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【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题8.7二元一次方程组与材料阅读问题大题专练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压
轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己
的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．（2022•宛城区校级开学）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
{17x+19 y=21①
解方程组 时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且
23x+25 y=27②
易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1．③
③×17得：17x+17y＝17．④
①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1．
{x=−1
所以这个方程组的解是 ．
y=2
{1997x+1999 y=2001
（1）请你运用小明的方法解方程组 ．
2017x+2019 y=2021
（2）猜想关于x、y的方程组{ax+(a+2)y=a+4（a≠b）的解是 ．
bx+(b+2)y=b+4
2．（2022春•卧龙区校级月考）阅读探索
（1）知识积累
解方程组{(a−1)+2(b+2)=6．
2(a−1)+(b+2)=6
{x+2y=6 {x=2 {a−1=2
解：设a﹣1＝x，b+2＝y．原方程组可变为 ，解这个方程组得 ，即 ，所以
2x+ y=6 y=2 b+2=2
{a=3
，这种解方程组的方法叫换元法．
b=0
（2）拓展提高m n
{ ( −1)+2( +2)=4
运用上述方法解下列方程组： 3 5 ．
m n
3( −1)−( +2)=5
3 5
（3）能力运用
已知关于 x，y 的方程组{a x+b y=c 的解为{x=3，请直接写出关于 m、n 的方程组
1 1 1
a x+b y=c y=4
2 2 2
{a (m+2)−b n=c
的解是 ．
1 1 1
a (m+2)−b n=c
2 2 2
{ax+5 y=c①
3．（2022春•新乐市校级月考）在解关于x，y的方程组 时，甲把方程组中的a看成了﹣
4x−by=1②
{ x=4 {x=−3
8，得解为 乙看错了方程组中的b，得解为 ．
y=3， y=−1
（1）求正确的a，b，c的值；
（2）求原方程组的解；
（3）若关于s，t的二元一次方程组为{a(s+t)+5(s−t)=c，求s，t的值．
4(s+t)−b(s−t)=1
4．（2021秋•晋中期末）下面是小明同学解二元一次方程组的过程，请你阅读并完成相应的任务：
{3x+4 y=5①
解方程组：
x−2y=4②
解：②×2，得2x﹣4y＝4 ③……………………第一步
①+③，得5x＝9……………………第二步
9
x= ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第三步
5
9 11
把x= 代入②，得y=− ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第四步
5 10
∴原方程组的解为¿第五步
任务一：
①上述材料中小明同学解二元一次方程组的数学方法是 （填序号即可）；
A．公式法
B．换元法C．代入法
D．加减法
②上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现
的数学思想是 （填序号即可）；
A．转化
B．公理化
C．演绎
D．数形结合
③第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
任务二：请你直接写出原方程组的解．
5．（2022春•兴化市月考）对于有理数x，y，定义新运算：x&y＝ax+by，x y＝ax﹣by，其中a，b是常
数．已知1&1＝1，3 2＝8． ⊗
（1）求a，b的值；⊗
{x& y=4−m
（2）若关于x，y的方程组 的解也满足方程x+y＝5，求m的值；
x⊗y=5m
（ 3 ） 若 关 于 x ， y 的 方 程 组 {a x&b y=c 的 解 为 {x=4， 求 关 于 x ， y 的 方 程 组
1 1 1
a x⊗b y=c y=5
2 2 2
{3a (x+ y)&4b (x−y)=5c
的解．
1 1 1
3a (x+ y)⊗4b (x−y)=5c
2 2 2
6．（2022春•泌阳县月考）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
{ 3x+4 y=3①
已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足2x+3y＝1③，求m的值．
x+2y=2−3m②
请结合他们的对话，解答下列问题：
（1）按照小云的方法，x的值为 ，y的值为 ．
（2）老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出m的值．7．（2022秋•济南期中）阅读下列材料：
2x+3 y 2x−3 y
{ + =7
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组 4 3 ，小明发现
2x+3 y 2x−3 y
+ =8
3 2
如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一
个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令 m＝
2x+3y，n＝2x﹣3y．
m n
{ + =7
原方程组化为 4 3 ，
m n
+ =8
3 2
{m=60
解得 ，
n=−24
{m=60
把 代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，
n=−24
{ 2x+3 y=60
得 ，
2x−3 y=−24
{ x=9
解得 ．
y=14
{ x=9
∴原方程组的解为 ．
y=14
请你参考小明同学的做法解方程组：
（1）{2(x+1)+3(y−2)=1；
(x+1)−2(y−2)=4
{ x+ y x−y
（2） + =−3 ．
2 5
2(x+ y)−3x+3 y=26
8．（2022秋•深圳校级期中）我们在学习二元一次方程组的解法时学习过“加减消元法”，这里提出一种
{ x+ y=3
新的解二元一次方程组的方法．对于方程 ，我们可以将方程组中未知数的系数和等式右边的
2x+ y=4(1 1 3)
数字提取出来写成 这样的数字排列形式，我们在求解时，将每一行看作整体，进行运算．这
2 1 4
里规定每行只能进行三种运算：①交换两行的位置；②将某一行整体乘以一个非零数；③将某一行乘
以一个数后，再加到另一行上，原来的行不变．我们在求解二元一次方程组时，需要利用上面运算的一
种或多种，使第一行第一列、第二行第二列的数字变为1，第一行第二列、第二行第一列的数字变为
(1 0 ？)
0，即 的形式，那么第三列的数字从上到下分别是x和y的解．例如，对于上述方程的数字
0 1 ？
排列形式，有：
Ⅰ ． 将 第 一 行 乘 以 ﹣ 2 加 到 第 二 行 ， 数 字 排 列 变 为
( 1 1 3 )=(1 1 3 )
；
2+1×(−2) 1+1×(−2) 4+3×(−2) 0 −1 −2
Ⅱ．将第二行乘以﹣1，数字排列变为
( 1 1 3 )=(1 1 3)
；
0×(−1) −1×(−1) −2×(−1) 0 1 2
Ⅲ ． 将 第 二 行 乘 以 ﹣ 1 加 到 第 一 行 ， 数 字 排 列 变 为
(1+0×(−1) 1+1×(−1) 3+2×(−1)) =(1 0 1)；
0 1 2×(−1) 0 1 2
所以第三列数字中1就是x的解，2就是y的解．
{ x−y=4
对于方程组 ，
2x+3 y=−2
（1）请写出对应的数字排列形式；
（2）请参照上述方法求解该方程组．
9．（2022春•仓山区校级期中）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，那么我们称
这个方程组为“奇妙方程组”．
{2x−3 y=7
（1）请判断关于x，y的方程组 是否为“奇妙方程组”，并说明理由；
3x−2y=7
{2x+4 y=6−a
（2）如果关于x，y的方程组 是“奇妙方程组，求a的值．
x−y=4a
{2x+5 y=3①
10．（2022春•安溪县期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组 时，采用了一种“整
4x+11y=5②
体代入”的解法如下：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③；把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1；
{ x=4
把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为 ；
y=−1
{
3x+2y−2=0
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组 3x+2y+1 2．
−x=−
5 5
{ax+by=17
11．（2022春•卧龙区校级月考）在解二元一次方程组 时，甲同学因看错了b的符号，从而求
cx−y=5
{x=4 {x=3
得解为 ，乙同学因看错了c，从而求得解为 ，求a+b+c的值．
y=3 y=2
12．（2021秋•包头期末）阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组{3(m+5)−2(n+3)=−1时，采用
3(m+5)+2(n+3)=7
了一种“整体换元”的解法．
解：把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，
{3x−2y=−1
原方程组可化为 ，
3x+2y=7
{x=1 {m+5=1
解得 ， ．
y=2 n+3=2
{m=−4
∴原方程组的解为 ．
n=−1
{3(x+ y)−4(x−y)=5
请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组 ．
x+ y x−y
+ =0
2 6
13．（2022春•伊川县期中）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
{17x+19 y=21①
解方程组 时，小曼发现如果用常规的代入消元法，加减消元法来解，计算量大，且
23x+25 y=27②
易出现运算错误，她采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1③
③×17得：17x+17y＝17④
①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1
{x=−1
所以这个方程组的解是 ．
y=2{1997x+1999 y=2001①
请你运用小曼的方法解方程组 ．
2017x+2019 y=2021②
14．（2022春•德化县期中）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
{22x+21y=20①
解方程组：
20x+19 y=18②
解：①﹣②，得2x+2y＝2，即x+y＝1③，③×19．得19x+19y＝19④，
②﹣④，得x＝﹣1，从而可得y＝2，
{x=−1
∴原方程组的解是 ．
y=2
{2023x+2022y=2021①
（1）请你仿照上面的解题方法解方程组： ；
2021x+2020 y=2019②
（2）请直接写出关于x，y的方程组{(a+2)x+(a+1)y=a①的解．
(b+2)x+(b+1)y=b②
15．（2022春•宽城区校级期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
{17x+19 y=21①
解方程组 时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且
23x+25 y=27②
易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②﹣①得：6x+6y＝6，即x+y＝1．③
③×17得：17x+17y＝17．④
①﹣④得：y＝2，代入③得x＝﹣1．
{x=−1
所以这个方程组的解是 ．
y=2
{1996x+1999 y=2002①
（1）请你运用小明的方法解方程组 ．
2016x+2019 y=2022②
（2）规律探究：猜想关于x，y的方程组{ax+(a+4)y=a+8，（a≠b）的解是 ．
bx+(b+4)y=b+8
{nx+(n+1)y=n+2
16．（2022春•兴化市期末）已知关于x、y的方程组 （n是常数）．
x−2y+mx=−5
{ x+2y=3
（1）当n＝1时，则方程组可化为 ，
x−2y+mx=−5
①请直接写出方程x+2y＝3的所有非负整数解；
②若该方程组的解也满足方程x+y＝2，求m的值；
（2）当m每取一个值时，x﹣2y+mx＝﹣5就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗？
（3）当n＝3时，如果方程组有整数解，求整数m的值．
{ax+5 y=10
17．（2022春•文峰区校级期末）甲乙两名同学在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组
4x−by=−4
{ x=3 {x=5
中的a，而得解为 ；乙看错了方程组中的b，而得解为 ．
y=−1 y=4
（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？
（2）请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
18．（2022春•怀柔区校级期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数
和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常
数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组{a
1
x+b
1
y=c
1
可以写成矩阵( a
1
b
1
c
1
)的
a x+b y=c a b c
2 2 2 2 2 2
{3x+4 y=16， ( 3416 )
形式．例如： 可以写成矩阵 的形式．
5x−6 y=33. 5−633
{ y−5=4x，
（1）填空：将 写成矩阵形式为： ；
3x−2y−3=0.
(a−5−3) {x=1
（2）若矩阵 所对应的方程组的解为 ，求a与b的值．
−4b−3 y=1
19．（2022春•右玉县期末）阅读理解
（Ⅰ）我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收录在中国古代数学著作《九章算
术》中，它的方程章中就有许多关于一次方程组的内容．
下面的两幅算筹图（图1）就表示了两个二元一次方程组：
{2x+3 y=27 { 2x+ y=11
把它们写成我们现在的方程组是 与 ．
x+2y=14 4x+3 y=27
{4x+3 y=54
（Ⅱ）对于二元一次方程组 ，我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数表，通
x+3 y=36|1 0 a| {x=a
过运算使数表变为 ，即可求得的方程组的解为 ．用数表简化解二元一次方程组
0 1 b y=b
{4x+3 y=54
的过程如下：
x+3 y=36
|4 3 54| 上行−下行 |3 0 18| 上行÷3 |1 0 6| 下行−上行 |1 0 6| 下行÷3 |1 0 6|
上行 → → → → ．
1 3 36 1 3 36 1 3 36 0 3 30 0 1 10
{ x=6
∴方程组的解为 ．
y=10
解答下列问题：
（1）直接写出右面算筹图（图2）表示的关于x，y的二元一次方程组．
（2）依照阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解（1）中你写出的二元一次方程组．
{3x−ay=16 {x=7
20．（2022春•宝应县期末）（1）已知关于x、y的方程组 的解是 求a、b的值；
2x+by=15 y=1
（2）已知关于 x、y 的方程组{a x+b y=19的解是{x=4请你运用学过的方法求方程组
1 1
a x+b y=26 y=5
2 2
{a
1
(3m+2n)+b
1
(2m−n)=19
中m、n的值．
a (3m+2n)+b (2m−n)=26
2 2
{ x−y=4
21．（2022春•沧州期末）数学学历案上有这样一道题：解二元一次方程组 ，小明发现x的系
∗x+ y=8
数“*”印刷不清楚．
{x−y=4
（1）小明把“*”当成3，请你帮助小明解二元一次方程组 ；
3x+ y=8
（2）数学老师说：“你猜错了”，该题标准答案的结果x、y是一对相反数，求原题中x的系数“*”是
多少？
{2x+ay=10①
22．（2022春•陆河县期末）已知方程组 ，由于甲看错了方程①中a得到方程组的解为
bx−3 y=−3②
{ x=3 {x=−1
，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为 ．若按正确的a、b计算，求原方程组的解．
y=−1 y=2
23．（2022春•范县期末）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
{9x−7 y=8①
解方程组
6x−4 y=5②
解：由①﹣②得3x﹣3y＝3即x﹣y＝1③，③×4得4x﹣4y＝4④，
②﹣④得2x＝1，
解得：x＝0.5
把x＝0.5代入③得：
0.5﹣y＝1
解得：y＝﹣0.5
{ x=0.5
∴方程组的解是
y=−0.5
{2023x−2021y=2022
（1）请你仿照上面的解法解方程组 ；
2022x−2020 y=2021
（2）猜测关于x，y的方程组{(m+1)x−(m−1)y=m（m≠n）的解是什么，并通过解这个方程组加
(n+1)x−(n−1)y=n
以验证．
24．（2022春•禹州市期末）当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6时，就称点P（a，b）为“奇异点”．
（1）判断点A（2，﹣4） 奇异点；（填“是”或“不是”）
{ x+3 y=8
（2）已知关于x、y的方程组 ，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是
x−y=2m+4
奇异点？并说明理由．
b
25．（2022春•信阳期末）当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6，就称点P(a−1， +1)为完美点．
2
（1）判断点A（2，3）是否为完美点；
{ x+2=4
（2）已知关于x，y的方程组 ，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是完美
x−y=2m
点，请说明理由．
26．（2022春•章贡区期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：
{3x−2y=2
（1）解方程组 ，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 ；
3x+2y=4
（2）如何解方程组{3(m+5)−2(n+3)=2呢，我们可以把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5＝
3(m+5)+2(n+3)=4
x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 ；
由此请你解决下列问题：{am+bn=15 { 3m+n=5
（3）若关于m，n的方程组 与 有相同的解，求a，b的值．
2m−bn=−2 am−bn=−1
27．（2022春•玉州区期末）【阅读材料】
小明同学遇到下列问题：
2x+3 y 2x−3 y
{ + =7
解方程组 4 3 ，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，计算量比较大，
2x+3 y 2x−3 y
+ =8
3 2
也容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看作一个数，把（2x﹣3y）看作一个数，通过换元，可以解
决问题．以下是他的解题过程：
令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，
m n
{ + =7
这时原方程组化为 4 3 ，解得{m=60 ，
m n n=−24
+ =8
3 2
{m=60
把 代入m＝2x+3，a＝2x﹣3y．
n=−24
{ 2x+3 y=60 { x=9
得 ，解得 ．
2x−3 y=−24 y=14
{ x=9
所以，原方程组的解为 ．
y=14
【解决问题】
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：
x+ y x−y
{ + =2
解方程组 3 5 ．
x+ y x−y
− =−1
3 5
28．（2022春•永定区期末）如果某个二元一次方程组的解互为相反数，那么我们称这个方程组为“奇妙
方程组”．
{x−2y=3
（1）请判断方程组 是否为“奇妙方程组”，并说明理由；
2x−y=3
{2x+4 y=6−a
（2）如果关于x，y的方程组 是“奇妙方程组”，求a的值．
x−y=4a29．（2022春•安溪县期末）【阅读材料】
{10x+23 y=119①
解二元一次方程组： ．
23x+10 y=145②
思路分析：解这个方程组直接用加减法或代入法运算都比较复杂，但观察方程组的未知数的系数可以看
出，若先把两个方程相加可得到：33x+33y＝264，化简得x+y＝8，所以x＝8﹣y③．
把③代入方程①，得10（8﹣y）+23y＝119，解得y＝3，把y＝3代入③，得x＝5．
{x=5
∴原方程组的解是 ．这样运算显得比较简单．
y=3
解答过程：由 ①+②，得33x+33y＝264，即x+y＝8．
∴x＝8﹣y③，把③代入①，得10（8﹣y）+23y＝119．
解得y＝3，把y＝3代入③，得x＝5．
{x=5
∴原方程组的解是
y=3
【学以致用】
{x+3 y=5
（1）填空：由二元一次方程组 ，可得x+y＝ ；
3x+ y=3
{2021x−2022y=2023①
（2）解方程组： ；
2020x−2021y=2022②
【拓展提升】
（3）当 1时，解关于x，y的方程组{(m−1)x+(m+2)y=−5m−1①．
m≠−
2 (m+3)x−(2−m)y=−5m−5②
30．（2022•南京模拟）当m，n都是实数，且满足2m﹣n＝8时，我们称Q（m+2，n）为“巧妙点”．
（1）点A（a+2，b）是“巧妙点”，且a＞2，求b的取值范围；
{x+3 y=4−t {x=x
0
（2）已知关于x，y的方程组 ，当t为何值时，以方程组的解 为坐标的点B（x ，
x−y=3t y= y 0
0
y ）是“巧妙点”？
0
