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第 07 讲 提公因式法分解因式
课程标准 学习目标
1. 掌握因式分解的概念，并能够熟练的判断式子因式分解变形是否正
①因式分解的概念 确。
②提公因式法分解因式 2. 掌握公因式的概念以及提公因式分解因式的方法，并能快速判断多项
式的公因式以及根据方法准确无误的进行分解。
知识点01 因式分解的概念
1. 分解因式的概念：
把一个多项式写成几个整式的 积 的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的 因式分解 ，也
叫做把这个多项式 分解因式 。与整式的乘法互为逆运算。
左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，即右边的加减号必须在括号内。且左右两边必须相
等。
【即学即练1】
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A．x（x+1）＝x2+x B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．x2+4x+4＝（x+2）2 D．
【分析】根据因式分解的意义进行判断即可．
【解答】解：A．x（x+1）＝x2+x是整式的乘法，故A不是因式分解；
B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是整式的乘法，故B不是因式分解；
C．x2+4x+4＝（x+2）2是因式分解，故C正确；
D．x+1＝x（1+ ）把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也
叫做分解因式，右边1+ 不是整式，故D不是因式分解；
故选：C．
【即学即练2】
2．把x2+5x+c分解因式，得（x+2）（x+3），则c的值＝ 6 ．
【分析】本题可先将（x+2）（x+3）化简，得出一个二次多项式，再根据对应项系数相等可得c的值．
【解答】解：（x+2）（x+3），
＝x2+2x+3x+6，
＝x2+5x+6，
又x2+5x+6＝（x+2）（x+3），
所以c＝6．
知识点02 提公因式法分解因式
1. 公因式的概念：
多项式中各项都有的 因式 叫做这个多项式的公因式。如多项式 ，各项都有一
个公因式 ，则它就是这个多项式的公因式。
2. 公因式的求法：
公因式＝系数的 最大公约数 ×相同字母（式子）的 最低次幂 。若多项式首项为负号，则公因
式为 负 。
3. 多项式提取公因式后的另一个因式的求法：
多项式提取公因式后，另一个因式＝多项式的每一项÷ 公因式 。
4. 提公因式分解因式：
一般地，如果多项式的各项都有 公因式 ，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式
与另一个因式的 乘积 的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
【即学即练1】
3．将多项式﹣6a3b2﹣3a2b2+12a2b3分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．﹣3a2b2 B．﹣3ab C．﹣3a2b D．﹣3a3b3【分析】在找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低次幂．同时注意首项系数通常要
变成正数．
【解答】解：系数最大公约数是﹣3，
相同字母的最低指数次幂是a2、b2，
应提取的公因式是﹣3a2b2．
故选：A．
【即学即练2】
4．多项式2x2﹣4xy+2x提取公因式2x后，另一个因式为 x ﹣ 2 y + 1 ．
【分析】直接提取公因式2x，进而分解因式得出答案．
【解答】解：2x2﹣4xy+2x＝2x（x﹣2y+1）．
故答案为：x﹣2y+1．
【即学即练3】
5．把下列各式因式分解：
（1）﹣20a﹣15ax；
（2）﹣4a3b3+6a2b﹣2ab；
（3）﹣10a2bc+15bc2﹣20ab2c．
【分析】利用提取公因式法直接分解因式即可．
【解答】解：（1）﹣20a﹣15ax
＝﹣5a（4+3x）；
（2）﹣4a3b3+6a2b﹣2ab
＝﹣2ab（2a2b2﹣3a+1）；
（3）﹣10a2bc+15bc2﹣20ab2C
＝﹣5bc（2a2﹣3c+4ab）．
题型01 判断因式分解的变形
【典例1】下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（ ）
A．x3﹣x＝x（x﹣1）（x+1） B．a2（a﹣1）＝a3﹣a2
C．a2﹣2a﹣1＝a（a﹣2）﹣1 D．（a﹣3）（a+3）＝a2﹣9
【分析】根据因式分解的意义判断即可．
【解答】解：A从左向右的变形为因式分解，
∴A符合题意；
BD从右向左的变形为因式分解，
∴BD不符合题意；C没有把一个多项式化为几个整式的积的形式，
∴C不符合题意．
故选：A．
【变式1】下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣4+4x＝（x+2）（x﹣2）+4x
B．（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3
C．x2﹣6x＝x（x﹣6）
D．a（x﹣y）＝ax﹣ay
【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可．
【解答】解：A．x2﹣4+4x＝（x+2）（x﹣2）+4x，等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，
不符合题意；
B．（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
C．x2﹣6x＝x（x﹣6），符合因式分解的定义，是因式分解，符合题意；
D．a（x﹣y）＝ax﹣ay，是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
故选：C．
【变式2】下列变形是因式分解的是（ ）
A．x（x+1）＝x2+x B．x2+2x+1＝（x+1）2
C．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3 D．x2+6x+4＝（x+3）2﹣5
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B正确；
C、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C错误；
D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D错误；
故选：B．
【变式3】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6 D．x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因
式，据此逐项判断即可．
【解答】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）符合因式分解的定义，则A符合题意；
x2﹣1≠（x﹣1）2，则B不符合题意；
（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6是乘法运算，则C不符合题意；
x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6中等号右边不是积的形式，则D不符合题意；
故选：A．题型02 利用因式分解的变形求值
【典例1】若x2+mx﹣18能分解为（x﹣9）（x+n），那么m、n的值是（ ）
A．7、2 B．﹣7、2 C．﹣7、﹣2 D．7、﹣2
【分析】将分解因式的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求出m
与n的值．
【解答】解：根据题意得：x2+mx﹣18＝（x﹣9）（x+n）＝x2+（n﹣9）x﹣9n，
∴m＝n﹣9，﹣18＝﹣9n，
解得：m＝﹣7，n＝2．
故选：B．
【变式1】已知在x2+mx﹣16＝（x+a）（x+b）中，a，b为整数，能使这个因式分解过程成立的m值的个
数有（ ）
A．4个 B．5个 C．8个 D．10个
【分析】﹣16＝﹣1×16＝﹣2×8＝﹣4×4＝4×（﹣4）＝2×（﹣8）＝1×（﹣16）＝a×b，m＝a+b，m的取
值有五种可能．
【解答】解：∵﹣16＝﹣1×16＝﹣2×8＝﹣4×4＝4×（﹣4）＝2×（﹣8）＝1×（﹣16）＝a×b，
∴m＝a+b＝﹣1+16或﹣2+8或﹣4+4或4+（﹣4）或2+（﹣8）或1+（﹣16），
即m＝±15或±6或0．
则m的可能值的个数为5，
故选：B．
【变式2】已知多项式ax2+bx+c分解因式后结果2（x﹣3）（x+1），则b，c的值为（ ）
A．b＝3，c＝﹣1 B．b＝﹣6，c＝2 C．b＝﹣6，c＝﹣4 D．b＝﹣4，c＝﹣6
【分析】首先把2（x﹣3）（x+1），利用整式的乘法计算得出结果，与多项式ax2+bx+c的每一项相对
应，求出a、b、c的数值即可．
【解答】解：2（x﹣3）（x+1）
＝2（x2﹣2x﹣3）
＝2x2﹣4x﹣6，
ax2+bx+c＝2x2﹣4x﹣6
所以a＝2，b＝﹣4，c＝﹣6．
故选：D．
【变式3】若将多项式2x3﹣x2+m进行因式分解后，有一个因式是x+1，则m的值为 3 ．
【分析】由多项式2x3﹣x2+m进行因式分解后，有一个因式是x+1，可得当x＝﹣1时，多项式＝0，从
而得出一个关于m的方程式，解得即可．
【解答】解：∵多项式2x3﹣x2+m进行因式分解后，有一个因式是x+1，
∴当x＝﹣1时，2x3﹣x2+m＝0，
即2×（﹣1）3﹣（﹣1）2+m＝0，解得m＝3．
故答案为：3．
【变式4】多项式2x2﹣13x+b中，有一个因式为（x﹣5），则b的值为（ ）
A．﹣15 B．﹣3 C．15 D．3
【分析】设另一个因式为（2x+m），根据因式分解的意义计算（x﹣5）（2x+m）后即可求得答案．
【解答】解：设另一个因式为（2x+m），
则（x﹣5）（2x+m）＝2x2﹣13x+b，
整理得：2x2+（m﹣10）x﹣5m＝2x2﹣13x+b，
则m﹣10＝﹣13，b＝﹣5m，
那么m＝﹣3，b＝15，
故选：C．
题型03 求多项式的公因式
【典例1】在多项式8a3b2﹣4a3bc中，各项的公因式是（ ）
A．a3b B．4a3b C．4a3 D．﹣a3
【分析】利用公因式的确定方法可得答案．
【解答】解：这两项系数的最大公约数是 4，两项的字母部分a3b2与a3bc都含有字母a和b，其中a的
最低次数是3，b的最低次数是1，因此多项式8a3b2﹣4a3bc中各项的公因式是4a3b，
故选：B．
【变式1】多项式4x3yz2﹣8x2yz4+12x4y2z3的公因式是（ ）
A．4x3yz2 B．﹣8x2yz4 C．12x4y2z3 D．4x2yz2
【分析】根据找公因式的规律找出即可．
【解答】解：多项式4x3yz2﹣8x2yz4+12x4y2z3的公因式是4x2yz2．
故选：D．
【变式2】多项式2xmyn﹣1﹣4xm﹣1yn（m，n均为大于1的整数）各项的公因式是（ ）
A．4xm﹣1yn﹣1 B．2xm﹣1yn﹣1 C．2xmyn D．4xmyn
【分析】直接利用公因式的定义进而得出各项的公因式．
【解答】解：多项式2xmyn﹣1﹣4xm﹣1yn（m，n均为大于1的整数）各项的公因式是：2xm﹣1yn﹣1．
故选：B．
【变式3】若A＝10a2+3b2﹣5a+5，B＝a2+3b2﹣8a+5，则A﹣B的值与﹣9a3b2的公因式为（ ）
A．a B．﹣3 C．9a3b2 D．3a
【分析】根据合并同类项，可化简整式，根据公因式是每項都含有的因式，可得答案．
【解答】解：A﹣B＝9a2+3a，A﹣B的值与﹣9a3b2的公因式为3a，
故选：D．
题型04 求多项式提取公因式后的式子
【典例1】把多项式﹣7ab﹣14abx+49aby分解因式，提公因式﹣7ab后，另一个因式是（ ）
A．1+2x﹣7y B．1﹣2x﹣7y C．﹣1+2x+2y D．﹣1﹣2x+7y
【分析】﹣7ab﹣14abx+49aby的公因式为﹣7ab，提取公因式后化简即可．
【解答】解：﹣7ab﹣14abx+49aby
＝﹣7ab（1+2x﹣7y）．
故选：A．
【变式1】把5（a﹣b）+m（b﹣a）提公因式后一个因式是（a﹣b），则另一个因式是（ ）
A．5﹣m B．5+m C．m﹣5 D．﹣m﹣5
【分析】根据提公因式，可得答案．
【解答】解：原式＝5（a﹣b）﹣m（a﹣b）＝（a﹣b）（5﹣m），
另一个因式是（5﹣m），
故选：A．
【变式2】把多项式（m+1）（m﹣1）+（m﹣1）提取公因式m﹣1后，另一个因式为（ ）
A．m+1 B．2m C．2 D．m+2
【分析】利用提公因式法，进行分解即可解答．
【解答】解：（m+1）（m﹣1）+（m﹣1）
＝（m﹣1）（m+1+1）
＝（m﹣1）（m+2），
所以，把多项式（m+1）（m﹣1）+（m﹣1）提取公因式m﹣1后，另一个因式为（m+2），
故选：D．
【变式3】多项式x2y（a﹣b）﹣xy（b﹣a）+y（a﹣b）提公因式后，另一个因式为（ ）
A．x2﹣x+1 B．x2+x+1 C．x2﹣x﹣1 D．x2+x﹣1
【分析】根据提公因式，可得答案．
【解答】解：原式＝（a﹣b）y（x2+x+1），
公因式是（a﹣b）y，
故选：B．
题型05 提公因式法分解因式
【典例1】分解因式：2a3b2﹣3a2b2＝ a 2 b 2 （ 2 a ﹣ 3 ） ．
【分析】提公因式即可解答．
【解答】解：原式＝a2b2（2a﹣3）．故答案为：a2b2（2a﹣3）．
【变式1】把下列各式分解因式：
（1）﹣8a3b2+6ab3c；
（2）x（x﹣y）2﹣y（y﹣x）．
【分析】（1）提取公因式﹣2ab2分解因式即可；
（2）提取公因式（x﹣y）分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣2ab2（4a2﹣3bc）；
（2）原式＝（x﹣y）[x（x﹣y）+y]
＝（x﹣y）（x2﹣xy+y）．
【变式2】因式分解：
（1）4x2y3+8x2y2z﹣12xy2z．
（2）5x（x﹣2y）3﹣20y（2y﹣x）3．
【分析】（1）利用提公因式法因式分解即可；
（2）利用提公因式法因式分解即可．
【解答】解：（1）4x2y3+8x2y2z﹣12xy2z＝4xy2（xy+2xz﹣3z）；
（2）5x（x﹣2y）3﹣20y（2y﹣x）3
＝5x（x﹣2y）3+20y（x﹣2y）3
＝5（x﹣2y）3（x+4y）．
【变式3】把下列各式因式分解：
（1）（x﹣y）2+（y﹣x）3；
（2）ab（3x﹣y）+ac（y﹣3x）﹣ad（y﹣3x）．
【分析】（1）直接利用提取公因式法提取公因式（x﹣y）2，即可得到答案；
（2）直接利用提取公因式法提取公因式a（3x﹣y），即可得到答案．
【解答】解：（1）（x﹣y）2+（y﹣x）3
＝（x﹣y）2+（y﹣x）2⋅（y﹣x）
＝（x﹣y）2+（x﹣y）2⋅（y﹣x）
＝（x﹣y）2[1+（y﹣x）]
＝（x﹣y）2（1﹣x+y）；
（2）ab（3x﹣y）+ac（y﹣3x）﹣ad（y﹣3x）
＝ab（3x﹣y）﹣ac（3x﹣y）+ad（3x﹣y）
＝a（3x﹣y）（b﹣c+d）．1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．a（2a﹣4b）＝2a2﹣4ab
C．x（x+2y）＝x2+2xy D．x2﹣2xy＝x（x﹣2y）
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因
式，据此逐项判断即可．
【解答】解：x2+2x+1＝x（x+2）+1中等号右边不是积的形式，则A不符合题意；
a（2a﹣4b）＝2a2﹣4ab是乘法运算，则B不符合题意；
x（x+2y）＝x2+2xy是乘法运算，则C不符合题意；
x2﹣2xy＝x（x﹣2y）符合因式分解的定义，则D符合题意；
故选：D．
2．多项式﹣8x2y3z+12xy2z3﹣24x3yz2的公因式是（ ）
A．﹣xyz B．﹣4x3y3z3 C．﹣4xyz D．﹣x3y3z3
【分析】根据多项式的公因式的确定方法，即可求解．
【解答】解：多项式﹣8x2y3z+12xy2z3﹣24x3yz2的公因式是﹣4xyz，
故选：C．
3．已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），则b、c的值为（ ）
A．b＝3，c＝﹣1 B．b＝﹣6，c＝2 C．b＝﹣6，c＝﹣4 D．b＝﹣4，c＝﹣6
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
【解答】解：由多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），得
2x2+bx+c＝2（x﹣3）（x+1）＝2x2﹣4x﹣6．
b＝﹣4，c＝﹣6，
故选：D．
4．已知关于x的二次三项式x2+7x+n有一个因式为（x+5），则n的值为（ ）
A．﹣18 B．2 C．10 D．12
【分析】设另一个因式为x+m，则x2+7x+n＝（x+m）（x+5），根据多项式乘以多项式法则展开，即可
得出答案．
【解答】解：设另一个因式为x+m，
则x2+7x+n＝（x+m）（x+5），
而（x+m）（x+5）＝x2+（5+m）x+5m，
所以5+m＝7，
解得：m＝2，
n＝5×2＝10，
故选：C．
5．如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则a2b+ab2的值为（ ）A．80 B．96 C．192 D．240
【分析】根据题意得出a+b＝8，ab＝12，然后将整式因式分解化简，整体代入求解即可
【解答】解：∵边长为a，b的长方形周长为16，面积为12，
∴a+b＝8，ab＝12，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝12×8
＝96．
故选：B．
6．若（x+y）3﹣xy（x+y）＝（x+y）•M（x+y≠0），则M是（ ）
A．x2+y2 B．x2﹣xy+y2 C．x2﹣3xy+y2 D．x2+xy+y2
【分析】运用提公因式法将等式左边的多项式进行因式分解即可求解．
【解答】解：（x+y）3﹣xy（x+y）
＝（x+y）[（x+y2﹣xy]
＝ （x+y） （x2+xy+y2）
∵（x+y）3﹣xy（x+y）＝（x+y）•M（x+y≠0），
∴M＝ x2+xy+y2，
故选：D．
7．如果a﹣b＝3，ab＝7，那么a2b﹣ab2的值是（ ）
A．﹣21 B．﹣10 C．21 D．10
【分析】首先分解因式，再代入求值即可．
【解答】解：a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝7×3＝21，
故选：C．
8．计算（﹣5）2013+（﹣5）2014的结果是（ ）
A．4×52013 B．﹣5 C．﹣4×52013 D．﹣4
【分析】先将原算式变式后，运用提公因式因式分解法进行求解．
【解答】解：（﹣5）2013+（﹣5）2014
＝﹣52013+52014
＝5×52013﹣52013
＝52013×（5﹣1）
＝4×52013，
故选：A．9．已知a﹣b＝5，b﹣c＝﹣6，则代数式a2﹣ac﹣b（a﹣c）的值为（ ）
A．﹣30 B．30 C．﹣5 D．﹣6
【分析】将代数式进行因式分解，再利用整体代入法求值即可．
【解答】解：∵a﹣b＝5，b﹣c＝﹣6，
∴a﹣c＝﹣1，
∴a2﹣ac﹣b（a﹣c）
＝a（a﹣c）﹣b（a﹣c）
＝（a﹣c）（a﹣b）
＝5×（﹣1）
＝﹣5；
故选：C．
10．计算1﹣a﹣a（1﹣a）﹣a（1﹣a）2﹣a（1﹣a）3﹣…﹣a（1﹣a）2013﹣[（1﹣a）2014﹣3]的结果为（
）
A．3 B．1
C．（1﹣a）2015 D．（1﹣a）2015+3
【分析】直接利用提取公因式法分解因式得出答案．
【解答】解：1﹣a﹣a（1﹣a）﹣a（1﹣a）2﹣a（1﹣a）3﹣…﹣a（1﹣a）2013﹣[（1﹣a）2014﹣3]
＝1﹣a﹣a（1﹣a）﹣a（1﹣a）2﹣a（1﹣a）3﹣…﹣a（1﹣a）2013﹣（1﹣a）2014+3
＝（1﹣a）2﹣a（1﹣a）2﹣a（1﹣a）3﹣…﹣a（1﹣a）2013﹣（1﹣a）2014+3
＝（1﹣a）2013﹣a（1﹣a）2013﹣（1﹣a）2014+3
＝（1﹣a）2014﹣（1﹣a）2014+3
＝3．
故选：A．
11．单项式12a2b2与9a3b的公因式是 3 a 2 b ．
【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．
【解答】解：12和9的最大公因数为3，取相同字母的最低指数次幂得到a2b，
∴12a2b2与9a3b的公因式为3a2b．
故答案为：3a2b．
12．请你写出一个整式A，使得多项式x2+A能因式分解，这个整式A可以是 x y （答案不唯一） ．
【分析】根据因式分解的定义解答即可．
【解答】解：这个整式A可以是：xy（答案不唯一）．
故答案为：xy（答案不唯一）．
13．计算：20232﹣2023×2022＝ 202 3 ．
【分析】运用提公因式法进行简便运算．
【解答】解：20232﹣2023×2022＝2023×（2023﹣2022）
＝2023×1
＝2023．
故答案为：2023．
14．（1）若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为 ﹣ 1 ．
（2）若x2﹣4x+m＝（x﹣2）（x+n），m＝ 4 ，n＝ ﹣ 2 ．
【分析】（1）根据已知得出算式b＝﹣1×（﹣3），k＝﹣1+（﹣3），求出即可．
（2）根据已知得出等式﹣4＝﹣2+n，m＝﹣2n，求出即可．
【解答】解：（1）∵x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），
∴b＝﹣1×（﹣3）＝3，k＝﹣1+（﹣3）＝﹣4，
∴k+b＝3+（﹣4）＝﹣1，
故答案为：﹣1．
（2）∵x2﹣4x+m＝（x﹣2）（x+n），
∴﹣4＝﹣2+n，m＝﹣2n，
m＝4，n＝﹣2，
故答案为：4，﹣2．
15．已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为 1 0 ．
【分析】将所求代数式适当变形后整体代入x+y＝10，xy＝1即可求解．
【解答】解：∵x+y＝10，xy＝1，
∴x2y+xy2
＝xy（x+y）
＝1×10
＝10．
16．分解因式：
（1）6m2n﹣15n2m+30m2n2
（2）x（x﹣y）2﹣y（x﹣y）
【分析】（1）先确定公因式是3mn，然后提取公因式即可．
（1）先确定公因式是（x﹣y），然后提取公因式并整理即可．
【解答】解：（1）6m2n﹣15n2m+30m2n2＝3mn（2m﹣5n+10mn）；
（2）x（x﹣y）2﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）（x2﹣xy﹣y）．
17．简便计算：
①1.992+1.99×0.01
②20132+2013﹣20142．
【分析】①直接提取公因式1.99，进而求出答案；
②将前两项提取公因式2013，进而分解因式得出答案．【解答】解：①1.992+1.99×0.01
＝1.99×（1.99+0.01）
＝3.98；
②20132+2013﹣20142
＝2013[（2013+1）]﹣20142
＝2013×2014﹣20142
＝2014×（2013﹣2014）
＝﹣2014．
18．已知：a+b＝3，ab＝2，求下列各式的值：
（1）a2b+ab2；
（2）a2+b2．
【分析】（1）把代数式提取公因式ab后把a+b＝3，ab＝2整体代入求解；
（2）利用完全平方公式把代数式化为已知的形式求解．
【解答】解：（1）a2b+ab2＝ab（a+b）＝2×3＝6；
（2）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
＝32﹣2×2，
＝5．
19．先阅读下面的内容，再解决问题．
如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式．
如：①因为36＝4×9，所以4和9是36的因数；
因为x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2），所以x+1和x﹣2是x2﹣x﹣2的因式．
②若x+1是x2+ax﹣2的因式，则求常数a的值的过程如下：
解：∵x+1是x2+ax﹣2的因式
∴存在一个整式（mx+n），使得x2+ax﹣2＝（x+1）（mx+n）
∵当x＝﹣1时，（x+1）（mx+n）＝0
∴当x＝﹣1时，x2+ax﹣2＝0
∴1﹣a﹣2＝0
∴a＝﹣1
（1）若x+5是整式x2+mx﹣10的一个因式，则m＝ 3 ．
（2）若整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1的因式，求 的值．
【分析】（1）根据②中的例子，类比可得结论；
（2）根据多项式乘法将等式展开有：3x4﹣ax2+bx+1＝（x2﹣1）（3x2+mx﹣1），根据当x＝1时，（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）＝0，则3﹣a+b+1＝0①，当x＝﹣1时，（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）＝0，则3﹣a﹣
b+1＝0②，联立可求常数a，b的值．可得结论．
【解答】解：（1）∵x+5是整式x2+mx﹣10的一个因式，
∴存在一个整式（mx+n），使得x2+mx﹣10＝（x+5）（mx+n），
∵当x＝﹣5时，（x+5）（mx+n）＝0，
∴当x＝﹣5时，x2+mx﹣10＝0，
∴25﹣5m﹣10＝0，
∴m＝3；
故答案为：3；
（2）∵整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1，
∴存在一个整式（3x2+mx﹣1），使得3x4﹣ax2+bx+1＝（x2﹣1）（3x2+mx﹣1），
∴当x＝1时，（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）＝0，
即3x4﹣ax2+bx+1＝0，
则3﹣a+b+1＝0①，
当x＝﹣1时，（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）＝0，
即3x4﹣ax2+bx+1＝0，
则3﹣a﹣b+1＝0②，
联立①②解得a＝4，b＝0．
∴ ＝ ＝2．
20．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
＝（1+x）[1+x+x（x+1）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 提公因式法 ，共用了 2 次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，则结果是 （ 1+ x ） 202 2 ．
（3）依照上述方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．
【分析】（1）利用提公因式法，进行分解即可解答；
（2）仿照已知的计算过程，即可解答；
（3）仿照已知的计算过程，即可解答．
【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共用了2次，
故答案为：提公因式法，2；
（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，
则需要用上述方法2021次，结果是（1+x）2022，
故答案为：（1+x）2022；（3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）
＝（1+x）[1+x+x（x+1）+...+x（x+1）n﹣1]
＝（1+x）2[（1+x+x（x+1）+...+x（x+1）n﹣2]
..．
＝（1+x）n+1．
