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第十二章 全等三角形备考提分专项训练（解析版）
第一部分 考前知识梳理
一、全等三角形的概念与性质
能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
几何符号语言：
∵ △ABC≌△DEF
∴ AB=DE，BC=EF，AC=DF
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
二、三角形全等的判定方法
1.三边分别相等的两个三角形全等.(“边边边”或“SSS”)
几何符号语言：
AB=A BC=B
{ ′B′ ¿{ ′C′ ¿¿¿¿
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS)
2.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
几何符号语言：
AB=A A=
{ ′B′ ¿{∠ ∠A′ ¿¿¿¿
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△A′B′C′(SAS)
3.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
几何符号语言：
A= AB=A
{∠ ∠A′ ¿{ ′B′ ¿¿¿¿
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△A′B′C′(ASA)
4.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
定理应用格式：
A= B=
{∠ ∠A′ ¿{∠ ∠B′ ¿¿¿¿
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△A′B′C′(AAS)
5.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
注意：
(1)“HL”定理是仅适用于Rt△的特殊方法. 因此，判定两个直角三角形全等的方法除了可以使用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”外还可以使用“HL”.
(2)应用HL定理时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△. 书写格式
为：
{AB=A′B′¿¿¿¿
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)
三、角平分线的性质与判定
四、几何证明的一般步骤
1. 明确命题中的已知和求证
2. 根据题意画出图形，并用数学符号表示已知和求证
3. 经过分析找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
第二部分 数学思想方法
方法：转化思想
解读：转化思想就是把解决的复杂问题转化为另一个比较简单的问题来解决，即化难为易，化未知为已知，
本章中在证明线段和角相等时，常转化为全等三角形全等来解决。
典例：（2022秋•建湖县期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝
∠DAE＝36°，连接BD，CE交于点P，连接AP．
（1）求证：BD＝CE；（2）求∠BPC的度数；
（3）求证：PA平分∠BPE．【思路引领】（1）要证明BD＝CE，只要证明△BAD≌△CAE即可，根据题目中的条件，利用SAS可
以证明△BAD≌△CAE；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和，可以求得∠BPC的度数；
（3）根据全等三角形对应边上的高相等，可以得到点 A到BD边距离等于点A到CE边上的距离，再根
据角平分线的判定，即可得到PA平分∠BPE．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
{
AB=AC
∠BAD=∠CAE，
AD=AE
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵∠BAC＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
由（1）知：△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠PBC+∠PCB＝∠PBC+∠ACB+∠ACE＝∠PBC+∠ACB+∠ABD＝∠ABC+∠ACB＝72°+72°＝144°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣144°＝36°，
即∠BPC＝36°；
（3）证明：∵△BAD≌△CAE，
∴点A到BD边距离等于点A到CE边上的距离，
∴点A在∠BPE的角平分线上，即PA平分∠BPE．
【总结提升】本题考查全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、角平分线的判定，解答本题的关
键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
第三部分 常考题型突破
题型一 全等三角形的判定
例1-1（2023春•南岗区期末）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的
点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE．
你认为要添加的那个条件是（ ）
A．OD＝OE B．DE＝FE C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE
【答案】D
【思路引领】由OB平分∠AOC，得∠DOE＝∠FOE，由公共边OE＝OE，可知添加条件∠ODE＝
∠OFE，即可根据AAS得△DOE≌△FOE，可得答案．
【解答】解：∵OB平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠FOE，
又OE＝OE，
若添加条件∠ODE＝∠OFE，则根据AAS可得△DOE≌△FOE，故选项D符合题意，
而添加条件OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE，故选项A不符合题意，
添加条件DE＝FE不能得到△DOE≌△FOE，故选项B不符合题意，
添加条件∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE，故选项C不符合题意，
故选：D．
【总结提升】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即 AAS、
ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三
角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
例1-2（2022•扬州）如图，小明家仿古家具的一块三角形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话
给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）
A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC
【答案】C
【思路引领】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．
【解答】解：A．利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
B．利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
C．AB，AC，∠B，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；
D．根据∠A，∠B，BC，三角形形状确定，故此选项不合题意；
故选：C．
【总结提升】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
例1-3（2022•益阳）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：
△CED≌△ABC．
【答案】证明过程见解答部分．
【思路引领】由垂直的定义可知，∠DEC＝∠B＝90°，由平行线的性质可得，∠A＝∠DCE，进而由
ASA可得结论．
【解答】证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，
∴∠DEC＝∠B＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠A＝∠DCE，
在△CED和△ABC中，{∠DCE=∠A
CE=AB ，
∠DEC=∠B
∴△CED≌△ABC（ASA）．
【总结提升】本题主要考查全等三角形的判定，垂直的定义和平行线的性质，熟知全等三角形的判定定
理是解题基础．
例1-4如图，AD、BC相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，EF过点O，分别交AB、CD于点E、F，且
∠AOE＝∠COF，求证：OE＝OF．
思路引领：由SAS证明△AOB≌△COD，得出对应角相等∠A＝∠C，再由ASA证明△AOE≌△COF，
得出对应边相等即可．
证明：在△AOB和△COD中，
¿，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴∠A＝∠C，
在△AOE和△COF中，
¿
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF．
解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明三角形全等
是解决问题的关键．
题型二 角平分线的性质
例2-1（2022秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点E．若BC＝
12cm，DE＝4cm，则△BCD的面积为 2 4 cm2．【答案】24．
【思路引领】如图所示，过点D作DF⊥BC于F，利用角平分线的性质得到DF＝DE＝4cm，即可利用
三角形面积公式求出答案．
【解答】解：如图所示，过点D作DF⊥BC于F，
∵CD平分∠ACB，DF⊥BC，DE⊥AC，DE＝4cm，
∴DF＝DE＝4cm，
又∵BC＝12cm，
1 1
∴△BCD的面积= BC•DF= ×12×4＝24（cm2），
2 2
故答案为：24．
【总结提升】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等
是解题的关键．
例2-2（2022秋•肥东县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE．求
证：BD＝2CE．
思路引领：延长BA交CE的延长线于F，先证明△BCE≌△BFE，得CE＝EF，再证明△ACF≌△ABD
得BD＝CF，从而有BD＝2CE．
证明：延长BA交CE的延长线于F，∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠FBE，
∵CE⊥BE，
∴∠BEC＝∠BEF＝90°，
∵在△BCE和△BFE中，
{
∠CBE=∠FBE
BE=BE ，
∠BEC=∠BEF=90°
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE＝EF，
在△ABC中，∵∠BAC＝90°，CE⊥BE，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∠CDE+∠FCA＝90°，
又∵∠ADB＝∠CDE（对顶角相等），
∴∠FCA＝∠ABD，
∵在△ACF和△ABD中，
{
∠FCA=∠ABD
AB=AC ，
∠BAC=∠FAC=90°
∴△ACF≌△ABD（ASA），
∴BD＝CF，
∴BD＝2CE．
解题秘籍：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，证明此题的关键是
作好辅助线：延长BA交CE的延长线于F．
第四部分 全章模拟测试
一、选择题（每题3分，共21分）1．（2021秋•香洲区校级期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【思路引领】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．
【解答】解：A、两个图形不能够完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B、两个图形可以完全重合，是全等图形，符合题意；
C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意．
故选：B．
【总结提升】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．
2．（2022秋•南关区校级期末）如图，AB∥DF，且AB＝DF，添加下列条件，不能判断△ABC≌△FDE
的是（ ）
A．AC＝EF B．BE＝CD C．AC∥EF D．∠A＝∠F
【答案】A
【思路引领】根据全等三角形的判定定理逐一判断即可．
【解答】解：∵AB∥DF，
∴∠ABC＝∠FDE，
A、由∠ABC＝∠FDE，AB＝DF，AC＝EF，不能判定△ABC≌△FDE，故A符合题意；
B、由∠ABC＝∠FDE，AB＝DF，BE＝CD即BC＝DE，通过SAS即可证明△ABC≌△FDE，故B不符合题意；
C、由AC∥EF得∠ACB＝∠FED，∠ABC＝∠FDE，AB＝DF，通过AAS即可证明△ABC≌△FDE，故
C不符合题意；
D、由∠A＝∠F，AB＝DF，∠ABC＝∠FDE通过ASA即可证明△ABC≌△FDE，故D不符合题意；
故选：A．
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
3．（2022秋•双辽市期中）如图，要测量湖两岸相对两点 A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点
C，D，使 CD＝BC，再在 BF 的垂线 DG 上取点 E，使点 A，C，E 在一条直线上，可得
△ABC≌△EDC．判定全等的依据是（ ）
A．ASA B．SAS C．SSS D．HL
【答案】A
【思路引领】根据全等三角形的判定进行判断，注意题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选
择判断方法．
【解答】解：在△ABC和△EDC中
{∠ABC=∠EDC=90°
BC=CD ，
∠BCA=∠DCE
∴△ABC≌△EDC（ASA），
依据是两角及这两角的夹边对应相等．
故选：A．
【总结提升】本题主要考查了三角形全等的判定方法，熟记判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、
SAS、ASA、AAS、HL是解决问题的关键．
4．（2022秋•天河区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，BE＝2，
BC＝6，则△BDE的周长为（ ）A．6 B．8 C．10 D．14
【答案】B
【思路引领】先根据角平分线的性质得到 DE＝DC，然后利用等线段代换得到△BDE 的周长＝
BC+BE．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
∴△BDE的周长＝BD+DE+BE＝BD+DC+BE＝BC+BE＝6+2＝8．
故选：B．
【总结提升】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
5．（2022秋•沧州期末）为促进旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所
示，若要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在（ ）
A．△ABC三条高线的交点处
B．△ABC三条中线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处
D．△ABC三边垂直平分线的交点处
【答案】C
【思路引领】根据角平分线的性质进行判断．
【解答】解：∵度假村到三条公路的距离相等，
∴这个度假村为△ABC的角平分线的交点．
故选：C．
【总结提升】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
6．（2022秋•上城区校级期中）如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．
若BF＝a，EF＝b，CE＝c，则AD的长为（ ）A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c
【答案】C
【思路引领】由余角的性质可得∠A＝∠C，由“AAS”可证△ABF≌△CDE，可得AF＝CE＝c，DE＝
BF＝a，可得AD的长．
【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠A＝∠C，
∵∠A＝∠C，∠CED＝∠AFB，AB＝CD，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AF＝CE＝c，DE＝BF＝a，
∵EF＝b，
∴AD＝AF+DF＝c+（a﹣b）＝a﹣b+c．
故选：C．
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
7．（2022秋•辛集市期末）如图，在△ABD和△ACE中，AB＝AD，AC＝AE，AB＞AC，∠DAB＝∠CAE
＝50°连接 BE，CD 交于点 F，连接 AF．下列结论：① BE＝CD；②∠EFC＝50°；③ AF 平分
∠DAE；④FA平分∠DFE．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【思路引领】先由∠DAB＝∠CAE＝50°证明∠BAE＝∠DAC＝50°+∠BAC，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△BAE≌△DAC，得BE＝CD，可判断①正确；
设BE交AC于点G，因为∠AEB＝∠ACD，所以∠EFC＝∠CGE﹣∠ACD＝∠CGE﹣∠ABE＝∠CAE＝
50°，可判断②正确；
1 1
作AI⊥BE于点I，AJ⊥CD于点J，由S△BAE ＝S△DAC 得
2
AI•BE =
2
AJ•CD，则AI＝AJ，即可证明FA平
分∠DFE，可判断④正确；
假设∠DAF＝∠EAF，则∠DAF﹣∠DAB＝∠EAF﹣∠CAE，所以∠BAF＝∠CAF，由∠AFD＝∠AFE，
∠BFD＝∠CFE，得∠AFB＝∠AFC，即可推导出△AFB≌△AFC，得AB＝AC，与已知条件相矛盾，可
判断③错误，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠DAB＝∠CAE＝50°，
∴∠BAE＝∠DAC＝50°+∠BAC，
在△BAE和△DAC中，
{
AB=AD
∠BAE=∠DAC，
AE=AC
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴BE＝CD，∠AEB＝∠ACD，
故①正确；
设BE交AC于点G，
∴∠EFC＝∠CGE﹣∠ACD＝∠CGE﹣∠ABE＝∠CAE＝50°，
故②正确；
作AI⊥BE于点I，AJ⊥CD于点J，
∵S△BAE ＝S△DAC ，
1 1
∴ AI•BE= AJ•CD，
2 2
∴AI＝AJ，
∴点A在∠DFE的平分线上，
∴FA平分∠DFE，
故④正确；
假设∠DAF＝∠EAF，则∠DAF﹣∠DAB＝∠EAF﹣∠CAE，
∴∠BAF＝∠CAF，
∵∠AFD＝∠AFE，∠BFD＝∠CFE，∴∠AFD+∠BFD＝∠AFE+∠CFE，
∴∠AFB＝∠AFC，
在△AFB和△AFC中，
{∠BAF=∠CAF
AF=AF ，
∠AFB=∠AFC
∴△AFB≌△AFC（ASA），
∴AB＝AC，与已知条件相矛盾，
∴∠DAF≠∠EAF，
故③错误，
∴①②④这3个结论正确，
故选：C．
【总结提升】此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的判定、
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
8．（2022秋•莱州市期中）如图，△ABC≌△DBE，A、D、C在一条直线上，且∠A＝60°，∠DBC＝28°，则
∠E＝ 32 ° ．
【答案】32°．
【思路引领】由全等三角形的性质得到AB＝BD，∠E＝∠C，由等腰三角形的性质可求出∠BDA＝
60°，根据三角形外角的性质求出∠C，即可得到∠E的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△DBE，
∴AB＝BD，∠E＝∠C，∴∠A＝∠BDA＝60°，
∵∠BDA＝∠C+∠DBC，∠DBC＝28°，
∴∠C＝60°﹣28°＝32°，
∴∠E＝32°，
故答案为：32°．
【总结提升】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，
属于中考常考题型．
9．（2021秋•宁津县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边
1
AC、AB于点M、N，分别以点M、N为圆心，以大于 MN为半径作弧，两弧交于点P，射线AP交BC
2
于点D，若CD＝2，AB＝5，则△ABD的面积为 5 ．
【答案】5．
【思路引领】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC＝2，根据三角形的面积公式计算即
可．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
由基本作图可知，AP平分∠CAB，
∵AP平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝2，
1 1
∴△ABD的面积= ×AB×DE= ×5×2＝5，
2 2
故答案为：5．
【总结提升】本题考查基本作图、角平分线的性质定理、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用
所学知识解决问题．10．（2022秋•常州期中）如图，AD是△ABC的高，AD＝BD，BE＝AC，∠BAC＝70°，则∠DBE大小为
25 °．
【答案】25．
【思路引领】证明Rt△BDE≌Rt△ADC，根据全等三角形的性质得到∠DBE＝∠DAC，根据等腰直角三
角形的性质求出∠DAB＝∠DBA＝45°，计算即可．
【解答】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
{BE=AC
，
BD=AD
∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL），
∴∠DBE＝∠DAC，
在Rt△ADB中，AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA＝45°，
∵∠BAC＝70°，
∴∠DAC＝70°﹣45°＝25°，
∴∠DBE＝∠DAC＝25°，
故答案为：25．
【总结提升】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定
定理是解题的关键．
11．（2022秋•海淀区校级期中）在△ABC中，AD是中线，已知AB＝7，AC＝4，则中线AD的取值范围
3 11
是 ＜AD＜ ．
2 2
3 11
【答案】 ＜AD＜ ．
2 2
【思路引领】通过倍长中线，构造△ABD≌△ECD，从而得到AB＝CE＝7，利用三角形三边关系可得1
CE﹣AC＜AE＜CE+AC，再通过AD= AE即可求解．
2
【解答】解：如图，延长AD至E，令DE＝AD，连接CE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
{
AD=ED
∠ADB=∠EDC，
BD=CD
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB＝CE＝7，
在△AEC中，根据三角形的三边关系可得CE﹣AC＜AE＜CE+AC，
即7﹣4＜AE＜7+4，
∴3＜AE＜11，
∵DE＝AD，
1
∴AD= AE，
2
3 11
∴ ＜AD＜ ．
2 2
3 11
故答案为： ＜AD＜ ．
2 2
【总结提升】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用等，通过倍长中线构造全等三
角形是解题的关键．
12．（2022秋•句容市期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，AB＝20cm．BC＝15cm，点E为AB
的中点，如果点P在线段BC上以5cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向
20
点D运动．若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为 cm/s时，能够
3使△BPE与△CQP全等．
20
【答案】 ．
3
【思路引领】设点Q的运动时间为ts，运动的速度为xcm/s，则CQ＝xtcm，BP＝5tcm，CP＝（15﹣
5t）cm，由于∠B＝∠C，当BE＝CP，BP＝CQ时，利用“AAS”可判断△BEP≌△CPQ，即10＝15﹣
5t，5t＝xt；当BE＝CQ，BP＝CP时，利用“AAS”可判断△BEP≌△CQP，即10＝xt，5t＝15﹣5t，然
后分别解方程即可．
【解答】解：设点Q的运动时间为ts，运动的速度为xcm/s，则CQ＝xtcm，BP＝5tcm，CP＝（15﹣
5t）cm，
∵点E为AB的中点，
∴BE＝10cm，
∵∠B＝∠C，
∴当BE＝CP，BP＝CQ时，△BEP≌△CPQ（SAS），
即10＝15﹣5t，5t＝xt，
解得t＝1，x＝5（舍去）；
当BE＝CQ，BP＝CP时，△BEP≌△CQP（SAS），
即10＝xt，5t＝15﹣5t，
3 20
解得t= ，x= ；
2 3
20
综上所述，点Q的运动速度为 cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．
3
20
故答案为： ．
3
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；
选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
13．（2023春•渠县期末）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图 1，在Rt△ABC中，∠ABC2
＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若DE= BD，AD＝16，BD＝20，求
5
△BDE的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝
DE，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△BDE的面积为 6 4 ．
【答案】64．
【思路引领】由△ABF≌△BDE，求出BF，DF的长，再由面积公式求得即可．
【解答】解：如图所示，连接AF，
∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD，
∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD，
∵∠ABD＝∠C，
∵∠E＝∠C，
∵∠ABD＝∠E，
在△ABF与△BED中，
{
AB=BE
∠ABF=∠BED，
BF=DE
∴△ABF≌△BED（SAS），
∴S△ABF ＝S△BDE ，
1 1
∵S = BD⋅AD= ×20×16=160，
△ABD 2 2
2
∵BF= ×20＝8，
5
∴DF＝BD﹣BF＝20﹣8＝12，
1 1
∴S△AFD =
2
×AD•DF =
2
×12×16＝96，
∵S△ABF ＝S△ABD ﹣S△AFD ，
∴S△BDE ＝S△ABF ＝160﹣96＝64．故答案为：64．
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（共55分）
14．（2022秋•龙港市期中）已知：如图，AC＝BD，AD＝BC．求证：∠C＝∠D．
【思路引领】由 AC＝BD、BC＝AD、AB＝BA，根据全等三角形的判定定理“SSS”证明
△ABC≌△BAD，则∠C＝∠D．
【解答】证明：在△ABC和△BAD中，
{AC=BD
BC=AD，
AB=BA
∴△ABC≌△BAD（SSS），
∴∠C＝∠D．
【总结提升】此题重点考查全等三角形的判定与性质，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证
明△ABC≌△BAD是解题的关键．
15．（2022春•垦利区期末）如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若
BD＝CD．求证：AD平分∠BAC．
【思路引领】要证AD平分∠BAC，只需证DF＝DE．可通过证△BDF≌△CDE（AAS）来实现．
根据已知条件，利用AAS可直接证明△BDF≌△CDE，从而可得出AD平分∠BAC．
【解答】证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CED＝90°．
在△BDF与△CDE中，
{
∠BFD=∠CED
∠BDF=∠CDE(对顶角相等)，
BD=CD
∴△BDF≌△CDE（AAS）．∴DF＝DE，
∴AD是∠BAC的平分线．
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．
发现并利用△BDF≌△CDE是正确解答本题的关键．
16．（2021秋•巢湖市期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC
上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
【思路引领】（1）根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB
的距离＝点D到AC的距离即DE＝CD，再根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EBD，从而得出CF＝EB；
（2）设CF＝x，则AE＝12﹣x，再根据题意得出Rt△ACD≌Rt△AED，进而可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，
∴DE＝DC．
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
{DF=DB
，
DC=DE
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝EB．
（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
{AD=AD
，
CD=DE
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，
解得x＝2，即CF＝2．
【总结提升】本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关
键．
17．（2022秋•溧水区期中）如图，△ABC≌△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线．
（1）求证：AD＝A'D'；
（2）把第（1）小题中的结论用文字语言描述： 全等三角形的对应角的平分线相等 ；
（3）写出一条其他类似的结论： 全等三角形的对应边上的高（或中线）相等 ．
【思路引领】（1）由△ABC≌△A'B'C'的对应边、角相等得到：∠B＝∠B′，AB＝A′B′，∠BAC＝
∠B′A′C′，然后由角平分线的定义可以证得∠BAD＝∠B′A′D′，则根据 ASA 证得
△ABD≌△A′B′D′；
（2）根据证得的结论得到：全等三角形的对应角的平分线相等；
（3）类似的得到：全等三角形的对应边上的高（或中线）相等．
【解答】（1）证明：如图，∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠B＝∠B′，AB＝A′B′，∠BAC＝∠B′A′C′，
又∵AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，
∴∠BAD＝∠B′A′D′，
∴在△ABD与△A′B′D′中，
{
∠B=∠B'
AB=A'B' ，
∠BAD=∠B' A'D'
∴△ABD≌△A′B′D′（ASA），∴AD＝A′D′；
（2）由（1）中的结论得到：全等三角形的对应角的平分线相等，
故答案为：全等三角形的对应角的平分线相等；
（3）同理：全等三角形的对应边上的高（或中线）相等．
故答案为：全等三角形的对应边上的高（或中线）相等．
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线
段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
18．（2013秋•越秀区校级期中）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，
∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F，
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？
请将三条线段分别填入后面横线中： AE + CF ＝ EF （不需证明）
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上问的结论分别是否仍然成立
若成立，请给出证明；若不成立，那么这三条线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
【思路引领】（1）根据已知可以利用SAS证明△ABE≌△CBF，从而得出对应角相等，对应边相等，
从而得出∠ABE＝∠CBF＝30°，△BEF为等边三角形，利用等边三角形的性质及边与边之间的关系，
即可推出AE+CF＝EF；
（2）如图2，延长FC到H，使CH＝AE，连接BH，根据SAS证△BCH≌△BAE，推出BH＝BE，
∠CBH＝∠ABE，根据△HBF≌△EBF，推出HF＝EF即可；
如图 3，在 AE上截取 AQ＝CF，连接 BQ，根据 SAS证△BCF≌△BAQ，推出 BF＝BQ，∠CBF＝
∠ABQ，证△FBE≌△QBE，推出EF＝QE即可．
【解答】（1）解：如图1，AE+CF＝EF，
理由：∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，AE＝CF，
在△ABE和△CBF中，{
AB=BC
∠A=∠C=90°，
AE=CF
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF；
∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，
∴∠ABE＝∠CBF＝30°，
1 1
∴AE= BE，CF= BF；
2 2
∵∠MBN＝60°，BE＝BF，
∴△BEF为等边三角形；
1 1
∴AE+CF= BE+ BF＝BE＝EF；
2 2
故答案为：AE，CF，EF；
（2）如图2，（1）中结论成立
证明：延长FC到H，使CH＝AE，连接BH，
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A＝∠BCH＝90°，
∵在△BCH和△BAE中
{
BC=AB
∠BCH=∠A，
CH=AE
∴△BCH≌△BAE（SAS），
∴BH＝BE，∠CBH＝∠ABE，
∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，
∴∠ABE+∠CBF＝120°﹣60°＝60°，
∴∠HBC+∠CBF＝60°，
∴∠HBF＝60°＝∠MBN，
在△HBF和△EBF中
{
BH=BE
∵ ∠HBF=∠EBF，
BF=BF∴△HBF≌△EBF（SAS），
∴HF＝EF，
∵HF＝HC+CF＝AE+CF，
∴EF＝AE+CF．
图3中的结论不成立，线段AE、CF，EF的数量关系是AE＝EF+CF，
证明：在AE上截取AQ＝CF，连接BQ，
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A＝∠BCF＝90°，
在△BCF和△BAQ中
{
BC=AB
∠BCF=∠A，
CF=AQ
∴△BCF≌△BAQ（SAS），
∴BF＝BQ，∠CBF＝∠ABQ，
∵∠MBN＝60°＝∠CBF+∠CBE，
∴∠CBE+∠ABQ＝60°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠QBE＝120°﹣60°＝60°＝∠MBN，
在△FBE和△QBE中
{
BF=BQ
∠FBE=∠QBE，
BE=BE
∴△FBE≌△QBE（SAS），
∴EF＝QE，
∵AE＝QE+AQ＝EF+CF，
∴AE＝EF+CF，
即（1）中的结论不成立，线段AE、CF，EF的数量关系是AE＝EF+CF．【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，常用的方法有 SSS，SAS，AAS等，这些方法要求
学生能够掌握并灵活运用．
