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【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题5.11平行线基本模型之子弹模型专项提升训练
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
一、解答题（本大题共30小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．（2021·广东·东莞市长安实验中学七年级期中）如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ．
2．（2021·广西贺州·七年级期末）请在横线上填上合适的内容．
（1）如图（1）已知AB//CD，则∠B+∠D=∠BED．
解：过点E作直线EF//AB．
∴∠FEB=（ ）．（ ）
∵AB//CD，EF//AB，
∴（ ）//（ ）．（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）
∴∠FED=（ ）．（ ）．
∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED．
∴∠B+∠D=∠BED．（2）如图②，如果AB//CD AB//CD，则∠B+∠BED+∠D=（ ）
3．（2021·吉林松原·七年级期中）（1）问题发现
如图①，直线AB//CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现：∠B+∠C=∠BEC，
请你写出证明过程；
（2）拓展探究
如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：∠B+∠C=360°−∠BEC．
（3）解决问题
如图③，AB//DC，∠C=120°，∠AEC=80°，则∠A=________．（直接写出结论，不用写计算过
程）
4．（2020·广东·湛江市第二中学七年级期中）探索：小明在研究数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不
经过点P，探索∠P与∠C的数量关系．
发现：在如图中：∠APC＝∠A＋∠C；如图
小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB
∴∠APQ＝∠A（ ）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（ ）
∴∠CPQ＝∠C
∴∠APQ＋∠CPQ＝∠A＋∠C
即∠APC＝∠A＋∠C
（1）为小明的证明填上推理的依据；
（2）应用：①在如图中，∠P与∠A、∠C的数量关系为 ；
②在如图中，若∠A＝30°，∠C＝70°，则∠P的度数为 ；
（3）拓展：在如图中，探究∠P与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．5．（2019·内蒙古·康巴什区第二中学七年级期中）问题探究：
如下面四个图形中， AB∥CD．
（1）分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．
（2）请你从中任选一个加以说明理由．
解决问题：
（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平
行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．
6．（2021·全国·七年级专题练习）AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．
（1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的
平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数．
7．（2021·全国·七年级专题练习）（1）如图1，AM∥CN，求证：①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；
②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．
8．（2022·全国·七年级）(1)问题情景：如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
小明想到一种方法，但是没有解答完：
如图2，过P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°，
∴∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50°
∵AB//CD，∴PE//CD．
……
请你帮助小明完成剩余的解答．
(2)问题迁移：请你依据小明的解题思路，解答下面的问题：
如图3，AD//BC，当点P在A、B两点之间时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，则∠CPD，∠α，∠β之间有何数
量关系？请说明理由．
9．（2021·全国·七年级专题练习）如图所示，AD//BC，∠CFE=∠1+∠D，∠B−∠CFE=30°，
求∠2的度数.
10．（2021·全国·七年级专题练习）如图所示，直线l //l ，∠CAB=145°，∠DBE=85°，求∠1+∠2
1 2
的度数.11．（2022·上海·七年级期中）已知，直线AB∥CD
（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则∠AGC的度数是
多少？
（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC的度数是多少？
（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．
12．（2021·山东德州·七年级期中）（1）如图1，AB//CD，∠A=33°，∠C=40°，则∠APC=
°；
（2）如图2，AB//DC，点P在射线OM上运动，当点P在B、D两点之间运动时，∠BAP=∠α，∠DCP=∠β，求∠CPA与∠α、∠β之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点B、D、O三点不重合），请你直接
写出∠CPA与∠α、β之间的数量关系．
13．（2022·全国·八年级专题练习）如图1，四边形MNBD为一张长方形纸片．
（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），则
∠BAE+∠AEC+∠ECD=__________°．
（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），则
∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=__________°．
（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），
则∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=___________°．
（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出(n+1)个角，那么这(n+1)个角的和是
____________°．
14．（2021·全国·七年级专题练习）请你探究：如图（1），木杆EB与FC平行，木杆的两端B、C用一橡
皮筋连接．
（1）在图（1）中，∠B与∠C有何关系？
（2）若将橡皮筋拉成图（2）的形状，则∠A、∠B、∠C之间有何关系？
（3）若将橡皮筋拉成图（3）的形状，则∠A、∠B、∠C之间有何关系？（4）若将橡皮筋拉成图（4）的形状，则∠A、∠B、∠C之间有何关系？
（5）若将橡皮筋拉成图（5）的形状，则∠A、∠B、∠C之间有何关系？
（注：以上各问，只写出探究结果，不用说明理由）
15．（2022·江苏·灌南县新知双语学校七年级阶段练习）阅读下面材料，完成（1)～（3）题．
数学课上，老师出示了这样—道题：
如图1，已知AB//CD,点E,F分别在AB,CD上，EP⊥FP,∠1=60°．求∠2的度数．
同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：
小明：“如图2，通过作平行线，发现∠1=∠3,∠2=∠4，由已知EP⊥FP,可以求出∠2的度数．”
小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得∠2=∠3=∠4,也能求出∠2的度数．”
小华：∵如图4，也能求出∠2的度数．”(1)请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______；
(2)请你根据以上同学所画的图形，直接写出∠2的度数为_________°；
老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”
请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：
(3)如图，AB//CD，点E,F分别在AB，CD上，FP平分∠EFD,∠PEF=∠PDF,若∠EPD=a,请
探究∠CFE与∠PEF的数量关系（(用含α的式子表示)，并验证你的结论．
16．（2022·全国·七年级）综合探究：已知AB//CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、
CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG=40°，求
∠MGN+∠MPN的度数．
17．（2021·全国·七年级专题练习）（1）问题情境：如图1，AB//CD，∠PAB=120°，∠PCD=130°，求
∠APC的度数．
小辰的思路是：如图2，过点P作PE//AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数，请写出具体求解过程．
（2）问题迁移：
①如图3，AD//BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，设∠CPD=∠α，∠ADP=β
，∠BCP=∠γ，问：∠α、β、∠γ之间有何数量关系？请说明理由．
②在①的条件下，如果点P不在A，B两点之间运动（点P与点A，B，O三点不重合），请直接写出∠α、
β、∠γ间的数量关系．18．（2021·浙江·金华海亮外国语学校七年级阶段练习）问题情境：如图1，已知AB//CD，
∠APC=108°．求∠PAB+∠PCD的度数．
经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE//AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD=
________．
问题迁移：如图3，AD//BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．
（1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、
∠β之间的数量关系，
问题拓展：如图4，M A //N A ，A −B −A −⋯−B −A 是一条折线段，依据此图所含信息，把
1 n 1 1 2 n−1 n
你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为________．
19．（2022·广东·惠阳竹贤学校八年级阶段练习）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝
120°，求∠APC度数．思路点拨：
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求
出∠APC的度数；
小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；
小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出
∠APC的度数．
问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为
°；
问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝
∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接
写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
20．（2021·全国·七年级专题练习）如图1、图2，已知∠1+∠2＝180°．
（1）若图1中∠AEF＝∠HLN，试找出图中的平行线，并说明理由；
（2）如图2，∠PMB＝3∠QMB，∠PND＝3∠QND，试探究∠P与∠Q的数量关系？（直接写答案，不写
过程）．
