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第 08 讲 二次函数的实际应用（六大类型）
1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数
学的意识．
2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个
有效的数学模型．
知识点1 ：运动类
（1）落地模型
（2）最值模型
知识点2 ：经济类
销售问题常用等量关系 ：
利润=收入-成本； 利润=单件利润×销量 ；
知识点13 ：面积类
知识点4：拱桥类
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设
出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．【题型1 运动类（1）落地模型】
【典例1】（2023•原平市一模）在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实
心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑
空气阻力，实心球的飞行高度 y（单位：米）与飞行的水平距离 x（单位：
米）之间具有函数关系y＝﹣ x2+ x+ ，则小康这次实心球训练的成绩为
（ ）
A．14米 B．12米 C．11米 D．10米
【答案】B
【解答】解：当y＝0时，则﹣ x2+ x+ ＝0，
解得x＝﹣2（舍去）或x＝12．
故选：B．
【变式1-1】（2022秋•罗山县期末）如图，一位运动员推铅球，铅球运行高度
y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y＝﹣ ．问：此
运动员能把铅球推出多远？（ ）
A．12m B．10m C．3m D．4m
【答案】B
【解答】解：把y＝0代入y＝﹣ x2+ x+ 得：﹣ x2+ x+ ＝0，
解之得：x ＝10，x ＝﹣2．
1 2
又x＞0，解得x＝10．
故选：B．
【变式1-2】（2022秋•西岗区校级期末）小强在一次训练中，掷出的实心球飞
行高度 y（米）与水平距离 x（米）之间的关系大致满足二次函数
，则小强此次成绩为（ ）
A．8米 B．9米 C．10米 D．12米
【答案】B
【解答】解：在函数 中，当y＝0时，﹣ x2+ x+3＝0，
解得x ＝﹣1（舍去），x ＝9，
1 2
即小强此次成绩为9米，
故选：B．
【题型2 运动类（2）最值模型】
【典例2】（2022秋•任城区校级期末）飞机着陆后滑行的距离 s（米）关于滑
行的时间t（秒）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，则飞机着陆后滑行到停止下
来，滑行的距离为（ ）
A．500米 B．700米 C．600米 D．800米
【答案】C
【解答】解：∵s＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
∴当t＝20时，s取得最大值，此时s＝600，
即飞机着陆后滑行到停止下来的滑行距离为600米．
故选：C．
【变式2-1】（2023•郸城县一模）某市公园欲修建一个圆型喷泉池，在水池中
垂直于地面安装一个柱子OP，安置在柱子顶端P处的喷头向外喷水，水流
在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过 OP的任一平面上，建立
平面直角坐标系（如图所示），水平距离 x（m）与水流喷出的高度y（m）之间的关系式为 ，则水流喷出的最大高度是（ ）
A．5.5m B．5m C．4.5m D．4m
【答案】D
【解答】解：y＝﹣ x2+ x+2＝﹣ （x﹣3）2+4，
∵﹣ ＜0，
∴当x＝3时，y有最大值，最大值为4，
故选：D．
【变式 2-2】（2023•泰兴市二模）某学校航模组设计制作的火箭升空高度 h
（m）与飞行时间t（s）满足函数关系式为h＝﹣t2+12t+1．如果火箭在点火
升空到最高点时打开降落伞，那么降落伞将在离地面 3 7 m处打开．
【答案】37．
【解答】解：h＝﹣t2+12t+1＝﹣（t﹣6）2+37，
∵a＝﹣1＜0，
∴点火升空的最高点距地面37m，
故答案为：37．
【变式2-3】（2023春•二道区校级月考）向空中发射一枚信号弹，经x秒后的
高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此信号弹在第
8秒与第14秒时的高度相等，则在 1 1 秒时信号弹所在高度最高的．
【答案】11．
【解答】解：∵此炮弹在第8秒与第14秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是直线 ，
∴炮弹位置达到最高时，时间是第11秒．
故答案为：11．
【题型3 经济类-二次函数与一次函数初步综合】【典例 3】（2023•宝应县二模）某商家经营某种商品，该商品的进价为 30
元/件，根据市场调查发现，该商品每周的销售量 y（单位：件）与销售价x
（单位：元/件）（x为正整数）之间的关系绘制成函数图象如图所示．
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）若某周该商品的销售量不少于800件，求这周该商家销售这种商品获得
的最大利润；
（3）规定这种商品的销售价不超过进价的 2倍，若商品的进价每件提高 m
元（m＞0）时，该商家每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，请
求出m的取值范围．
【答案】（1）y与x的函数关系式为：y＝﹣10x+1500；
（2）最大利润为32000元；
（3）0＜m≤20．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）
则有： ，
解得： ．
∴设y与x的函数关系式为：y＝﹣10x+1500
（2）∵商品该商品的销售量不少于800件，
由（1）得：y与x的函数关系式为：y＝﹣10x+1500，
∴﹣10x+1500≥800，
解得：0≤x≤70，
设该商家销售这神蔏品获得的最大利润w元，
∴w＝（x﹣30）⋅y＝（x﹣30）（﹣10x+1500）＝﹣10x2+1800x﹣45000＝﹣
10（x﹣90）2+36000，
∵a＝﹣10＜0，对称轴为直线x＝90，∴当0≤x≤70时，由二次函数的性质可知，在对称轴的左侧 w随x的增大而
增大，
当x＝70时，w取得最大值，最大值为32000元；
（3）∵商品的销售价不超过进价的 2倍，商品的进价每件提高m元（m＞
0）时，
∴x≤2（m+30），
此时利润w＝（x﹣30﹣m）⋅y
＝（x﹣30﹣m）（﹣10x+1500）
＝﹣10x2+（1800+10m）x﹣（45000+1500m），
∴对称轴为 ，
∵该商家每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，
∴ ，
∴m≤20，
∵m＞0，
∴0＜m≤20．
【变式3-1】（2023•长阳县一模）某批发商以24元/箱的进价购进某种蔬菜，
销往零售超市，已知这种蔬菜的标价为45元/箱，实际售价不低于标价的八
折．批发商通过分析销售情况，发现这种蔬菜的销售量 y（箱）与当天的售
价x（元/箱）满足一次函数关系，如表是其中的两组对应值．
售价x … 35 38 …
（元/箱）
销售量y … 130 124 …
（箱）
（1）若某天这种蔬菜的售价为42元/箱，则当天这种蔬菜的销售最为 11 6
箱；
（2）该批发商销售这种蔬菜能否在某天获利 1320元？若能，请求出当天的
销售价；若不能，请说明理由．
（3）批发商搞优惠活动，购买一箱这种蔬菜，赠送成本为6元的土豆，这种
蔬菜的售价定为多少时，可获得日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？
【答案】（1）116；（2）不能，理由见详解；
（3）这种蔬菜的售价为45元，可获得最大日利润为1650元．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系为y＝kx+b，
根据题意得： ，
解得： ，
∴y＝﹣2x+200，
∴当x＝42时，y＝﹣2×42+200＝116，
∴当天这种蔬菜的销售量为116箱；
故答案为116；
（2）根据题意得：（﹣2x+200）（x﹣24）＝1320，
解得x ＝34，x ＝90，
1 2
∵这种蔬菜售价不低于45×0.8＝36，且不高于45，
∴36≤x≤45，
∴34，90都不满足题意，
所以该批发商销售这种蔬菜不能在某天获利1320元；
（3）设日获得利润为w元，
则w＝（﹣2x+200）（x﹣24﹣6）＝﹣2（x﹣65）2+2450，
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜65时，w的值随x值的增大而增大，
∵这种蔬菜售价不低于45×0.8＝36，
∴36≤x≤45，
∴当x＝45时， （元），
答：这种蔬菜的售价为45元，可获得最大日利润为1650元．
【变式 3-2】（2023•太康县一模）五一”黄金周期间，丹尼斯百货计划购进
A、B两种商品．已知购进3件A商品和2件B商品，需1200元；购进2件A
商品和3件B商品，需1300元．
（1）A、B两种商品的进货单价分别是多少？（2）设 A 商品的销售单价为 x（单位：元/件），在销售过程中发现：当
220≤x≤380时，A商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一
次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：
销售单价x（元/件） 220 380
日销售量y（件） 180 20
请写出当220≤x≤380时，y与x之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，设A商品的日销售利润为w元，当A商品的销售单
价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）A、B两种商品的进货单价分别是200元/件、300元/件；
（2）y＝﹣x+400（220≤x≤380）；
（3）A 商品的销售单价定为 300 元/件时，日销售利润最大，最大利润是
10000元．
【解答】解：（1）设A、B两种商品的进货单价分别是 a、b元/件，由题意
得： ，
解得： ，
∴A、B两种商品的进货单价分别是200元/件、300元/件；
（2）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝k x+b ，将（220，180），（380，
1 1
20）代入得： ，
解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+400（220≤x≤380）；
（3）由题意得：
w＝（﹣x+400）（x﹣200）
＝﹣x2+600x﹣80000
＝﹣（x﹣300）2+10000（220≤x≤380），
∴当x＝300时，w取得最大值10000，∴当 A 商品的销售单价定为 300 元/件时，日销售利润最大，最大利润是
10000元．
【变式3-3】（2023•岳麓区校级二模）从2020年开始，越来越多的商家向线上
转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直
播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售
量y（件）与销售单价x（元）满足y＝﹣10x+400，设销售这种商品每天的利
润为W（元）．
（1）求W与x之间的函数关系式；
（2）该商家每天想获得1250元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为
多少元？
（3）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值．
【答案】（1）W＝﹣10x2+500x﹣4000，0＜x≤40；
（2）销售单价应定为15元；
（3）W的最大值为2160元．
【解答】解：（1）根据题意，有：W＝y×（x﹣10）＝（﹣10x+400）×（x﹣
10），
化简，得：W＝﹣10x2+500x﹣4000，
根据 ，解得：x＞10，
即函数关系为：W＝﹣10x2+500x﹣4000，x＞10；
（2）令W＝1250，可得：﹣10x2+500x﹣4000＝1250，
解得：x＝15，或者x＝35，
当x＝15时，销量：y＝﹣10x+400＝250（件）；
当x＝35时，销量：y＝﹣10x+400＝50（件）；
销量越高，越有利于减少库存，
即为了减少库存，将销售单价应定为15元；
（3）根据题意有： ，解得：28≤x≤35，将W＝﹣10x2+500x﹣4000化为顶点式为：W＝﹣10（x﹣25）2+2250，
∵﹣10＜0，
∴当x＞25时，函数值随着x的增大而减小，
∵28≤x≤35，
∴当x＝28时，函数值最大，最大为：W＝﹣10（28﹣25）2+2250＝2160．
答：此时W的最大值为2160元．
【题型4 经济类-二次函数中的“每每问题”】
【典例4】（2023•黄石一模）某商品的进价为每件 40元，当售价为每件50元
时，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖
10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元，每个月的销
售量为y件．
（1）则y与x的函数关系式为： y ＝ 21 0 ﹣ 1 0 x ，自变量x的取值范围是：
0 ＜ x ≤ 15 ；
（2）每件商品的售价定为多少元时（x为正整数），每个月可获得最大利润？
最大的月利润是多少元？
（3）若在销售过程中每一件商品都有 a（a＞0）元的其它费用，商家发现当
售价每件不低于58元时，每月的销售利润随x的增大而减小，请直接写出a
的取值范围： 3 ＜ a ≤ 5 ．
【答案】（1）y＝210﹣10x，0＜x≤15；
（2）当售价定为每件 55 或 56 元，每个月的利润最大，最大的月利润是
2400元；
（3）3＜a≤5．
【解答】解：（1）由题意知，y与x的函数关系式为y＝210﹣10x，
∵每件售价不能高于65元，
∴50+x≤65，
解得x≤15，
∴0＜x≤15，
故答案为：y＝210﹣10x，0＜x≤15；
（2）设月利润为w，w＝（210﹣10x）（50+x﹣40）
＝﹣10x2+110x+2100＝﹣10（x﹣5.5）2+2402.5，（0＜x≤15且x为正整数），
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝5.5时，w有最大值2402.5，
∵0＜x≤15且x为正整数，
当x＝5时，50+x＝55，w＝﹣10×（5﹣5.5）2+2402.5＝2400（元），
当x＝6时，50+x＝56，w＝﹣10×（6﹣5.5）2+2402.5＝2400（元），
∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；
（3）由题意得：w＝（210﹣10x）（50+x﹣40﹣a）＝﹣10（x﹣21）（x+10
﹣a），
∴函数图象的对称轴为： ，
售价每件不低于58元时，即x≥58﹣50＝8，又0＜x≤15且x为整数，
∴8≤x≤15，且x为整数，w随x的增大而减小，
∴ ，
解得3＜a≤5，
∴a的取值范围为3＜a≤5．
故答案为：3＜a≤5．
【变式4-1】（2023•南海区校级模拟）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先
行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游城市之一．深圳
着名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本
价为5元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销
售300杯；若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售 30杯．店家计划在
2023年春节期间进行降价促销活动，设每杯奶茶降价为x元时，每天可销售
y杯．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x为多少时，能让店家获得最大利润额？最大利润额为多少？
【答案】（1）y＝﹣30x+1050；（2）x＝20时，能让店家获得最大利润额，
最大利润额为6750元．
【解答】解：（1）由题意得：y＝300+30（25﹣x）＝﹣30x+1050；
即y与x之间的函数关系式为y＝﹣30x+1050；（2）设最大利润额为W，
由题意得：W＝（x﹣5）（﹣30x+1050）
＝﹣30x2+1200x﹣5250
＝﹣30（x﹣20）2+6750，
∴x＝20时，能让店家获得最大利润额，最大利润额为6750元．
答：x＝20时，能让店家获得最大利润额，最大利润额为6750元．
【变式4-2】（2023•阳信县二模）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界
瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．
某商家以每套32元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售
价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之
间的函数关系式；
（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润 W最大，最大利润
是多少元？
（3）如果每天的利润要达到6080元，并且尽可能的让利于顾客，则每套的
售价应该定为多少元？
【答案】（1）y＝﹣2x+296
（2）当x＝90时，W ＝6728；
最大值
（3）每套的售价应该定为72元．
【解答】解：（1）根据题意，得 ＝﹣2x+296，
∴y与x之间的函数关系式：y＝﹣2x+296；
（2）根据题意，得：W＝（x﹣32）（﹣2x+296）＝﹣2（x﹣90）2+6728，
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，W有最大值，
当x＝90时，W ＝6728；
最大值
（3）﹣2（x﹣90）2+6728＝6080，x ＝108或x ＝72，
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因为要尽可能让利于顾客，所以每套的售价应该定为72元．
【变式4-3】（2023•建昌县二模）某纪念品的进价为每件 40元，售价为每件
50元，每星期可卖出200个．经市场调查发现：以不低于现售价的价格销售该商品，售价每上涨1元，则每星期少卖4个（每件售价不高于68元），设
每件商品销售单价为x（元），每星期销售量为y（个）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）将该纪念品的销售单价定为多少元时，每星期销售这种产品获得的利
润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y＝﹣4x+400，50≤x≤68．
（2）单价定为68元时，每星期销售这种产品获得的利润最大，最大利润是
3584元．
【解答】解：（1）由题意得：
y＝200﹣4（x﹣50）
＝﹣4x+400．
自变量x的取值范围为50≤x≤68．
（2）设每星期销售这种产品获得的利润为w元，
由题意得：
w＝（x﹣40）（﹣4x+400）
＝﹣4x2+560x﹣16000
＝﹣4（x﹣70）2+3600，
∵a＝﹣4＜0，50≤x≤68，
∴当x＝68时，w取得最大值，最大值为：﹣4（68﹣70）2+3600＝3584，
答：单价定为68元时，每星期销售这种产品获得的利润最大，最大利润是
3584元．
【变式4-4】（2023•东莞市校级三模）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个
房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增
加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每
天支出20元的各种费用．
（1）若每个房间的定价为每天200元时，宾馆的利润是多少？
（2）房价定为多少时，宾馆利润取得最大值？
【答案】（1）每个房间的定价为每天200元时，宾馆的利润是8640元；
（2）房价定为350元时，宾馆利润取得最大值．
【解答】解：（1）依题意得： 元，即每个房间的定价为每天200元时，宾馆的利润是8640元；
（2）设每个房间定价增加x元，
依题意得：所获利润＝ ，
∴当x＝170元时，利润最大，
∴180+170＝350（元），
即房价定为350元时，宾馆利润取得最大值．
【题型5 面积类】
【典例5】（2023•越秀区校级一模）如图，有长为12m的篱笆，现一面利用墙
（墙的最大可用长度a为5m），设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
（2）要围成面积为9m2的花圃，AB的长是多少米？
（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃面积最大？
【答案】（1）S＝﹣3x2+12x， ；
（2）3米；
（3） m．
【解答】解：（1）由题意，得：BC＝12﹣3x，
∴S＝AB⋅BC＝x（12﹣3x）＝﹣3x2+12x；
∵0＜BC≤5，
即0＜12﹣3x≤5，
解得： ，
∴x值的取值范围为： ；
（2）当S＝9时，
即﹣3x2+12x＝9，解得：x ＝1，x ＝3，
1 2
∵ ，
∴x＝3，
即AB的长是3米；
（3）S＝﹣3x2+12x＝﹣3（x﹣2）2+12，
∵a＝﹣3＜0，抛物线开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵ ，
∴当 时，S取的最大值 ，
∴当AB的长是 m时，围成的花圃面积最大．
【变式5-1】（2023•锦江区校级模拟）用长为12米的铝合金型材做一个形状如
图所示的矩形窗框，设矩形窗框的宽为 x米，窗框的透光面积为S平方米．
（铝合金型材宽度不计）
（1）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）求S的最大值．
【答案】（1）S＝﹣ x2+6x（0＜x≤ ）；
（2）S的最大值为6m2．
【解答】解：（1）设窗框的宽为xm，则长为 （12﹣3x）m，
根据题意可得：S＝x× ×（12﹣3x）＝﹣ x2+6x；∵0＜x≤ （12﹣3x），
∴0＜x≤ ．
（2）∵S＝﹣ x2+6x＝﹣ （x﹣2）2+6，
∴当x＝2时，S的最大值为6；
故S的最大值为6m2．
【变式5-2】（2023•东莞市校级二模）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充
分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用
栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长
度为24m．
（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求BD长度；
（2）求矩形养殖场的总面积最大值为多少．
【答案】（1）2；
（2） m2．
【解答】解：（1）设BD＝xm，
根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为 ＝（8﹣x） m，
∴（x+2x）×（8﹣x）＝36，解得x＝2或x＝6，
经检验，x＝6时，3x＝18＞13不符合题意，舍去，
∴x＝2，
答：此时BD的值为设BD长度为2m，
（2）设矩形养殖场的总面积是ym2，
∵墙的长度为13m，
∴0＜x≤ ，
根据题意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，
∵﹣3＜0，
∴当x＝ 时，y取最大值，最大值为﹣3×（ ﹣4）2+48＝ （m2），
答：当x＝ 时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2．
【变式5-3】（2023•凉山州模拟）2022年5月，教育部颁布的《义务教育劳动
课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价
值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墙
（墙最大可用长度为12米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏
隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不
用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米．
（1）矩形ABCD的另一边BC长为 3 0 ﹣ 3 x 米（用含的代数式表示）；
（2）若矩形ABCD的面积为63m2，求x的值；
（3）当x为何值时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为多少平方米？
【答案】（1）30﹣3x；
（2）7；
（3）当x＝6时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为72平方米．【解答】解：（1）∵修建所用木栏总长28米，且两处各留1米宽的门（门
不用木栏），
∴BC＝2+28﹣3x＝（30﹣3x）米，
故答案为：30﹣3x；
（2）∵墙最大可用长度为12米，
∴2＜BC≤12，即2＜30﹣3x≤12，
解得：6≤x＜ ，
根据图形可列方程得：x（30﹣3x）＝63，
解得：x ＝3（舍），x ＝7，
1 2
∴x的值为7；
（3）设矩形的面积为S平方米，
则S＝x（30﹣3x）
＝﹣3x2+30x
＝﹣3（x﹣5）2+75，
∵﹣3＜0，且6≤x＜ ，
∴当x＝6时，S有最大值，最大值为72，
答：当x＝6时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为72平方米．
【题型6 拱桥类】
【典例6】（2023•武功县模拟）在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作抛
物线，如图，已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6米，距地面均为1米，
绳的最高点距离地面的高度为 4米，以水平地面为x轴，垂直于地面且过绳
子最高点的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）身高为1.57米的小明此时进入跳绳，他站直时绳子刚好通过他的头顶，
小明与甲的水平距离小于小明与乙的水平距离，求小明离甲的水平距离．【答案】（1） ；
（2）0.3m．
【解答】解：（1）由题意知，抛物线经过点 ， ，（0，
4），即（﹣3，1），（3，1），（0，4），
设抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+c，
则 ，
解得： ，
∴抛物线的函数表达式为 ；
（2）将y＝1.57代入 ，得 ，
解得x＝±2.7，
∵小明与甲的水平距离小于小明与乙的水平距离，
∴x＝﹣2.7，﹣2.7﹣（﹣3）＝0.3（m），
∴小明离甲的水平距离为0.3m．
【变式6-1】（2023•会昌县模拟）卡塔尔世界杯完美落幕．在一场比赛中，球
员甲在离对方球门30米处的O点起脚吊射（把球高高地挑过守门员的头顶，
射入球门），假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门 14米时，足球达到
最大高度8米．如图所示，以球员甲所在位置O点为原点，球员甲与对方球
门所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
（1）求满足条件的抛物线的函数表达式；（2）如果葡萄牙球员C罗站在球员甲前3米处，C罗跳起后最高能达到2.88
米，那么C罗能否在空中截住这次吊射？
【答案】（1）y＝﹣ （x﹣16）2+8；
（2）能．
【解答】解：（1）由题意可得，足球距离点 O（30﹣14）＝16米时，足球
达到最大高度8米，
设抛物线解析式为：y＝a（x﹣16）2+8，
把（0，0）代入解析式得：0＝a（0﹣16）2+8，
解得：a＝﹣ ，
故抛物线解析式为：y＝﹣ （x﹣16）2+8；
（2）当x＝3时，y＝﹣ （3﹣16）2+8＝2.71875＜2.88，
故C罗能在空中截住这次吊射．
【变式6-2】（2023•仁和区二模）掷实心球是攀枝花市高中阶段学校招生体育
考试的必考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物
线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出
时起点处高度为 m，当水平距离为 3m 时，实心球行进至最高点 3m 处．
（1）求y关于x的函数表达式；（2）根据攀枝花市高中阶段学校招生体育
考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大
于等于7.80m，此项考试得分为满分15分．该女生在此项考试中是否得满分，
请说明理由．【答案】（1）y＝﹣ （x﹣3）2+3．
（2）该女生在此项考试中没有得满分，理由见解答．
【解答】解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3，
把（0， ）代入上式得，
a（0﹣3）2+3＝ ，
解得a＝﹣ ，
∴y＝﹣ （x﹣3）2+3．
（2）该女生在此项考试中没有得满分．
理由：令y＝0，即﹣ （x﹣3）2+3＝0，
解得x ＝7.5，x ＝﹣1.5（舍去），
1 2
∴实心球从起点到落地点的水平距离为7.5米，小于7.80米，
∴该女生在此项考试中没有得满分．
【变式6-3】（2023•碑林区校级模拟）为培养学生劳动实践能力，某学校在校
园内开辟出一块劳动实践基地，搭建了一个横截面为抛物线型的大棚，如图
建立平面直角坐标系，使抛物线对称轴为y轴，AB＝6m，CO＝3m．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）大棚的门是一个矩形 EFGH，要求点E、F在抛物线上，门的高度 FG
与宽度EF的比为2：3，那么门的宽度EF应设计成多少米（不考虑材料厚
度）？（结果保留根号）【答案】（2 ﹣4）m．
【解答】解：（1）由图可设抛物线的解析式为：y＝ax2+3，
由图知抛物线与x轴正半轴的交点为B（3，0），则：a•32+3＝0，
∴a＝﹣ ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+3；
（2）∵门的高度FG与宽度EF的比为2：3，E，F关于y轴对称，
∴ ＝ ，
设FG＝4t，FM＝3t，则EF＝6t，
∴F（3t，4t），
∵点F在抛物线上，
∴4t＝﹣ ×（3t）2+3，
解得t＝ （舍去负值），
∴EF＝（2 ﹣4）（m）．
答：门的宽度EF应设计成（2 ﹣4）m．1．（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏
（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 3 2 m2．
【答案】32．
【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16﹣2x）
m，
∴矩形围栏的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，
∵﹣2＜0，
∴当x＝4时，矩形有最大面积为32m2，
故答案为：32．
2．（2022•襄阳）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的
精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从 2m高的跳台滑出后的运动路线是一
条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为 xm，与跳台底部所在水平面的竖直
高度为ym，y与x的函数关系式为 y＝ x2+ x+2（0≤x≤20.5），当她与
跳台边缘的水平距离为 8 m时，竖直高度达到最大值．
【答案】8．
【解答】解：y＝ x2+ x+2＝﹣ （x﹣8）2+4，
∵﹣ ＜0，∴当x＝8时，y有最大值，最大值为4，
∴当她与跳台边缘的水平距离为8m时，竖直高度达到最大值．
故答案为：8．
3．（2022•黔西南州）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛
物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度 y（单位：m）与水平
距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣ x2+ x+ ，则铅球推出的水平距离
OA的长是 1 0 m．
【答案】10．
【解答】解：∵y＝﹣ x2+ x+ ，
∴当y＝0时，0＝﹣ x2+ x+ ，
解得x ＝﹣2，x ＝10，
1 2
∴OA＝10m，
故答案为：10．
4．（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为 8元，在销
售过程中，每天的销售量 y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，
当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品
的最大利润为 12 1 元（利润＝总销售额﹣总成本）．
【答案】见试题解答内容【解答】解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入
可得：
，
解得 ，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，
∵﹣1＜0，
∴当x＝19时，w有最大值为121，
故答案为：121．
5．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线 y＝﹣
0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为
3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 4 m．
【答案】4．
【解答】解：当y＝3.05时，3.05＝﹣0.2x2+x+2.25，
x2﹣5x+4＝0，
（x﹣1）（x﹣4）＝0，
解得：x ＝1，x ＝4，
1 2
故他距篮筐中心的水平距离OH是4m．
故答案为：4．
6．（2022•威海）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用
木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．
【答案】288m2．
【解答】解：设矩形鸡场与墙垂直的一边长为 xm，则与墙平行的一边长为
（47﹣2x+1）m，由题意可得：
y＝x（47﹣2x+1），
即y＝﹣2（x﹣12）2+288，
由题意 ，
解得11.5≤x＜24，
∵﹣2＜0，
∴当x＝12时，y有最大值为288，
当x＝12时，47﹣x﹣（x﹣1）＝24＜25（符合题意），
∴鸡场的最大面积为288m2．
7．（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意
见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、
Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实
线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度 AE
＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问 BC应设
计为多长？此时最大面积为多少？【答案】（1）8m，4m；
（2） m， m2．
【解答】解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），
∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2），
设水池的长为am，则水池的面积为a×1＝a（m2），
∴36﹣a＝32，
解得a＝4，
∴DG＝4m，
∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），
即CG的长为8m、DG的长为4m；
（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，
∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣ ）2+ ，
∵﹣3＜0，
∴当x＝ 时，总种植面积有最大值为 m2，
即BC应设计为 m总种植面积最大，此时最大面积为 m2．
8．（2023•南充）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日
产销x件．已知A产品成本价m元/件（m为常数，且4≤m≤6，售价8元/件，
每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，
售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与
每日产销x（件）满足关系式y＝80+0.01x2．
（1）若产销A，B两种产品的日利润分别为w 元，w 元，请分别写出w ，
1 2 1
w 与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
2（2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．（A产品的最大日利润用
含m的代数式表示）
（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．
【利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费】
【答案】（1）w ＝（8﹣m）x﹣30，（0≤x≤500）；w ＝﹣0.01x2+8x﹣
1 2
80，（0≤x≤300）．
（2）A产品：（﹣500m+3970）元；B产品：1420元．
（3）当m＝5.1时，选择A，B产品产销均可；
当4≤m＜5.1时，选择A种产品产销；
当5.1＜m≤6时，选择B种产品产销．
【解答】解：（1）根据题意，得w ＝（8﹣m）x﹣30，（0≤x≤500）．
1
w ＝（20﹣12）x﹣（80+0.01x2）
2
＝﹣0.01x2+8x﹣80，（0≤x≤300）．
（2）∵8﹣m＞0，∴w 随x的增大而增大，又0≤x≤500，
1
∴当x＝500时，w 有最大值，即w ＝﹣500m+3970（元）．
1 最大
∵w ＝﹣0.01x2+8x﹣80＝﹣0.01（x﹣400）2+1520．
2
又∵﹣0.01＜0．对称轴x＝400．
∴当0≤x≤300时，w 随x的增大而增大，
2
∴当x＝300时，w ＝﹣0.01×（300﹣400）2+1520＝1420（元）．
2最大
（3）①若w ＝w ，即﹣500m+3970＝1420，解得m＝5.1，
1最大 2最大
②若w ＞w ，即﹣500m+3970＞1420，解得m＜5.1，
1最大 2最大
③若w ＜w ，即﹣500m+3970＜1420，解得m＞5.1．
1最大 2最大
又4≤m≤6，综上可得，为获得最大日利润：
当m＝5.1时，选择A，B产品产销均可；
当4≤m＜5.1时，选择A种产品产销；
当5.1＜m≤6时，选择B种产品产销．
答：当A产品成本价为5.1元时，工厂选择A或B产品产销日利润一样大，
当A产品4≤m＜5.1时，工厂选择A产品产销日利润最大，当5.1＜m≤6时，
工厂选择B产品产销日利润最大．
9．（2022•无锡）某水果店出售一种水果，每箱定价 58元时，每周可卖出300箱．试销发现：每箱水果每降价1元，每周可多卖出25箱；每涨价1元，每
周将少卖出10箱．已知每箱水果的进价为35元，每周每箱水果的平均损耗
费为3元．
（1）若不进行价格调整，这种水果的每周销售利润为多少元？
（2）根据以上信息，你认为应当如何定价才能使这种水果的每周销售利润
最多？
【答案】（1）若不进行价格调整，这种水果每周销售利润为6000元；
（2）当每箱水果定价为54元时，这种水果的每周销售利润最大为6400元．
【解答】解：（1）∵58﹣35﹣3＝20，20×300＝6000（元），
∴若不进行价格调整，这种水果每周销售利润为6000元；
（2）若每箱水果降价x元，这种水果的每周销售利润为y元，
根据题意得：y＝（58﹣35﹣3﹣x）（300+25x）＝﹣25（x﹣4）2+6400，
由二次函数性质可知，当x＝4时，y的最大值为6400元；
若每箱水果涨价x'元，这种水果的每周销售利润为y'元，
根据题意得：y'＝（58﹣35﹣3+x'）（300﹣10x'）＝﹣10（x'﹣5）2+6250，
由二次函数性质可知，当x'＝5时，y'的最大值为6250元；
综上所述，当每箱水果定价为 54 元时，这种水果的每周销售利润最大为
6400元．
10．（2022•朝阳）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件 8元，在销售过程
中发现，每天的销售量 y（件）与每件售价 x（元）之间存在一次函数关系
（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为 9元时，每天的销
售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的
售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利 w（元），当每件消毒用品的售价
为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的
售价为13元；（3）每件消毒用品的售价为 15元时，每天的销售利润最大，最大利润是
525元．
【解答】解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式
为：y＝kx+b，
由题意可知： ，
解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；
（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，
解得：x ＝13，x ＝25（舍去），
1 2
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售
价为13元；
（3）w＝y（x﹣8），
＝（﹣5x+150）（x﹣8），
w＝﹣5x2+190x﹣1200，
＝﹣5（x﹣19）2+605，
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x＜19时，w随x的增大而增大，
∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525．
答：每件消毒用品的售价为 15元时，每天的销售利润最大，最大利润是 525
元．
11．（2022•鄂尔多斯）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了
6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的 1.1倍，且
第二批比第一批多购进50个．
（1）求第二批每个挂件的进价；
（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的
挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降
价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件
售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）第二批每个挂件的进价为40元．（2）当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是 1350
元．
【解答】解：（1）设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进
价为1.1x元，
根据题意可得， +50＝ ，
解得x＝40．
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合实际意义，
∴1.1x＝44．
∴第二批每个挂件的进价为40元．
（2）设每个售价定为y元，每周所获利润为w元，
根据题意可知，w＝（y﹣40）[40+10（60﹣y）]＝﹣10（y﹣52）2+1440，
∵﹣10＜0，
∴当x≥52时，w随y的增大而减小，
∵40+10（60﹣y）≤90，
∴w≥55，
∴当y＝55时，w取最大，此时w＝﹣10（55﹣52）2+1440＝1350．
∴当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．
12．（2022•兰州）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．
如图 1 是一名学生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度 y
（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为
m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准，投掷过程中，实心
球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．
该生在此项考试中是否得满分，请说明理由．图1来源：《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》
【答案】（1）y关于x的函数表达式为y＝﹣ （x﹣3）2+3；
（2）该女生在此项考试中是得满分，理由见解答．
【解答】解：（1）根据题意设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3，
把（0， ）代入解析式得： ＝a（0﹣3）2+3，
解得：a＝﹣ ，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣ （x﹣3）2+3；
（2）该生在此项考试中是得满分，理由：
令y＝0，则﹣ （x﹣3）2+3＝0，
解得：x ＝7.5，x ＝﹣1.5（舍去），
1 2
∵7.5＞6.70，
∴该生在此项考试中是得满分．
1．（2023•东莞市校级模拟）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时
间t（单位：s）的函数解析式是s＝﹣1.5t2+60t，那么飞机着陆后滑行多长时
间才能停下来（ ）A．10s B．20s C．30s D．40s
【答案】B
【解答】解：∵a＝﹣1.5＜0，
∴函数有最大值，
当t＝﹣ ＝﹣ ＝20（秒），
即飞机着陆后滑行20秒能停下来，
故选：B．
2．（2022秋•潼南区期末）小明在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图
所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的表达式为 ，其
中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则小明此次掷球过
程中，实心球的最大高度是（ ）
A．3m B． m C． m D． m
【答案】B
【解答】解：在y＝﹣ （x﹣3）2+ 中，
当x＝3时，y有最大值 ，
∴小明此次掷球过程中，实心球的最大高度是 m，
故选：B．
3．（2022秋•牡丹区校级期末）校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅
球的高h（m）与水平距离x（m）之间的函数关系满足 h＝﹣ x2+ x+ ，
则该运动员掷铅球的成绩是（ ）A．6m B．10m C．8m D．12m
【答案】B
【解答】解：由题意可知，把y＝0代入解析式得：
﹣ x2+ x+ ＝0，
解方程得x ＝10，x ＝﹣2（舍去），
1 2
即该运动员的成绩是10米．
故选：B．
4．（2021秋•鄄城县期末）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建
立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝﹣ x2，当水面离桥
拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ）
A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m
【答案】C
【解答】解：根据题意B的纵坐标为﹣4，
把y＝﹣4代入y＝﹣ x2，
得x＝±10，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
∴AB＝20m．
即水面宽度AB为20m．
故选：C．5．（2022秋•红桥区期末）如图，计划用总长为43m的篱笆（图中虚线部分）
围成一个矩形鸡舍ABCD，其中一边AB是墙（可利用的墙的长度为21m），
中间共留两个1m的小门，设篱笆BC长为xm．
（1）AB的长为 4 5 ﹣ 3 x （m）（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形鸡舍ABCD的面积为150m2，求篱笆BC的长；
（3）求矩形鸡舍ABCD面积的最大值及此时篱笆BC的长．
【答案】（1）45﹣3x；
（2）当矩形鸡舍ABCD的面积为2150m2时，篱笆BC的长为10m；
（3）矩形鸡舍ABCD面积的最大值为168m2，此时篱笆BC的长为8m．
【解答】解：（1）由题意可得，
AB的长为：43﹣3x+2＝（45﹣3x）m，
故答案为：45﹣3x；
（2）由图可得，
矩形鸡舍ABCD的面积为：AB•BC＝（45﹣3x）•x＝﹣3x2+45x，
由题意得：﹣3x2+45x＝150，
解得x ＝5，x ＝10，
1 2
当x＝5时，AB＝45﹣3×5＝30＞21，不合题意，舍去；
当x＝10时，AB＝45﹣3×10＝15＜21，符合题意；
答：当矩形鸡舍ABCD的面积为150m2时，篱笆BC的长为10m；
（3）设矩形鸡舍ABCD面积为Sm2，
由题意可得：S＝﹣3x2+45x＝﹣3（x﹣ ）2+ ，
，
解得8≤x≤14 ，
∴当x＝8时，S取得最大值，此时S＝168，
即矩形鸡舍ABCD面积的最大值为168m2，此时篱笆BC的长为8m．6．（2023•葫芦岛一模）某公司经销一种绿茶，每千克成本为 50元，市场调查
发现，在一段时间内，销售量 y（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而
变化，具体关系如图所示，设这种绿茶在这段时间内的销售利润为 w（元）．
解答下列问题：
（1）求y与x的函数关系式：
（2）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要
在这段时内获得2000元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）求销售单价为多少时销售利润最大？最大为多少元？
【答案】（1）y与x的函数关系式为y＝﹣2x+240；
（2）销售单价应定为70元；
（3）销售单价为85元时销售利润最大，最大为2450元．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
把（50，140），（80，80）代入解析式得： ，
解得 ，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+240；
（2）根据题意得：（x﹣50）（﹣2x+240）＝2000，
整理得：x2﹣170x+7000＝0，
解得x ＝70，x ＝100，
1 1
∵物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，
∴x＝70，
答：销售单价应定为70元；
（3）设销售利为w元，根据题意得：w＝（x﹣50）•y
＝（x﹣50）•（﹣2x+240）
＝﹣2x2+340x﹣12000
＝﹣2x2+340x﹣12000
＝﹣2（x﹣85）2+2450，
∵﹣2＜0，
∴当x＝85时，w的值最大，最大值为2450元，
答：销售单价为85元时销售利润最大，最大为2450元．
7．（2023•金乡县三模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对
一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可
卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加
2件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少
元？
（2）每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）每件售价应定为50元；
（2）每件售价定为55元时，日销售利润450元．
【解答】解：（1）设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）
元，日销售量为20+（60﹣x）×2＝（140﹣2x）件，
依题意得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，
整理得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x ＝50，x ＝60（不合题意，舍去）．
1 2
答：每件售价应定为50元；
（2）设利润为w，
w＝（x﹣40）（140﹣2x）
＝﹣2x2﹣220x﹣5600，
＝﹣2（x﹣55）2+450．
每件售价定为55元时，每件的销售利润为55﹣40＝15（元），日销售利润
＝15×（140﹣2×55）＝450（元）．
8．（2023•会昌县模拟）卡塔尔世界杯完美落幕．在一场比赛中，球员甲在离对方球门30米处的O点起脚吊射（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球
门），假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高
度8米．如图所示，以球员甲所在位置O点为原点，球员甲与对方球门所在
直线为x轴，建立平面直角坐标系．
（1）求满足条件的抛物线的函数表达式；
（2）如果葡萄牙球员C罗站在球员甲前3米处，C罗跳起后最高能达到2.88
米，那么C罗能否在空中截住这次吊射？
【答案】（1）y＝﹣ （x﹣16）2+8；
（2）能．
【解答】解：（1）由题意可得，足球距离点 O（30﹣14）＝16米时，足球
达到最大高度8米，
设抛物线解析式为：y＝a（x﹣16）2+8，
把（0，0）代入解析式得：0＝a（0﹣16）2+8，
解得：a＝﹣ ，
故抛物线解析式为：y＝﹣ （x﹣16）2+8；
（2）当x＝3时，y＝﹣ （3﹣16）2+8＝2.71875＜2.88，
故C罗能在空中截住这次吊射．
9．（2023•攀枝花模拟）为应对近年冬季出现的寒冷天气，农科所在某蔬菜基
地试用新型保温大棚技术．大棚横截面为抛物线型，一端固定在距离地面1m
的墙体A处．另一端固定在对面墙体上距离地面 2m的B处，现建立平面直
角坐标系（如图所示）．已知大棚上某处离地面的高度 y（单位：m）与其离墙体OA的水平距离x（单位：m）之间的关系满足：y＝﹣ +bx+c，两墙
体之间的距离OC＝6m．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）现打算在大棚顶部最高处安装照明设备，试计算设备安装位置距离地
面的高度；
（3）为了避免大雪压垮顶棚，现打算加装一根长度为tm的支撑立柱（立柱
位于墙体OA和墙体BC之间），立柱距离两边墙体的水平距离不少于2m，
直接写出立柱长度t的范围．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） ≤t≤ ．
【解答】解：（1）由题意可得，A（0，1），B（6，2），
将A（0，1），B（6，2）代入 得，
，
解得： ，
∴ ；（2）∵ ，
∴顶点坐标为 ，
∵ ，图象开口向下，
∴函数有最大值 ，
∴设备安装位置距离地面的高度为 ；
（3）∵立柱距离两边墙体的水平距离不少于2m，
∴当x＝2时， ，
当x＝4时， ，
∵ ＜3，
∴ ≤t≤ ．
