文档内容
【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题9.8不等式（组）的新定义问题大题专练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压
轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己
的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．（2022春•庐阳区校级期中）对于任意实数m、n，定义一种新运算：m*n＝m﹣3n+7，等式右边是通常
的加减运算，例如：2*3＝2﹣3×3+7＝0．
（1）（8*2）的平方根为 ± 3 ；
（2）若关于x的不等式组3t＜2*x＜7解集中恰有3个整数解，求t的取值范围．
【分析】（1）原式利用题中的新定义化简，求出平方根即可；
（2）已知不等式利用题中的新定义化简，根据解集中恰有3个整数解，确定出t的范围即可．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：8*2＝8﹣3×2+7＝8﹣6+7＝9，
则9的平方根是±3；
故答案为：±3；
（2）根据题中的新定义化简得：3t＜2﹣3x+7＜7，
2
解得： ＜x＜﹣t+3，
3
∵该不等式的解集有3个整数解，
∴该整数解为1，2，3，
∴3＜﹣t+3≤4，
解得：﹣1≤t＜0．
2．（2021春•嘉鱼县期末）定义一种新运算“a△b”：当a≥b时，a△b＝a+2b；当a＜b时，a△b＝a﹣
2b．例如：3△（﹣4）＝3+2×（﹣4）＝﹣5，1△2＝1﹣2×2＝﹣3．
（1）填空：（﹣4）△3＝ ﹣ 1 0 ；（直接写结果）
（2）若（3m﹣4）△（m+6）＝（3m﹣4）+2（m+6），求m的取值范围；
（3）已知（3x﹣7）△（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围．
【分析】（1）根据新定义计算可得；
（2）根据新定义结合已知条件知3m﹣4≥m+6，解之可得；{ 3x−7≥3−2x { 3x−7＜3−2x
（3）由题意可得 或 ，分别求解可得．
3x−7+2(3−2x)＜−6 3x−7−2(3−2x)＜−6
【解答】解：（1）（﹣4）*3＝﹣4﹣2×3＝﹣10，
故答案为：﹣10；
（2）∵（3m﹣4）△（m+6）＝（3m﹣4）+2（m+6），
∴3m﹣4≥m+6，
解得：m≥5；
（3）由题意知，
{ 3x−7≥3−2x { 3x−7＜3−2x
或 ，
3x−7+2(3−2x)＜−6 3x−7−2(3−2x)＜−6
解得：x＞5或x＜1．
3．阅读下面材料：对于实数p，q，我们定义符号max{p，q}的意义为：当p≤q时，max{p，q}＝q；当p
＞q时，max{p，q}＝p，如：max{2．﹣1}＝2；max{3，3}＝3．根据上面的材料回答下列问题：
（1）max{﹣1，3}＝ 3 ；
3x−1 2x+1 2x+1
（2）当max{ ， }= 时，求x的取值范围．
2 3 3
【分析】（1）根据定义即可求得；
3x−1 2x+1
（2）根据题意得出 ≤ ，解不等式即可求得结论．
2 3
【解答】解：（1）max{﹣1，3}＝3，
故答案为3；
3x−1 2x+1
（2）由定义得， ≤ ，
2 3
9x﹣3≤4x+2，
5x≤5，
x≤1，
故的取值范围是x≤1．
4．（2020春•朝阳区校级期中）请你根据右框内所给的内容，完成下列各小题．
（1）若m n＝1，m 2n＝﹣2，分别求出m和n的值；
（2）若m⊕满足m 2≤⊕0，且3m （﹣8）＞0，求m的取值范围．
我们定义一个关于⊕有理数a，b的⊕新运算，规定：a b＝4a﹣3b．
例如：5 6＝4×5﹣3×6＝2．
⊕
【分析】（1）根据⊕新定义列出关于m、n的方程组，解之可得；
（2）根据新定义列出关于m、n的不等式组，解之可得．
【解答】解：（1）根据题意，得：
{ 4m−3n=1
，
4m−6n=−2
{m=1
解得： ；
n=1
{ 4m−6≤0
（2）根据题意，得： ，
12m+24＞0
3
解得：﹣2＜m≤ ．
2
3
故m的取值范围是﹣2＜m≤ ．
2
5．（2022春•如皋市期末）对于任意实数m，n，定义一种新运算：m◎n＝m+n﹣5，其中，等式右边是通
常的加减运算．如：2◎3＝2+3﹣5＝0．若关于x的不等式组t＜2◎x＜7恰有3个整数解，求t的取值范
围．
【分析】已知不等式利用题中的新定义化简，根据解集中恰有3个整数解，确定出t的范围即可．
【解答】解：由题意得：t＜2+x﹣5＜7．即t＜x﹣3＜7，
∴t+3＜x＜10，
∵该不等式组恰有3个整数解，即整数解x＝7，8，9，
∴6≤t+3＜7，
解得3≤t＜4．
故t的取值范围是3≤t＜4．
6．（2022春•新郑市期末）对于任意实数x，y定义一种新运算“#”：x#y＝xy+x﹣y．例如，3#5＝3×5+3
﹣5＝13．
（1）解不等式：3#x＜4；
（2）若m＜2#x＜9，且该不等式组的解集中恰有两个整数解，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据新定义列出不等式3x+3﹣x＜4，解之即可；{2x+2−x＞m ①
（2）由新定义得出 ，解之得出x＞m﹣2且x＜7，结合不等式组的整数解个数得出
2x+2−x＜9 ②
4≤m﹣2＜5，解之即可．
【解答】解：（1）∵3#x＜4，
∴3x+3﹣x＜4，
解得x＜0.5；
（2）∵m＜2#x＜9，
{2x+2−x＞m ①
∴ ，
2x+2−x＜9 ②
解不等式①，得：x＞m﹣2，
解不等式②，得：x＜7，
∵不等式组有2个整数解，
∴4≤m﹣2＜5，
∴6≤m＜7．
7．（2018春•房山区期中）定义：对于任何有理数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．
例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣1.5]＝﹣2．
（1）[﹣ ]＝ ﹣ 4 ；
π x−1
（2）如果[ ]＝﹣5，求满足条件的所有整数x；
2
8 19
（3）直接写出方程6x﹣3[x]+7＝0的解 x=− 或 x=− ．
3 6
【分析】（1）由定义直接得出即可；
x−1
（2）根据题意得出﹣5≤ ＜−4，求出x的取值范围，从而得出满足条件的所有正整数的解；
2
7+6x 7+6x
（3）整理得出[x]= ，方程右边式子为整数，表示出x只能为负数，得出x﹣1＜ ＜x，求
3 3
出x的取值范围，确定出方程的解即可．
【解答】解：（1）由题可得，[﹣ ]＝﹣4；
故答案为：﹣4； π
x−1
（2）﹣5≤ ＜−4，
2
解得﹣9≤x＜﹣7
整数解为﹣9，﹣8；7+6x
（3）由6x﹣3[x]+7＝0，得[x]= ，
3
7+6x
所以 为整数，则（7+6x）为3的倍数，
3
3n−7
即x= （n为整数），
6
7+6x
又x﹣1＜ ＜x，
3
20 14
解得− ＜x＜− ；
6 6
易知n＝﹣3时，3n﹣7＝﹣16符合要求，
n＝﹣4时，3n﹣7＝﹣19符合要求，
8 19
所以x=− 或x=− ．
3 6
8 19
故答案为：x=− 或x=− ．
3 6
8．（2022春•唐县期末）规定min（m，n）表示m，n中较小的数（m，n均为实数），例如：min{3，﹣
1}＝﹣1，min{√2，√2}=√2据此解决下列问题：
（1）min{﹣2，﹣3}＝ ﹣ 3 ；
（2）若min{3x﹣1，2}＝2，求x的取值范围；
【分析】（1）根据题中的新定义确定出所求即可；
（2）根据题中的新定义得到3x﹣1与2的大小，求出x的范围即可．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：min{﹣2，﹣3}＝﹣3；
故答案为：﹣3；
（2）∵min{3x﹣1，2}＝2，
∴3x﹣1≥2，
解得：x≥1．
3
9．（2022 春•大观区校级期中）在实数范围内定义一种新运算“ ”其运算规则为：a b＝2a−
2
⊕ ⊕
3
（a+b），如1 5＝2×1− （1+5）＝﹣7．
2
⊕
（1）若x 4＝0，则x＝ 1 2 ．
（2）若关⊕于x的方程x m＝﹣2 （x+4）的解为非负数，求m的取值范围．
⊕ ⊕【分析】（1）根据所给的运算列出关于x的方程，解方程即可．
（2）根据所给的运算列出关于x的一元一次方程，解方程后得到关于m的不等式，求出m的取值范围
即可．
3
【解答】解：（1）∵a b＝2a− （a+b），
2
⊕
3 1
∴x 4＝2x− （x+4）= x﹣6，
2 2
⊕
∵x 4＝0，
1⊕
∴ x﹣6＝0，
2
解得x＝12，
故答案为：12；
3
（2）∵a b＝2a− （a+b），
2
⊕
3 1 3 3 3 3
∴x m＝2x− （x+m）= x− m，﹣2 （x+4）＝2×（﹣2）− （﹣2+x+4）＝﹣4+3− x﹣6=− x
2 2 2 2 2 2
⊕ ⊕
﹣7，
1 3 3
∴ x− m=− x﹣7，
2 2 2
3 7
解得x= m− ，
4 2
∵关于x的方程（x m）＝[﹣2 （x+4）]的解为非负数，
3 7 ⊕ ⊕
∴ m− ≥0，
4 2
14
∴m≥ ，
3
14
∴m的取值范围为m≥ ．
3
10．（2022春•三水区校级期中）定义一种新运算“a※b”：当a≥b时，a※b＝2a+b；当a＜b时，a※b
＝2a﹣b．
例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※12＝2×（﹣6）﹣12＝﹣24．
（1）填空；（﹣3）※2＝ ﹣ 8 ；（2x2+2x+2）※（x2﹣4）＝ 5 x 2 + 4 x ；
（2）若（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），则x的取值范围为 x ≥ 7 ．
（3）已知（2x﹣6）※（9﹣3x）＜7，求x的取值范围．【分析】（1）根据新运算公式计算可得；
（2）结合新运算公式知3x﹣4≥2x+3，解之可得；
（3）分两种情况得到关于x的不等式组，分别求解可得．
【解答】解：（1）（﹣3）※2＝2×（﹣3）﹣2＝﹣8；
∵（2x2+2x+2）﹣（x2﹣4）＝x2+2x+6＝（x+1）2+5＞0，
∴（2x2+2x+2）※（x2﹣4）＝2（2x2+2x+2）+（x2﹣4）＝5x2+4x；
故答案为：﹣8，5x2+4x；
（2）∵（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），
∴3x﹣4≥2x+3，
解得：x≥7，
故答案为：x≥7．
（3）当2x﹣6≥9﹣3x时，则2（2x﹣6）+（9﹣3x）＜7，
解得3≤x＜10；
当2x﹣6＜9﹣3x时，则2（2x﹣6）﹣（9﹣3x）＜7，
解得x＜3；
综上，x的取值范围为：x＜10．
11．（2018•余姚市模拟）请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题．
（1）若x y＝1，x 2y＝﹣2，分别求出x和y的值；
（2）若x⊕满足x 2≤⊕0，且3x （﹣8）＞0，求x的取值范围．
⊕ ⊕
【分析】（1）根据定义新运算得到二元一次方程组，再解方程组即可求解；
（2）根据定义新运算得到一元一次不等式组，再解不等式组即可求解．
{ 4x−3 y=1
【解答】解：（1）根据题意得 ，
4x−3×2y=−2{x=1
解得 ；
y=1
{ 4x−3×2≤0
（2）根据题意得 ，
4×3x−3×(−8)＞0
3
解得﹣2＜x≤ ．
2
3
故x的取值范围是﹣2＜x≤ ．
2
12．（2022•南京模拟）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a+2b；当a＜b时，a*b＝a﹣2b．
例如：3*（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）*12＝﹣6﹣24＝﹣30．
（1）填空：（﹣4）*3＝ ﹣ 1 0 ．
（2）若（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），则x的取值范围为 x ≥ 5 ；
（3）已知（3x﹣7）*（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围；
（4）计算（2x2+4x+8）*（x2+4x﹣2）．
【分析】（1）根据新定义计算可得；
（2）结合新定义知3x﹣4≥x+6，解之可得；
{ 3x−7≥3−2x { 3x−7＜3−2x
（3）由题意可得 或 ，分别求解可得；
3x−7+2(3−2x)＜−6 3x−7−2(3−2x)＜−6
（4）先利用作差法判断出2x2+4x+8＞x2+4x﹣2，再根据新定义计算（2x2+4x+8）*（x2+4x﹣2）即可求
解．
【解答】解：（1）（﹣4）*3
＝﹣4﹣2×3
＝﹣8﹣6
＝﹣10．
故答案为：﹣10；
（2）∵（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），
∴3x﹣4≥x+6，
解得：x≥5．
故答案为：x≥5；
{ 3x−7≥3−2x { 3x−7＜3−2x
（3）由题意知 或 ，
3x−7+2(3−2x)＜−6 3x−7−2(3−2x)＜−6解得：x＞5或x＜1．
故x的取值范围是x＞5或x＜1；
（4）∵2x2+4x+8﹣（x2+4x﹣2）
＝2x2+4x+8﹣x2﹣4x+2
＝x2+10＞0；
∴2x2+4x+8＞x2+4x﹣2，
原式＝2x2+4x+8+2（x2+4x﹣2）
＝2x2+4x+8+2x2+8x﹣4
＝4x2+12x+4．
13．（2020•张家界）阅读下面的材料：
对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}
＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）min{﹣1，3}＝ ﹣ 1 ；
2x−3 x+2 x+2
（2）当min{ ， }= 时，求x的取值范围．
2 3 3
【分析】（1）比较大小，即可得出答案；
2x−3 x+2
（2）根据题意判断出 ≥ ，解不等式即可判断x的取值范围．
2 3
【解答】解：（1）由题意得min{﹣1，3}＝﹣1；
故答案为：﹣1；
2x−3 x+2
（2）由题意得： ≥
2 3
3（2x﹣3）≥2（x+2）
6x﹣9≥2x+4
4x≥13
13
x≥ ，
4
13
∴x的取值范围为x≥ ．
4
{x−y=11−m
14．（2021春•罗湖区校级期末）已知关于x、y的方程组 ．
x+ y=7−3m{x−y=11−m
（1）当m＝2时，请解关于x、y的方程组 ；
x+ y=7−3m
{x−y=11−m
（2）若关于x、y的方程组 中，x为非负数、y为负数，
x+ y=7−3m
①试求m的取值范围；
②当m取何整数时，不等式3mx+2x＞3m+2的解为x＜1．
【分析】（1）把m＝2代入原方程组，再利用加减法解方程组即可；
（2）①把m看作常数，解方程组，根据x为非负数、y为负数，列不等式组解出即可；
②根据不等式3mx+2x＞3m+2的解为x＜1，求出m的取值范围，综合①即可解答．
{x−y=11−m {x−y=9①
【解答】解：（1）把m＝2代入方程组 中得： ，
x+ y=7−3m x+ y=1②
①+②得：2x＝10，x＝5，
①﹣②得：﹣2y＝8，y＝﹣4，
{ x=5
∴方程组的解为： ；
y=−4
{x−y=11−m①
（2）① ，
x+ y=7−3m②
①+②得：2x＝18﹣4m，x＝9﹣2m，
①﹣②得：﹣2y＝4+2m，y＝﹣2﹣m，
∵x为非负数、y为负数，
{9−2m≥0 9
∴ ，解得：﹣2＜m≤ ；
−2−m＜0 2
②3mx+2x＞3m+2，
（3m+2）x＞3m+2，
∵不等式3mx+2x＞3m+2的解为x＜1，
∴3m+2＜0，
2
∴m＜− ，
3
9
由①得：﹣2＜m≤ ，
2
2
∴﹣2＜m＜− ，
3
∵m整数，
∴m＝﹣1；即当m＝﹣1时，不等式3mx+2x＞3m+2的解为x＜1．
15．（2020春•海淀区校级期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程
为该不等式组的关联方程．
2 {−x+2＞x−5
（1）在方程①3x﹣1＝0；② x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组 关联方
3 3x−1＞−x+2
程是 ③ （填序号）．
{ 1
x− ＜1
（2）若不等式组 2 的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 2 x ﹣ 2 ＝ 0
1+x＞−3x+2
（写出一个即可）．
1 {x＜2x−m
（3）若方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+ ）都是关于x的不等式组 的关联方程，试求出m的
2 x−2≤m
取值范围．
【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）解不等式组求得其整数解，根据关联方程的定义写出一个解为1的方程即可；
（3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案．
1
【解答】解：（1）①解方程3x﹣1＝0得：x= ，
3
2 3
②解方程 x+1＝0得：x=− ，
3 2
③解方程x﹣（3x+1）＝﹣5得：x＝2，
{−x+2＞x−5 3 7
解不等式组 得： ＜x＜ ，
3x−1＞−x+2 4 2
{−x+2＞x−5
所以不等式组 的关联方程是③，
3x−1＞−x+2
故答案为：③；
1
（2）解不等式x− ＜1得：x＜1.5，
2
解不等式1+x＞﹣3x+2得：x＞0.25，
则不等式组的解集为0.25＜x＜1.5，
∴其整数解为1，
则该不等式组的关联方程为2x﹣2＝0．
故答案为：2x﹣2＝0．
（3）解方程9﹣x＝2x得x＝3，1
解方程3+x＝2（x+ ）得x＝2，
2
{x＜2x−m
解不等式组 得m＜x≤m+2，
x−2≤m
1 {x＜2x−m
∵方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+ ）都是关于x的不等式组 的关联方程，
2 x−2≤m
∴1≤m＜2．
16．（2019春•宜宾期末）定义：对于任何有理数m，符号[m]表示不大于m的最大整数．例如：[4.5]＝
4，[8]＝8，[﹣3.2]＝﹣4．
（1）填空：[ ]＝ 3 ，[﹣2.1]+5＝ 2 ；
5−π2x
（2）如果[ ]＝﹣4，求满足条件的x的取值范围；
3
（3）求方程4x﹣3[x]+5＝0的整数解．
【分析】（1）根据题目所给信息求解；
5−2x
（2）根据题意得出：﹣4≤ ＜−3，求出x的取值范围；
3
4x+5 4x+5
（3）整理方程得[x]= ，根据定义得出x﹣1＜ ≤x，解不等式组求得x的取值范围，即可求
3 3
4x+5
得整数x为﹣7，﹣6，﹣5，由[x]是整数，则满足 为整数，即可求得x＝﹣5．
3
【解答】解：（1）由题意得：[ ]＝3，[﹣2.1]+5＝﹣3+5＝2，
故答案为3，2； π
5−2x
（2）根据题意得：﹣4≤ ＜−3，
3
17
解得：7＜x≤ ，
2
17
则满足条件的x的取值范围为7＜x≤ ；
2
4x+5
（3）整理得：[x]= ，
3
4x+5
∴x﹣1＜ ≤x
3
解得不等式组的解集为：﹣8＜x≤﹣5，∴整数x为﹣7，﹣6，﹣5，
∵[x]是整数，
4x+5
∴ 为整数，
3
∴x＝﹣5，
∴方程的整数解为x＝﹣5．
17．（2020春•西城区校级期中）阅读理解：我们把对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为《x》，即
1 1
当n为非负整数时，若n− ≤x＜n+ ，则《x》＝n．例如：《0.67》＝1，《2.49》＝2，…．请解决下
2 2
列问题：
（1）《√2》＝ 1 ；
11 13
（2）若《2x﹣1》＝5，则实数x的取值范围是 ≤x＜ ；
4 4
（3）①《2x》＝2《x》；
②当m为非负整数时，《m+2x》＝m+《2x》；
3
③满足《x》= x的非负实数x只有两个，其中结论正确的是 ②③ ．（填序号）
2
【分析】（1）根据题意判断即可；
（2）我们可以根据题意所述利用不等式解答；
（3）根据题意可以判断题目中各个结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）《√2》＝1．
1 1 11 13
（2）若《2x﹣1》＝5，则5− ≤2x﹣1＜5+ ，解得 ≤x＜ ．
2 2 4 4
（3）《2x》＝2《x》，例如当x＝0.3时，《2x》＝1，2《x》＝0，故①错误；
当m为非负整数时，不影响“四舍五入”，故《m+2x》＝m+《2x》，故②正确；
3 3 1 3 1
《x》= x，则 x− ≤x＜ x+ ，解得﹣1＜x≤1，
2 2 2 2 2
3 2
∵ x为非负整数，∴x＝0或 ，故③正确．
2 3
11 13
故答案为：1； ≤x＜ ；②③．
4 418．（2022春•定远县期末）阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作[x]．
例如，[3.2]＝3，[5]＝5，[﹣2.1]＝﹣3，那么，x＝[x]+a，其中0≤a＜1．
例如，3.2＝[3.2]+0.2，5＝[5]+0，﹣2.1＝[﹣2.1]+0.9．
请你解决下列问题：
（1）[4.8]＝ 4 ，[﹣6.5]＝ ﹣ 7 ；
（2）如果[x]＝5，那么x的取值范围是 5 ≤ x ＜ 6 ；
5
（3）如果[5x﹣2]＝3x+1，那么x的值是 ；
3
（4）如果x＝[x]+a，其中0≤a＜1，且4a＝[x]+1，求x的值．
【分析】（1）根据新定义直接求解；
（2）根据[x]表示不超过x的最大整数的定义即可求解；
（3）根据[x]表示不超过x的最大整数的定义得：3x+1≤5x﹣2＜3x+2，且3x+1是整数，计算可得结论；
（4）根据4a＝[x]+1，表示a，再根据a的范围建立不等式x值．
【解答】解：（1）[4.8]＝4，[﹣6.5]＝﹣7．
故答案为：4，﹣7．
（2）如果[x]＝5．那么x的取值范围是5≤x＜6．
故答案为：5≤x＜6．
（3）如果[5x﹣2]＝3x+1，那么3x+1≤5x﹣2＜3x+2．
3
解得： ≤x＜2，
2
∵3x+1是整数．
5
∴x= ．
3
5
故答案为： ．
3
（4）∵x＝[x]+a，其中0≤a＜1，
∴[x]＝x﹣a，
∵4a＝[x]+1，
[x]+1
∴a= ．
4
∵0≤a＜1，
[x]+1
∴0≤ ＜1，
4∴﹣1≤[x]＜3，
∴[x]＝﹣1，0，1，2．
当[x]＝﹣1时，a＝0，x＝﹣1；
1 1
当[x]＝0时，a= ，x= ；
4 4
1 1
当[x]＝1时，a= ，x=1 ；
2 2
3 3
当[x]＝2时，a= ，x=2 ；
4 4
1 1 3
∴x＝﹣1或 或1 或2 ．
4 2 4
19．（2021春•镇江期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．即当n为非负整数时，若n
1 1
− ≤x＜n+ ，则＜x＞＝n．如：＜3.2＞＝3，＜3.5＞＝4，＜3.8＞＝4．根据以上材料，解决下列问
2 2
题：
（1）填空：＜3.45＞＝ 3 ；
（2）若＜2x+1＞＝3，求x满足的条件；
（3）下面两个命题：①如果x≥0，m为非负整数，那么＜x+m＞＝m+＜x＞；②如果x≥0，k为非负
整数，那么＜kx＞＝k＜x＞；请判断在这两个命题中属于假命题的是 ② ，并举反例说明；
2 3
（4）满足＜x＞= x+1的所有非负实数x的值为 或 3 ．
3 2
【分析】（1）根据定义即可求解；
（2）根据定义列出不等式即可求解；
（3）通过举反例即可判断；
（4）根据定义列出不等式即可求解．
1 1
【解答】解：（1）∵3− ＜3.45＜3+ ，
2 2
∴＜3.45＞＝3，
故答案为：3；
（2）∵＜2x+1＞＝3，
5 7
∴ ≤2x+1＜ ，
2 23 5
解得： ≤x＜ ；
4 4
（3）②是假命题；
反例为：x＝1.4，k＝2，＜kx＞＝＜2.8＞＝3，而k＜x＞＝2×＜1.4＞＝2×1＝2，＜kx＞≠k＜x＞；
故答案为：②；
2 3m−3
（4）设 x+1=m，m为整数，则x= ，
3 2
3m−3
∴[x]＝[ ]＝m，
2
1 3m−3 1
∴m− ≤ ＜m+ ，
2 2 2
∴2≤m＜4，
∵m为整数，
∴m＝2，或m＝3，
3
∴x= 或x＝3．
2
20．（2020春•崇川区校级期末）若x为实数，定义：[x]表示不大于x的最大整数．
（1）例如[1.6]＝1，[ ]＝ 3 ，[﹣2.82]＝ ﹣ 3 ．（请填空）
（2）[x]+1是大于x的π最小整数，对于任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，利用这个不等式，求
出满足[x]＝2x﹣1的所有解．
【分析】（1）根据[x]表示不大于x的最大整数即可求解；
（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：（1）[ ]＝3，[﹣2.82]＝﹣3．
故答案为：3，﹣3．π
（2）∵对任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，[x]＝2x﹣1，
∴2x﹣1≤x＜2x﹣1+1，
解得0＜x≤1，
∵2x﹣1是整数，
∴x＝0.5或x＝1，
21．（2018春•开州区期末）设x是实数，现在我们用{x}表示不小于x的最小整数，如{3.2}＝4，{﹣2.6}
＝﹣2，{4}＝4，{﹣5}＝5．在此规定下任一实数都能写出如下形式：x＝{x}﹣b，其中0≤b＜1．
（1）直接写出{x}与x，x+1的大小关系是 x ≤ { x } ＜ x + 1 （由小到大）；（2）根据（1）中的关系式解决下列问题：
①求满足{3x+11}＝6的x的取值范围；
1
②解方程：{3.5x+2}＝2x− ．
4
【分析】（1）x＝{x}﹣b，其中0≤b＜1，b＝{x}﹣x，即0≤{x}﹣x＜1，即可判断三者的大小关系，
（2）根据（1）中的关系得到关于x的一元一次不等式组，解之即可，
1
②根据（1）中的关系得到关于x的一元一次不等式组，且2x− 为整数，即可求解．
4
【解答】解：（1）∵x＝{x}﹣b，其中0≤b＜1，
∴b＝{x}﹣x，
即0≤{x}﹣x＜1，
∴x≤{x}＜x+1，
故答案为：x≤{x}＜x+1，
（2）①∵{3x+11}＝6，
∴3x+11≤6＜（3x+11）+1，
5
解得：﹣2＜x≤− ，
3
5
即满足{3x+11}＝6的x的取值范围为：﹣2＜x≤− ，
3
1
②∵{3.5x+2}＝2x− ，
4
1 1
∴3.5x+2≤2x− ＜（3.5x+2）+1，且2x− 为整数，
4 4
13 3
解不等式组得：− ＜x≤− ，
6 2
55 1 1 1
∴− ＜2x− ≤−3 ，整数2x− 为﹣4，
12 4 4 4
15
解得：x=− ，
8
15
即原方程的解为：x=− ．
8
22．（2022•南京模拟）阅读材料：
我们定义一个关于有理数a，b的新运算，规定：a b＝4a﹣3b．例如：5 6＝4×5﹣3×6＝2．完成下列
各小题． ⊕ ⊕（1）若a b＝1，a 2b＝﹣5，分别求出a和b的值；
（2）若m⊕满足m 2⊕≤0，且3m （﹣8）＞0，求m的取值范围．
【分析】（1）根据⊕新运算，得到⊕方程组，解方程组即可求解；
（2）根据新运算，得到不等式组，解不等式组即可．
{ 4a−3b=1
【解答】解：（1）根据题意，得 ，
4a−3×2b=−5
{ 7
a=
解得： 4，
b=2
7
∴a和b的值分别为a= ，b＝2；
4
{ 4m−3×2≤0
（2）根据题意，得 ，
4×3m−3×(−8)＞0
3
解得：−2＜m≤ ．
2
3
∴m的取值范围−2＜m≤ ．
2
23．（2020春•长沙期末）对x、y定义一种新运算F，规定：F（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常
数）．例如：F（2，3）＝2a+3b．
（1）已知F（2，﹣1）＝﹣1，F（3，0）＝3．
①求a，b的值．
{ F(3−2p，3)≥4
②已知关于p的不等式组 求p的取值范围；
F(2，2−3p)＜−1
{−2＜F(1，2)≤4
（2）若运算F满足 ，请你求出F（k，k）的取值范围（用含k的代数式表示，这
−1＜F(2，1)≤5
里k为常数且k＞0）．
【分析】（1）①根据F（2，﹣1）＝﹣1，F（3，0）＝3列出关于a、b的方程组，解之可得；
{ F(3−2p，3)≥4
②由 列出关于p的不等式组，解之可得；
F(2，2−3p)＜−1
{−2＜F(1，2)≤4
（2）根据 列出关于a、b的不等式组，相加得出a+b的取值范围，再进一步求解
−1＜F(2，1)≤5可得．
{2a−b=−1
【解答】解：（1）①由题意知 ，
3a=3
{a=1
解得 ；
b=3
{ 3−2p+9≥4
②由题意知 ，
2+6−9p＜−1
解得1＜p≤4；
{−2＜a+2b≤4
（2）由题意知 ，
−1＜2a+b≤5
∴﹣3＜3a+3b≤9，
∴﹣1＜a+b≤3，
∵F（k，k）＝ka+kb，且﹣k＜k（a+b）≤3k，
∴﹣k＜F（k，k）≤3k．
24．（2021春•朝阳区校级期末）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整．
{x−y=2
问题：在关于x，y的二元一次方程组 中，x＞1，y＜0，求a的取值范围．
x+ y=a
分析：在关于x、y的二元一次方程组中，利用参数a的代数式表示x，y，然后根据x＞1，y＜0列出关
于参数a的不等式组即可求得a的取值范围．
a+2 a+2
{x= { ＞1
{x−y=2 2 2
解：由 解得 ，又因为x＞1，y＜0，所以 解得 0 ＜ a ＜ 2 ．
x+ y=a a−2 a−2
y= ＜0
2 2
（2）请你按照上述方法，完成下列问题：
①已知x﹣y＝4，且x＞3，y＜1，求x+y的取值范围；
{ 2x−y=−1
②已知a﹣b＝m，在关于x，y的二元一次方程组 中，x＜0，y＞0，请直接写出a+b的
x+2y=5a−8
取值范围 3 ﹣ m ＜ a + b ＜ 4 ﹣ m （结果用含m的式子表示）．
【分析】（1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可；
（2）①根据（1）阅读中的方法解题即可求解；
{ 2x−y=−1 { x=a−2
②解方程组 得： ，根据x＜0，y＞0可得1.5＜a＜2，进一步得到a+b的取
x+2y=5a−8 y=2a−3
值范围．a+2
{ ＞1①
2
【解答】解：（1） ，
a−2
＜0②
2
∵解不等式①得：a＞0，
解不等式②得：a＜2，
∴不等式组的解集为0＜a＜2，
故答案为：0＜a＜2；
{x−y=4
（2）①设x+y＝a，则 ，
x+ y=a
a+4
{x=
2
解得： ，
a−4
y=
2
∵x＞3，y＜1，
a+4
{ ＞3
2
∴ ，
a−4
＜1
2
解得：2＜a＜6，
即2＜x+y＜6；
{ 2x−y=−1 { x=a−2
②解方程组 得： ，
x+2y=5a−8 y=2a−3
∵x＜0，y＞0，
{a−2＜0
∴ ，
2a−3＞0
解得：1.5＜a＜2，
∵a﹣b＝m，
∴b＝a﹣m，a+b＝a+a﹣m，
∵1.5＜a＜2，
∴3﹣m＜a+a﹣m＜4﹣m，
∴3﹣m＜a+b＜4﹣m．
故答案为：3﹣m＜a+b＜4﹣m．25．（2021•椒江区校级开学）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a b＝a﹣3b+7，等式右边是通常的
加减运算，例如：3 5＝3﹣3×5+7＝﹣5． ⊕
（1）7 4＝ 2 ；⊕√2⊕(√2−1)= ﹣ 2√2+ 10 ．
（2）若⊕2x y＝12，x 3＝2y，求xy的平方根；
（3）若3m⊕＜2 x＜7，⊕且解集中恰有3个整数解，求m的取值范围．
【分析】（1）⊕原式利用题中的新定义化简，计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算求出x与y的值，计算出xy的值，求出平方根即可；
（3）已知不等式利用题中的新定义化简，根据解集中恰有3个整数解，确定出m的范围即可．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
7 4＝7﹣3×4+7＝2；
√⊕2 （√2−1）=√2−3（√2−1）+7=√2−3√2+3+7＝﹣2√2+10；
故答⊕案为：2；﹣2√2+10；
（2）∵2x y＝12，x 3＝2y，
{2x−3⊕y+7=12 ⊕
∴ ，
x−9+7=2y
{x=4
解得： ，
y=1
则xy＝4，4的平方根是±2；
{ 2−3x+7＜7①
（3）由题意得： ，
2−3x+7＞3m②
2
由①得：x＞ ，
3
由②得：x＜3﹣m，
2
∴不等式组的解集为 ＜x＜3﹣m，
3
∵该不等式组有3个整数解，整数解为1，2，3，
∴3＜3﹣m≤4，
解得：﹣1≤m＜0．
26．（2020春•微山县期末）阅读新知
mx+ny
现对x，y进行定义一种运算，规定f（x，y）= （其中m，n为常数且mn≠0），等式的右边就
2
是加、减、乘、除四则运算．例如：m×2+n×0
f（2，0）= =m
2
应用新知
（1）若f（1，1）＝5，f（2，1）＝8，求m，n的值；
拓展应用
9
（2）已知f（﹣3，0）＞﹣3，f（3，0）＞− ，且m+n＝16，请你求出符合条件的m，n的整数值．
2
【分析】（1）根据题中的新定义列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值；
（2）根据题中的新定义列出不等式组，求得不等式组的解，根据m+n＝16确定出m、n的整数值．
m+n
{ =5
2
【解答】解：（1）根据题中的新定义得： ，
2m+n
=8
2
{m=6
解得： ；
n=4
−3m+0
{ ＞−3
2
（2）根据题中的新定义得： ，
3m+0 9
＞−
2 2
解得：﹣3＜m＜2，
∵m、n是整数，且m+n＝16，
{m=−2 {m=−1 {m=1
∴ 或 或 ．
n=18 n=17 n=15
27．（2020春•邗江区期末）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a+2b；当a＜b时，a*b＝a﹣
2b．例如：3*（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）*12＝﹣6﹣24＝﹣30．
（1）填空：（﹣4）*3＝ ﹣ 1 0 ．
（2）若（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），则x的取值范围为 x ≥ 5 ．
（3）计算（2x2﹣4x+7）*（x2+2x﹣2）＝ 4 x 2 + 3 ．
（4）已知（3x﹣7）*（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围．
【分析】（1）根据公式计算可得；
（2）结合公式知3x﹣4≥x+6，解之可得；
（3）先利用作差法判断出2x2﹣4x+7＞x2+2x﹣2，再根据公式计算（2x2﹣4x+7）*（x2+2x﹣2）即可得；{ 3x−7≥3−2x { 3x−7＜3−2x
（4）由题意可得 或 ，分别求解可得；
3x−7+2(3−2x)＜−6 3x−7−2(3−2x)＜−6
【解答】解：（1）（﹣4）*3＝﹣4﹣2×3＝﹣10，
故答案为：﹣10；
（2）∵（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），
∴3x﹣4≥x+6，
解得：x≥5，
故答案为：x≥5．
（3）∵2x2﹣4x+7﹣（x2+2x﹣2）
＝x2﹣6x+9
＝（x﹣3）2≥0；
∴2x2﹣4x+7≥x2+2x﹣2，
原式＝2x2﹣4x+7+2（x2+2x﹣2）
＝2x2﹣4x+7+2x2+4x﹣4
＝4x2+3；
{ 3x−7≥3−2x { 3x−7＜3−2x
（4）由题意知 或 ，
3x−7+2(3−2x)＜−6 3x−7−2(3−2x)＜−6
解得：x＞5或x＜1；
28．（2020•河北模拟）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n＝mn﹣3n．
例如4☆2＝4×2﹣3×2＝8﹣6＝2，请根据上述知识解决下列问题：
1
（1）x☆ ＞4，求x取值范围；
2
1
（2）若|x☆（− ）|＝3，求x的值；
4
（3）若方程x☆□x＝6，□中是一个常数，且此方程的一个解为x＝1，求□中的常数．
1 3
【分析】（1）根据已知公式得出 x− ＞4，解之可得答案；
2 2
1 3 1 3 1 3
（2）根据公式得出|− x+ |＝3，即可得出− x+ =3或− x+ =−3，解之可得答案；
4 4 4 4 4 4
（3）根据公式得到□x2﹣3•□x＝6，把x＝1代入得到□﹣3□＝6，即可求得□＝﹣3．1
【解答】解：（1）∵x☆ ＞4，
2
1 3
∴ x− ＞4，
2 2
解得：x＞11；
1
（2）∵|x☆（− ）|＝3，
4
1 3
∴|− x+ |＝3，
4 4
1 3 1 3
∴− x + = 3或− x + =−3，
4 4 4 4
解得：x＝﹣9或x＝15；
（3）∵方程x☆□x＝6，
∴□x2﹣3•□x＝6，
∵方程的一个解为x＝1，
∴□﹣3□＝6，
∴□＝﹣3．
29．（2021春•海州区期末）对x，y定义一种新运算F，规定：F（x，y）＝（mx+ny）（3x﹣y）（其中
m，n均为非零常数）．例如：F（1，1）＝2m+2n，F（﹣1，0）＝3m．
（1）已知F（1，﹣1）＝﹣8，F（1，2）＝13．
①求m，n的值；
{F(a，3a+1)＞−95
②关于a的不等式组 ，求a的取值范围；
F(5a，2−3a)≥340
（2）当x2≠y2时，F（x，y）＝F（y，x）对任意有理数x，y都成立，请直接写出m，n满足的关系式．
【分析】（1）①根据定义的新运算F，将F（1，﹣1）＝﹣8，F（1，2）＝13代入F（x，y）＝
（mx+ny）（3x﹣y），得到关于m、n的二元一次方程组，求解即可；
②根据题中新定义化简已知不等式组，再求出不等式组的解集即可；
（2）由F（x，y）＝F（y，x）列出关系式，整理后即可确定出m与n的关系式．
【解答】解：（1）①根据题意得：F（1，﹣1）＝（m﹣n）（3×1+1）＝﹣8，即m﹣n＝﹣2；
F（1，2）＝（m+2n）（3×1﹣2）＝13，即m+2n＝13，
解得：m＝3，n＝5；
②根据题意得：F（x，y）＝（3x+5y）（3x﹣y），F（a，3a+1）＝（3a+15a+5）（3a﹣3a﹣1）＝﹣18a﹣5，
F（5a，2﹣3a）＝（15a+10﹣15a）（15a﹣2+3a）＝180a﹣20．
{−18a−5＞−95①
由 ，
180a−20≥340②
解不等式①得：a＜5，
解不等式②得：a≥2，
故原不等式组的解集为2≤a＜5；
（2）由F（x，y）＝F（y，x），得（mx+ny）（3x﹣y）＝（my+nx）（3y﹣x），
整理得：（x2﹣y2）（3m+n）＝0，
∵当x2≠y2时，F（x，y）＝F（y，x）对任意有理数x，y都成立，
∴3m+n＝0，即n＝﹣3m．
{mx+ny，(x≥ y)
30．（2021春•大连期末）对x，y定义一种新的运算P，规定：P（x，y）= （其中
nx+my，(x＜y)
mn≠0）．已知P（2，1）＝7，P（﹣1，1）＝﹣1．
（1）求m、n的值；
{ P(2a，a−1)＜4
（2）若a＞0，解不等式组 1 1 ．
P(− a−1，− a)≤−5
2 3
【分析】（1）先根据规定的新运算列出关于m、n的方程组，再解之即可；
1 1
（2）由a＞0得出2a＞a﹣1，− a﹣1＜− a，根据新定义列出关于a的不等式组，解之即可．
2 3
{ 2m+n=7
【解答】解：（1）由题意，得： ，
−n+m=−1
{m=2
解得 ；
n=3
（2）∵a＞0，
∴2a＞a，
1 1
∴2a＞a﹣1，− a＜− a，
2 3
1 1
∴− a﹣1＜− a，
2 3{ 2×2a+3(a−1)＜4 ①
∴ 1 1 ，
3(− a−1)+2×(− a)≤−5 ②
2 3
解不等式①，得：a＜1，
12
解不等式②，得：a≥ ，
13
12
∴不等式组的解集为 ≤a＜1．
13
