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第07讲 弧长、扇形面积和圆锥的侧面积
1. 理解弧长和扇形面积及公式，并会计算弧长和扇形的面积
2. 经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想、培
养学生的探索能力；
3. 通过弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切
联系；
4.通过探索圆锥侧面积和全面积计算公式，并熟练运用公式解决问题。
知识点1：扇形的弧长和面积计算
扇形：（1）弧长公式： ； （2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
注意：
(1)对于弧长公式，关键是要理解 1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 ，即
；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半
径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个
量就可以求出第三个量.
(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 ，即 ；
(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道
其中的两个量就可以求出第三个量.
知识点2：扇形与圆柱、圆锥之间联系
1、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图 D
A D1
=
母线长
底面圆周长
（2）圆柱的体积： B C1
C
B1
2、圆锥侧面展开图
（1） = O
R
（2）圆锥的体积：
C
A r B
注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（ ）
【题型1 弧长的计算】
【典例1】（2023•怀集县二模）如图，△ABC内接 O，∠BAC＝45°，BC＝
⊙
，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
π【答案】C
【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∵BC＝ ，
∴OB＝OC＝ BC＝1，
∴ 的长为： ＝ ，
故选：C．
π
【变式1-1】（2023•钦州一模）如图，点 A，B，C，E在 O上，OC⊥AB于
⊙
点D，∠E＝22.5°，OB＝2 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
π π
【解答】解：∵∠E＝22.5°，
∴∠BOC＝2∠E＝45°，
∵OB＝2 ，
∴ 的长为 ＝ ，
故选：B．【变式1-2】（2023•崆峒区校级三模）道路施工部门在铺设如图所示的管道时，
需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线 的长为（单位：
m）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：图中的管道中心线 的长为 ＝ （m），
故选：B．
【变式1-4】（2022秋•石景山区期末）若圆的半径为 9，则120°的圆心角所对
的弧长为（ ）
A．3 B．6 C．3 D．6
【答案】D
π π
【解答】解：由题意知，r＝9，n＝120，
∴l＝ ＝ ＝6 ，
故选：D．
π
【变式1-4】（2023•兰州模拟）如图，从一块半径为8cm的圆形铁皮上剪出一
个圆心角是60°的扇形ABC，则扇形ABC中弧BC的长为（ ）cmA． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：作OD⊥AB于D，如图，则AD＝BD，
∵∠OAD＝ ∠BAC＝30°，
∴OD＝ OA＝4cm，
∴AD＝ ＝ ＝4 （cm），
∴AB＝2AD＝8 cm，
∴弧BC的长＝ ，
故选：D．
【题型2 利用弧长公式求周长】
【典例2】（2023•宁德模拟）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使
用的一种图形．如图，以等边三角形 ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径
画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”．若等边三角形 ABC的边长
为2，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
π【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝CA，∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，
∴ ＝ ＝ ，
∵ 的长＝ ＝ ，
π
∴“莱洛三角形”的周长等于 的长×3＝ ×3＝2 ．
故选：A．
π
【变式2-1】（2022•潍坊三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，
AC＝8，D为BC的中点，连接AD，以点D为圆心，DA长为半径作弧MN，
若DM⊥AB于点E，DN⊥AC于点F．则图中阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝ ＝ ＝10，
∵D为BC的中点，
∴AD＝BD＝CD＝ BC＝5，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，DE＝ AC＝4，DF＝ AB＝3，
∴AF＝DE，AE＝DF，∠MDN＝90°，
∵DE+DM＝DF+FN＝AD，
∴阴影部分的面积为2AD+ ＝10+ ，故选：C．
【变式2-2】（2022•山西模拟）小敏所在的小区有如图1所示的护栏宣传版面，
其形状是扇形的一部分，图 2是其平面示意图，AD和BC都是半径的一部分，
小敏测得AD＝BC＝0.6m，DC＝0.8m，∠ADC＝∠BCD＝120°，则这块宣传
版 面 的 周 长 为 （ ）
A．（ +2）m B．（ +2）m
π π
C．（ ）m D．（ ）m
【答案】A
【解答】解：如图，延长AD、交BC的延长线于点E，
∵∠ADC＝∠BCD＝120°，
∴∠CDE＝∠DCE＝60°，
∴∠E＝60°，
∴DE＝DC＝0.8m，
∴AE＝AD+DE＝0.6+0.8＝1.4（m），
∴ ＝ ＝ ，
∴这块宣传版面的周长为：AD+DC+BC+ ＝0.6+0.8+0.6+ ＝＝ （m）．
故选：A．
【变式2-3】（2023•安陆市二模）如图，分别以△ABC的三个顶点为圆心，作
半径均为1的三个圆，三圆两两不相交，那么三个圆落在△ABC内的三段弧
长度之和为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
π π π
【解答】解：根据图示可得：在△ABC内的三段弧长度之和为： ＝
，
故选：C．
π
【题型3 计算扇形的面积】
【典例3】（2023•忻州模拟）习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领
有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是 一块弘扬“新时代青
年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以O
为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若 OA＝
3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A． B．3m2 C． D．
【答案】A
【解答】解：如图，S ＝S ﹣S
阴 扇形DOA 扇形BOC
＝ ﹣ ＝ （m2）．
故选：A． π
【变式3-1】（2023•温州三模）一个扇形的圆心角为 135°，半径为2，则该扇
形的面积为 ．
【答案】 ．
【解答】解：扇形的面积＝ ＝ ．
故答案为： ．
【变式3-2】（2023•嘉祥县二模）扇子在我国已经有三、四千年的历史，中国
扇文化有丰富的文化底蕴．如图，扇形纸扇完全打开后，弧 BC 的长度为
20 cm，弧 DE 的长度为 ，扇面边缘宽 BD 的长为 20cm，则扇面
π
DBCE的面积为 cm2．
【答案】 ．
【解答】解：设扇形的圆心角为n°，则 ＝20 ， ，
∴AB＝3AD，
π π
∵BD＝AB﹣AD＝20，
∴AD＝10，BD＝30，
∴n＝120，
则 扇 面 的 面 积 为
（cm2）．
故答案为： ．
【题型4 计算不规则图形的阴影部分面积】
【典例4】（2023•平遥县二模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝1，
∠A＝60°，将Rt△ACB绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DCE，点B经过的
路径为 ，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F
处，点B经过的路径为 ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：S ＝S +S ﹣S
阴 △ACB 扇形CBE 扇形ABF
＝ ×1× + ﹣
＝ + ，故选：A．
【变式4-1】（2023•建昌县二模）如图，扇形纸片的半径为6，沿AB折叠扇形
纸片，点O恰好落在 上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在 上的点C处，
∴AC＝AO，BC＝BO，
∵AO＝BO，
∴四边形AOBC是菱形，
连接OC交AB于D，
∵OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAO＝∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵AC＝6，
∴OC＝3，AD＝ AC＝3 ，
∴AB＝2AD＝6 ，
∴图中阴影部分的面积＝S ﹣S ＝ ﹣ 6×6 ＝12
扇形AOB 菱形AOBC
π
﹣18 ．
故选：A．【变式4-2】（2023•长阳县一模）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，
连接BC，CD，AC，BD，BC＝CD，∠ACD＝30°，AB＝12，则图中阴影部
分的面积为 6 ．
π
【答案】6 ．
【解答】解：连接OD，OC，OC交BD于点E，过点O作OF⊥CD于点F，
π
则：OD＝OC＝OB；
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝30°，AB＝12，
∴ ，
∵BC＝CD， 为半圆，
∴ ，
∵OD＝OC＝OB，
∴ ，△COD为等边三角形，
∴OE⊥BD，BD＝2BE， ，
∴ ， ， ，∴ ，
∴S ＝S +S ﹣S
阴影 扇形OCB △OCD △OBD
＝
＝6 ．
故答案为：6 ．
π
【变式4-3】（2023•叶县模拟）如图，扇形 OAB的半径OA＝2cm，∠AOB＝
π
120°，则以AB为直径的半圆与 围成的区域（图中阴影部分）的面积是
cm2．
【答案】 ．
【解答】解：∵扇形OAB的半径OA＝2cm，∠AOB＝120°，
∴ （cm2），
过点O作OP⊥AB于点P，
则AP＝BP，
∵OA＝OB，
∴∠AOP＝∠BOP＝60°，
∴∠OAP＝30°，
∴ （cm），
在Rt△AOP中，由勾股定理得： （cm），
∴AB＝2AP＝ （cm），∴ （cm2），
∴ （cm2）
∴S ＝S ﹣（S ﹣S ）
阴影 半圆 扇形OAB △AOB
＝
＝
＝ （cm2），
∴阴影部分的面积是 ，
故答案为： ．
【题型5 旋转过程中扫过的路径或面积】
【典例5】（2020秋•江城区月考）如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，
在水平桌面上绕点 C 按顺时针方向旋转到 A′B′C 的位置．若 BC 的长为
7.5cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（ ）
A．10 cm B．10 cm C．15 cm D．20 cm
【答案π】A π π π
【解答】解：∵BC＝7.5cm，
∴AC＝15cm，＝10 cm，
故选：A．
π
【变式5-1】（2022•枣庄）在活动课上，“雄鹰组”用含 30°角的直角三角尺
设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆
时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B
点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 ．（结果保留 ）
π
【答案】 ．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°，
由旋转的性质得，∠BAB′＝∠BAC＝60°，
∴B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 ＝ ，
故答案为： ．
【变式5-2】（2022•武山县校级一模）如图，正六边形ABCDEF是边长为2cm
的螺母，点P是FA延长线上的点，在A、P之间拉一条长为12cm的无伸缩
性细线，一端固定在点 A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在
螺母上（缠绕时螺母不动），则点P运动的路径长为 1 4 ．
π【答案】见试题解答内容
【解答】解：图中扇形的圆心角是60°，则点P运动的路径长是： +
+ + + + ＝14 ．
故答案是：14 ．
π
【变式5-3】（2022秋•邯山区校级期末）已知△ABC在平面直角坐标系中的位
π
置如图所示．
（1）△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C，直接写出A′，
B′坐标；
（2）在（1）的条件下，请直接写出点 B旋转到点B′所经过的路线长
（结果保留 ）；
（3）在（1）的条件下，求点 A 旋转到点 A′时，线段 AC 所扫过的面积
π π
（结果保留 ）．
π
【答案】（1）作图见解析，A′（6，4），B′（5，1）；（2） ；
π
（3） ．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′为所作，A′（6，4），B′（5，
1）；
（2）由勾股定理得，AC＝ ＝3 ，
如图，点A旋转到点A′所经过的路线长＝ ＝ ．
π
故答案为： ；
π
（3）如图，点A旋转到点A′时，线段AC所扫过的面积＝
＝ ．
【典例6】（2023•丰润区二模）如图，将含 60°角的直角三角板ABC绕顶点A
顺时针旋转 45°后得到△AB'C'，点 B 经过的路径为弧 BB′，若∠BAC＝
60°，AC＝3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
π【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝3，
∴∠ABC＝30°．
∴AB＝2AC＝6．
根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S ＝S ，AB＝AB′．
△ABC △AB′C′
∴S ＝S +S ﹣S
阴影 扇形ABB′ △AB′C′ △ABC
＝
＝ ．
故选：C．
【变式 6-1】（2023•凉山州模拟）如图，将△ABC 绕点 C 旋转 60°得到
△A'B'C'，已知AC＝6，BC＝4，则线段AB扫过的图形面积为（ ）
A． B．
C．6 D．以上答案都不对
【答案】B
π
【解答】解：∵△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴S ＝S ，∠BCB′＝∠ACA′＝60°．
△ABC △A′B′C
∵AB扫过的图形的面积＝S +S ﹣S ﹣S ，
扇形ACA′ △ABC 扇形BCB′ △A′B′C
∴AB扫过的图形的面积＝S ﹣S ，
扇形ACA′ 扇形BCB′
∴AB扫过的图形的面积＝ ﹣ ＝ ．
故选：B． π
【变式6-2】（2023春•诸暨市月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，O，H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B逆时针旋
转 120°到△A BC 的位置，则整个旋转过程中线段 OH 所扫过部分的面积
1 1
（即阴影部分面积）为（ ）
A． ﹣ B． + C． D．
【答案】C
π π π
【解答】解：连接BH，BH ，
1
∵O、H 分别为边 AB，AC 的中点，将△ABC 绕点 B 逆时针旋转 120°到
△A BC 的位置，
1 1
∴△OBH≌△O BH ，
1 1
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，
∴AC＝ ＝ ＝2 ．
∵H为边AC的中点，
∴CH＝ AC＝ ，
∴BH＝ ＝ ＝ ，
∴阴影部分面积＝ ＝ ＝ ．
故选：C． π【变式 6-3】（2023•义乌市校级开学）如图，已知 Rt△ACB≌Rt△BDE，
∠ACB＝∠BDE＝90°，∠CAB＝30°，点C在线段BD上，BC＝2．将△BDE
绕点B按顺时针方向旋转30°，使得BE与BA重合，则线段DE所扫过的面
积（即阴影部分面积）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，
∴∠ABC＝60°，AB＝2BC＝4，
∴AC＝ BC＝2 ，
∵∠ABE＝30°，
∴∠DBF＝30°，
∵Rt△ACB≌Rt△BDE，∠ACB＝∠BDE＝90°，
∴DB＝AC＝2 ，
由旋转变换可知，△BDE≌△BFA，
∴S ＝S ，
△BDE △BFA
∴S ＝S +S ﹣S ﹣S
阴影 扇形ABE △BDE △BFA 扇形BDF
＝S ﹣S
扇形ABE 扇形BDF
＝ ﹣
＝ ﹣
π π
＝ ．
π故选：C．
【题型6 圆锥的计算】
【典例7】（2023•零陵区三模）如图，圆锥的底面半径是1，则圆锥侧面展开
图中扇形的弧长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
π π π π
【解答】解：∵圆锥底面圆的半径为1，
∴圆锥底面圆的周长为：2 r＝2 ×1＝2 ，
∴圆锥侧面展开图扇形的弧长为：2 ．
π π π
故选：B．
π
【变式 7-1】（2023•武陵区一模）已知圆锥的母线长为 5cm，底面半径为
3cm，则该圆锥的侧面积是（ ）
A．30cm2 B．30 cm2 C．15 cm2 D．12 cm2
【答案】C
π π π
【解答】解：圆锥的侧面积＝ （cm2）．
故选：C．
【变式7-2】（2023•仁和区二模）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组
成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为36 m2，圆柱高为4m，圆锥高为2m的
蒙古包，则需要毛毡的面积是（ ）
πA． B．144 m2
π
C． D．216 m2
【答案】A π
【解答】解：设圆柱的底面圆的半径为rm，
根据题意得 r2＝36 ，
解得r＝6，
π π
所以圆锥的母线长为 ＝2 （m），
所以需要毛毡的面积＝2 ×6×4+ ×2 ×6×2 ＝（48+12 ） cm2．
故选：A．
π π π
【变式7-3】（2023•蜀山区二模）如图，用一个圆心角为 的扇形纸片围成一
个底面半径为2，侧面积为8 的圆锥体，则该扇形的圆心角 得大小为（
θ
）
π θ
A．90° B．120° C．150° D．180°
【答案】D
【解答】解：设圆锥的母线长为l，
∴ ，
∴ ，
∵ ×2×l＝8 ，
π π
∴ ，
∴ ＝180°，
θ故选：D．
【题型7 圆柱的计算】
【典例8】（2022秋•怀柔区校级月考）将一个高6cm的圆柱转化成如图的一个
几何体后，表面积增加了48cm2．这个圆柱的半径是（ ）cm．
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【解答】解：圆柱的底面半径：48÷2÷6
＝24÷6
＝4（厘米）．
故这个圆柱底面的半径是4厘米．
故选：B．
【变式8-1】（2022春•绥棱县校级月考）把一根长2米、底面积是20平方厘米
的圆柱形木料平行于底面截成3段，表面积增加了（ ）平方厘米．
A．240 B．80 C．120 D．160
【答案】B
【解答】解：因为把一根长2米、底面积是20平方厘米的圆柱形木料平行于
底面截成3段会增加4个底面，
所以表面积增加了20×4＝80（平方厘米），
故选：B．
【变式8-2】（2022•绵阳）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位
置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每
平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（
的值取3.14）（ ）
πA．282.6 B．282600000 C．357.96 D．357960000
【答案】A
【解答】解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为0.3m，
圆锥的高为0.4m，
则圆锥的母线长为： ＝0.5m．
∴圆锥的侧面积S ＝ ×0.3×0.5＝0.15 （m2），
1
∵圆柱的高为1m．
π π
圆柱的侧面积S ＝2 ×0.3×1＝0.6 （m2），
2
∴浮筒的表面积＝2S +S ＝0.9 （m2），
π1 2 π
∵每平方米用锌0.1kg，
π
∴一个浮筒需用锌：0.9 ×0.1kg，
∴1000个这样的锚标浮筒需用锌：1000×0.9 ×0.1＝90 ≈282.6（kg）．
π
故选：A．
π π
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，得复制发布日期：2023/6/26 15:16:；用户：gaga；邮箱：1837956；学
1．（2023•新疆）如图，在 O中，若∠ACB＝30°，OA＝6，则扇形OAB（阴
影部分）的面积是（ ）
⊙
A．12 B．6 C．4 D．2
π π π π【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∴ ，
故选：B．
2．（2023•连云港）如图，矩形 ABCD内接于 O，分别以AB、BC、CD、AD
为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（ ）
⊙
A． ﹣20 B． ﹣20 C．20 D．20
【答案】D
π π π
【解答】解：如图，连接BD，则BD过点O，
在Rt△ABD中，AB＝4，BC＝5，
∴BD2＝AB2+AD2＝41，
S ＝S +S +S ﹣S
阴影部分 以AD为直径的圆 以AB为直径的圆 矩形ABCD 以BD为直径的圆
＝ ×（ ）2+ ×（ ）2+4×5﹣ ×（ ）2
π π π
＝ +20﹣
＝20，
故选：D．3．（2023•宜宾）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧
长度的“会圆术”．如图， 是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB
的中点．MN⊥AB．“会圆术”给出 的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+
．当OA＝4，∠AOB＝60°时，则l的值为（ ）
A．11﹣2 B．11﹣4 C．8﹣2 D．8﹣4
【答案】B
【解答】解：连接ON，如图：∵ 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB，
∴ON⊥AB，
∴M，N，O共线，
∵OA＝4，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝4，∠OAN＝60°，
∴ON＝OA•sin60°＝2 ，
∴MN＝OM﹣ON＝4﹣2 ，
∴l＝AB+ ＝4+ ＝11﹣4 ；
故选：B．
4．（2023•永州）已知扇形的半径为 6，面积为6 ，则扇形圆心角的度数为
60 度．
π
【答案】60．
【解答】解：设扇形圆心角的度数为n°，
则 ＝6 ，
解得：n＝60，π
即扇形圆心角的度数为60°，
故答案为：60．
5．（2023•温州）若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为 4 ．
【答案】4 ．
π
π
【解答】解：由弧长公式得 ，
故答案为：4 ．
6．（2023•金华）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为
π
直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 cm．
π【答案】 ．
【解答】解：连接OE，OD，
π
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠EOD＝∠AEO，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠BAC＝50°，
∴∠EOD＝∠BAC＝50°，
∵OD＝ AB＝ ×6＝3（cm），
∴ 的长＝ ＝ （cm）．
π
故答案为： ．
π
7．（2023•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，
连接AE．DE．以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，
N．则图中阴影部分的面积为 4 ﹣ （结果保留 ）．
π π【答案】4﹣ ．
【解答】解：∵AD＝2AB＝4，E为BC的中点，
π
∴BE＝CE＝2，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠CDE＝∠DEC＝45°，
∴阴影部分的面积为 ﹣2× ＝4﹣ ．
故答案为：4﹣ ． π
8．（2023•重庆）如图， O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则
π
⊙
图中阴影部分的面积为 ﹣12 ．（结果保留 ）
π π
【答案】 ﹣12．
【解答】解：连接BD，
π
∵∠BAD＝90°，
∴BD是 O的直径，
∵AB＝4，AD＝3，
⊙
∴BD＝ ＝ ＝5，
∴S ＝S ﹣S ＝ ﹣3×4＝ ﹣12．
阴影 O 矩形ABCD
⊙
π
故答案为： ﹣12．
π9．（2023•内江）如图，用圆心角为 120°半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面
（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是 4 ．
【答案】4 ．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2 r＝ ，
解得r＝2，
π
所以圆锥的高＝ ＝4 ．
故答案为：4 ．
10．（2023•宁波）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，
则烟囱帽的侧面积为 150 0 cm2．（结果保留 ）
π π
【答案】1500 ．
π
【解答】解：烟囱帽的侧面积为： ×2 ×30×50＝1500 （cm2），
π π故答案为：1500 ．
11．（2023•自贡）如图，小珍同学用半径为8cm，圆心角为100°的扇形纸片，
π
制作一个底面半径为 2cm的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是
cm2．
【答案】 ．
【解答】解：如图，由题意得弧AC的长为2 ×2＝4 （cm），
设弧AC所对的圆心角为n°，则
π π
即 ＝4 ，
解得n＝90，
π
∴粘贴部分所对应的圆心角为100°﹣90°＝10°，
∴圆锥上粘贴部分的面积是 ＝ （cm2），
故答案为： ．
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1．（2023•东莞市校级模拟）如图，点 A、B、P在 O上，若AO＝2，∠APB
⊙＝35°，则劣弧 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
π
【解答】解：∵∠APB＝35°，
∴∠AOB＝2∠APB＝70°，
∴劣弧 的长度为 ＝ ．
故选：D．
π
2．（2023•南岗区校级三模）已知扇形半径为 6，弧长为4 ，则扇形面积为（
）
π
A．10 B．12 C．16 D．24
【答案】B
π π π π
【解答】解： ，
故选：B．
3．（2023•大同模拟）如图，在扇形 AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝3，将
扇形AOB沿过点B的直线折叠，使点 O恰好落在AB上的点D处，折痕为
BC，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． ﹣3 C． D．【答案】B
【解答】解：如图，过点O作OE⊥DC，交DC的延长线于点E，连接OD，
根据折叠的性质，CD＝CO，BD＝BO，∠DBC＝∠OBC，
∴OB＝BD＝OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠DBO＝60°．
∵∠CBO＝ ∠DBO＝30°，
∵∠AOB＝90°，
∴OC＝OB•tan∠CBO＝3× ＝ ，
∴S△BOC＝ OB•OC＝ ，
∵△BOC与△BDC面积相等，
∴S ＝S ﹣S ﹣S
阴影 扇形AOB △BOC △BDC
＝ ×32﹣ ﹣ ＝ ﹣3 ．
故选：B．
π
4．（2023•建昌县一模）如图，在矩形 ABCD中，AD＝1， ，以点A为
圆心，AB长为半径画弧，交边 CD于点E，连接AE，则扇形BAE的面积为
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵以点A为圆心，AB长为半径画弧，交边CD于点E，
∴AE＝AB，
在矩形ABCD中，AD＝1， ，
∴∠D＝∠DAB＝90°，DE＝ ＝1，
∴AD＝DE，△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝45°，
∴∠BAE＝45°，
∴ ，
故选：B．
5．（2023•南皮县校级一模）数学课上，老师将如图边长为 1的正方形铁丝框
变形成以A为圆心，AB为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形
DAB的面积是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．
【答案】A
【解答】解：∵正方形的边长为1，∴ 的长度＝2，
∴S ＝ lr＝ ×2×1＝1．
扇形DAB
故选：A．
6．（2022秋•防城港期末）在中国书画艺术中，扇面书画是一种特殊的形式．
如图扇面书法作品的形状是同心圆作出的扇面，扇面弧所对的圆心角是
120°，大圆半径是20cm，小圆半径是10cm，则此书法作品的扇面面积是（
）
A．300 cm2 B．200 cm2 C．100 cm2 D．80 cm2
【答案】C
π π π π
【解答】解：根据题意得：大扇形的面积 S ＝ ＝
大
（cm2）， π
小扇形的面积S ＝ ＝ （cm2），
小
π
所以此书法作品的扇形面积S＝S ﹣S ＝ ﹣ ＝100 （cm2），
大 小
故选：C．
π π π
7．（2022•治多县模拟）钟面上的分针的长为1，从9点到9点15分，分针在
钟面上扫过的面积是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
π π π
【解答】解：从9点到9点15分分针扫过的扇形的圆心角是90°，则分针在钟面上扫过的面积是： ＝ ．
故选：B． π
8．（2023•宿迁一模）若圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆柱
的侧面积为（ ）
A．12cm2 B．24cm2 C．12 cm2 D．24 cm2
【答案】D
π π
【解答】解：根据侧面积公式可得： ×2×3×4＝24 cm2，
故选：D．
π π
9．（2023•常德三模）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15 cm2，则这个圆
锥的底面圆的面积为（ ）
π
A．2.25 cm2 B．9 cm2 C．12 cm2 D．36 cm2
【答案】B
π π π π
【解答】解：圆锥侧面展开图扇形圆心角度数为n°，底面圆半径为r，
由题意得， ，
∴n＝216，
∴ ，
∴r＝3cm，
∴底面圆的面积为32× ＝9 （cm2），
故选：B．
π π
10．（2023•天门校级模拟）如图，圆锥的轴截面是一个斜边为 2的等腰直角三
角形，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C．2 D．
π【答案】B
【解答】解：∵圆锥的轴截面是一个斜边为2的等腰直角三角形，
∴底面半径＝1，母线长 ，底面周长＝2 ，
π
∴圆锥的侧面积＝ ，
故选：B．
11．（2023•微山县一模）如图，在△ABC 中，CA＝CB＝6，∠BAC＝ ，将
△ABC绕点A逆时针旋转2 ，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于
α
点D，当B′D⊥AB时，弧BB′的长是（ ）
α
A．2 B． C． D．
【答案】D
π
【解答】解：如图，连接CC'，
∵∠BAC＝ ，将△ABC绕点A逆时针旋转2 ，得到△AB'C'，
∴∠BAC＝∠B'AC＝∠B'AC'＝ ，AC＝AC'＝C'B'，
α α
∴AB'⊥CC'，CQ＝C'Q，AQ＝B'Q，
α
∴四边形ACB'C'是菱形，∠AB'D＝ ，
∴2 + ＝90°，
α
解得 ＝30°，2 ＝60°，
α α
∵CA＝CB＝6，B'D⊥AB，
α α∴ ， ，
∴弧BB'的长是 ，
故选：D．
12．（2023•庆元县一模）如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机
械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画：先画正三角形ABC，然后
分别以点 A，B，C 为圆心，AB 长为半径画弧．若一个弧三角形的周长为
2 ，则此弧三角形的面积是（ ）
π
A． B． C． D．2
【答案】A π
【解答】解：∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵一个弧三角形的周长为2 ，
π
∴3× ＝2 ，
∴AB＝2，
π
∴此弧三角形的面积＝3S ﹣2S ＝3× ﹣2× ＝
扇形BAC △ABC
2 ﹣2 ；
故π选：A．
13．（2023•阳泉二模）如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，半圆绕点B顺时
针旋转45°．点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
π
【解答】解：∵以AB为直径半圆的面积＝以BA′为直径的半圆的面积，
∴阴影的面积＝扇形BAA′的面积+半圆的面积﹣半圆的面积＝扇形 BAA′
的面积，
由题意知扇形BAA′的圆心角是45°，半径是6，
∴扇形BAA′的面积＝ ＝ ，
∴阴影的面积＝ ．
故选：D．
14．（2022•南岗区校级开学）一个底面直径是10厘米，高是20厘米的圆柱，
如果把它沿直径垂直于底面切成两半，表面积增加了 40 0 平方厘米．
【答案】400．
【解答】解：10×20×2＝400（平方厘米），
故表面积增加了400平方厘米．
故答案为：400．
15．（2022•常山县模拟）一个圆柱的底面半径为5cm，母线长为6cm，则这个
圆柱的侧面积为 6 0 cm2．
【答案】60 ．
π
【解答】解：圆柱的底面周长为： ×2×5＝10 （cm），
π
侧面积为10 ×6＝60 （cm2）．
π π
故答案为：60 ．
π π
16．（2023•西湖区校级二模）已知扇形的半径为3cm，圆心角为150°，则该扇
π
形的弧长为 cm．
π【答案】 ．
π
【解答】解：∵L＝ ，扇形的半径为3cm，圆心角为150°，
∴扇形的弧长L＝ ＝ ．
π
故答案为： ．
17．（2023•镇平县二模）如图，扇形纸片AOB，沿AB折叠扇形纸片，点O恰
π
好落在 上的点 C 处，已知 ，则图中阴影部分的周长为 +4
．
【答案】 +4．
【解答】解：连接OC，交AB于H，
∵扇形纸片AOB沿AB折叠，点O落在 上的点C处，
∴AC＝OA，OB＝BC，OC⊥AB，
∵OC＝OA，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
同理：∠BOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OC⊥AB，
∴AH＝ AB＝ ×2 ＝ ，∵sin∠AOC＝ ＝ ，
∴AO＝2，
∴AC＝BC＝OA＝2，
∵ 的长＝ ＝ ．
∴图中阴影部分的周长＝ 的长+AC+BC＝ +4．
故答案为： +4．
18．（2022•盘龙区校级模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB
＝1cm．将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△AB'C'位置．则边BC扫过的面积
是 cm2．
【答案】 ．
【解答】解：∵∠ACB＝30°，∠B＝90°，AB＝1cm．
∴AC＝2AB＝2cm，BC＝ cm，∠BAC＝60°，
∴边BC扫过区域的面积为：S +S ﹣S ﹣S ，
扇形AC′C △ABC 扇形AB′B △AB′C′
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△AB'C'位置．
∴∠CAC′＝60°，AC′＝AC＝2cm，B′C′＝BC＝ cm，AB′＝AB＝1cm．S ＝S ，
△ABC △AB′C′
∴边BC扫过区域的面积为：S ﹣S ＝ ﹣ ＝
扇形AC′C 扇形AB′B
（cm2）．
故答案为： ．
19．（2022秋•赵县期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条
圆弧经过网格点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2），请在网格图中进
行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为 （﹣ 2 ， 0 ） ；
（2）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的周长为
．（结果保留根号）
【答案】（1）（﹣2，0）；
（2） ．
【解答】解：（1）如图，分别作 AB、BC的垂直平分线，两直线的交点 D
即为该圆弧所在圆的圆心，由图可知，点D坐标为（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）；
（2）根据图形，由勾股定理得： ， ，∴CD2+DA2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
∴该圆锥的底面圆的周长为 ，
故答案为： ．
20．（禹会区一模）如图，一块等边三角形的木板，边长为 1，现将木板沿水
平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：从图中发现：B点从开始至结束所走过的路径长度为两段弧长
即第一段＝ ，第二段＝ ．
故B点从开始至结束所走过的路径长度＝ + ＝ ．
21．（海淀区校级开学）如图，在平面直角坐标系 xOy中，以原点O为旋转中
心，将△AOB顺时针旋转90°得到△A'OB'，其中点A'与点A对应，点B'与点
B对应．如果A（﹣4，0），B（﹣1，2）．请回答：
（1）点B'的坐标为 （ 2 ， 1 ） ．
（2）点A经过的路径 的长度为 2 ．（友情提示：已经有 ）
π π【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示：
∵A（﹣4，0），B（﹣1，2）．
∴A'的坐标为（0，4），
B'的坐标为（2，1），
∴OA＝OA'＝4，
∴点A经过的路径 的长度＝ ＝2 ．
π
22．（2022秋•牡丹区校级期末）一个圆柱体，高减少了4厘米，表面积就减少
50.24平方厘米，求这个圆柱体的底面积．
【答案】12.56平方厘米．
【解答】解：底面周长为50.24÷4＝12.56 （cm），
底面半径为12.56÷3.14÷2＝2（厘米），
3.14×22＝12.56（平方厘米），
答：这个圆柱体的底面积12.56平方厘米．
