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【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题6.10实数与数轴大题提升训练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压
轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己
的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．（2022秋•郓城县期中）如图，数轴的正半轴上有A、B、C三点，点A、B表示数1和 ．点B到点A
的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x．
（1）请你求出数x的值．
（2）若m为x﹣2的相反数，n为x﹣2的绝对值，求m+n．
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离求出AB之间的距离即为x的值；
（2）根据题意及x的值求出m和n的值，再把m，n代入所求代数式进行计算即可．
【解答】解：（1）∵点A，B表示的数分别是1和 ，
∴ ，
∴ ，
∴点C表示的数 ；
（2）由（1）知 ，
∴ ，
∴m＝3﹣ ， ，
∴m+n＝6﹣2 ．
2．（2022秋•三元区期中）如图，数轴的正半轴上有A，B两点，表示1和 的对应点分别为A，B，点
C，D在数轴上，点B到点A的距离与点C到点D的距离相等，设点C所表示的数为x．
（1）当D所表示的数为0且C在D的右边时，求出x的值；
（2）当D所表示的数为﹣2 时，求出x的值．【分析】（1）根据数轴上两点间的距离求出AB之间的距离即为x的值；
（2）分C在D的左边和右边两种情况确定x的值．
【解答】解：（1）∵点A．B分别表示1， ，
∴AB＝ ﹣1，即x＝ ﹣1；
（2）当C在D的左边时：
∵D所表示的数为﹣2 ，AB＝ ﹣1，
∴x＝﹣2 ﹣（ ﹣1）＝﹣3 +1；
当C在D的右边时：
∵D所表示的数为﹣2 ，AB＝ ﹣1，
∴x＝﹣2 + ﹣1＝﹣ ﹣1．
综上所述，x的值为﹣3 +1或﹣ ﹣1．
3．（2022秋•北仑区期中）如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示﹣
，设点B所表示的数为m，
（1）求m的值．
（2）求|m﹣3|+m+2的值．
【分析】（1）根据数轴上的点运动规律：右加左减的规律可求出m的值；
（2）主要将m的值代入到代数式中即可，只要注意运算的顺序和绝对值的计算方法即可．
【解答】解：（1）∵蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，
∴点B所表示的数比点A表示的数大2，
∵点A表示 ，点B所表示的数为m，
∴m＝﹣ +2；
（2）|m﹣3|+m+2
＝|﹣ +2+3|﹣ +2+2
＝5﹣ ﹣ +4
＝9﹣2 ．
4．（2022秋•鄞州区期中）“数形结合”是重要的数学思想．如：|3﹣（﹣2）|表示3与﹣2差的绝对值，
实际上也可以理解为3与﹣2在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点 A，B所
对应的数分别用a，b表示，那么A，B两点之间的距离表示为AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上﹣2和5这两点之间的距离为 7 ．
（2）若x表示一个实数，|x+2|+|x﹣4|的最小值为 6 ．
（3）直接写出所有符合条件的x，使得|x﹣2|+|x+5|＝9，则x的值为 3 或﹣ 6 ．
【分析】（1）利用数轴直观得出答案．
（2）x在﹣2到4之间值最小，两点之间线段最短．
（3）2到﹣5之间是7，与9相差2，分到两段中，每段加1，得出结果．
【解答】解：（1）|（﹣2）﹣5|＝7．
（2）当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣4|＝﹣2x+2＞6；
当﹣2≤x≤4时，|x+2|+|x﹣4|＝6；
当x＞4时，|x+2|+|x﹣4|＝2x﹣2＞6，
故|x+2|+|x﹣4|最小值为6．
（3）当x＜﹣5时，|x﹣2|+|x+5|＝﹣（x﹣2）﹣（x+5）＝﹣2x﹣3＝9，
解方程得：x＝﹣6；
当﹣5≤x≤2时，|x﹣2|+|x+5|＝7，无解；
当x＞2时，|x﹣2|+|x+5|＝2x+3＝9，
解方程得：x＝3．
故x的值为﹣6或3．
5．（2022秋•义乌市校级期中）如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B
表示数 ，设点A所表示的数为m．
（1）实数m的值是 ﹣ 2 ；
（2）求（m+2）2+|m+1|的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与 互为相反数，求2c+3d+8的平方
根．
【分析】（1）m比 小2；
（2）结合（1），把m的值代入计算即可；
（3）求出c，d，代入2c+3d+8，可得到答案．
【解答】解：（1）根据题意：m＝ ﹣2，
故答案为： ﹣2；
（2）当m＝ ﹣2时，（m+2）2+|m+1|
＝（ ﹣2+2）2+| ﹣2+1|
＝5+ ﹣1
＝4+ ；
（3）∵|2c+4|与 互为相反数，
∴|2c+4|+ ＝0，
∴2c+4＝0，d﹣4＝0，
解得c＝﹣2，d＝4，
∴2c+3d+8＝2×（﹣2）+3×4+8＝16，
∴2c+3d+8的平方根，即16的平方根为±4．
6．（2022秋•拱墅区期中）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且满足|a|＝|b|＝2|﹣c|＝4．
（1）求a，b，c的值；
（2）求|a﹣2b|+|﹣b+c|+|c﹣3a|的值．
【分析】（1）根据数轴上点的位置及绝对值求解；
（2）把（1）中求得的数值代入求解．
【解答】解：（1）∵a＜0，b＞0，c＞0，且满足|a|＝|b|＝2|﹣c|＝4，
∴a＝﹣4，b＝4，c＝2；
（2）|a﹣2b|+|﹣b+c|+|c﹣3a|
＝|﹣4﹣8|+|﹣4+2|+|2+12|
＝12+2+14
＝28．
7．（2022春•巴东县期末）如图，数轴的正半轴上有A、B、C三点，表示1和 的对应点分别为A、B，
点B到点A的距离与点C到原点的距离相等．设点C对应的数为x．
（1）求AC的长；
（2）求（ ）2的平方根．
【分析】（1）根据点B到点A的距离与点C到原点的距离相等求出x的值，根据AC＝AO﹣CO即可得
出答案；（2）把x的值代入代数式求值，再求平方根即可．
【解答】解：（1）根据题意得： ﹣1＝x﹣0，
∴x＝ ﹣1，
∴AC＝1﹣（ ﹣1）＝2﹣ ；
（2）∵x＝ ﹣1，
∴（x﹣ ）2＝（ ﹣1﹣ ）2＝（﹣1）2＝1，
∴（ ）2的平方根为±1．
8．（2022春•巨野县期末）在数轴上点A，B分别对应数1， ，点B关于点A的对称点为C，设点C所
对应的数为x，则x的值是多少？并求x（x﹣1）的值．
【分析】求出AB的长，表示出AC的长，根据对称可得AB＝AC，进而得到方程，求方程的解即可求出
x，再代入代数式求值即可．
【解答】解：由题意得：AB＝ ﹣1，AC＝1﹣x，
∵点B关于点A的对称点为C．
∴AB＝AC，
即： ﹣1＝1﹣x，
解得x＝2﹣ ，
当x＝2﹣ 时，x（x﹣1）＝（2﹣ ）（2﹣ ﹣1）＝4﹣3 ，
答：x（x﹣1）的值为4﹣3 ．
9．（2022春•望城区期末）如图：已知在数轴上点A表示﹣ ，点B表示 ；
（1）求出A、B两点间的距离；
（2）点C在数轴上满足AC＝2AB，写出点C所表示的数．
【分析】（1）利用两点间的距离公式计算即可；
（2）利用两点间的距离公式计算即可；
【解答】解：（1）
＝ ；
（2）设点C表示的数是x，∵AC＝2AB，
∴|x﹣（﹣ ）|＝2（ ），
∴x+ ＝ ，
∴x ＝2 ，x ＝﹣3 ．
1 2
所以点C表示的数是2 或﹣3 ．
10．（2021秋•封丘县期末）如图，数轴上点B，C关于点A成中心对称，若点A表示的数是1，点B表示
的数是﹣ ．
（1）填空：线段AB的长是 +1 ，点C表示的数为 +2 ；
（2）点C表示的数为a，a的小数部分为b，求ab的值．
【分析】（1）根据两点间的距离公式可得AB的长，根据对称可得AC＝AB，可知点C表示的数；
（2）由题意可得a＝ +2，b＝ ﹣2，再代入可得ab的值．
【解答】解：（1）∵点A表示的数是1，点B表示的数是﹣ ，
∴AB＝1﹣（﹣ ）＝ +1．
∵点B，C关于点A成中心对称，
∴AC＝AB＝ +1，
∴点C表示的数是1+ +1＝ +2．
故答案为： ， ；
（2）由（1）得，点C表示的数是 +2，
∴ ， ，
∴ ．
11．（2021秋•垦利区期末）如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示﹣ ，
设点B所表示的数为m．
（1）求m的值；
（2）求|m﹣1|+1的值．
【分析】（1）根据数轴表示数的意义即可求出答案；
（2）将m的值代入，再根据绝对值的意义进行计算即可．【解答】解：（1）∵点A表示 ，
∴点B所表示的数为 ，
即：m＝ ；
（2）∵m＝
∴原式＝
＝
＝
＝ ．
12．（2021秋•诸暨市期末）定义：有A、B两只电子跳蚤在同一条数轴上跳动，它们在数轴上对应的实数
分别为a、b．若实数a、b满足b＝3a+2时，则称A、B处于“和谐位置”，A、B之间的距离为“和谐
距离”．
（1）当A在原点位置，且A、B处于“和谐位置”时，“和谐距离”为 2 ．
（2）当A、B之间的“和谐距离”为2022时，求a、b的值．
【分析】（1）将a＝0代入b＝3a+2中得到b＝2，所以和谐距离为2；
（2）根据A，B的和谐距离为2022列出方程即可求解．
【解答】解：（1）将a＝0代入b＝3a+2中得到b＝2，
所以和谐距离为2；
故答案为：2；
（2）∵A，B处于和谐位置，
∴b＝3a+2，
∴|AB|＝|b﹣a|＝|2a+2|＝2022，
∴2a+2＝±2022，
∴a＝1010，b＝3032或a＝﹣1012，b＝﹣3034．
13．（2022春•越秀区校级期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示
﹣ ，设点B所表示的数为m．
（1）求|m+1|+|m﹣1|的值；
（2）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与 互为相反数，求2c﹣3d的平方
根．
【分析】（1）先化简每一个绝对值，然后再进行计算即可；（2）根据互为相反数的两个数相加和为0，求出c，d即可．
【解答】解：（1）由题意得：m＝ ，
∴m+1＞0，m﹣1＜0，
∴|m+1|+|m﹣1|
＝m+1+1﹣m
＝2；
（2）由题意得：|2c+d|+ ＝0，
∴2c+d＝0，d+4＝0，
∴d＝﹣4，c＝2，
∴2c﹣3d＝16，
∵16的平方根是±4，
∴2c﹣3d的平方根是±4．
14．（2021秋•唐山期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示 ，
设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是 2 ﹣ ．
（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与 互为相反数，求2c+3d的平方根．
【分析】（1）通过A，B在数轴上表示的数进行运算．
（2）化简绝对值进行运算．
（3）根据非负数的意义进行解答．
【解答】解：∵点B在点A右侧2个单位处，
∴点B所表示的数m为：﹣ +2，即2﹣ ．
故答案为：2﹣ ．
，则m+1＞0，m﹣1＜0，
∴|m+1|+|m﹣1|＝m+1+1﹣m＝2；
答：|m+1|+|m﹣1|的值为2．
（3）∵|2c+4|与 互为相反数，
∴ ，
∴|2c+4|＝0，且 ，解得：c＝﹣2，d＝4，
∴2c+3d＝8，
∴2c+3d的平方根为±2 ．
答：2c+3d的平方根为±2 ．
15．（2022春•前郭县期末）如图，数轴的正半轴上有 A、B、C三点，表示1和 的对应点分别为A，
B，点B到点A的距离与点C到原点的距离相等，设点C所表示的数为x．
（1）请你直接写出x的值；
（2）求（x﹣ ）2的平方根．
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离求出AB之间的距离即为x的值；
（2）把x的值代入所求代数式进行计算即可．
【解答】解：（1）∵点A．B分别表示1， ，
∴AB＝ ，即x＝ ；
（2）∵x＝ ，
∴原式＝ ＝ ＝1，
∴1的平方根为±1．
16．（2021秋•兰州期末）如图，已知点A、B是数轴上两点，O为原点，AB＝12，点B表示的数为4，点
P、Q分别从O、B同时出发，沿数轴向不同的方向运动，点P速度为每秒1个单位，点Q速度为每秒2
个单位，设运动时间为t，当PQ的长为5时，求t的值及AP的长．
【分析】根据题意可以分两种情况，然后根据题意和数轴即可解答本题．
【解答】解：∵AB＝12，0B＝4，
∴OA＝8，
当P向左，Q向右时，t+2t＝5﹣4，得t＝ ，
此时，OP＝ ，AP＝8﹣ ＝ ；
当P向右，Q向左时，t+2t＝5+4，得t＝3，此时，OP＝3，AP＝8+3＝11．
17．（2021秋•藤县期末）如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为10和15，点P从点A出发，以每
秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴
正方向运动，设运动时间为t秒．
（1）当0＜t＜5时，用含t的式子填空：BP＝ 5 ﹣ t ，AQ＝ 1 0 ﹣ 2 t ；
（2）当t＝2时，求PQ的值；
（3）当PQ＝AB时，求t的值．
【分析】（1）先求出当0＜t＜5时，P点对应的有理数为10+t＜15，Q点对应的有理数为2t＜10，再根
据两点间的距离公式即可求出BP，AQ的长；
（2）先求出当t＝2时，P点对应的有理数为10+2＝12，Q点对应的有理数为2×2＝4，再根据两点间的
距离公式即可求出PQ的长；
（3）由于t秒时，P点对应的有理数为10+t，Q点对应的有理数为2t，根据两点间的距离公式得出PQ
＝|2t﹣（10+t）|＝|t﹣10|，根据PQ＝AB列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵当0＜t＜5时，P点对应的有理数为10+t＜15，Q点对应的有理数为2t＜10，
∴BP＝15﹣（10+t）＝5﹣t，AQ＝10﹣2t．
（2）当t＝2时，P点对应的有理数为10+2＝12，Q点对应的有理数为2×2＝4，
所以PQ＝12﹣4＝8；
（3）∵t秒时，P点对应的有理数为10+t，Q点对应的有理数为2t，
∴PQ＝|2t﹣（10+t）|＝|t﹣10|，
∵PQ＝AB，
∴|t﹣10|＝5，
解得t＝15或5．
故t的值是15或5．
故答案为：5﹣t，10﹣2t．
18．（2021秋•绥宁县期末）如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．
（1）求出这个魔方的棱长．
（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使得A与﹣1重合，那么D在数轴上表示的数为 ﹣ 1 ﹣ 2
．
【分析】（1）根据正方体的体积公式可求这个魔方的棱长．
（2）根据魔方的棱长为4，所以小立方体的棱长为2，阴影部分由4个直角三角形组成，算出一个直角
三角形的面积乘以4即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长．
（3）根据两点间的距离公式可得D在数轴上表示的数．
【解答】解：（1） ．
答：这个魔方的棱长为4．
（2）∵魔方的棱长为4，
∴小立方体的棱长为2，
∴阴影部分面积为： ×2×2×4＝8，
边长为： ＝2 ．
答：阴影部分的面积是8，边长是2 ．
（3）D在数轴上表示的数为﹣1﹣2 ．
故答案为：﹣1﹣2 ．
19．（2022春•宁明县期末）如图所示，数轴的正半轴上有 A、B、C三点，表示1和 的对应点分别为
A、B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x．
（1）请你写出数x的值；
（2）求（x﹣ ）2的立方根．
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离求出AB之间的距离即为x的值；
（2）把x的值代入所求代数式进行计算即可．
【解答】解：（1）∵点A、B分别表示1， ，∴AB＝ ﹣1，即x＝ ﹣1；
（2）∵x＝ ﹣1，
∴原式＝ ＝ ，
∴1的立方根为1．
20．（2021春•南通期末）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简： +|a+b|+
﹣|b﹣c|．
【分析】直接利用数轴得出c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，再化简求解．
【解答】解：由数轴可得：c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，
原式＝c﹣a﹣b+（a+b）+（b﹣c）
＝b．
21．（2020秋•福山区期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2 个单位长度后到达点B，点A表示
的数是﹣ ，设点B所表示的数为m．
（1）求m的值；
（2）求|m﹣2 |+|2m﹣ |的值．
【分析】（1）根据数轴上右边的数总比左边的数大，求出﹣ 与 的和即可；
（2）把（1）中求出的m值代入计算即可．
【解答】解：（1）由题意得：
m＝﹣ + ＝ ，
∴m的值为 ；
（2）|m﹣2 |+|2m﹣ |
＝| ﹣2 |+|2 ﹣ |
＝|﹣ |+| |
＝
＝ ．22．（2020秋•滨江区期末）如图，顺次连结4×4方格四条边的中点，得到一个正方形 ABCD．设每一个
小方格的边长为1个单位．
（1）正方形ABCD的边长介于哪两个相邻的整数之间，请说明理由．
（2）如果把正方形ABCD放到数轴上，使得边AB与数轴重合，且点A与数轴的原点重合，数轴的单位
长度就是小方格的边长．请写出点B在数轴上所表示的数．
【分析】（1）利用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，求出正方形ABCD的面积，然后再求
出边长即可；
（2）点B在数轴上的位置有两种情况，点B在原点左侧，点B在原点右侧．
【解答】解：（1）正方形ABCD的边长介于两个相邻的整数2和3之间，
理由是：∵正方形ABCD的面积＝4×4﹣4× ×2×2＝8，
∴AB＝ ＝ ，
∵22＝4，32＝9，
∴4＜8＜9，
∴ ，
∴2＜ ＜3，
正方形ABCD的边长介于两个相邻的整数2和3之间；
（2）分两种情况：
当点B在原点左侧，点B在数轴上所表示的数是： ，
当点B在原点右侧，点B在数轴上所表示的数是： ，
∴点B在数轴上所表示的数是：± ．
23．（2021春•绥中县期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示﹣ ，
设点B所表示的数为m．
（1）求m的值；（2）求|m﹣1|+（m﹣6）的值．
【分析】（1）根据正负数的意义计算即可；
（2）根据去绝对值的法则和有理数加减法则即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意，A和B的距离为2，点A表示﹣ ，
∴B表示的数比A表示的数大2，
∴m＝﹣ +2；
（2）把m＝﹣ +2代入得：
|m﹣1|+（m﹣6）＝|﹣ +2﹣1|+（﹣ +2﹣6）
＝|1﹣ |﹣ ﹣4
＝ ﹣1﹣ ﹣4
＝﹣5．
24．（2021春•二道区期末）如图①，点O为数轴原点，OA＝3，正方形ABCD的边长为6，点P从点O
出发，沿射线OA方向运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，回答下列问题．
（1）点A表示的数为 3 ，点D表示的数为 9 ．
（2）t秒后点P对应的数为 2 t （用含t的式子表示）．
（3）当PD＝2时，求t的值．
（4）如图②，在点 P 运动过程中，作线段 PE＝3，点 E 在点 P 右侧，以 PE 为边向上作正方形
PEFG，当正方形PEFG与正方形ABCD重叠面积为6时，直接写出t的值．
【分析】（1）根据线段OA的长和正方形的边长可以求解．
（2）根据P点的运动速度与运动时间得出运动路程，对应数数轴得出结论．
（3）根据运动过程P点处于不同位置进行分类讨论．
（4）根据P点运动确定正方形的位置再去讨论重合面积为6时的t值．
【解答】解：（1）∵OA＝3，且O为数轴原点，在O的右侧，
∴A表示的数为3，
∵正方形的边长为6，
∴OD＝6+3＝9，∴D表示的数为9．
故答案是3，9；
（2）∵P点从O点开始运动且速度为每秒2个单位长度
∴OP＝2t，
故答案是2t．
（3）∵OP＝2t，OD＝9，
∴①当P点在D点左侧时，
9﹣2t＝2，
解得t＝3.5；
②当P点在D点右侧时，
2t﹣9＝2，
解得t＝5.5．
答：当PD＝2时，t的值是3.5或5.5．
（4）由题意得：
①当E点在D点左侧时，AE＝2t，
∴2t×3＝6，
解得t＝1；
②当E点在D点右侧时，
（9﹣2t）×3＝6，
解得：t＝3.5．
答：当正方形PEFG与正方形ABCD重叠面积为6时，t的值是1或3.5．
25．（2020秋•北碚区校级期末）众所周知，所有实数都可以用数轴上的点来表示．其中，我们将数轴上
表示正整数的点称为“正点”．取任意一个“正点”P，该数轴上到点P距离为1的点所对应的数分别
记为a，b（a＜b）．定义：若数m＝b3﹣a3，则称数m为“复合数”．例如：若“正点”P所表示的数
为3，则 a＝2，b＝4，那么 m＝43﹣23＝56，所以 56是“复合数”．【提示：b3﹣a3＝（b﹣a）
（b2+ab+a2）．】
（1）请直接判断12是不是“复合数”，并且证明所有的“复合数”与2的差一定能被6整除；
（2）已知两个“复合数”的差是42，求这两个“复合数”．
【分析】（1）直接利用定义进行判断12不是复合数，利用定义对复合数进行变形即可证明；
（2）借助（1）的证明，所有的复合数都可以写成6x2+2，设出两个复合数进行转化．
【解答】解：（1）12不是复合数，∵找不到两个整数a，b，使a3﹣b3＝12，
故12不是复合数；
设“正点”P所表示的数为x（x为正整数），
则a＝x﹣1，b＝x+1，
∴（x+1）3﹣（x﹣1）3
＝（x+1﹣x+1）（x2+2x+1+x2﹣1+x2﹣2x+1）
＝2（3x2+1）
＝6x2+2，
∴6x2+2﹣2＝6x2一定能被6整除．
（2）设两个复合数为6m2+2和6n2+2（m，n都是正整数），
∵两个“复合数”的差是42，
∴（6m2+2）﹣（6n2+2）＝42，
∴m2﹣n2＝7，
∵m，n都是正整数，
∴ ，
∴ ，
∴6m2+2＝98，6n2+2＝56，
这两个“复合数”为98和56．
26．（2021秋•绥宁县期末）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离记作AB．当A、
B两点中有一点为原点时，不妨设A点在原点．如图1所示，则AB＝OB＝|b|＝|a﹣b|．
当A、B两点都不在原点时：
（1）如图2所示，点A、B都在原点的右边，不妨设点A在点B的左侧，则AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b
﹣a＝|b﹣a|＝|a﹣b|．
（2）如图3所示，点A、B都在原点的左边，不妨设点A在点B的右侧，则AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣
b﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b|．
（3）如图4所示，点A、B分别在原点的两边，不妨设点A在原点的右侧，则AB＝OB+OA＝|b|+|a|＝a+
（﹣b）＝|a﹣b|．
回答下列问题：
（1）综上所述，数轴上A、B两点之间的距离AB＝ | a ﹣ b | ；（2）数轴上表示3和﹣5的两点A和B之间的距离AB＝ 8 ；
（3）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离AB＝ | x +5 | ，如果AB＝3，则x的值为 ﹣ 8 或
﹣ 2 ；
（4）若代数式|x+5|+|x﹣2|有最小值，则最小值为 7 ．
【分析】根据题目条件可得，两点间的距离用绝对值可以表示成|a﹣b|，利用此几何意义解决距离问题
即可．
【解答】解：（1）AB＝|a﹣b|（也可以填|b﹣a|）
（2）AB＝|3﹣（﹣5）|＝8
（3）AB＝|x﹣（﹣5）|＝|x+5|，即|x+5|＝3．
∴x+5＝3或者﹣3，解得x＝﹣2或﹣8．
（4）若代数式|x+5|+|x﹣2|有最小值，|x+5|+|x﹣2|的最小值即为数轴上表示﹣5与2两点间的距离，此时
最小值为|﹣5﹣2|＝7．
27．（2022秋•济南期末）已知数轴上两点A，B，其中A表示的数为﹣2，B表示的数为2，AB表示A，B
两点之间的距离．若在数轴上存在一点C，使得AC+BC＝n，则称点C为点A，B的“n节点”．例如图
1所示，若点C表示的数为0，有AC+BC＝2+2＝4，则称点C为点A，B的“4节点”
（1）若点C为点A，B的“n节点”，且点C在数轴上表示的数为﹣3，则n＝ 6 ；
（2）若点D为点A，B的“ 节点”，请直接写出点D在数轴上表示的数为 ± 2 ；
（3）若点E在数轴上（不与A，B重合），满足A，E两点之间的距离是B，E两点之间的距离的 倍，
且点E为点A，B的“n节点”，求n的值．
【分析】（1）根据新定义求解；
（2）设未知数，根据新定义列方程求解；
（3）先求点E表示的数，再计算n的值．【解答】解：（1）AC+BC＝（﹣2+3）+（2+3）＝6，
故答案为：6；
（2）设D表示的数为x，
则|x+2|+|x﹣2|＝4 ，
解得：x＝±2 ，
故答案为：±2 ；
（3）设E点表示的数是y，
则：|﹣2﹣y|＝ |2﹣y|，
解得：y＝6 ，
当y＝6+4 时，
n＝AE+BE＝8+4 +4+4 ＝12+8 ，
当y＝6﹣4 时，
n＝AE+BE＝8﹣4 +4 ﹣4＝4．
28．（2021秋•成都期末）如图，数轴上点M，N对应的实数分别为﹣6和8，数轴上一条线段AB从点M
出发（刚开始点A与点M重合），以每秒1个单位的速度沿数轴在M，N之间往返运动（点B到达点N
立刻返回），线段AB＝2，设线段AB的运动时间为t秒．
（1）如图1，当t＝2时，求出点A对应的有理数和点B与点N之间的距离；
（2）如图2，当线段AB从点M出发时，在数轴上的线段CD从点N出发（D在C点的右侧，刚开始点
D与点N重合），以每秒2个单位的速度沿数轴在N，M之间往返运动（点C到达点M立刻返回），
CD＝4，点P为线段AB的中点，点Q为线段CD的中点．
①当P点第一次到达原点O之前，若点P、点Q到数轴原点的距离恰好相等，求t的值；
②我们把数轴上的整数对应的点称为“整点”，当P，Q两点第一次在整点处重合时，请求出此时点C
对应的数．
【分析】（1）根据起始点求出点A和点B对应的数，进而可得答案；
（2）①分别用含t的代数式表示出点P和点Q，再分情况列方程即可；
②当0＜t≤5时，点P与点Q重合时不在整点处；当5＜t≤10时，由题意得﹣5+t＝﹣4+2（t﹣5），解方程可得答案．
【解答】解：（1）点A起始点在﹣6处，当t＝2时，
∵﹣6+1×2＝﹣4，
∴点A对应的有理数为﹣4，点B起始点在﹣4处，当t＝2时，
∵﹣4+1×2＝﹣2，
∴点B对应的有理数为﹣2，
∴点B与点N之间的距离为10；
（2）①点P起始点在﹣5处，当运动时间为t秒时，
∵0＜t≤5，
∴此时点P一直往右运动，
∴点P对应的有理数为﹣5+t，
点Q起始点在6处，当运动时间为t秒时，
∵0＜t≤5，
∴此时点Q一直往左运动，
∴点Q对应的有理数为6﹣2t，
∵点P、点Q到数轴原点的距离相等，
∴当原点是PQ中点时，﹣5+t+6﹣2t＝0，
解得t＝1，
当P、Q重合时，﹣5+t＝6﹣2t，
解得t＝ ．
综上，t的值是1或 ；
②当0＜t≤5时，由①可得点P与点Q重合时不在整点处；
当5＜t≤10时，由题意得﹣5+t＝﹣4+2（t﹣5），
解得t＝9，
此时，点Q对应是有理数为4，故点C对应是有理数为2．
29．（2021秋•南充期末）如图，O为原点，长方形OABC与ODEF的面积都为12，且能够完全重合，边
OA在数轴上，OA＝3．长方形ODEF可以沿数轴水平移动，移动后的长方形O′D′E′F′与OABC
重叠部分的面积记为S．（1）如图1，求出数轴上点F表示的数．
（2）当S恰好等于长方形OABC面积的一半时，求出数轴上点O′表示的数．
（3）在移动过程中，设P为线段O′A的中点，点F′，P所表示的数能否互为相反数？若能，求点O
移动的距离；若不能，请说明理由．
【分析】（1）利用面积÷OA可得OC长，即可得出OF的长，进而可得答案；
（2）首先计算出S的值，再根据矩形的面积表示出O′A的长度，再分两种情况：当点O′在OA上时，
当点O′在点A右侧时，分别求出O′表示的数；
（3）设OO′＝x，分两种情况：当原长方形ODEF向左移动时，点O′所表示的数为﹣x，则点P所表
示的数为： ﹣ x，点F′所表示的数为﹣4﹣x；若互为相反数则有 ﹣ x+（﹣4﹣x）＝0，求解即
可；当原长方形ODEF向右移动时，点O′所表示的数为x，则点P所表示的数为： + x，点F′所
表示的数为﹣4+x；若互为相反数则有 + x+（﹣4+x）＝0，求解即可．
【解答】解：（1）∵长方形OABC的面积为12，OA边长为3，
∴OC＝12÷3＝4，
∵长方形OABC与ODEF的面积都为12，
∴OF＝OC＝4，DE＝OA＝3，
∴数轴上点F表示的数为﹣4，
（2）∵S恰好等于原长方形OABC面积的一半，
∴S＝6，
①当点O′在OA上时，O′O＝6÷3＝2，
∴O′表示的数为2，
②当点O′在点A右侧时，如图，∴AF′＝6÷3＝2，
∴OF′＝3﹣2＝1，
∴OO′＝O′F′+OF′＝5，
综上，O′表示的数为2或5．
（3）能，理由如下：设OO′＝x，分两种情况：
①当原长方形ODEF向左移动时，点O′所表示的数为﹣x，点F′所表示的数为﹣4﹣x，
∵点P是O′A的中点，
∴点P所表示的数为： ﹣ x；
∴ ﹣ x+（﹣4﹣x）＝0，
∴x＝﹣ ；
②当原长方形ODEF向右移动时，点O′所表示的数为x，点F′所表示的数为﹣4+x；
∵点P是O′A的中点，
∴点P所表示的数为： + x，
∴ + x+（﹣4+x）＝0，
∴x＝ ．
∴点O移动的距离为： ．
30．（2021秋•北仑区期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使实数和数轴上的点建立起一一对应关
系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
【阅读理解】
|3﹣1|表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣1|
可以理解为x与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，|x+1|＝|x﹣（﹣1）|就表示x在数轴上对应的
点到﹣1的距离．（1）【尝试应用】
①数轴上表示﹣4和2的两点之间的距离是 6 （写出最后结果）；
②若|x﹣（﹣2）|＝3，则x＝ 1 或﹣ 5 ；
（2）【动手探究】小明在草稿纸上画了一条数轴，并折叠纸面，若表示2的点与表示﹣4的点重合．
①则表示10的点与表示 ﹣ 1 2 的点重合；
②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2022，且A，B两点经过折叠后重合，则A表示
的数是 ﹣ 101 2 ，B表示的数是 101 0 ；
③若点A表示的数为a，点B表示的数为b（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后刚好重合，那么a
与b之间的数量关系是 a + b ＝﹣ 2 ；
（3）【拓展延伸】
①当x＝ 1 时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|有最小值，最小值是 5 ；
②|x+1|﹣|x﹣4|有最大值，最大值是 5 ，|x+1|﹣|x﹣4|有最小值，最小值是 ﹣ 5 ．
【分析】（1）①根据两点间距离公式可得答案；②根据绝对值的定义可以解答；
（2）①首先求出折叠点是﹣1，列式为﹣1﹣（10+1）可得答案；②根据折叠点为﹣1可列式解答；
③由题意得， （a+b）＝﹣1，整理可得答案；
（3）根据绝对值的定义和分类讨论的数学思想可以解答本题．
【解答】解：（1）①﹣4和2的两点之间的距离是：2﹣（﹣4）＝6，
故答案为：6；
②∵|x﹣（﹣2）|＝3，
∴x＝1或﹣5，
故答案为：1或﹣5；
（2）∵表示2的点与表示﹣4的点重合，
∴折叠点是﹣1，
①﹣1﹣（10+1）＝﹣12，
故答案为：﹣12；
②2022÷2＝1011，﹣1﹣1011＝﹣1012，﹣1+1011＝1010，
∴则A表示的数是﹣1012，B表示的数是1010，故答案为：﹣1012，1010；
③由题意得， （a+b）＝﹣1，
∴a+b＝﹣2，
故答案为：a+b＝﹣2；
（3）①当x≤﹣2时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝﹣x﹣2﹣x+1﹣x+3＝﹣3x+2≥8，
当﹣2＜x≤1时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2﹣x+1﹣x+3＝﹣x+6，5≤﹣x+6＜8，
当1＜x≤3时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2+x﹣1﹣x+3＝x+4，5＜x+4≤7，
当x＞3时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2+x﹣1+x﹣3＝3x﹣2＞7，
∴当x＝1时，最小值是5，
故答案为：1，5；
②当x＜﹣1时，|x+1|﹣|x﹣4|＝﹣x﹣1+x﹣4＝﹣5，
当﹣1≤x≤4时，|x+1|﹣|x﹣4|＝x+1+x﹣4＝2x﹣3，﹣5≤2x﹣3≤5，
当x＞4时，|x+1|﹣|x﹣4|＝x+1﹣x+4＝5，
∴最大值是5，最小值是﹣5，
故答案为：5，﹣5．
