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【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题5.6相交线及其所组成的角大题专项提升训练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
一、解答题（本大题共30小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．（2022·浙江·七年级专题练习）如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠COE=90°．
(1)若∠AOC=37°，求∠BOE的度数．
(2)若∠BOD:∠BOC=3:6，求∠AOE的度数．
【答案】(1)53°
(2)150°
【分析】（1）根据平角的定义和角的和差关系进行计算即可；
（2）根据∠BOD:∠BOC=3:6，以及互为补角的定义可求出∠BOD=60°，再根据对顶角相等以及角
的和差关系得出答案．
【详解】（1）解：∵∠COE=90°，∠AOC=37°，
∴∠BOE=180°−∠AOC−∠COE
=180°−37°−90°
=53°；
（2）∵∠BOD:∠BOC=3:6，∠BOD+∠BOC=180°，
3
∴∠BOD=180°× =60°，
3+6
∵∠BOD=∠AOC，
∴∠AOC=60°，
∵∠COE=90°，
∴∠AOE=∠COE+∠AOC=90°+60°=150°．
【点睛】本题主要考查了对顶角、邻补角、角的和差关系等知识，理解对顶角、邻补角的定义是解答此题
的关键．
2．（2022·广东·东莞市石龙第二中学七年级期中）如图，直线AB，CD相交于O，OE是∠COB的角平分
线．(1)∠AOC的对顶角是 ___________；
(2)若∠BOC=130°，求∠BOD、∠DOE的度数．
【答案】(1)∠BOD
(2)50°，115°
【分析】（1）根据对顶角定义直接解答即可；
（2）由邻补角定义求出∠BOD的度数，再根据角平分线定义求出∠BOE，即可得到∠DOE的度数．
【详解】（1）解：由对顶角的定义可知，∠AOC的对顶角是∠BOD，
故答案为：∠BOD；
（2）∵∠BOC=130°，∠BOC+∠BOD=180°，
∴∠BOD=180°−130°=50°，
又∵OE是∠COB的角平分线．
1
∴∠BOE=∠COE= ∠BOC=65°，
2
∴∠DOE=∠BOD+∠BOE
=50°+65°
=115°，
答：∠DOE的度数为115°．
【点睛】此题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，邻补角定义，对顶角定义，正确理解各定
义并理解图形中各角的位置关系及数量关系是解题的关键．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分
∠AOF，EO⊥OD，∠EOA=55°，求∠BOF的度数.
【答案】∠BOF=110°【分析】依据EO⊥OD，∠EOA=55°，可得∠AOD=90°−55°=35°，再根据OD平分∠AOF，即
可得出∠AOF=2∠AOD=70°，依据平角定义得到∠BOF．
【详解】解：∵EO⊥OD，
∴∠EOD=90°.
∵∠EOA=55°.
∴∠1=∠EOD−∠EOA=90°−55°=35°.
∵OD平分∠AOF.
1
∴∠1= ∠AOF=35°.
2
∴∠AOF=70°.
∵∠BOA=∠BOF+∠AOF=180°
∴∠BOF=180°−∠AOF=180°−70°=110°．
【点睛】本题主要考查了垂线的意义，角平分线的定义以及余角的综合运用，正确的识别图形是解题的关
键．
4．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，
KF⊥OE垂足为点O，且∠DOF:∠BOE=3:2．
(1)如图，求∠AOC的度数．
(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与∠BOE互余的角．
【答案】(1)108°
(2)∠AOE，∠BOF，∠COK，∠DOF【分析】（1）先根据垂直的定义得到∠EOF=90°，再根据平角的定义得到∠COE+∠DOF=90°，再
根据角平分线的定义得到∠COE=∠BOE则∠DOF:∠COE=3:2，据此求出∠BOC=72°，即可利用
平角的定义求出∠AOC；
（2）根据余角的定义进行推理即可．
【详解】（1）解：∵KF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∴∠COE+∠DOF=180°−∠EOF=90°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE，
∵∠DOF:∠BOE=3:2，
∴∠DOF:∠COE=3:2，
2
∴∠COE=90°× =36°，
2+3
∴∠BOC=2∠COE=72°，
∴∠AOC=180°−∠BOC=108°；
（2）解：∵KF⊥OE，
∴∠EOK=∠EOF=90°，
∴∠COK+∠COE=90°，∠BOE+∠BOF=90°，
∵∠∠AOE=∠BOF，∠DOF=∠COE，
∴∠COE+∠DOF=90°，∠BOE+∠AOE=90°，
∵∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE，
∴∠BOE+∠COK=90°，∠BOE+∠DOF=90°，
∴∠BOE的余角有∠AOE，∠BOF，∠COK，∠DOF．
【点睛】本题主要考查了垂直的定义，角平分线的定义，余角的定义，平角的定义，熟知相关知识是解题
的关键．
5．（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学七年级期中）如图：已知AO⊥BC，DO⊥OE，B，O，C在同一条
直线上.(1)∠AOE的余角是_________，∠BOE的补角是_________.
(2)如果∠AOD=35°，求∠BOE的度数.
(3)找出图中所有相等的角（除直角外），并对其中一对相等的角说明理由.
【答案】(1)∠AOD、∠COE；∠COE、∠AOD
(2)145°
(3)∠BOD=∠AOE，∠AOD=∠COE，理由见（1）详解
【分析】（1）∠AOB=∠AOC=∠DOE=90°根据垂直的定义得到，再根据同角或等角的余角相等得
到∠BOD=∠AOE，∠AOD=∠COE，最后根据补角和余角的定义求解即可；
（2）根据补角的定义进行求解即可；
【详解】（1）解：∵AO⊥BC，DO⊥OE，
∴∠AOB=∠AOC=∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠BOD=90°，∠AOE+∠AOD=90°，∠AOE+∠COE=90°，
∴∠BOD=∠AOE，∠AOD=∠COE，
∴∠AOE的余角是∠AOD、∠COE，∠BOE的补角是∠COE、∠AOD，
故答案为：∠AOD、∠COE；∠COE、∠AOD；
（2）解：∵∠AOD=35°，
∴∠BOD=180°−∠AOD=55°，
（3）解：由（1）得∠BOD=∠AOE，∠AOD=∠COE．
【点睛】本题主要考查了与余角补角有关的计算，熟知余角与补角的定义是解题的关键．
6．（2021·四川省南充市高坪中学七年级期中）如图，直线AB和CD相交于O点，OE⊥CD，
∠EOF=142°，∠BOD：∠BOF=1：3，求∠AOF的度数.
【答案】∠AOF=102°【分析】根据OE⊥CD，得出∠EOD=90°，根据∠EOF=142°，可得∠DOF=52°,根据角的倍
分关系，可得∠BOF的度数，根据∠BOF与∠AOF是邻补角，可得答案．
【详解】解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∵∠EOF=142°，
∴∠DOF=142°-90°=52°，
∵∠BOD：∠BOF=1：3，
1
∴∠BOD= ∠DOF=26°，
2
∴∠BOF=∠BOD+∠DOF=78°，
∵∠AOF+∠BOF=180°，
∴∠AOF=180°-∠BOF=180°-78°=102°．
∴∠AOF=102°．
【点睛】本题考查垂直的性质、角的和差、角的倍分关系、邻补角的性质等知识，是基础考点，掌握相关
知识是解题关键．
7．（2022·西藏·林芝市广东实验中学七年级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．若
∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．
【答案】55°
【分析】根据对顶角和角平分线的定义求出∠BOE的度数，再根据已知求出∠BOF的度数，即可求出
∠EOF的度数．
【详解】解：∵∠AOC＝70°，
∴∠BOD＝∠AOC＝70°，
∵OE平分∠BOD，
1
∴∠BOE＝∠DOE＝ ∠BOD＝35°，
2
又∵∠DOF＝90°，
∴∠BOF=90°-70°=20°
∴∠EOF=20°+35°=55°．【点睛】本题考查角平分线、对顶角，角的和差运算，掌握角平分线的定义，理解对顶角相等是正确解答
的关键．
8．（2022·内蒙古·呼和浩特市第二十六中学七年级期中）如图，O 是直线AB上一点，
∠BOC=3∠AOC，OC平分∠AOD
(1)求 ∠AOC 的度数．
(2)试猜想 OD 与 AB 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)∠AOC 的度数为45°
(2)OD⊥AB，理由见解析
【分析】（1）设∠AOC=x，根据题意得∠BOC=3x，再根据平角的定义进而求解即可；
（2）根据角平分线的定义即可得到解答．
【详解】（1）解：设∠AOC=x，
∵∠BOC=3∠AOC，
∴∠BOC=3x，
∵直线AB，
∴x+3x=180°，
解得x=45°，
∴∠AOC 的度数为45°；
（2）解：OD⊥AB，理由如下，
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD=∠AOC=45°．
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=90°，
∴OD⊥AB．
【点睛】此题考查了垂线，平角的定义以及角平分线的定义，对定义的熟练掌握是解题的关键．平角：等
于180°的角叫做平角；角平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条
射线叫做这个角的角平分线．
9．（2021·河北·石家庄市长安区阳光未来实验学校七年级期中）如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，∠AOE＝2∠DOE．
(1)若∠BOD＝60°，求∠COE的度数；
(2)试猜想∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)∠COE＝20°；
(2)∠BOD＝3∠COE，理由见解析．
【分析】（1）根据补角的定义可得∠AOD＝120°，再根据∠AOE＝2∠DOE计算可得答案；
（2）设∠COE＝x，则∠DOE＝60−x，再利用∠AOE＝2∠DOE，然后整理可得结论．
【详解】（1）解：∵∠BOD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵∠AOE＝2∠DOE，
1
∴∠DOE＝ ∠AOD＝40°，
3
∴∠COE＝∠COD−∠DOE＝60°−40°＝20°；
（2）解：∠BOD＝3∠COE，理由如下：
设∠COE＝x，则∠DOE＝60−x，
∵∠AOE＝2∠DOE，
∴∠AOD＝3∠DOE＝3（60−x）＝180−3x，
∴∠BOD＝180−∠AOD＝180−（180−3x）＝3x，
∴∠BOD＝3∠COE．
【点睛】本题主要考查了邻补角、平角、角的和差，用代数式表示各个相关的角是解题关键．
10．（2022·重庆市江津第五中学校七年级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平
分∠COE．(1)若∠AOC=76°，求∠BOF的度数；
(2)若∠BOF=36°，求∠AOC的度数；
【答案】(1)∠BOF=33°
(2)∠AOC=72°
【分析】（1）先根据对顶角相等求出∠BOD=76°，再由角平分线定义得∠DOE=∠BOE=38°，由邻补角得
∠COE=142°，再根据角平分线定义得∠EOF=71°，从而可得结论．
（2）利用角平分的定义得出∠BOE=∠EOD，∠COF=∠FOE，进而表示出各角求出答案．
【详解】（1）∵∠AOC、∠BOD是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=76°，
∵OE平分∠BOD，
1
∴∠DOE=∠BOE= ∠BOD=38°
2
∴∠COE=142°，
∵OF平分∠COE．
1
∴∠EOF= ∠COE=71°，
2
又∠BOE+∠BOF=∠EOF，
∴∠BOF=∠EOF−∠BOE=71°−38°=33°，
（2）∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，
∴∠BOE=∠EOD，∠COF=∠FOE，
∴设∠BOE=x，则∠EOD=x，
故∠COA=2x，∠EOF=∠COF=x+36°，
则∠AOC+∠COF+∠BOF=2x+x+36°+36°=180°，
解得x=36°，
故∠AOC=72°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义和对顶角的性质，解决本题的关键是掌握对顶角的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线）．
11．（2022·辽宁·大连高新技术产业园区普罗旺斯学校七年级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE
平分∠BOD，∠DOE=28°，且OE⊥OF．求∠AOC和∠AOF的度数．
【答案】∠AOC=56°，∠AOF=118°
【分析】根据题意和角平分线的性质得∠DOE=∠EOB=28°，根据对顶角相等可得∠AOC=56°，根
据EO⊥OF得∠EOF=90°，可得∠BOF=62°，即可得．
【详解】解：∵OE平分∠BOD，∠DOE=28°，
∴∠DOE=∠EOB=28°，
又∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC=∠DOE+∠EOB=28°+28°=56°，
∵EO⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=∠EOF−∠BOE=90°−28°=62°，
∴∠AOF=180°−∠BOF=180°−62°=118°．
【点睛】本题考查了角平分线，对顶角，邻补角，解题的关键是掌握角平分线的性质，对顶角相等并认真
计算．
12．（2022·广东广州·七年级期中）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分
∠BOC，∠2：∠1＝4：1．(1)求∠AOF的度数．
(2)判断OE与OF的位置关系并说明理由．
【答案】(1)108°
(2)OE⊥OF，理由见解析
【分析】（1）设∠1=x°，则∠2=4x°，求出∠BOD=2∠1=2x°，∠BOC=2∠2=8x°，根据
∠BOC+∠BOD=180°，求出x=18，代入∠AOF=∠AOC+∠COF求出即可．
（2）根据（1）的结论得出∠EOF=180°−(∠1+∠2)=90°，即可求解．
（1）
解：设∠1=x°，则∠2=4x°，
∵OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，
∴∠BOD=2∠1=2x°，∠BOC=2∠2=8x°
∵∠BOC+∠BOD=180°，
∴8x+2x=180，
∴x=18，
∴∠AOC=∠DOB=2x=36°，∠1=18°，∠2=72°，
∴∠AOF=∠AOC+∠2=36°+72°=108°．
（2）
由（1）可得∠1=18°，∠2=72°，
∴∠EOF=180°−(∠1+∠2)=90°,
∴OE⊥OF．
【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．
13．（2022·四川·成都市盐道街中学外语学校七年级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分
∠BOD．
(1)若∠EOF=55°，OD⊥OF，求∠AOC的度数；
(2)若OF平分∠COE，∠BOF=15°，求∠DOE的度数．
【答案】(1)70°(2)50°
【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠BOE=∠DOE，根据垂线的定义以及已知条件求得
∠DOE=35°，继而求得∠BOD=70°，根据对顶角相等即可求解；
（2）根据角平分线的性质可得∠COF=∠EOF，∠BOE=∠DOE，设∠DOE=∠BOE=x，则
∠COF=x+15°，根据平角的定义建立方程，解方程即可求解．
（1）
解：∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE，
∵∠EOF=55°，OD⊥OF，
∴∠DOE=35°，
∴∠BOE=35°，
∴∠BOD=70°
∴∠AOC=70°；
（2）
∵OF平分∠COE，
∴∠COF=∠EOF，
∵∠BOF=15°，
设∠DOE=∠BOE=x，则∠COF=x+15°，
∴x+15°+x+15°+x=180°，
解得：x=50°，
故∠DOE的度数为：50°．
【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，一元一次方程的应用，数形
结合是解题的关键．
14．（2022·广东·大亚湾经开区三中七年级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O．
若∠BOC=2∠AOC，求∠DOE的度数．【答案】150°
【分析】由EO⊥AB可得∠BOE=90°，由∠AOC+∠BOC=180°，∠BOC=2∠AOC，可得∠AOC，从
而可得∠BOD，这样由∠DOE=∠BOE+∠BOD即可求得∠DOE的度数．
【详解】解：∵∠AOC+∠BOC=180°，∠BOC=2∠AOC，
∴∠AOC+2∠AOC=180°
∴∠AOC=60°，
∴∠BOD=∠AOC=60°，
∴∠EOD=∠BOE+∠BOD=90°+60°=150°，
答：∠DOE的度数为150°．
【点睛】本题考查了垂线、对顶角、邻补角，求出∠AOC的度数是解题的关键．
15．（2021·广东·东莞市松山湖实验中学七年级期中）如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD于点O，
OF平分∠AOD，且∠BOE=50∘，求∠AOF的度数．
【答案】70°
【分析】根据垂直的定义，求得∠COE=90∘，根据∠BOC=∠COE+∠BOE，以及对顶角相等可得
∠AOD=∠BOC=140∘，然后根据角平分线的定义即可求解．
【详解】∵EO⊥CD，∠BOE=50∘，
∴∠COE=90∘，
∴∠BOC=∠COE+∠BOE=90∘+50∘=140∘，
∴∠AOD=∠BOC=140∘，
又∵OF平分∠AOD，
1
∴∠AOF= ∠AOD=70∘ ．
2【点睛】本题考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，对顶角相等，角平分线的定义，数形结合求得
∠AOD=∠BOC=140∘是解题的关键．
16．（2022·山东滨州·七年级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE．
(1)判断OF与OD的位置关系，并说明理由；
(2)若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．
【答案】(1)OF⊥OD，理由见解析；
(2)∠EOF＝60°
【分析】（1）利用角平分线的定义结合已知求出∠FOD＝90°即可得出答案；
（2）求出∠AOC的度数，再利用对顶角的性质和角平分线的定义求出∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝30°，进
而得出∠EOF的度数．
（1）
解：OF⊥OD，
理由：∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠FOE，
∵∠DOE＝∠BOD，
1
∴∠AOF＋∠BOD＝∠FOE＋∠DOE＝ ×180°＝90°，即∠FOD＝90°，
2
∴OF与OD的位置关系是OF⊥OD；
（2）
∵∠AOC：∠AOD＝1：5，
1
∴∠AOC＝ ×180°＝30°，
6
∴∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝30°，
∴∠AOE＝120°，
1
∴∠EOF＝ ∠AOE＝60°．
2【点睛】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的性质，正确得出各角之间的关系是解题关键．
17．（2022··七年级期末）如图，已知OB，OC，OD是∠AOE内三条射线，OB平分∠AOE，OD平分
∠COE．
(1)若∠AOB=70°，∠DOE=20°，求∠BOC的度数．
(2)若∠AOE=136°，AO⊥CO，求∠BOD的度数．
(3)若∠DOE=20°，∠AOE+∠BOD=220°，求∠BOD的度数．
【答案】(1)30°
(2)45°
(3)60°
【分析】对于（1），由角平分线的定义求出∠BOE和∠COE，再根据∠BOC=∠BOE−∠COE即可
求解；
对于（2），先求出∠COE，再根据角平分线的定义求出∠DOE和∠BOE，然后根据
∠BOD=∠BOE-∠DOE即可求解；
对于（3），由角平分线的定义得∠AOE=2∠BOE，结合已知条件可得2∠BOE+∠BOD=220°，
∠BOE−∠BOD=20°，即2∠BOE−2∠BOD=40°，进而得出3∠BOD=180°，可得答案．
【详解】（1）∵OB平分∠AOE，OD平分∠COE，
∴∠BOE=∠AOB=70°，∠COE=2∠DOE=40°，
∴∠BOC=∠BOE−∠COE=70°−40°=30°；
（2）∵AO⊥CO，
∴∠AOC=90°．
∵∠AOE=136°，
∴∠COE=∠AOE−∠AOC=136°−90°=46°．
∵OB平分∠AOE，OD平分∠COE，
1 1
∴∠BOE= ∠AOE=68°，∠DOE= ∠COE=23°，
2 2
∴∠BOD=∠BOE-∠DOE=68°−23°=45°；
（3）∵OB平分∠AOE，∴∠AOE=2∠BOE．
∵∠AOE+∠BOD=220°，
∴2∠BOE+∠BOD=220°．
∵∠BOE−∠BOD=∠DOE，
∴∠BOE−∠BOD=20°，
∴2∠BOE−2∠BOD=40°，
∴3∠BOD=180°，
∴∠BOD=60°．
【点睛】本题主要考查了角的和差，关键是由角平分线定义得出相关等式．
18．（2021·湖北·公安县教学研究中心七年级期末）如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC．
(1)若∠AOC=50°，请求出∠AOD的度数；
1
(2)若∠AOD和∠DOE互余，且∠AOD= ∠AOE，请求出∠BOC的度数．
3
【答案】(1)∠AOD＝25°
(2)∠BOC＝120°
【分析】(1)根据角平分线的定义，即可求得；
1
(2)首先根据∠AOD和∠DOE互余，可得∠AOE=90°，再根据∠AOD= ∠AOE，可求得
3
∠AOD=30°，可求得∠AOC=60°，据此即可求得．
（1）
解：∵∠AOC=50°，OD平分∠AOC，，
1
∴∠AOD= ∠AOC=25°；
2
（2）
解：∵∠AOD和∠DOE互余，
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=90°，
1
∴∠AOD= ∠AOE=30°，
3∵OD平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠AOD=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=120°．
【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，准确找到角与角之间的关系是解决本题的关键．
19．（2022·河南·信阳文华寄宿学校七年级期末）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过
点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；
(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)CD∥OE，理由见解析
【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可证明
∠AOE=∠ODG；
（2）证明∠EOC=∠C，利用内错角相等两直线平行，即可证明CD∥OE．
（1）
证明：∵OD⊥OE，
∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，
∵∠ODG+∠DOG=90°，
∴∠AOE=∠ODG；
（2）
解：CD∥OE．理由如下：
由（1）得∠AOE=∠ODG，
∵射线OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠EOC，
∵∠ODG=∠C，
∴∠EOC=∠C，∴CD∥OE．
【点睛】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确识图是解题的关
键．
20．（2022·内蒙古·扎赉特旗音德尔第三中学七年级期末）如图，两直线AB、CD相交于点O，OE平分
∠BOD，如果∠AOC：∠AOD=7：11．
(1)求∠COE；
(2)若OF⊥OE，∠AOC=70°，求∠COF．
【答案】(1)∠COE=145°
(2)∠COF=125°
【分析】（1）根据邻补角的性质和已知求出∠AOC和∠AOD的度数，根据对顶角相等求出∠BOD和
∠COB的度数，根据角平分线的定义求出∠BOE的度数，可以得到∠COE的度数；
（2）根据垂直的定义得到∠EOF=90°，根据互余的性质求出∠DOF的度数，计算得到答案．
（1）
解：∵∠AOC+∠AOD=180°，∠AOC：∠AOD=7：11，
∴∠AOC=70°，∠AOD=110°，
∴∠BOD=∠AOC=70°，∠COB=∠AOD=110°，
∵OE平分∠BOD，
1
∴∠BOE= ∠BOD=35°，
2
∴∠COE=∠COB+∠BOE=145°．
（2）
解：∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∵OE平分∠BOD，1
∴∠DOE= ∠BOD=35°，
2
∴∠DOF=90°−∠DOE=55°，
∴∠COF=180°−∠DOF=125°．
【点睛】本题考查的是邻补角的性质、对顶角的性质和角平分线的定义，掌握邻补角互补、对顶角相等和
垂直的定义是解题的关键．
21．（2022·全国·七年级期末）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分
∠AOC．
(1)若∠COE=54°，求∠DOF的度数；
(2)若∠COE∶∠EOF=2∶1，求∠DOF的度数．
【答案】(1)∠DOF=108°；
(2)∠DOF=112.5°．
【分析】（1）先由OE⊥AB得出∠AOE=∠BOE=90°，再根据角平分线定义求出∠COF=72°，然后由
∠DOF=180°-∠COF即可求解；
（2）设∠EOF=x°，则∠COE=2x°，则∠COF=3x°，再根据角平分线定义求出∠AOF=∠COF=3x°，所以
∠AOE=4x°，由垂直的定义可知∠AOE=90°，则4x=90，解之，求出x即可．
【详解】（1）解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°；
∵∠COE=54°，
∴∠AOC=∠AOE+∠COE=144°，
∵OF平分∠AOC，
1
∴∠COF= ∠AOC=72°，
2
∴∠DOF=180°-∠COF=108°；
（2）解：设∠EOF=x°，则∠COE=2x°，∴∠COF=3x°，
∵OF平分∠AOC，
∴∠AOF=∠COF=3x°，
∴∠AOE=4x°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∴4x=90，解得x=22.5，
∴∠COF=3x°=67.5°，
∴∠DOF=180°-∠COF=112.5°．
【点睛】本题考查了角的计算，根据垂直的定义、角的和差关系列方程进行求解，即可计算出答案，难度
适中．
22．（2022·江苏·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分
∠BOD，∠AOC=70°，∠COF=90°，求：
(1)∠BOD的度数；
(2)写出图中互余的角；
(3)∠EOF的度数．
【答案】(1)70°
(2)∠BOF与∠BOD互余，∠EOF与∠EOD互余，∠EOF与∠BOE互余，∠BOF与∠AOC互余
(3)55°
【分析】（1）根据对顶角相等即可得到∠BOD=∠AOC=70°；
（2）根据余角的定义求解即可；
（3）先根据角平分线的定义求出∠DOE=35°，则∠EOF=∠DOF-∠DOE=55°．
【详解】（1）解：由题意得∠BOD=∠AOC=70°；
（2）解：∵∠COF=90°，
∴∠DOF=180°-∠COF=90°，∴∠BOF+∠BOD=90°，∠EOF+∠EOD=90°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE，
∴∠EOF+∠BOE=90°，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠BOF+∠AOC=90°，
∴∠BOF与∠BOD互余，∠EOF与∠EOD互余，∠EOF与∠BOE互余，∠BOF与∠AOC互余；
（3）解：∵∠BOD=70°，OE平分∠BOD，
∴∠DOE=35°，
∴∠EOF=∠DOF-∠DOE=55°．
【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，对顶角相等，余角的定义，熟知相关知识
是解题的关键.
23．（2022·全国·七年级期末）如图，点O为直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC．
(1)求∠AOD的度数；
2
(2)作射线OE，使∠BOE＝ ∠COE，求∠COE的度数；
3
(3)在（2）的条件下，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，且∠DOF＝3∠BOH，直接写出
∠AOH的度数．
【答案】(1)70°
(2)24°或120°
(3)175°或170°或140°
【分析】（1）根据平角定义和角平分线定义即可得结果；
（2）根据题意分两种情况画图：①如图1，当射线OE在AB上方时，②如图2，当射线OE在AB下方时，
2
∠BOE＝ ∠COE，利用角的和差进行计算即可；
3（3）根据题意分四种情况画图：①如图3，当射线OE在AB上方，OF在AB上方时，作∠FOH＝90°，使
射线OH在∠BOE的内部，∠DOF＝3∠BOH，②如图4，当射线OE在AB上方，OF在AB下方时，③如
图5，当射线OE在AB下方，OF在AB上方时，④如图6，当射线OE在AB下方，OF在AB下方时，利用
角的和差进行计算即可．
【详解】（1）解：∵∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝140°，
∵OD平分∠AOC，
1
∴∠AOD＝ ∠AOC＝70°；
2
2
（2）解：①如图1，当射线OE在AB上方时，∠BOE＝ ∠COE，
3
∵∠BOE＋∠COE＝∠BOC，
2
∴ ∠COE＋∠COE＝40°，
3
∴∠COE＝24°；
2
②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE＝ ∠COE，
3
∵∠COE﹣∠BOE＝∠BOC，
2
∴∠COE﹣ ∠COE＝40°，
3∴∠COE＝120°；
综上所述：∠COE的度数为24°或120°；
（3）解：①如图3，当射线OE在AB上方，OF在AB上方时，
作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，∠DOF＝3∠BOH，
设∠BOH＝x°，则∠DOF＝3x°，∠FOC＝∠COD﹣∠DOF＝70°﹣3x°，
∵∠AOH＝∠AOD＋∠DOF＋∠FOH＝70°＋3x°＋90°＝160°＋3x°，
∠EOH＝∠BOC﹣∠COE﹣∠BOH＝40°﹣24°﹣x°＝16°﹣x°，
∴∠FOH＝∠FOC＋∠COE＋∠EOH＝70°﹣3x°＋24°＋16°﹣x°＝90°，
∴x°＝5°，
∴∠AOH＝160°＋3x°＝175°；
②如图4，当射线OE在AB上方，OF在AB下方时，
∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°，
∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°，
∠AOF＋∠BOF＝180°，
∴3x°﹣70°＋90°﹣x°＝180°，
解得x°＝80°，
∵∠COB＝40°，∵80°＞40°，
∴x°＝80°不符合题意舍去；
③如图5，当射线OE在AB下方，OF在AB上方时，
∵∠AOF＝∠DOF＋∠AOD＝3x°＋70°，
∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°，
∠AOF＋∠BOF＝180°，
∴3x°＋70°＋90°﹣x°＝180°，
解得x°＝10°，
∴∠AOH＝180°﹣∠BOH＝180°﹣x°＝170°；
④如图6，当射线OE在AB下方，OF在AB下方时，
∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°，
∠BOF＝∠FOH＋∠BOH＝90°＋x°，
∠AOF＋∠BOF＝180°，
∴3x°﹣70°＋90°＋x°＝180°，
解得x°＝40°，
∴∠AOH＝∠AOF＋∠FOH＝50°＋90°＝140°，综上所述：∠AOH的度数为175°或170°或140°．
【点睛】本题考查了角的计算，解决本题的关键是分情况画图讨论．
24．（2022·河北·保定市满城区白龙乡龙门中学七年级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD
于点O．
(1)若∠AOC=36°，求∠BOE的度数；
(2)若∠BOD:∠BOC=1:5，求∠AOE的度数．
【答案】(1)54°
(2)120°
【分析】（1）先由垂直的定义得到∠EOD=90°，再由对顶角相等得到∠BOD=∠AOC=36°，由此求解即可；
（2）根据平角的定义结合已知条件求出∠BOD的度数，进而求出∠BOE的度数，最后根据平角的定义即
可求出∠AOE的度数．
【详解】（1）解：∵EO⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∵∠AOC=36°，
∴∠BOD=∠AOC=36°，
∴∠BOE=∠EOD-∠BOD=54°；
（2）解：∵∠BOD：∠BOC=1：5，
∴∠BOC=5∠BOD，
∵∠BOC+∠BOD=180°，
∴6∠BOD=180°，
∴∠BOD=30°，
∵EO⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∴∠BOE=∠EOD-∠BOD=60°，∴∠AOE=180°-∠BOE=120°．
【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，垂线的定义，对顶角，熟知相关知识是解题的关键．
25．（2022·浙江丽水·七年级期末）如图，直线AE与CD相交于点B，BF⊥AE．
(1)若∠DBE＝60°，求∠FBD的度数；
(2)猜想∠CBE与∠DBF的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)30°．
(2)∠CBE= 90°＋∠DBF，理由见解析
【分析】（1）由垂线的定义可得∠DBF＋∠DBE=90°，结合已知条件即可求解．
（2）根据∠CBE=∠ABD，∠ABD=∠ABF+∠DBF，可得∠CBE=∠ABF＋∠DBF． 由BF⊥AE，得出
∠ABF=90°， 即∠CBE= 90°＋∠DBF．
（1）
解：∵BF⊥AE，
∴∠DBF＋∠DBE=90°，
∵∠DBE=60°，
∴∠DBF=90°－∠DBE=30°．
（2）
∠CBE=∠DBF ＋90°．理由如下：
∵∠CBE=∠ABD，∠ABD=∠ABF+∠DBF，
∴∠CBE=∠ABF＋∠DBF．
∵BF⊥AE，
∴∠ABF=90°，
∴∠CBE= 90°＋∠DBF．
【点睛】本题考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
26．（2022·陕西延安·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC．若2
∠EOC= ∠EOD，求∠BOD的度数．
3
【答案】36°
【分析】根据平角的定义可求出∠EOD=108°，∠EOC=72°，再根据角平分线的定义以及对顶角相等
得出答案．
2
【详解】解：∵∠EOC= ∠EOD，∠EOC+∠EOD=180°，
3
2 2
∴∠EOD=180°÷(1+ )=108°，∠EOC= ∠EOD=72°，
3 3
∵OA平分∠EOC．
1
∴∠AOC=∠AOE= ∠EOC=36°，
2
∴∠BOD=∠AOC=36°．
【点睛】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，解题的关键是理解对顶角、邻补角以及角平分线的定义
是正确解答的前提．
27．（2022·江苏·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两
2
个角，且∠AOE= ∠EOC．请回答下列问题：
3
(1)∠AOE度数是 ；∠DOE度数是 ；
(2)将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．①如图2，当OF平分∠BOE时，OB是否平分∠DOF？请说明其理由；
②当OA⊥OF时，请求出α的度数．
【答案】(1)75°；135°
(2)①平分，理由见解析；②60°或者240°
【分析】（1）对于求解∠AOE与∠DOE的度数，首先从∠BOD=75°分析，它们之间有什么关系．根据对
顶角相等，以及给出的角关系比例即可求出2个角的度数；
（2）要想得出OB是否平分∠DOF的结论，需要求出∠BOD与∠BOF的度数，进行比较即可得出结论；
②考虑到有两种情况即可，即为OF在如图所示位置与OF在上方位置．
【详解】（1）∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠BOD＝∠AOC＝75°
2
∵∠AOE＝ ∠COE，
3
5
∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝ ∠COE＝75°，
3
∴∠COE＝45°，
∴∠AOE＝30°，
∵∠AOD＝180°﹣∠BOD＝105°，
∠DOE＝∠AOE+∠AOD＝30°+105°＝135°，
故答案为：75°，135°；
（2）①当OF平分∠BOE时
1 1 1
∵∠BOF＝ ∠BOE＝ （∠COE+∠BOC）＝ ×150°＝75°，
2 2 2
∴∠BOF＝∠BOD＝75°，
∴当OF平分∠BOE时，OB是平分∠DOF．
②当OA⊥OF时，且OF在下方时，
∵∠COF＝90°﹣∠AOC＝90°﹣75°＝15°，
∴α＝∠COE+∠COF＝45°+15°＝60°，
当OA⊥OF时，且OF在上方时，OF相当于比在下方时多旋转了180°，
∴α＝60°+180°＝240°．
综上所述：当OA⊥OF时，α的度数为60°或者240°．
【点睛】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．28．（2022·广西百色·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝60°，射线OE把∠BOD分
成两个角，且∠BOE：∠EOD＝2：3．
(1)求∠BOE的度数．
(2)过点O作射线OF⊥OE，求∠DOF的度数．
【答案】(1)24°
(2)54°或126°
【分析】（1）设∠BOE＝2x，则∠EOD＝3x；有对顶角相等可得∠BOD＝∠AOC＝60°，再由∠BOD＝
∠BOE+∠DOE列关于x的方程求得x，进而求得∠BOE;
（2）如图1、图2分两种情况，分别根据余角和角的和差计算即可．
（1）
解：（1）设∠BOE＝2x，则∠EOD＝3x，
∵∠AOC＝60°，
∴∠BOD＝∠AOC＝60°，
∵∠BOD＝∠BOE+∠DOE，
∴2x+3x＝60°，
∴x＝12°，
∴∠BOE＝2×12°＝24°．
（2）
解：如图1，
∵OF⊥OE，
∴∠FOE＝90°，
∵∠DOE＝60°-24°=36°，
∴∠DOF＝∠FOE﹣∠DOE＝90°﹣36°＝54°；如图2，
∵OF⊥OE，
∴∠FOE＝90°，
∴∠DOF＝∠FOE+∠EOD＝90°+36°＝126°．
∴∠DOF的度数是54°或126°．
【点睛】本题主要考查了对顶角相等、角的和差、垂直、余角等知识点，灵活运用相关知识和方程思想成
为解答本题的关键．
29．（2022·全国·七年级课时练习）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．
将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
(1)将图1中的三角板绕点O处逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部．且恰好平分∠BOC，求
∠CON的度数；
(2)在图3中，延长线段NO得到射线OD，判断OD是否平分∠AOC，请说明理由．(3)将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线
ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为______．（直接写出答案）
【答案】(1)∠CON=150°
(2)OD平分∠AOC；理由见解析
(3)30或12秒
【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；
（2）先由对顶角性质得∠AOD=∠BON=30°，再由∠DOC=∠AOC−∠AOD=60°−30°=30°，得
∠AOD=∠BON，从而得出结论；
（3）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，则∠AON=30°或∠NOR=30°，即顺时针旋转300°或120°时ON平分
∠AOC，据此求解．
【详解】（1）解：∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=120°，
∵OM恰好平分∠BOC，
1
∴∠BOM= ∠BOC=120°÷2=60°，
2
∴∠COM=180°−∠AOC−∠BOM=60°，
∴∠CON=∠COM+∠MON=60°+90°=150°；
（2）解：∵∠AOD=∠BON（对顶角），∠BON=30°．
∴∠AOD=30°，
又∵∠AOC=60°，
∴∠DOC=∠AOC−∠AOD=60°−30°=30°．
∴∠AOD=∠BON
∴OD平分∠AOC
（3）解：30或12．
设三角板绕点O旋转的时间是x秒，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=60°，
如图，当ON的反向延长线OF平分∠AOC时，1
∠AOF= ∠AOC=30°，
20
∴∠BON=∠AOF=30°，
∴ON旋转的角度是90°+180°+30°=300°，
∴10x=300，
∴x=30；
如图，当ON平分∠AOC时，
1
∠CON= ∠AOC=30°，
2
∴ON旋转的角度是90°+30°=120°，
∴10x=120，
∴x=12，
综上，x=30或x=12，
即此时三角板绕点O旋转的时间是30或12秒．
【点睛】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的
关键．
30．（2022·辽宁·沈阳市第七中学七年级期中）【实践操作】三角尺中的数学．(1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，∠ACD=∠ECB=90°．
①若∠ECD=35°，则∠ACB=______；若∠ACB=140°，则∠ECD=_____；
②猜想：请直接写出∠ACB与∠ECD的数量关系：_______．
(2)如图乙若是两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点虫重合在一起，∠ACD=∠AFG=90°，则请直接写
出∠GAC与∠DAF的数量关系______；
(3)已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是锐角），如图3，若把它们的顶点O重合在一起，请直接写
出∠AOD与∠BOC的数量关系： _______．
【答案】(1)①145°，40°；②∠ACB+∠ECD=180°
(2)∠GAC+∠DAF=120°
(3)∠AOD+∠BOC=α+β
【分析】（1）①本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求
出∠ACB，∠DCE的度数；②根据前两个小问题的结论猜想∠ACB与∠ECD的大小关系，结合前两问
的解决思路得出证明；
（2）根据（1）解决思路确定∠GAC与∠DAF的大小并证明；
（3）由于∠AOB=α，∠COD=β（α，β都是锐角），而∠AOD=∠AOB+∠COD−∠BOC，进
而得出结论．
【详解】（1）①∵∠ECB=90°，∠DCE=35°，
∴∠DCB=90°−35°=55°，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=145°，
∵∠ACB=140°，∠ACD=90°，
∴∠DCB=140°−90°=50°，
∵∠ECB=90°，
∴∠DCE=90°−50°=40°，故答案为：145°，40°；
②猜想得∠ACB+∠ECD=180°（或∠ACB与∠ECD互补），
理由：∵∠ECB=90°，∠ACD=90°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB， ∠DCE=∠ECB−∠DCB=90°−∠DCB，
∴∠ACB+∠ECD=180°；
故答案为：∠ACB+∠ECD=180°
（2）∠GAC+∠DAF=120°，
理由如下：由于∠GAC=∠GAD+∠DAF+∠FAC，
故∠GAC+∠DAF =∠GAD+∠DAF+∠FAC+∠DAF =∠GAF+∠DAC =60°+60° =120° ；
故答案为：∠GAC+∠DAF=120°
（3）∠AOD+∠BOC=α+β，
理由：∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠BOD=∠COD−∠BOC，
∴∠AOD=∠AOB+∠COD−∠BOC ，
即∠AOD=α+β−∠BOC，
∴∠AOD+∠BOC=α+β．
故答案为：∠AOD+∠BOC=α+β
【点睛】本题考查余角与补角，掌握互为余角、互为补角的意义以及图形中角的和差关系是正确解答的关
键．
