文档内容
第十一章不等式与不等式组大单元教学设计
主备人 课型 新授 时间
课程标准 课题 第11章不等式与不等式组 课时 课时
本章是人教版七年级下册"数与代数"领域的核心内容，属于"方程与不等式"主题
的重要组成部分.教材以"实际问题—数学模型—应用拓展"为主线，通过8个课时系
统构建不等式知识体系.
知识结构：从不等式的概念（11.1）到一元一次不等式的解法（11.2），再到不等式
组的应用（11.3），形成"概念—性质—解法—应用"的逻辑链条，与小学阶段的“比
较大小”形成认知衔接.
大单元主
核心价值：作为衔接方程与函数的桥梁，本章通过实际问题（如购物优惠、资源分
题背景分
配）培养学生的数学建模能力，其核心素养价值体现在：
析（教材
数学抽象：从“至少”“不超过”等现实情境中提炼不等式模型
分析）
逻辑推理：通过类比等式性质推导不等式性质（尤其性质3中不等号方向变化）
数学运算：规范解一元一次不等式的步骤（移项、系数化为1等），强调符号处理的
严谨性
几何直观：利用数轴表示解集（如2≤x<4），建立数与形的双向联结
跨学科联结：可融入体育训练（配速计算）、经济学（利润优化）、工程学（材料强
度）等跨学科问题，体现数学的工具性.
一、知识与技能
理解不等式的概念及其解集，能在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集.
掌握不等式的三条基本性质，能熟练解数字系数的一元一次不等式（组），并对
比与方程解法的异同（如系数化为1时的符号变化）.
能根据实际问题中的数量关系建立不等式模型，解决简单的方案设计问题.
二、数学思考
抽象能力：经历“实际问题→数学符号→解集表示”的完整建模过程，发展从具
体到抽象的思维能力.
推理能力：通过归纳法探索不等式性质的差异，培养逻辑推理的严密性.
运算能力：规范解不等式的步骤（移项变号、合并同类项），避免“去分母漏
乘”等典型错误，提升运算的准确性.
单元教学 三、问题解决
的目标 能从复杂情境中提取关键信息，建立不等式模型并求解.
通过“问题链”设计（如从“购票优惠”到“最优方案选择”），培养学生将实
际问题转化为数学问题的能力.
运用“数形结合”策略（如用数轴确定不等式组解集），发展几何直观与代数思
维的协同能力.
四、情感态度
通过跨学科案例（如体育训练配速、社区资源分配），体会数学在解决现实问题
中的价值，增强应用意识.
在小组合作探究中（如设计“校园节水方案”），培养批判性思维与团队协作精
神，体验数学交流的乐趣.
通过“纠错练习”（如展示学生典型错误并分析），养成严谨的学习态度与反思
习惯.
活动一 不等式
学习活动
活动二 一元一次不等式
设计
活动三 一元一次不等式组
（一）过程性评价（占比60%）
课堂观察量表：聚焦学生在“不等式性质探究”“实际问题建模”等活动中的表现，
学习评价
从“参与度”“思维深度”“表达准确性”三维度进行记录.
设计
分层作业反馈：
基础层：解不等式组并数轴表示，检测运算准确性.发展层：含参数问题（如不等式组无解、有解问题），评估逻辑推理能力.
挑战层：跨学科应用题，考查综合应用能力.
（二）终结性评价（占比40%）
单元测试：
核心题：解不等式（组）并数轴表示，占30%.
应用题：方案设计问题，占40%.
拓展题：含参不等式，占30%.
项目式学习成果：
任务：以小组为单位设计“校园活动预算方案”，要求运用不等式模型解决资源分配
问题（如场地租赁、物资采购的成本控制）.
评价标准：模型合理性（30%）、结果可行性（30%）、展示清晰度（20%）、团队协
作（20%）.
情境重构：将教材中的“购物优惠”案例升级为“校园文化节预算规划”，融入成本
控制、收益预测等真实元素，增强学习的代入感与挑战性.
技术融合：利用几何画板动态展示不等式解集的变化（如拖动数轴上的点观察解集范
反思性教 围）.
学改进 分层教学：
基础组：侧重解不等式的规范性训练.
提高组：探究含参不等式.
挑战组：设计跨学科项目.
单元教学
结构图
教学设计
课题 不等式与不等式组
学习活动 教师活动 学生活动 设计意图
设计情景引入 血色好难过理解情景，思考并 通过实例创
回答. 设情境，让
学生感知数
我们很容易知道圆球的质量大 学源于生活
于砝码的质量，即x>50. 并 服 务 生
活.调动学
生的学习兴
趣,集中学
生 的 注 意
思考：如图所示，处于平衡状态的托
力，培养学
盘天平的右盘放上一质量为50g的砝
生的观察能
码，左盘放上一个圆球后向左倾斜，
力.
问圆球的质量xg与质量为50g的砝码
之间具有怎样的关系？
分组活动，先独立思考，然后
思考：一辆匀速行驶的汽车在 11:20
小组内互相交流并做记录，最
距离A地50km，要在12:00之前驶过
后各组派代表发言.
A地，车速满足什么条件？
汽车要在 12:00 之前驶过 A
地，则以这个速度行驶 50km
2
所用的时间不到 h，即：
3
汽车要在 12:00 之前驶过 A
2
活动一： 地，则以这个速度行驶 h的路
3
不等式
程要超过50km，即：
分析：设车速是x千米/时.
从时间上看？从路程上看？
观察由上述问题得到的关系式：x＞
左右不相等
50 ， x ＜ 100 ， 2/3x>50 ， s>60x ，
s<100x，它们有什么共同的特点？
一般地，用不等号“>”或“<”表示 在鉴别不等
不等关系的式子，叫作不等式. 式 的 过 程
像a≠2这样用“≠”表示不等关系的 中，加深对
式子也是不等式. 不等式意义
例1.判断下列各式是不是不等式？ 的理解.培
养学生主动
学生思考，找代表回答. 参与、合作
交 流 的 意
识，同时体
会 不 等 关
一个式子是不等式的判定：
①含有不等号；
系.
②表示不等关系，而与不等式是否成
立无关；
③不等式中可以含有未知数,也可以不
含未知数.
我们常用不等式表示不等的数量关系. 通过学生的
关键是找出关键词： 自主学习，
像“大于”“超过”“多于”等用 培养学生的
“>”表示； 理解应用能
力、数形结“小于”“不足”“少于”等用“<” 合能力.
表示；
“不小于”“至少”用“≥”表示；
“不大于”“至多”用“≤”表示；
“不等于”用“≠”表示.
例2.用不等式表示下列不等关系：
（1）a与15的和大于27；
（2）b的一半与3的差是负数；
（3）某县在乡村振兴项目的援助下，
学生思考，找代表回答.
共种植1333hm2猕猴桃，种植面积超 （1）a+15＞27 遵循学生的
过全县原有猕猴桃种植面积的18倍. 认识规律，
有意识、有
归纳： （2） 计划、有条
理地设计一
（3）
些引人入胜
例3.判断下列数中哪些是不等式 的问题，可
2/3x>50的解： 让学生始终
学生充分发表意见，并通过计
60，73，74.9，75.1，76，79，80， 处在积极的
算、动力手验证、动脑思考.
90. 思维状态，
你还能找出这个不等式的其他解吗？ 不知不觉中
这个不等式有多少个解？ 接受了新知
识，分散了
难点.
（1）你发现了哪些数是这个不等式的
解？
（2）你从表格中发现了什么规律？
总结
一般地，一个含有未知数的不等式的 学生回答，教师巡视
所有的解，组成这个不等式的解集.
求不等式的解集的过程叫做解不等式.
不等式的解集必须符合两个条件： 理解用数轴
(1)解集中的每一个数值都能使不等式 表示不等式
成立； 的解集，渗
(2)能够使不等式成立的所有数值都在 透“数形结
该解集中. 合 ” 的 思
思考：1.不等式的解和不等式的解集 想.
是一样的吗?
2.不等式的解与解不等式一样吗？
学生举手回答：
思考：如何在数轴上表示出不等式x
归纳用数轴
先在数轴上标出表示2的点A
＞2的解集呢？
表示不等式
的解集的步
则点A右边所有的点表示的数
骤，理解不
都大于2，而点A左边所有的
等式解集的
点表示的数都小于2
四种不同的
形式，以及
解集的表示方法： 在数轴上的
第一种:用式子(如x>2),即用最简形 表示方法.
式的不等式(如x>a或xb．这时，
认知规律，
如果在两端托盘中同时加上质量为c
有意识、有
的物体，天平的倾斜方向会改变吗？
计划、有条
这反映的数量关系是什么呢？
理地设计一
些问题，可
以让学生始
终处于积极
的 思 维 状
学生举例说明：
态，不知不
探究：如果在不等式的两边都加上或
觉中接受了
减去同一个整式，那么结果会怎样？
新知识．老
举例试一试.
师再适当点
探究：如果在不等式的两边都加上或
拨，加深理
减去同一个整式，那么结果会怎样？
解．
举例试一试.
不等式性质1：不等式两边加（或
减）同一个数（或式子），不等号的
方向不变.
如果a>b，那么a+c>b+c，a－c>b－c.
通过例题的
探究：如果在不等式的两边都乘以或
解答，让学
除以同一个整式（不为零），那么结
生真正掌握
果会怎样？举例试一试.
不等式的解
探究：如果在不等式的两边都乘以或
集，同时培
除以同一个整式（不为零），那么结
养学生变相
果会怎样？举例试一试.
思考问题的
不等式的性质2不等式两边乘（或除
能力，运用
以）同一个正数，不等号的方向不变. 相同点：
知识.
如果a＞b，c>0，那么ac＞bc（或a/ 1.等式或不等式的两边同时加
c>b/c） 上(或减去)同一个数，等式或
不等式的性质3不等式两边乘（或除 不等式仍然成立；
以）同一个负数，不等号的方向改变. 2.都有对称性和传递性.
如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或
a/c5的解B.x=3是2x+1>5
的唯一解
C.x=3不是2x+1>5的解D.x=3是2x+1>5
的解集
2.在数轴上表示不等式3x＞5的解集，
正确的是（ ）
3.若m>n，则下列不等式成立的是（
）
A．−2m>−2nB．m−5n/5
4.若x(a−2)y，则a的值
可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5.若x+2025>y+2025，则（ ）
A．x+2245−200. 掌握一元一
4.未知数的系数不为0 即1.8x>45 次不等式的
思考：下列不等式中，哪些是一元一 根据不等式的性质2，两边同 解法，了解
次不等式? 时除以1.8，得x>25 不 等 式 的
解、不等式
因此，这个不等式的解集为
的解集、解
x>25.
不等式等相
关概念.
思考：你能利用不等式的基本性质，
采用与解一元一次方程的相似的步骤 掌握解一元
教师讲解例题并板书解题格式
求出一元一次不等式200+1.8x>245的 一次不等式
学生完成（2）-（4）
解集吗？ 的步骤.体
求不等式解集的过程叫做解不等式. 会一元一次
思考：你能类比解一元一次方程的步 不等式与解
骤总结出解一元一次不等式的步骤 一元一次方
吗？ 程之间的联
1.去分母（不等式的基本性质2） 系与区别.
2.去括号（去括号法则）
3.移项（不等式的基本性质1）
4.合并同类项（合并同类项法则）
5.化系数为1（不等式的基本性质2或
3）
例1.解不等式：(1)2x+5≤7(2−x)，并
把它的解集在数轴上表示出来.
将一元一次
(2)2(x−1)>3(x+1)−1 不等式的解
法用在解决
实 际 问 题
解：（1）去括号，得2x+5≤14−7x.
中.理解数
移项，得2x−7x≤14−5.
学知识来源
合并同类项，得9x≤9.
于生活，又
x系数化为1，得x≤1.
服 务 于 生
在数轴上表示不等式的解集活.
–2 –1 0 1 2
解一元一次方程，要根据等式的性
质，将方程逐步化为x=a的形式；而
解一元一次不等式，则要根据不等式
的性质，将不等式逐步化为xa
的形式.
例2.某种商品进价为200元，标价为
300元出售，商场规定可以打折销
售，但其利润率不能少于5%.请你帮
助售货员计算一下，这种商品最多可 通过例题理解列一元一次不等
以按几折销售？ 式解决实际问题的一般步骤
分析：本题涉及的数量关系是：
（出售价－进价）÷进价≥利润
率.
列一元一次不等式解决实际问题的一
般步骤：
审：认真审题，分清已知量、未知
量； 学生思考并解答
设：设出适当的未知数；
找：找出题目中的不等关系，抓住关
在教师的引
键词，如“超过”“不大于”“最
导下，学生
多”等；
自主对本节
列：根据题中不等关系，列出一元一
课的所学内
次不等式；
容进行归纳
解：求出一元一次不等式的解集；
小结，使所
答：检验答案是否符合实际意义，并
学的知识及
作答.
时的纳入学
生的认知结
例3.去年某市空气质量良好（二级以
构.
上）的天数与全年天数（365）之比达
到60%，如果明年（365天）这样的
比值要超过70%，那么明年空气质量
良好的天数要比去年至少增加多少？
跟着老师回忆知识，并记忆本 学生自主完
例4.某次知识竞赛共有20道题，每一 节课的知识. 成 课 堂 练
道题答对得10分，答错或不答都扣5 习，做完之
分．果果得分要超过90分，他至少要 后班级内交
答对多少道题？ 学生独立完成当堂练习，教师
流.借助练
订正讲解. 习，检测学
本课小结： 生的知识掌
通过本节课的学习你有什么收获？ 握程度，同
1. 什么是一元一次不等式？ 时便于学生
2. 怎么解一元一次不等式？
巩固知识.
3. 列一元一次不等式解决实际问题的
一般步骤是什么？
当堂练习
1.下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ）
A．4>1B．3x−16<4
C．1/x<2D．4x−3<2y−7
2.下列说法:①x=5是不等式2x>9的一
个解;②x=6是不等式2x>9的一个解;
③不等式2x>9的解集是x>4.5.其中正
确的有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
3.解下列一元一次不等式：
4. 某童装店按每套90元的价格购进
40套童装，应缴纳的税费为销售额的
10%.如果要获得不低于900元的纯利
润，每套童装的售价至少是多少元？
情景引入 通过实际生
某工程队用每小时可抽30t水的抽水
活中的例子
机来抽污水管道里积存的污水，估计
积存的污水超过1200t而不足1500t， 引 出 新 课
如何求将污水抽完所用时间的范围？
题，既增强
了学生的学
学生理解情景，积极思考问题.
习兴趣，又
学生认真读题、思考.找出题中 激发了学生
的不等关系，并列出一元一次 的 学 习 热
不等式组. 情，对学生
探究新知识
起到很好的
活动三：
推动作用，
一元一次
不等式组 让学生发表
自 己 的 见
类似于方程组，把这两个含有同一个
解，既培养
未知数的一元一次不等式合起来，组
成一个一元一次不等式组，记作 了学生的数
学语言表达
的能力，又
理解一元一次不等式组的概念
和记法. 发挥了学生
例1.下列各不等式组中，是一元一次
学习的主动
不等式组的是______.(填序号)
性，使他们
的注意力始
学生思考一元一次不等式组的 终集中在课
判定条件，举手回答堂上．
怎样确定以上不等式组中x的取值范
围呢？
由不等式①，解得x>40
由不等式②，解得x<50
把不等式①和②的解集在数轴上表示
出来，
就容易看出不等式①和②的解集的公
共部分.
“公共部分”是指同时满足不等式组
中每一个不等式的解集的部分.如果组
鼓励学生认
成不等式组的各个不等式的解集没有
公共部分，则这个不等式组无解. 真思考；发
现解决问题
借助数轴理解公共部分的含 的方法，引
义，进而理解不等式组的的解
导学生主动
所以这个不等式组的x的取值范围是
集.
40-3 D.a>1
课的所学内
容进行归纳
2.不等式组 的解集是 小结，使所
学的知识及
______. 跟着老师回忆知识，并记忆本
时的纳入学
3.红星商店计划用不超过4200元的资
节课的知识. 生的认知结
金，购进甲、乙两种单价分别为60
构.
元、100元的商品共50件，据市场行
借助练习，
情，销售甲、乙商品各一件分别可获
检测学生的
利10元、20元，两种商品均售完，
知识掌握程
若所获利润大于750元，则该店进货 度，同时便
方案有() 学生自主完成课堂练习，做完 于学生巩固
A．3种 B．4种 之后班级内交流. 知识.
C．5种 D．6种
.某工厂有甲种原料130kg，乙种原料
4
144kg.现用这两种原料生产出A，B两
种产品共30件.已知生产每件A产品
需甲种原料5kg，乙种原料4kg，且每
件A产品可获利700元；生产每件B
产品需甲种原料3kg，乙种原料6kg，且每件B产品可获利900元.设生产A
产品x件(产品件数为整数)，生产A，
B两种产品的方案有哪几种？
A组
1．不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是
解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公
共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可．
【详解】解： ，
解①得 ，
解②得 ，
单元作业 ∴ ，
设计
在数轴上表示为：
故选：D．
2．如果不等式 的解集能使关于 的一次不等式 成立，那么 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得到关于 的不等式是解此题的
关键．先求出不等式 的解集，再根据不等式 用 表示出 的取值范
围，由 即可求出 的取值范围．
【详解】解：不等式 的解集是 ，
不等式 的解集是 ，不等式 的解集能使关于 的一次不等式 成立，
，
解得： ，
故选：C．
3．关于x的一元一次不等式 中，m的值应为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
【答案】D
【分析】根据一元一次不等式的定义：“含有一个未知数，且含未知数的项的次数为
1的不等式”，得到 ，求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，
解得： 或0；
故选：D．
4．如图表示关于 的不等式 的解，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，直接利用已知不等式的解集得出关于a
的等式进而得出答案．
【详解】解：解不等式得 ，
由数轴解集可得 ，
解得 ，
故选：A．
5．小明同学早上 前要到达班级，出家门时是 ，已知他家离学校距离为
，他跑步的速度为 ，走路的速度为 ，小明同学至少跑步多
长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为 ，根据题意可列不等式正确的
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的运用，理解数量关系，正确列不等式是关键．
根据题意可得，保证小明同学不迟到，则跑步时间与走路时间要小于 ，由此列式即可．
【详解】解：小明家离学校距离为 ，他跑步的速度为 ，走路的速度
为 ，设小明同学跑步时间为 ，出家门时是 ，早上 前要到达
班级，保证小明同学不迟到，则跑步时间与走路时间要小于 ，
∴ ，
故选：C．
6．不等式 的解集是．
【答案】
【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，先去分母，再移项，合并同类项，最
后把未知数的系数化为1即可．
【详解】解： ，
去分母得： ，
∴ ，
解得： ；
故答案为：
7．解不等式组 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握解一元一次不等式的方法是
解题的关键；
先求出不等式组中每个不等式的解集，再取其解集的公共部分即可得解．
【详解】解：解不等式①，得 ，
解不等式组②，得 ，
所以不等式组的解集是 ．
8．解不等式组： ．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，
根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集即可．
【详解】解： ，
解不等式 ，得 ；
解不等式 ，得 ，
则不等式组的解集为 ．
9．解不等式 ．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式．根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系
数化为1的步骤求解即可．
【详解】解：去分母，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
10．解不等式组： ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别求出每一个不等式的解集，再找出
解集的公共部分即得原不等式组的解集为 ．
【详解】解：解不等式①：
，
，
，
解不等式②：
，
，
，
∴原不等式组的解集为 ．
11．解不等式组： ．
【答案】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大
中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为： ．
B组
1．关于y的一元一次不等式组 有3个整数解，则a的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查根据不等式组的解集确定其中字母的取值范围，正确的解不等
式组是解题的关键．先将不等式组解出来，再利用不等式组有3个整数解确定a的取
值范围即可．
【详解】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
∴原不等式组的解集为 ，
∵该一元一次不等式组有3个整数解，
∴ ，
故选：B．
2．美国日前宣布对所有贸易伙伴加征关税后，加拿大宣布自4月9日起对美国汽车征
收 对等关税．2024年加拿大从美国进口汽车总支出达356亿加元，设2025年加
拿大计划从美进口汽车的金额为x亿加元，若要使加征关税后加拿大进口美国汽车的
总支出不超过2024年的总支出，则可列不等式为．
【答案】
【分析】本题考查列不等式，设2025年加拿大计划从美进口汽车的金额为x亿加元，
根据题意列不等即可．【详解】解：设2025年加拿大计划从美进口汽车的金额为x亿加元，列不等式为
，
故答案为： ．
3．不等式组 的最小整数解为．
【答案】0
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则，求出不等式组
的解集是解题的关键．
求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，即
可求出最小整数解．
【详解】解： ，
解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
不等式组的解集为 ，
最小整数解是0，
故答案为：0．
4．关于 的不等式组 有且只有四个整数解，则 的取值范围是．
【答案】
【分析】本题主要考查求含参数的不等式解集，熟练掌握解一元一次不等式组，不等
式组的整数解：是解题关键．
求出原不等式组的解集，由解集恰好只有4个整数解，得出关于a的不等式组，解不
等式组确定出a的范围即可．
【详解】解： ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴不等式组的解集为： ，
∵不等式组只有4个整数解，
为2，1，0， ，
∴ ，
∴ ．故答案为： ．
5． 年 月 日至 日，第四届湖南省旅游发展大会将在岳阳市举行，此次大会
的吉祥物为“岳小楼”和“江小豚”，它们既展现了岳阳的历史韵味，又寓意着岳阳
旅游的繁荣与吉祥．某玩具店看准商机，购进了一批“岳小楼”和“江小豚”的玩
偶．已知购买 个“岳小楼”玩偶和 个“江小豚”玩偶共需 元，购进 个“岳小
楼”玩偶和 个“江小豚”玩偶共需 元．
(1)请问每个“岳小楼”和“江小豚”玩偶的进价分别是多少元？
(2)该玩具店计划购进两种玩偶共 个，且每个“岳小楼”玩偶的售价为 元，每个
“江小豚”玩偶的售价为 元．若将所有玩偶全部售出，且利润不得低于 元，
则至少需要购进多少个“岳小楼”玩偶？
【答案】(1)每个“岳小楼”玩偶的进价是 元，每个“江小豚”玩偶的进价是 元
(2)至少需要购进 个“岳小楼”玩偶
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是
掌握相关知识．
（1）设每个“岳小楼”玩偶的进价是 元，每个“江小豚”玩偶的进价是 元，根据
题意列方程即可求解；
（2）设需要购进 个“岳小楼”玩偶，根据题意列不等式即可求解．
【详解】（1）解：设每个“岳小楼”玩偶的进价是 元，每个“江小豚”玩偶的进价
是 元，
根据题意可得： ，
解得： ，
答：每个“岳小楼”玩偶的进价是 元，每个“江小豚”玩偶的进价是 元；
（2）设需要购进 个“岳小楼”玩偶，
根据题意可得： ，
解得： ，
答：至少需要购进 个“岳小楼”玩偶．
6．地铁6号线开通后，小程上班有以下两种交通方案可选：
方案一：购买地铁月卡，乘坐地铁，卡费80元/月，购买后当月每次乘地铁仅需2元，不限次数；
方案二：先乘公交车（单程1元），再换乘地铁（无优惠，单程3元）．
本月共有30天，小程每天上班需早晚各乘坐公共交通1次，若设小程本月上班
天，请回答下列问题：
(1)方案一的月花销为__________元，方案二的月花销为________元；（用含 的代数
式表示）
(2)根据 的不同情况，说明小程选择哪个方案更省钱．
【答案】(1) ，
(2)当 时，方案二更省钱；当 时，方案一和方案二一样；当
时，方案一更省钱．
【分析】本题主要考查列代数式，一元一次不等式的实际应用，一元一次方程的实际
应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）根据题意列出等式即可；
（2）根据（1）中代数式，分三种情况进行讨论即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，方案一的月花销为 元，
方案二的月花销为 元；
（2）解：①当 ，
解得 ，
当 时，方案二更省钱；
②当 ，
解得 ，
当 时，方案一和方案二一样；
③当 ，
解得 ，
当 时，方案一更省钱．
7．超市购物车使我们的购物方式更方便、快捷，如图为购物车叠放在一起的示意
图．3辆超市购物车叠放在一起的长度为 ，6辆超市购物车叠放在一起的长度为
．(1)求每一辆超市购物车的长度；
(2)若该超市只有扶手电梯，且倾斜长度为12米，工作人员可以通过电梯转运超市购
物车．为安全起见，规定电梯一次只能转运1列超市购物车，并且不能超过电梯总长
度的 ，则工作人员一次最多可以转运多少辆超市购物车？
【答案】(1)每一辆超市购物车的长度为1米
(2)工作人员一次最多可以转运16辆超市购物车
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，
正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键．
（1）设每一辆超市购物车的长度为 米，两辆超市购物车重叠部分的长度为 米，根
据3辆超市购物车叠放在一起的长度为 ，6辆超市购物车叠放在一起的长度为
建立方程组求解即可；
（2）设一次最多可以转运 辆超市购物车，则购物车的总长度为
，再根据购物车的总长度不能超过电梯总长度的 建立不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每一辆超市购物车的长度为 米，两辆超市购物车重叠部分的长
度为 米，
根据题意得， ，
解得 ，
答：每一辆超市购物车的长度为1米；
（2）解：设一次最多可以转运 辆超市购物车，
根据题意得， ，
解得 ，
取最大正整数，
的值为16．
答：工作人员一次最多可以转运16辆超市购物车
8．近年来共享经济盛行，某充电宝共享租赁公司在运营过程中需要生产一批新的充
电宝进行补充，其中4个A型充电宝和1个B型充电宝的生产成本为340元；10个A
型充电宝比2个B型充电宝的生产成本多400元．
(1)求1个A型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为多少元．
(2)该公司在生产时，要求B型充电宝的数量比A型充电宝的数量的 多1000个，因
实际生产过程中物料及人工等变化，每个B型充电宝的生产成本是原来生产成本的80%，公司要求生产部门生产总费用不超过500000元，那么最多可生产多少个A型充
电宝？
【答案】(1)1个A型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为60、100元
(2)4200
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意正确列方程组
和不等式是解题的关键．
（1）设1个A型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为x、y元，根据题意列出方
程组求解即可．
（2）设生产m个A型充电宝，则生产 个B型充电宝，根据“公司要求生
产部门生产总费用不超过500000元”列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设1个A型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为x、y元，
则 ，
解得： ，
答：1个A型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为60、100元；
（2）解：设生产m个A型充电宝，则生产 个B型充电宝，，
则 ，
解得： ，
答：最多可生产4200个A型充电宝．
9．下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
．
解： ，第一步
，第二步
，第三步
，第四步
．第五步
任务一：填空
①以上解题过程中，第一步是依据________________________进行变形的；
②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________________．
任务二：请写出正确的解题过程．
【答案】任务一：①不等式的性质2：不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；②三，移项没有改变符号；任务二：见解析
【分析】任务一：①根据不等式的性质2可得答案；②由移项没有改变符号可得第三
步开始出现错误；
任务二：先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即
可；
【详解】解：任务一：①以上解题过程中，第一步是依据不等式的性质2：不等式的
两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变进行变形的；
②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项没有改变符号；
任务二：
．
解： ，
，
，
，
．
10．已知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，求 的取值
范围．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式，解题的关键是能得出
关于 的不等式．
由 得到 ，然后根据题意得到 ，进而求解即可．
【详解】解：
由 得： ，
，
，
，
解得 ，
的取值范围为 ．
C组
1．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程 的解为 ，不等式组 的解集为
，因为 ，所以称方程 为不等式组 的关联方程．
(1)在方程① ，② ；③ 中，不等式组 的
关联方程是________（填序号）；
(2)若不等式组 的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是
，则常数 ________；
(3)是否存在整数m，使得方程 和 都是关于x的不等式组
的关联方程？若存在，请求出所有符合条件的整数m的值；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)③
(2)2
(3)存在，4，5
【分析】本题考查了新定义，解一元一次不等式组和一元一次方程，解题的关键是理
解并掌握“关联方程”的定义和解一元一次不等式组、一元一次方程的能力．
（1）分别解不等式组和各一元一次方程，再根据“关联方程”的定义即可判断；
（2）解不等式组得出其整数解，再写出以此整数解为解得一元一次方程即可得；
（3）解一元一次方程得出方程的解，解不等式组得出： ，根据不
等式组整数解的确定可得答案．
【详解】（1）解：方程① 的解为 ；方程② 的解为 ；方
程③ 的解为 ；
不等式组 的解集为 ，
，
不等式组 的关联方程是方程③ ，
故答案为：③；（2）解：不等式组 的解集为 ，
不等式组 的一个关联方程 的解是整数，
，
即 ，
故答案为：2；
（3）解：由方程 ，解得 ；
由方程 ，解得 ；
由不等式组 ，解得 ，
方程 和 都是关于x的不等式组 的关联方程，
，且 ，
解得 ，
所有符合条件的整数m的值为4，5．
2．定义：关于 ， 的二元一次方程 （其中 ）中的常数项 与未知
数系数 ， 之一互换，得到的方程叫“换参方程”，例如： 的“换参方
程”为 或 ．
(1)方程 与它的“换参方程”组成的方程组的解为__________；
(2)已知关于 ， 的二元一次方程 的系数满足 ，且 与
它的“换参方程”组成的方程组的解恰好是关于 ， 的二元一次方程 的
一个解，求代数式 的值；
(3)已知整数 ， ， ，满足条件 ，并且 是关于
， 的二元一次方程 的“换参方程”，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】本题考查新定义运算，二元一次方程组的解，解二元一次方程组等，计算量
很大，有一定难度，正确理解“交换系数方程”的定义是解题的关键．（1）先根据定义写出方程 的“交换系数方程”，联立组成方程组，解方程
组即可；
（2）先求出 与它的“交换系数方程”组成的方程组的解，代入
，得到p，m，n的关系，再代入 即可求解；
（3）先写出 的“交换系数方程”，令
的各未知数的系数与2个“交换系数方程”的对应系数相
等，得到2个方程组，最后求出符合条件的m的值即可．
【详解】（1）解：由题意知，方程 的“交换系数方程”为 或
，
方程 与它的“交换系数方程”组成的方程组为：
① 或② ，
解方程组①，得 ，
解方程组②，得 ，
故答案为： 或 ；
（2）解： 与它的“交换系数方程”组成的方程组为：
① 或② ，
解方程组①，得 ，
由 ，得 ，
因此方程组①的解为 ，
解方程组②，得 ，
由 ，得 ，方程组②的解为 ，
与它的“交换系数方程”组成的方程组为 ，
将 代入 ，得 ，
．
（3）解：关于 ， 的二元一次方程 的“交换系数方程”为
，或 ，
当 与 的各系数相等时，
可得方程组 ，
解方程组可得 ，不满足 ，故舍去；
当 与 的各系数相等时，
可得方程组 ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，即
解得 ，
∵m为整数，
∴ ．
3．定义一种新运算： ，若 ， ．
(1)求 、 的值；(2)若关于 的不等式组 有解，求实数 的取值范围；
(3)若 的解集为 ，求 的解
集．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式
组的解法．
（1）根据定义的新运算 ，列出二元一次方程组，解方程组可求出m，n的值；
（2）根据（1）求出的新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解
集的情况可求出 的取值范围；
（3）根据（1）求出的新运算列出一元一次不等式，根据解集为 可得出a与b的
数量关系；再根据 ， 的值和新运算列出一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，若 ， ，
∴ ，
解得 ；
（2）解：关于 的不等式组 ，
整理得 ，
解 得 ，
解 得 ，
∵关于 的不等式组 有解，
∴ ，∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
整理得 ，
∵ 的解集为 ，
∴ 且 ，
整理得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
整理得 ，
将 代入得 ，
∵ ，
∴ ．
