文档内容
【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题6.7有关平方根及立方根综合问题（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压
轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己
的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．（2022秋•平昌县期末）已知实数a+9的一个平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，求2a+b的算术平方
根．
【分析】根据平方根、立方根以及算术平方根的定义解决此题．
【解答】解：由题意得，a+9＝25，2b﹣a＝﹣8．
∴b＝4，a＝16．
∴2a+b＝32+4＝36．
∴2a+b的算术平方根是√36=6．
2．（2021秋•白银期末）已知2a﹣1的算术平方根是3，a﹣b+2的立方根是2，求a﹣4b的平方根．
【分析】利用算术平方根、立方根性质求出a与b的值，即可确定出所求．
【解答】解：∵2a﹣1＝32，
∴a＝5，
∵a﹣b+2＝23，
∴b＝﹣1，
∴±√a−4b=±√5−4×(−1)=±√9=±3．
3．（2022•南通模拟）已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的立方根是2，求a﹣2b的平方根．
【分析】利用算术平方根，以及立方根定义求出a与b的值，即可求出所求．
【解答】解：由题意得：2a﹣1＝9，3a+b﹣1＝8，
解得：a＝5，b＝﹣6，
则a﹣2b＝5+12＝17，17的平方根是±√17．
4．（2021秋•济宁期末）已知x+1的平方根是±2，2x+y﹣2的立方根是2，求x2+y2的算术平方根．
【分析】根据平方根、立方根的定义即可得到x、y的值，最后代入代数式求解即可．
【解答】解：∵x+1的平方根是±2，
∴x+1＝4，
∴x＝3，∵2x+y﹣2的立方根是2，
∴2x+y﹣2＝8，
把x的值代入解得：
y＝4，
∴x2+y2＝25，
∴x2+y2的算术平方根为5．
√ab
5．（2022春•定远县期末）已知某正数的两个平方根分别是 a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣2．求 的
2
平方根．
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，列出方程求出a的值；根据b的立方根是﹣2
√ab
求出b的值；然后求出 的值，再求它的平方根．
2
【解答】解：根据题意得：a﹣3+2a+15＝0，
解得：a＝﹣4，
∵b的立方根是﹣2，
∴b＝（﹣2）3＝﹣8，
√ab √(−4)×(−8)
∴ = =√16=4，
2 2
∴4的平方根为±2．
√ab
答： 的平方根为±2．
2
6．（2022春•宜州区期中）已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b的算术平方根为4．求5a+2b的立方根．
【分析】根据平方根，算术平方根的意义可得2a﹣1＝9，3a+b＝16，从而求出a，b的值，然后代入式
子中进行计算即可解答．
【解答】解：∵2a﹣1的平方根为±3，
∴2a﹣1＝9，
∴a＝5，
∵3a+b的算术平方根为4，
∴3a+b＝16，
即15+b＝16，
∴b＝1，∴5a+2b＝25+2＝27，
∴5a+2b的立方根为3．
7．（2022•南京模拟）已知（a﹣2）的平方根是±2，（2a+b+7）的立方根是3，求（a2+b2）的算术平方根．
【分析】根据平方根、立方根的定义和已知条件可知a﹣2＝4，2a+b+7＝27，列方程解出a、b，最后代
入代数式求解即可．
【解答】解：∵a﹣2的平方根是±2，
∴a﹣2＝4，
∴a＝6，
∵2a+b+7的立方根是3，
∴2a+b+7＝27．
把a的值代入解得：b＝8，
∴a2+b2＝36+64＝100，
∵100的算术平方根为10，
∴（a2+b2）的算术平方根为10．
8．（2022秋•晋江市期中）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b+10的立方根是3．
（1）求a，b的值；
（2）求a+b的算术平方根．
【分析】（1）根据平方根和立方根的定义即可求出a，b的值；
（2）把a＝5，b＝2代入a﹣2b求出代数式的值，再求它的算术平方根即可．
【解答】解：（1）∵2a﹣1的平方根是±3，
∴2a﹣1＝9，
∴a＝5，
∵3a+b+10的立方根是3，
∴3a+b+10＝27，
∴15+b+10＝27，
∴b＝2；
（2）把a＝5，b＝2代入a+b得：a+b＝5+2＝7，
a+b的算术平方根是√7．
9．（2022春•富县期末）已知：y的立方根是2，2x﹣y是16的算术平方根，求：
（1）x、y的值；
（2）x2+y2的平方根．【分析】（1）根据立方根、算术平方根的定义求出x、y的值；
（2）根据x、y的值求出x2+y2的值，最后求其算术平方根；
【解答】解：（1）由于y的立方根是2，2x﹣y是16的算术平方根，
所以有y＝23＝8，2x﹣y＝4，
解得x＝6，y＝8，
（2）当x＝6，y＝8，x2+y2＝100，
所以x2+y2的平方根为±√100=±10．
10．（2022秋•章丘区校级月考）（1）已知x﹣2的一个平方根是﹣2，2x+y﹣l的立方根是3，求x+y的算
术平方根．
（2）一个正数m的平方根是2a﹣3与5﹣a，求a和m．
【分析】（1）根据平方根、立方根的定义进行计算即可；
（2）根据平方根的定义求出a的值，再得出正数m的两个平方根，进而得出m的值．
【解答】解：（1）∵x﹣2的一个平方根是﹣2，
∴x﹣2＝4，
解得x＝6，
又∵2x+y﹣l的立方根是3，
∴2x+y﹣1＝27，而x＝6，
∴y＝16，
∴x+y＝22，
∴x+y的算术平方根为√22；
（2）∵一个正数m的平方根是2a﹣3与5﹣a，
∴2a﹣3+5﹣a＝0，
解得a＝﹣2，
当a＝﹣2时，
2a﹣3＝﹣7，5﹣a＝7，
∴m＝49，
答：a＝﹣2，m＝49．
11．（2021•浙江模拟）已知：2a﹣7和a+1是某正数的两个不相等的平方根，b﹣7的立方根为﹣2．
（1）求a、b的值；
（2）求a﹣b的算术平方根．
【分析】（1）根据平方根与立方根的定义即可求出答案．（2）根据算术平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：（2a﹣7）+（a+1）＝0，
∴3a﹣6＝0，
∴a＝2，
∵b﹣7的立方根为﹣2
∴b﹣7＝（﹣2）3，
∴b＝﹣1；
（2）由（1）可知：a＝2，b＝﹣1，
∴a﹣b＝2﹣（﹣1）＝3，
∴a+b的算术平方根是√3．
12．（2020秋•高州市月考）已知2a﹣1的算术平方根√11，a﹣5b+1的立方根﹣2．
（1）求a与b的值；
（2）求2a﹣b的平方根．
【分析】（1）根据算术平方根、立方根的意义求出a、b的值；
（2）求出2a﹣b的值，再求平方根．
【解答】解：（1）∵2a﹣1的算术平方根√11，
∴2a﹣1＝11，
即a＝6，
又∵a﹣5b+1的立方根﹣2，
∴a﹣5b+1＝﹣8，
解得b＝3，
答：a＝6，b＝3；
（2）当a＝6，b＝3时，2a﹣b＝2×6﹣3＝9，
∵9的平方根为±3，
∴2a﹣b的平方根为±3．
13．（2019秋•锡山区期中）（1）若x，y为实数，且x=√2y−6+√3−y+4，求（x﹣y）2的平方根；
（2）已知x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．
【分析】（1）根据被开方数是非负数，可得x的值，根据开平方，可得答案；
（2）根据平方根的意义、立方根的意义，可得答案．
{2y−6≥0
【解答】解：（1）由题意得： ，
3−y≥0解得y＝3，
∴x＝4，
∴（x﹣y）2＝1，
∴（x﹣y）2的平方根是±1．
（2）由x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，得
x﹣2＝4，2x+y+7＝27，
解得x＝6，y＝8．
∴x2+y2＝100，
∴x2+y2的算术平方根是10．
14．（2022秋•鄄城县期中）已知：3a+21的立方根是3，4a﹣b﹣1的算术平方根是2，c的平方根是它本
身．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a+10b+c的平方根．
【分析】（1）根据立方根，算术平方根，平方根的概念即可求出答案；
（2）根据（1）中所求a、b、c的值代入代数式3a+10b+c中即可求出答案．
【解答】解：（1）根据题意可知，
3a+21＝27，解得a＝2，
4a﹣b﹣1＝4，解得b＝3，
c＝0，
所以a＝2，b＝3，c＝0；
（2）因为3a+10b+c＝3×2+10×3+0＝36，
36的平方根为±6．
所以3a+10b+c的平方根为±6．
15．（2021秋•高青县期末）已知6a+3的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4．
（1）求a，b的值；
（2）求b2﹣a2的平方根．
【分析】（1）根据平方根、立方根的定义可求出a、b的值；
（2）先求出b2﹣a2的值，再求b2﹣a2的平方根．
【解答】解：（1）∵27的立方根是3，即√327=3，
∴6a+3＝27，
解得a＝4，又∵16的算术平方根是4，即√16=4，
∴3a+b﹣1＝16，而a＝4，
∴b＝5，
答：a＝4，b＝5；
（2）当a＝4，b＝5时，
b2﹣a2＝25﹣16＝9，
∴b2﹣a2的平方根为±√9=±3．
16．（2021春•淮南期中）已知某正数的两个平方根分别是﹣1和a﹣4，b﹣12的立方根为2．
（1）求a，b的值．
（2）求a+b的平方根．
【分析】（1）依据平方根以及立方根的定义，即可得到a，b的值．
（2）依据a，b的值，即可得出a+b的平方根．
【解答】解：（1）由题意得，a﹣4＝1，b﹣12＝8，
所以a＝5，b＝20；
（2）由（1）得，a+b＝25，
所以±√a+b=±√25=±5．
17．（2021春•饶平县校级期中）已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4．
（1）求a、b的值；
（2）求a+2b的算术平方根．
【分析】（1）根据平方根和算术平方根的定义列方程求出a、b的值即可；
（2）把a、b的值代入要求的式子，再根据算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：（1）∵2a﹣1的平方根为±3，
∴2a﹣1＝9，
解得a＝5，
∵3a+b﹣1的算术平方根为4，
∴3a+b﹣1＝16，
解得b＝2；
（2）∵a＝5，b＝2，
∴a+2b＝5+2×2＝9，
∴a+2b的算术平方根为3．18．（2022春•江北区期末）已知x＝1﹣2a，y＝3a﹣4．
（1）已知x的算术平方根为3，求a的值；
（2）如果一个正数的平方根分别为x，y，求这个正数．
【分析】（1）先求出x的值，再根据x＝1﹣2a列出方程，求出a的值；
（2）一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，列出方程，求出a，然后求出x，最后求出这个正数．
【解答】解：（1）∵x的算术平方根为3，
∴x＝32＝9，
即1﹣2a＝9，
∴a＝﹣4；
（2）根据题意得：x+y＝0，
即：1﹣2a+3a﹣4＝0，
∴a＝3，
∴x＝1﹣2a＝1﹣2×3＝1﹣6＝﹣5，
∴这个正数为（﹣5）2＝25．
19．（2021秋•高州市校级月考）已知4是3a﹣2的算术平方根，a+2b的立方根是2．
（1）求a，b的值；
（2）求a﹣2b的平方根．
【分析】（1）直接利用算术平方根以及立方根的定义得出a，b的值；
（2）结合平方根的定义得出答案．
【解答】解：（1）∵4是3a﹣2的算术平方根，a+2b的立方根是2，
∴3a﹣2＝16，a+2b＝8，
解得：a＝6，b＝1；
（2）由（1）得：a﹣2b＝6﹣2＝4，
故a﹣2b的平方根是：±2．
20．（2022春•汕头期中）已知某正数的平方根分别是2a﹣7和a+4，b﹣7的立方根为﹣2．
（1）求a，b的值；
（2）求a+b的算术平方根．
【分析】（1）根据平方根的定义列出方程进行解答便可；
（2）根据算术平方根进行计算便可．
【解答】解：∵某正数的平方根分别是2a﹣7和a+4，b﹣7的立方根为﹣2，∴2a﹣7+a+4＝0，b﹣7＝﹣8，
解得a＝1，b＝﹣1；
（2）∵a＝1，b＝﹣1，
∴a+b＝1﹣1＝0，
∵0的算术平方根为0，
∴a+b的算术平方根为0．
21．（2022春•开州区期末）已知a是﹣64的立方根，b的算术平方根为2．
（1）写出a，b的值；
（2）求3b﹣a的平方根．
【分析】（1）根据立方根的定义求出a的值，根据算术平方根的定义求出b的值；
（2）根据平方根的定义求出3b﹣a的平方根．
【解答】解：（1）因为a是﹣64的立方根，b的算术平方根为2，
所以a＝﹣4，b＝4；
（2）因为a＝﹣4，b＝4，
所以3b﹣a＝3×4﹣（﹣4）＝12+4＝16．
所以3b﹣a的平方根为±4．
22．（2022秋•永年区期中）已知一个正数的两个平方根分别是1﹣2a和a+4，4a+2b﹣1的立方根是3．
（1）求a，b的值；
（2）求a+b的算术平方根．
【分析】（1）先求出a的值，再根据4a+2b﹣1的立方根是3求出b的值即可；
（2）先求出a+b的值，再求出其算术平方根即可．
【解答】解：（1）∵一个正数的两个平方根分别是1﹣2a和a+4，
∴1﹣2a＝﹣a﹣4，解得a＝5；
∴4a+2b﹣1可化为19+2b，
∵4a+2b﹣1的立方根是3，
∴19+2b＝27，解得b＝4．
（2）∵a＝5，b＝4，
∴a+b＝5+4＝9，
∴a+b的算术平方根是3．
23．（2022春•横县期中）已知3b+3的平方根为±3，3a+b的算术平方根为5．
（1）求a，b的值；（2）求4a﹣6b的平方根．
【分析】（1）根据平方根的定义列出方程求出 b，再根据算术平方根的定义求出 a，然后相加求出
a+b，再根据平方根的定义解答．
（2）根据平方根的定义计算即可．
【解答】解：（1）∵3b+3的平方根为±3，
∴3b+3＝9，
解得b＝2，
∵3a+b的算术平方根为5，
∴3a+b＝25，
∵b＝2，
23
∴a= ，
3
23
（2）∵a= ，b＝2，
3
56
∴4a﹣6b= ，
3
2√42
∴4a﹣6b的平方根为± ．
3
24．（2022春•汤阴县月考）已知2a﹣1的平方根是±3，a+3b﹣1的算术平方根是4．
（1）求a、b的值；
（2）求ab+5的平方根．
【分析】（1）根据算术平方根、平方根的定义可得到2a﹣1＝9，a+3b﹣1＝16，进而求出a、b的值；
（2）将a、b的值代入ab+5求出其值，再利用平方根的定义求出结果即可．
【解答】解：（1）∵2a﹣1的平方根是±3，a+3b﹣1的算术平方根是4．
∴2a﹣1＝9，a+3b﹣1＝16，
解得a＝5，b＝4；
（2）当a＝5，b＝4时，ab+5＝25，
而25的平方根为±√25=±5，
即ab+5的平方根是±5．
25．（2021春•甘井子区期末）根据表回答问题：
x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17
y 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289（1）√256= 1 6 ；√256.7≈ 1 6 ．
（2）272.25的平方根是 ±16. 5 ；
（3）若a，b是表中两个相邻的数，a＜√280＜b，则a＝ 16. 7 ，b＝ 16. 8 ．
【分析】（1）根据表中的数据进行解答即可；
（2）由表中的数据可得出结果；
（3）结合表中的数据，可得出结果．
【解答】解：（1）由表可得：√256=16，√256.7≈16；
故答案为：16，16；
（2）由表可得：272.25的平方根为：±√272.25=±16.5；
故答案为：±16.5；
（3）∵a，b是表中两个相邻的数，a＜√280＜b，
∴a＝16.7，b＝16.8．
故答案为：16.7，16.8．
26．（2020秋•浦东新区期末）已知a+ √b M是M的立方根，而√3 b−6是a+ √b M的相反数，且M＝3a﹣7．
（1）求a与b的值；
（2）设x=a+ √b M，y=√3 b−6，求x与y平方和的立方根．
【分析】（1）根据立方根得出a+b＝3，M＝6﹣b，再根据已知条件求出答案即可；
（2）求出x、y的值，再求出x2+y2的值，最后求出答案即可．
【解答】解：（1）∵a+ √b M是M的立方根，而√3 b−6是a+ √b M的相反数，
∴a+b＝3，M＝6﹣b，
∵M＝3a﹣7，
∴6﹣b＝3a﹣7，
解得：a＝5，b＝﹣2；
（2）∵a＝5，b＝﹣2，M＝6﹣（﹣2）＝8，
∴ 2，y 2，
x=a+ √b M=√38= =√3−2−6=−
∴x2+y2＝22+（﹣2）2＝8，
∴x与y平方和的立方根是√38=2．
27．（2021秋•宁远县月考）在1，﹣2，3，﹣4，5中任取两个数相乘，最大的积是a，最小的积是b．
（1）分别求出a和b的值；（2）若|x−a|+√y+b=0，求2x+3y的值．
【分析】（1）根据有理数的乘法法则得出a，b的值；
（2）将a，b的值代入|x−a|+√y+b=0，根据非负数的性质得出x，y的值，继而代入计算可得．
【解答】解：（1）根据题意知a＝3×5＝15，
b＝5×（﹣4）＝﹣20；
（2）由题意知|x﹣15|+√y−20=0，
∵|x﹣15|≥0，√y−20≥0，
∴x﹣15＝0，y﹣20＝0，
解得x＝15，y＝20，
∴2x+3y＝30+60＝90．
28．（2021秋•张家川县期末）已知x＝1﹣2a，y＝a+4．
（1）若x的算术平方根为3，求a的值；
（2）如果一个正数的平方根分别为x，y，求这个正数．
【分析】（1）先求出x的值，再根据x＝1﹣2a列出方程，求出a的值；
（2）一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，列出方程，求出a，然后求出x，最后求出这个正数．
【解答】解：（1）∵x的算术平方根为3，
∴x＝32＝9，
∵x＝1﹣2a，
∴1﹣2a＝9，
∴a＝﹣4；
（2）根据题意得：x+y＝0，
即：1﹣2a+a+4＝0，
∴a＝5，
∴x＝1﹣2a＝1﹣2×5＝1﹣10＝﹣9，
∴这个正数为（﹣9）2＝81．
29．（2021春•浦东新区期末）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2．
（1）求a和x的值；
（2）求3x+2a的平方根．
【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数求解．
（2）将（1）中结果代入求解．
【解答】解：（1）∵一个正数的两个平方根互为相反数，∴2a﹣1+（﹣a+2）＝0，
解得a＝﹣1，
∴x＝（2a﹣1）2＝（﹣3）2＝9．
（2）∵3x+2a＝3×9﹣2＝25，
∴25的平方根为±5．
30．（2021春•铅山县期末）已知a的平方等于4，b的算术平方根等于4，c的立方等于8，d的立方根等
于8，
（1）求a，b，c，d的值；
（2）求√d÷(bc)+a的值．
【分析】（1）根据算术平方根的定义可求解a，b的值；利用立方根的定义可求解c和d；
（2）将a，b，c，d的值代入计算即可求解．
【解答】解：（1）∵a2＝4，
∴a＝±2，
∵√b=4，
∴b＝16，
∵c3＝8，
∴c＝2，
∵√3 d=8，
∴d＝512；
√ d √ 512
（2）当a＝2时， +a= +2=6；
bc 16×2
√ d √ 512
当a＝﹣2， +a= −2=2．
bc 16×2
√ d
故 +a的值为6或2．
bc
