x﹣by＝﹣4得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程即可得出乙把 b
y=4
看成了什么；
{ x=3 {x=5
（2）把 代入4x﹣by＝﹣4得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程得出b的值，把
y=−1 y=4
代入ax+5y＝10得出关于a的一元一次方程，解一元一次方程得出a的值，把a，b代入原方程组得出关
于x，y的方程组，解方程组即可得出原方程组的正确解．
{ x=3
【解答】解：（1）把 代入ax+5y＝10得：
y=−1
3a+5×（﹣1）＝10，
解得：a＝5，
{x=5
把 代入4x﹣by＝﹣4得：
y=4
4×5﹣4b＝﹣4，
解得：b＝6，
∴甲把a看成了5，乙把b看成了6；
{ x=3
（2）把 代入4x﹣by＝﹣4得：
y=−1
12+b＝﹣4，
解得：b＝﹣16，
{x=5
把 代入ax+5y＝10得：
y=4
5a+20＝10，
解得：a＝﹣2，
把a＝﹣2，b＝﹣16代入原方程组得：
{−2x+5 y=10①
4x+16 y=−4②由②得：2x+8y＝﹣2③，
①+③得：13y＝8，
8
∴y= ，
13
8 8
把y= 代入①得：﹣2x+5× =10，
13 13
45
解得：x=− ，
13
45
{x=−
13
∴原方程组的解 ．
8
y=
13
18．（2022春•怀柔区校级期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数
和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常
{a x+b y=c
(
a b c
)
数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组 1 1 1可以写成矩阵 1 1 1 的
a x+b y=c a b c
2 2 2 2 2 2
{3x+4 y=16， ( 3416 )
形式．例如： 可以写成矩阵 的形式．
5x−6 y=33. 5−633
{ y−5=4x， (−415)
（1）填空：将 写成矩阵形式为： ；
3x−2y−3=0. 323
(a−5−3) {x=1
（2）若矩阵 所对应的方程组的解为 ，求a与b的值．
−4b−3 y=1
{−4x+ y=5
【分析】（1）根据题意中的定义将方程组转换为： ，按照定义即可写出矩阵；
3x−2y=3
（2）根据矩阵形式写成方程组的形式，将题目告知的解代入方程组，解得系数a、b．
【解答】解：（1）化简方程得，
{−4x+ y=5
，
3x−2y=3
(−415)
因此矩阵形式为： ；
3−23
（2）根据矩阵形式得到方程组为：
{ax−5 y=−3
，
−4x+by=−3{x=1
将 代入上述方程得，
y=1
{ a−5=−3
，
−4+b=−3
{a=2
解得： ．
b=1
19．（2022春•右玉县期末）阅读理解
（Ⅰ）我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收录在中国古代数学著作《九章算
术》中，它的方程章中就有许多关于一次方程组的内容．
下面的两幅算筹图（图1）就表示了两个二元一次方程组：
{2x+3 y=27 { 2x+ y=11
把它们写成我们现在的方程组是 与 ．
x+2y=14 4x+3 y=27
{4x+3 y=54
（Ⅱ）对于二元一次方程组 ，我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数表，通
x+3 y=36
|1 0 a| {x=a
过运算使数表变为 ，即可求得的方程组的解为 ．用数表简化解二元一次方程组
0 1 b y=b
{4x+3 y=54
的过程如下：
x+3 y=36
|4 3 54| 上行−下行 |3 0 18| 上行÷3 |1 0 6| 下行−上行 |1 0 6| 下行÷3 |1 0 6|
上行 → → → → ．
1 3 36 1 3 36 1 3 36 0 3 30 0 1 10
{ x=6
∴方程组的解为 ．
y=10
解答下列问题：
（1）直接写出右面算筹图（图2）表示的关于x，y的二元一次方程组．
（2）依照阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解（1）中你写出的二元一次方程组．
【分析】（1）利用图1中算筹的表示方法解答即可；
（2）利用题干中阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解答即可．
{2x+ y=13
【解答】解：（1）图2表示的关于x，y的二元一次方程组为： ；
2x+3 y=19{2x+ y=13
（2）用数表简化解二元一次方程组 的过程如下：
2x+3 y=19
|2 1 13| 下行−上行 |2 1 13| 下行÷2 |2 1 13| 上行−下行 |2 0 10| 上行÷2 |1 0 5|
→ → → → ．
2 3 19 0 2 6 0 1 3 0 1 3 0 1 3
{x=5
∴方程组的解为 ．
y=3
{3x−ay=16 {x=7
20．（2022春•宝应县期末）（1）已知关于x、y的方程组 的解是 求a、b的值；
2x+by=15 y=1
{a x+b y=19 {x=4
（2）已知关于 x、y 的方程组 1 1 的解是 请你运用学过的方法求方程组
a x+b y=26 y=5
2 2
{a (3m+2n)+b (2m−n)=19
1 1
中m、n的值．
a (3m+2n)+b (2m−n)=26
2 2
{x=7
【分析】（1）将 代入即可求出a，b的值；
y=1
{3m+2n=4①
（2）设3m+2n＝x，2m﹣n＝y，根据已知可得 ，即可解得m，n的值．
2m−n=5②
{3x−ay=16 {x=7
【解答】解：（1）∵关于x、y的方程组 的解是 ，
2x+by=15 y=1
{21−a=16
∴ ，
14+b=15
{a=5
解得 ，
b=1
答：a的值为5，b的值为1；
{a (3m+2n)+b (2m−n)=19
（2）在方程组 1 1 中，设 3m+2n＝x，2m﹣n＝y，则方程组变形为
a (3m+2n)+b (2m−n)=26
2 2
{a x+b y=19
1 1
，
a x+b y=26
2 2
{a x+b y=19 {x=4
1 1
∵方程组 的解是 ，
a x+b y=26 y=5
2 2{3m+2n=4①
∴ ，
2m−n=5②
①+②×2得：7m＝14，
∴m＝2，
把m＝2代入①得：6+2n＝4，
∴n＝﹣1，
∴m的值是2，n的值是﹣1．
{ x−y=4
21．（2022春•沧州期末）数学学历案上有这样一道题：解二元一次方程组 ，小明发现x的系
∗x+ y=8
数“*”印刷不清楚．
{x−y=4
（1）小明把“*”当成3，请你帮助小明解二元一次方程组 ；
3x+ y=8
（2）数学老师说：“你猜错了”，该题标准答案的结果x、y是一对相反数，求原题中x的系数“*”是
多少？
【分析】（1）直接解二元一次方程组即可；
（2）根据题意列出关于x和y的方程组，求出x和y的值，再代入即可求出*的值．
{x−y=4①
【解答】解：（1） ，
3x+ y=8②
①+②得，4x＝12，
∴x＝3，
把x＝3代入①，得，3﹣y＝4，
∴y＝﹣1，
{ x=3
∴方程组的解为 ；
y=−1
{x+ y=0①
（2）由题意得： ，
x−y=4②
①+②得，2x＝4，
∴x＝2，
把x＝2代入①，得，2+y＝0，
∴y＝﹣2，
{ x=2
∴方程组的解为 ，
y=−2
∴2×*+（﹣2）＝8，∴*＝5．
{2x+ay=10①
22．（2022春•陆河县期末）已知方程组 ，由于甲看错了方程①中a得到方程组的解为
bx−3 y=−3②
{ x=3 {x=−1
，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为 ．若按正确的a、b计算，求原方程组的解．
y=−1 y=2
【分析】把甲的结果代入②，乙的结果代入①组成方程组，求出解即可．
{ x=3 {x=−1
【解答】解：根据题意，可知 满足方程②， 满足方程①，
y=−1 y=2
{3b+3=−3
则 ，
−2+2a=10
{ a=6
解得： ，
b=−2
{ a=6 { 2x+6 y=10
把 ，代入原方程组为 ，
b=−2 −2x−3 y=−3
{x=−2
解得： 7 ，
y=
3
{x=−2
∴原方程组的解为： 7 ．
y=
3
23．（2022春•范县期末）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
{9x−7 y=8①
解方程组
6x−4 y=5②
解：由①﹣②得3x﹣3y＝3即x﹣y＝1③，
③×4得4x﹣4y＝4④，
②﹣④得2x＝1，
解得：x＝0.5
把x＝0.5代入③得：
0.5﹣y＝1
解得：y＝﹣0.5
{ x=0.5
∴方程组的解是
y=−0.5
{2023x−2021y=2022
（1）请你仿照上面的解法解方程组 ；
2022x−2020 y=2021{(m+1)x−(m−1)y=m
（2）猜测关于x，y的方程组 （m≠n）的解是什么，并通过解这个方程组加
(n+1)x−(n−1)y=n
以验证．
1
【分析】（1）①﹣②得出x﹣y＝1③，②﹣③×2020得出2x＝1，求出x，再把x= 代入③求出y
2
即可；
（2）①﹣②得出（m﹣n）x﹣（m﹣n）y＝m﹣n，求出x﹣y＝1③，①﹣③×（m﹣1）得出2x＝1，
1
求出x，再把x= 代入③求出y即可．
2
{2023x−2021y=2022①
【解答】解：（1） ，
2022x−2020 y=2021②
①﹣②，得x﹣y＝1③，
②﹣③×2020得出2x＝1，
1
解得：x= ，
2
1 1
把x= 代入③，得 −y＝1，
2 2
1
解得；y=− ，
2
1
{ x=
2
所以原方程组的解是 ；
1
y=−
2
{(m+1)x−(m−1)y=m①
（2） ，
(n+1)x−(n−1)y=n②
①﹣②得出（m﹣n）x﹣（m﹣n）y＝m﹣n，
∴x﹣y＝1③，
①﹣③×（m﹣1）得出2x＝1，
1
解得：x= ，
2
1 1
把x= 代入③，得 −y＝1，
2 21
解得；y=− ，
2
1
{ x=
2
所以原方程组的解是 ．
1
y=−
2
24．（2022春•禹州市期末）当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6时，就称点P（a，b）为“奇异点”．
（1）判断点A（2，﹣4） 不是 奇异点；（填“是”或“不是”）
{ x+3 y=8
（2）已知关于x、y的方程组 ，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是
x−y=2m+4
奇异点？并说明理由．
【分析】（1）根据定义判断即可；
3 m m
（2）通过解二元一次方程组可得B（5+ m，1− ），再由B点是奇异点，可得10+3m﹣（1− ）
2 2 2
＝6，即可求m的值．
【解答】解：（1）∵A（2，﹣4），
∴2×2﹣（﹣4）＝8≠6，
∴点A（2，﹣4）不是奇异点，
故答案为：不是；
3
{x=5+ m
{ x+3 y=8 2
（2）解方程组 ，得 ，
x−y=2m+4 m
y=1−
2
3 m
∴以方程组的解为坐标的点B（5+ m，1− ），
2 2
∵点B是奇异点，
3 m
∴a=5+ m，b=1− ，
2 2
∵2a﹣b＝6，
m
∴10+3m﹣（1− ）＝6，
2
6
解得m=− ，
76
当m=− 时，以方程组的解为坐标的点B是奇异点．
7
b
25．（2022春•信阳期末）当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6，就称点P(a−1， +1)为完美点．
2
（1）判断点A（2，3）是否为完美点；
{ x+2=4
（2）已知关于x，y的方程组 ，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是完美
x−y=2m
点，请说明理由．
【分析】（1）根据完美点的定义进行判断即可；
（2）首先解关于x的方程组，再根据完美点的定义解关于a，b的方程组，再代入2a﹣b＝6，从而可求
得相应的值．
{a−1=2
【解答】解：（1）由题意得： b ，
+1=3
2
{a=3
解得： ，
b=4
∵2a﹣b＝2×3﹣4≠6，
∴A（2，3）不是完美点．
1
（2）m= 时，点B（x，y）是完美点．理由如下：
2
{ x+2=4
解关于x的方程组： ，
x−y=2m
{ x=2
解得： ，
y=2−2m
{
2=a−1
解关于a，b的方程组： b ，
2−2m= +1
2
{ a=3
解得： ，
b=2−4m
∵2a﹣b＝6，
∴2×3﹣（2﹣4m）＝6，
1
解得：m= ，
2
1
∴当m= 时，点B（x，y）是完美点．
226．（2022春•章贡区期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：
{x=1
{3x−2y=2
（1）解方程组 ，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 1 ；
3x+2y=4 y=
2
{3(m+5)−2(n+3)=2
（2）如何解方程组 呢，我们可以把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5＝
3(m+5)+2(n+3)=4
{m=−4
x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 5 ；
n=−
2
由此请你解决下列问题：
{am+bn=15 { 3m+n=5
（3）若关于m，n的方程组 与 有相同的解，求a，b的值．
2m−bn=−2 am−bn=−1
【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
{m+5=1
（2）由（1）可得 1，求解即可；
n+3=
2
{am+bn=13 {2m−bn=−2
（3）由题意可得 和 有相同的解，先求出am＝6，bn＝7，再求a、b的值
am−bn=−1 3m+n=5
即可．
{3x−2y①
【解答】解：（1） ，
3x+2y②
①+②，得6x＝6，
解得x＝1，
1
将x＝1代入①得，y= ，
2
{x=1
∴方程组的解为 1，
y=
2
{x=1
故答案为： 1；
y=
2
{m+5=1
（2）由（1）可得 1，
n+3=
2{m=−4
∴ 5，
n=−
2
{m=−4
故答案为： 5；
n=−
2
{am+bn=15 {2m−bn=−2
（3）由题意可得 和 有相同的解，
am−bn=−1 3m+n=5
{am+bn=15①
，
am−bn=−1②
①+②，得am＝8③，
将③代入①可得，bn＝8，
∴2m﹣bn＝2m﹣8＝﹣2，
解得m＝3，
∴3m+n＝9+n＝5，
解得n＝﹣4，
∴am＝3a＝7，bn＝﹣4b＝8，
7
解得a= ，b＝﹣2．
3
27．（2022春•玉州区期末）【阅读材料】
小明同学遇到下列问题：
2x+3 y 2x−3 y
{ + =7
4 3
解方程组 ，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，计算量比较大，
2x+3 y 2x−3 y
+ =8
3 2
也容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看作一个数，把（2x﹣3y）看作一个数，通过换元，可以解
决问题．以下是他的解题过程：
令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，
m n
{ + =7
4 3 {m=60
这时原方程组化为 ，解得 ，
m n n=−24
+ =8
3 2
{m=60
把 代入m＝2x+3，a＝2x﹣3y．
n=−24{ 2x+3 y=60 { x=9
得 ，解得 ．
2x−3 y=−24 y=14
{ x=9
所以，原方程组的解为 ．
y=14
【解决问题】
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：
x+ y x−y
{ + =2
3 5
解方程组 ．
x+ y x−y
− =−1
3 5
x+ y x−y
【分析】仿照阅读材料中的方法，令m= ，n= ，方程组变形后求出m与n的值，再求出x与
3 5
y的值即可．
x+ y x−y
【解答】解：令m= ，n= ，
3 5
{ m+n=2
原方程组可化为 ，
m−n=−1
1
{m=
2
解得： ，
3
n=
2
x+ y 1
{ =
3 2 {2x+2y=3①
∴ ，即 ，
x−y 3 2x−2y=15②
=
5 2
①+②得：4x＝18，
9
解得：x= ，
2
①﹣②得：4y＝﹣12，
解得：y＝﹣3，
{ 9
x=
则方程组的解为 2 ．
y=−3
28．（2022春•永定区期末）如果某个二元一次方程组的解互为相反数，那么我们称这个方程组为“奇妙方程组”．
{x−2y=3
（1）请判断方程组 是否为“奇妙方程组”，并说明理由；
2x−y=3
{2x+4 y=6−a
（2）如果关于x，y的方程组 是“奇妙方程组”，求a的值．
x−y=4a
【分析】（1）只需判断x+y的值是否为0即可；
（2）根据该方程组是奇妙方程组，得到x＝﹣y，代入原方程组，从而列出a的方程求解．
【解答】解：（1）是奇妙方程组，理由如下：
{x−2y=3①
，
2x−y=3②
②﹣①得x+y＝0，
∴原方程组是“奇妙方程组”；
（2）∵该方程组是奇妙方程组，
∴x＝﹣y，
{2y=6−a①
∴原方程组可化为 ，
−2y=4a②
①+②，得6﹣a+4a＝0，
∴a＝﹣2，
即a的值为﹣2．
29．（2022春•安溪县期末）【阅读材料】
{10x+23 y=119①
解二元一次方程组： ．
23x+10 y=145②
思路分析：解这个方程组直接用加减法或代入法运算都比较复杂，但观察方程组的未知数的系数可以看
出，若先把两个方程相加可得到：33x+33y＝264，化简得x+y＝8，所以x＝8﹣y③．
把③代入方程①，得10（8﹣y）+23y＝119，解得y＝3，把y＝3代入③，得x＝5．
{x=5
∴原方程组的解是 ．这样运算显得比较简单．
y=3
解答过程：由 ①+②，得33x+33y＝264，即x+y＝8．
∴x＝8﹣y③，把③代入①，得10（8﹣y）+23y＝119．
解得y＝3，把y＝3代入③，得x＝5．
{x=5
∴原方程组的解是
y=3
【学以致用】{x+3 y=5
（1）填空：由二元一次方程组 ，可得x+y＝ 2 ；
3x+ y=3
{2021x−2022y=2023①
（2）解方程组： ；
2020x−2021y=2022②
【拓展提升】
1 {(m−1)x+(m+2)y=−5m−1①
（3）当m≠− 时，解关于x，y的方程组 ．
2 (m+3)x−(2−m)y=−5m−5②
【分析】（1）把两个方程相加得4x+4y＝8，两边除以4求x+y的值即可；
（2）用①﹣②得出x﹣y＝1，然后将x＝y+1代入②先求出y，再求x即可；
（3）用②﹣①得到x＝y﹣1，然后将x＝y﹣1代入①先求出y＝﹣2，然后将y＝﹣2代入x＝y﹣1中求
出x即可．
{x+3 y=5①
【解答】解：（1） ，
3x+ y=3②
由①+②，得4x+4y＝8，
所以x+y＝2．
故答案为：2．
{2021x−2022y=2023①
（2） ，
2020x−2021y=2022②
由 ①﹣②，得x﹣y＝1，
∴x＝y+1③，
把③代入②，得2020（y+1）﹣2021y＝2022，
解得y＝﹣2，
把y＝﹣2代入③，得x＝﹣2+1＝﹣1，
{x=−1
∴原方程组的解是 ；
y=−2
（3）由 ②﹣①，得x﹣y＝﹣1，
∴x＝y﹣1③，
把③代入①，得（m﹣1）（y﹣1）+（m+2）y＝﹣5m﹣1，
整理，得（2m+1）y＝﹣4m﹣2，
解得y＝﹣2，
把y＝﹣2代入③，得x＝﹣2﹣1＝﹣3．{x=−3
∴原方程组的解是 ．
y=−2
30．（2022•南京模拟）当m，n都是实数，且满足2m﹣n＝8时，我们称Q（m+2，n）为“巧妙点”．
（1）点A（a+2，b）是“巧妙点”，且a＞2，求b的取值范围；
{x+3 y=4−t {x=x
（2）已知关于x，y的方程组 ，当t为何值时，以方程组的解 0为坐标的点B（x ，
x−y=3t y= y 0
0
y ）是“巧妙点”？
0
【分析】（1）利用题中的新定义列式计算即可；
（2）表示出方程组的解，根据题中的新定义判断即可．
【解答】解：（1）由题意得：2a﹣b＝8，
1
解得：a= b+4，
2
∵a＞2，
1
∴ b+4＞2，
2
解得b＞﹣4；
{x+3 y=4−t
（2）∵ ，
x−y=3t
{x=2t+1
∴ ，
y=1−t
∴B（2t+1，1﹣t）．
∵B是“巧妙点”，
∴2（2t+1）﹣（1﹣t）＝8，
7
∴t= ．
5
7
∴当t= 时，B是“巧妙点”．
5
