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【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题5.12平行线基本模型之锯齿模型大题专项提升训练
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
一、解答题（本大题共30小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．（2022·江苏常州·七年级期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，试猜想∠P=______°；
(2)探究：在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．
2．（2021·广西柳州·七年级期中）已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分
别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝
∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
(1)如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；
(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．
①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；
②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．
3．（2022·山东聊城·七年级阶段练习）已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．(1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；
(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数
量关系，并说明理由．
4．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学七年级阶段练习）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝
120°；
(1)若∠E＝60°，则∠F＝ ；
(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；
(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
5．（2022·全国·七年级）如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点．
(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；
(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大
小．
6．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图：
(1)如图1，AB∥CD，∠ABE=45°，∠CDE=21°，直接写出∠BED的度数．
(2)如图2，AB∥CD，点E为直线AB，CD间的一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，写出∠BED与∠F之间的关系并说明理由．
(3)如图3，AB与CD相交于点G，点E为∠BGD内一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若
∠BGD=60°，∠BFD=95°，直接写出∠BED的度数．
7．（2021·福建·莆田第二十五中学七年级阶段练习）如图，AB//CD，点E在直线AB，CD内部，且
AE⊥CE．
（1）如图1，连接AC，若AE平分∠BAC，求证：CE平分∠ACD；
（2）如图2，点M在线段AE上，
①若∠MCE=∠ECD，当直角顶点E移动时，∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?并说明理由；
1
②若∠MCE= ∠ECD（n为正整数），当直角顶点E移动时，∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量
n
关系?并说明理由．
8．（2021·浙江工业大学附属实验学校七年级期中）已知AB//CD．
（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；
（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．
①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．
②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的
式子表示）
9．（2021·广东·河源市第二中学七年级期中）已知直线l//l， A是l 上的一点，B是l 上的一点，直线l
1 2 1 2 3
和直线l，l 交于C和D，直线CD上有一点P．
1 2
（1）如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．（2）若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的
关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）
10．（2021·辽宁大连·七年级期中）如图，AB//CD，点O在直线CD上，点P在直线AB和CD之间，
∠ABP=∠PDQ=α，PD平分∠BPQ．
（1）求∠BPD的度数（用含α的式子表示）；
（2）过点D作DE//PQ交PB的延长线于点E，作∠DEP的平分线EF交PD于点F，请在备用图中补全
图形，猜想EF与PD的位置关系，并证明；
（3）将（2）中的“作∠DEP的平分线EF交PD于点F”改为“作射线EF将∠DEP分为1:3两个部分，
交PD于点F”，其余条件不变，连接EQ，若EQ恰好平分∠PQD，请直接写出∠FEQ=__________
（用含α的式子表示）．
11．（2022·江西九江·七年级期中）如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度
数．小明的思路是：如图2，过P作PE//AB，通过平行线性质可求∠APC的度数．
（1）请你按小明的思路，写出∠APC度数的求解过程；
（2）如图3，AB//CD，点P在直线BD上运动，记∠PAB=∠α，∠PCD=∠β．①当点P在线段BD上运动时，则∠APC与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
②若点P不在线段BD上运动时，请直接写出∠APC与∠α、∠β之间的数量关系．
12．（2021·浙江杭州·七年级期中）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为： ；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为： ；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变
化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．
13．（2021·山西晋中·七年级期中）综合与探究
【问题情境】
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动
（1）如图1，EF//MN，点A、B分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请直接写出
∠PAF、∠PBN和∠APB之间的数量关系；
【问题迁移】（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m//n，直线m分别交OM、ON于点A、D，直线n分
别交OM、ON于点B、C，点P在射线OM上运动，
①当点P在A、B（不与A、B重合）两点之间运动时，设∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．则∠CPD，
∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．
②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A、B、O三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直
接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系．
14．（2021·黑龙江佳木斯·七年级期末）直线AB∥CD，M为AB上一定点，N为CD上一定点，E为直线
AB和直线CD之间的一点．
（1）当点E在MN上时，如图1所示，请直接写出∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系；
（2）当点E在MN左侧时，如图2所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明；
（3）当点E在MN右侧时，如图3所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明．
15．（2021·广东韶关·七年级期中）如图1，点A、B分别在直线GH、MN上，∠GAC=∠NBD，
∠C=∠D.
（1）求证：GH//MN；（提示：可延长AC交MN于点P进行证明）
（2）如图2，AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，若∠AED=∠GAC，求∠GAC与∠ACD之间的数量
关系；
1
（3）在（2）的条件下，如图3，BF平分∠DBM，点K在射线BF上，∠KAG= ∠GAC，若
3
∠AKB=∠ACD，直接写出∠GAC的度数．
16．（2022·河南·商丘市第十六中学七年级期中）已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：
如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；
解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是 ；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是 ；
所以∠C＝（ ），
所以∠APC＝（ ）+（ ）＝∠A+∠C＝97°．
（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：
①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；
②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与
∠C的数量关系．
17．（2022·江苏·南京市人民中学七年级期中）已知AB∥CD，∠ABE的角分线与∠CDE的角分线相交于
点F．
（1）如图1，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED＝100°，求∠M的度数；
1 1
（2）如图2，若∠ABM＝ ∠ABF，∠CDM＝ ∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度数；
3 3
1 1
（3）若∠ABM＝ ∠ABF，∠CDM＝ ∠CDF，请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系．
n n
18．（2021·广东茂名·七年级期中）已知直线AM、CN和点B在同一平面内，且AM∥CN，AB⊥BC．
（1）如图1，求∠A和∠C之间的数量关系；
（2）如图2，若BD⊥AM，垂足为D，求证：∠ABD＝∠C；（3）如图3，已知点D、E、F都在直线AM上，且∠ABD＝∠NCB，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD．若
∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，请直接写出∠EBC的度数．
19．（2021·湖北武汉·七年级期末）如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN，ST之间，
且满足∠MAC+∠ACB+∠SBC =360°．
（1）证明：MN//ST；
（2）如图2，若∠ACB=60°，AD//CB，点E在线段BC上，连接AE，且∠DAE=2∠CBT，试判断
∠CAE与∠CAN的数量关系，并说明理由；
180°
（3）如图3，若∠ACB= （n为大于等于2的整数），点E在线段BC上，连接AE，若
n
∠MAE=n∠CBT，则∠CAE:∠CAN=______．
20．（2021·湖北鄂州·七年级期中）如图1，直线AB//CD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在
CD上，连接PE，PF．
（1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤，并说明理由）
（2）如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4=
．（不需说明理由，请直接写出答案）
（3）如图3，在图1的基础上，作PE平分∠PEB，PF平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°，则
1 1
∠P= （用含x，y的式子表示）．若PE平分∠PEB，PF平分∠PFD，可得∠P；PE
1 2 1 2 1 2 3
平分∠PEB，PF平分∠PFD，可得∠P…，依次平分下去，则∠Pn＝ ．（用含x，
2 3 2 3
y的式子表示）21．（2021·全国·九年级专题练习）（1）如图1，已知AB//CD，∠ABF=∠DCE，求证：
∠BFE=∠FEC
1 1 3
（2）如图2，已知AB//CD，∠EAF= ∠EAB，∠ECF= ∠ECD，求证：∠AFC= ∠AEC
4 4 4
22．（2022·江苏·苏州高新区第二中学七年级期末）如图，MN//GH，点A、B分别在直线MN、GH上，
点O在直线MN、GH之间，若∠NAO=116°，∠OBH=144°．
（1）∠AOB= °；
（2）如图2，点C、D是∠NAO、∠GBO角平分线上的两点，且∠CDB=35°，求∠ACD 的度数；
（3）如图3，点F是平面上的一点，连结FA、FB，E是射线FA上的一点，若∠MAE= n∠OAE，
∠HBF=n∠OBF，且∠AFB=60°，求n的值．
23．（2021·重庆江北·七年级期末）如图1，AB//CD，点E、F分别在AB、CD上，点O在直线AB、CD
之间，且∠EOF=100°．（1）求∠BEO+∠OFD的值；
（2）如图2，直线MN分别交∠BEO、∠OFC的角平分线于点M、N，直接写出∠EMN−∠FNM的
值；
（3）如图3，EG在∠AEO内，∠AEG=m∠OEG；FH在∠DFO内，∠DFH=m∠OFH，直线MN
分别交EG、FH分别于点M、N，且∠FMN−∠ENM=50°，直接写出m的值．
24．（2021·黑龙江哈尔滨·七年级期末）已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，
CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．
（1）如图1，求证：HG⊥HE；
（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；
（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的
度数．
25．（2021·浙江·杭州市公益中学（公办）七年级期中）已知AB//CD，定点E，F分别在直线AB，CD
上，在平行线AB，CD之间有一动点P．（1）如图1所示时，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系?并说明理由．
（2）除了（1）的结论外，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明
（3）当∠EPF满足0°<∠EPF<180°，且QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
①若∠EPF=60°，则∠EQF=__________°．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系．（直接写出结论）
26．（2022·福建福州·七年级期末）已知a//b，直角△ABC的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线
b分别交于E，F点，且∠ACB=90°．
（1）将直角△ABC如图1位置摆放，如果∠AOG=56°，则∠CEF=________；
（2）将直角△ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，∠NEF+∠CEF=180°，请写出∠NEF与
∠AOG之间的等量关系，并说明理由；
（3）将直角△ABC如图3位置摆放，若∠GOC=135°，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一
动点，探究∠POQ,∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论．
27．（2021·江苏·苏州文昌实验中学校七年级期中）如图1，由线段AB,AM,CM,CD组成的图形像英文
字母M，称为“M形BAMCD”．（1）如图1，M形BAMCD中，若AB//CD,∠A+∠C=50°，则∠M=______；
（2）如图2，连接M形BAMCD中B,D两点，若∠B+∠D=150°,∠AMC=α，试探求∠A与∠C的数
量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，且AC的延长线与BD的延长线有交点，当点M在线段BD的延长线上从
左向右移动的过程中，直接写出∠A与∠C所有可能的数量关系．
28．（2021·浙江·七年级期中）已知EM//BN．
（1）如图1，求∠E+∠A+∠B的大小，并说明理由．
（2）如图2，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F．
①若∠A=120°，∠AEM=140°，则∠EFD=________．
②试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由．
（3）如图3，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，过点F作FG⊥BD交BN于点G，若
4∠A=3∠EFG，求∠EFB的度数．
29．（2021·山东德州·七年级期中）（1）如图1，AB//CD，∠A=33°，∠C=40°，则∠APC=
°；
（2）如图2，AB//DC，点P在射线OM上运动，当点P在B、D两点之间运动时，∠BAP=∠α，
∠DCP=∠β，求∠CPA与∠α、∠β之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点B、D、O三点不重合），请你直接
写出∠CPA与∠α、β之间的数量关系．30．（2022·天津市东丽中学七年级期末）已知：如图1，∠1+∠2=180°，∠AEF=∠HLN．
（1）判断图中平行的直线，并给予证明；
（2）如图2，∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，请判断∠P与∠Q的数量关系，并证明．
