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【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题9.8不等式（组）的新定义问题大题专练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压
轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己
的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．（2022春•庐阳区校级期中）对于任意实数m、n，定义一种新运算：m*n＝m﹣3n+7，等式右边是通常
的加减运算，例如：2*3＝2﹣3×3+7＝0．
（1）（8*2）的平方根为 ；
（2）若关于x的不等式组3t＜2*x＜7解集中恰有3个整数解，求t的取值范围．
2．（2021春•嘉鱼县期末）定义一种新运算“a△b”：当a≥b时，a△b＝a+2b；当a＜b时，a△b＝a﹣
2b．例如：3△（﹣4）＝3+2×（﹣4）＝﹣5，1△2＝1﹣2×2＝﹣3．
（1）填空：（﹣4）△3＝ ；（直接写结果）
（2）若（3m﹣4）△（m+6）＝（3m﹣4）+2（m+6），求m的取值范围；
（3）已知（3x﹣7）△（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围．
3．阅读下面材料：对于实数p，q，我们定义符号max{p，q}的意义为：当p≤q时，max{p，q}＝q；当p
＞q时，max{p，q}＝p，如：max{2．﹣1}＝2；max{3，3}＝3．根据上面的材料回答下列问题：
（1）max{﹣1，3}＝ ；
3x−1 2x+1 2x+1
（2）当max{ ， }= 时，求x的取值范围．
2 3 3
4．（2020春•朝阳区校级期中）请你根据右框内所给的内容，完成下列各小题．
（1）若m n＝1，m 2n＝﹣2，分别求出m和n的值；
（2）若m⊕满足m 2≤⊕0，且3m （﹣8）＞0，求m的取值范围．
我们定义一个关于⊕有理数a，b的⊕新运算，规定：
a b＝4a﹣3b．
例如：5 6＝4×5﹣3×6＝2．
⊕
5．（2022春•如皋市期⊕末）对于任意实数m，n，定义一种新运算：m◎n＝m+n﹣5，其中，等式右边是通
常的加减运算．如：2◎3＝2+3﹣5＝0．若关于x的不等式组t＜2◎x＜7恰有3个整数解，求t的取值范
围．
6．（2022春•新郑市期末）对于任意实数x，y定义一种新运算“#”：x#y＝xy+x﹣y．例如，3#5＝3×5+3﹣5＝13．
（1）解不等式：3#x＜4；
（2）若m＜2#x＜9，且该不等式组的解集中恰有两个整数解，请直接写出m的取值范围．
7．（2018春•房山区期中）定义：对于任何有理数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．
例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣1.5]＝﹣2．
（1）[﹣ ]＝ ；
π x−1
（2）如果[ ]＝﹣5，求满足条件的所有整数x；
2
（3）直接写出方程6x﹣3[x]+7＝0的解 ．
8．（2022春•唐县期末）规定min（m，n）表示m，n中较小的数（m，n均为实数），例如：min{3，﹣
1}＝﹣1，min{√2，√2}=√2据此解决下列问题：
（1）min{﹣2，﹣3}＝ ；
（2）若min{3x﹣1，2}＝2，求x的取值范围；
3
9．（2022 春•大观区校级期中）在实数范围内定义一种新运算“ ”其运算规则为：a b＝2a−
2
⊕ ⊕
3
（a+b），如1 5＝2×1− （1+5）＝﹣7．
2
⊕
（1）若x 4＝0，则x＝ ．
（2）若关⊕于x的方程x m＝﹣2 （x+4）的解为非负数，求m的取值范围．
10．（2022春•三水区校级⊕期中）定⊕义一种新运算“a※b”：当a≥b时，a※b＝2a+b；当a＜b时，a※b
＝2a﹣b．
例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※12＝2×（﹣6）﹣12＝﹣24．
（1）填空；（﹣3）※2＝ ；（2x2+2x+2）※（x2﹣4）＝ ；
（2）若（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），则x的取值范围为 ．
（3）已知（2x﹣6）※（9﹣3x）＜7，求x的取值范围．
11．（2018•余姚市模拟）请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题．
（1）若x y＝1，x 2y＝﹣2，分别求出x和y的值；
（2）若x⊕满足x 2≤⊕0，且3x （﹣8）＞0，求x的取值范围．
⊕ ⊕12．（2022•南京模拟）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a+2b；当a＜b时，a*b＝a﹣2b．
例如：3*（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）*12＝﹣6﹣24＝﹣30．
（1）填空：（﹣4）*3＝ ．
（2）若（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），则x的取值范围为 ；
（3）已知（3x﹣7）*（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围；
（4）计算（2x2+4x+8）*（x2+4x﹣2）．
13．（2020•张家界）阅读下面的材料：
对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}
＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）min{﹣1，3}＝ ；
2x−3 x+2 x+2
（2）当min{ ， }= 时，求x的取值范围．
2 3 3
{x−y=11−m
14．（2021春•罗湖区校级期末）已知关于x、y的方程组 ．
x+ y=7−3m
{x−y=11−m
（1）当m＝2时，请解关于x、y的方程组 ；
x+ y=7−3m
{x−y=11−m
（2）若关于x、y的方程组 中，x为非负数、y为负数，
x+ y=7−3m
①试求m的取值范围；
②当m取何整数时，不等式3mx+2x＞3m+2的解为x＜1．
15．（2020春•海淀区校级期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程
为该不等式组的关联方程．
2 {−x+2＞x−5
（1）在方程①3x﹣1＝0；② x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组 关联方
3 3x−1＞−x+2
程是 （填序号）．{ 1
x− ＜1
（2）若不等式组 2 的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是
1+x＞−3x+2
（写出一个即可）．
1 {x＜2x−m
（3）若方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+ ）都是关于x的不等式组 的关联方程，试求出m的
2 x−2≤m
取值范围．
16．（2019春•宜宾期末）定义：对于任何有理数m，符号[m]表示不大于m的最大整数．例如：[4.5]＝
4，[8]＝8，[﹣3.2]＝﹣4．
（1）填空：[ ]＝ ，[﹣2.1]+5＝ ；
5−π2x
（2）如果[ ]＝﹣4，求满足条件的x的取值范围；
3
（3）求方程4x﹣3[x]+5＝0的整数解．
17．（2020春•西城区校级期中）阅读理解：我们把对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为《x》，即
1 1
当n为非负整数时，若n− ≤x＜n+ ，则《x》＝n．例如：《0.67》＝1，《2.49》＝2，…．请解决下
2 2
列问题：
（1）《√2》＝ ；
（2）若《2x﹣1》＝5，则实数x的取值范围是 ；
（3）①《2x》＝2《x》；
②当m为非负整数时，《m+2x》＝m+《2x》；
3
③满足《x》= x的非负实数x只有两个，其中结论正确的是 ．（填序号）
2
18．（2022春•定远县期末）阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作[x]．
例如，[3.2]＝3，[5]＝5，[﹣2.1]＝﹣3，那么，x＝[x]+a，其中0≤a＜1．
例如，3.2＝[3.2]+0.2，5＝[5]+0，﹣2.1＝[﹣2.1]+0.9．
请你解决下列问题：
（1）[4.8]＝ ，[﹣6.5]＝ ；
（2）如果[x]＝5，那么x的取值范围是 ；
（3）如果[5x﹣2]＝3x+1，那么x的值是 ；
（4）如果x＝[x]+a，其中0≤a＜1，且4a＝[x]+1，求x的值．
19．（2021春•镇江期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．即当n为非负整数时，若n1 1
− ≤x＜n+ ，则＜x＞＝n．如：＜3.2＞＝3，＜3.5＞＝4，＜3.8＞＝4．根据以上材料，解决下列问
2 2
题：
（1）填空：＜3.45＞＝ ；
（2）若＜2x+1＞＝3，求x满足的条件；
（3）下面两个命题：①如果x≥0，m为非负整数，那么＜x+m＞＝m+＜x＞；②如果x≥0，k为非负
整数，那么＜kx＞＝k＜x＞；请判断在这两个命题中属于假命题的是 ，并举反例说明；
2
（4）满足＜x＞= x+1的所有非负实数x的值为 ．
3
20．（2020春•崇川区校级期末）若x为实数，定义：[x]表示不大于x的最大整数．
（1）例如[1.6]＝1，[ ]＝ ，[﹣2.82]＝ ．（请填空）
（2）[x]+1是大于x的π最小整数，对于任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，利用这个不等式，求
出满足[x]＝2x﹣1的所有解．
21．（2018春•开州区期末）设x是实数，现在我们用{x}表示不小于x的最小整数，如{3.2}＝4，{﹣2.6}
＝﹣2，{4}＝4，{﹣5}＝5．在此规定下任一实数都能写出如下形式：x＝{x}﹣b，其中0≤b＜1．
（1）直接写出{x}与x，x+1的大小关系是 （由小到大）；
（2）根据（1）中的关系式解决下列问题：
①求满足{3x+11}＝6的x的取值范围；
1
②解方程：{3.5x+2}＝2x− ．
4
22．（2022•南京模拟）阅读材料：
我们定义一个关于有理数a，b的新运算，规定：a b＝4a﹣3b．例如：5 6＝4×5﹣3×6＝2．完成下列
各小题． ⊕ ⊕
（1）若a b＝1，a 2b＝﹣5，分别求出a和b的值；
（2）若m⊕满足m 2⊕≤0，且3m （﹣8）＞0，求m的取值范围．
23．（2020春•长沙⊕期末）对x、y⊕定义一种新运算F，规定：F（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常
数）．例如：F（2，3）＝2a+3b．
（1）已知F（2，﹣1）＝﹣1，F（3，0）＝3．
①求a，b的值．
②已知关于p的不等式组{ F(3−2p，3)≥4 求p的取值范围；
F(2，2−3p)＜−1（2）若运算F满足{−2＜F(1，2)≤4，请你求出F（k，k）的取值范围（用含k的代数式表示，这
−1＜F(2，1)≤5
里k为常数且k＞0）．
24．（2021春•朝阳区校级期末）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整．
{x−y=2
问题：在关于x，y的二元一次方程组 中，x＞1，y＜0，求a的取值范围．
x+ y=a
分析：在关于x、y的二元一次方程组中，利用参数a的代数式表示x，y，然后根据x＞1，y＜0列出关
于参数a的不等式组即可求得a的取值范围．
a+2 a+2
{x= { ＞1
解：由{x−y=2解得 2 ，又因为x＞1，y＜0，所以 2 解得 ．
x+ y=a a−2 a−2
y= ＜0
2 2
（2）请你按照上述方法，完成下列问题：
①已知x﹣y＝4，且x＞3，y＜1，求x+y的取值范围；
{ 2x−y=−1
②已知a﹣b＝m，在关于x，y的二元一次方程组 中，x＜0，y＞0，请直接写出a+b的
x+2y=5a−8
取值范围 （结果用含m的式子表示）．
25．（2021•椒江区校级开学）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a b＝a﹣3b+7，等式右边是通常的
加减运算，例如：3 5＝3﹣3×5+7＝﹣5． ⊕
（1）7 4＝ ⊕；√2⊕(√2−1)= ．
（2）若⊕2x y＝12，x 3＝2y，求xy的平方根；
（3）若3m⊕＜2 x＜7，⊕且解集中恰有3个整数解，求m的取值范围．
26．（2020春•微山⊕县期末）阅读新知
mx+ny
现对x，y进行定义一种运算，规定f（x，y）= （其中m，n为常数且mn≠0），等式的右边就
2
是加、减、乘、除四则运算．例如：
m×2+n×0
f（2，0）= =m
2
应用新知
（1）若f（1，1）＝5，f（2，1）＝8，求m，n的值；
拓展应用9
（2）已知f（﹣3，0）＞﹣3，f（3，0）＞− ，且m+n＝16，请你求出符合条件的m，n的整数值．
2
27．（2020春•邗江区期末）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a+2b；当a＜b时，a*b＝a﹣
2b．例如：3*（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）*12＝﹣6﹣24＝﹣30．
（1）填空：（﹣4）*3＝ ．
（2）若（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），则x的取值范围为 ．
（3）计算（2x2﹣4x+7）*（x2+2x﹣2）＝ ．
（4）已知（3x﹣7）*（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围．
28．（2020•河北模拟）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n＝mn﹣3n．
例如4☆2＝4×2﹣3×2＝8﹣6＝2，请根据上述知识解决下列问题：
1
（1）x☆ ＞4，求x取值范围；
2
1
（2）若|x☆（− ）|＝3，求x的值；
4
（3）若方程x☆□x＝6，□中是一个常数，且此方程的一个解为x＝1，求□中的常数．
29．（2021春•海州区期末）对x，y定义一种新运算F，规定：F（x，y）＝（mx+ny）（3x﹣y）（其中
m，n均为非零常数）．例如：F（1，1）＝2m+2n，F（﹣1，0）＝3m．
（1）已知F（1，﹣1）＝﹣8，F（1，2）＝13．
①求m，n的值；
②关于a的不等式组{F(a，3a+1)＞−95，求a的取值范围；
F(5a，2−3a)≥340
（2）当x2≠y2时，F（x，y）＝F（y，x）对任意有理数x，y都成立，请直接写出m，n满足的关系式．
30．（2021春•大连期末）对x，y定义一种新的运算P，规定：P（x，y） {mx+ny，(x≥ y)（其中
=
nx+my，(x＜y)
mn≠0）．已知P（2，1）＝7，P（﹣1，1）＝﹣1．
（1）求m、n的值；
{ P(2a，a−1)＜4
（2）若a＞0，解不等式组 ．
1 1
P(− a−1，− a)≤−5
2 3
