文档内容
【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题5.12平行线基本模型之锯齿模型大题专项提升训练
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
一、解答题（本大题共30小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．（2022·江苏常州·七年级期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，试猜想∠P=______°；
(2)探究：在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．
【答案】(1)80°
(2)∠P=360°−∠1−∠2；证明见详解
(3)140°
【分析】（1）过点P作MN∥AB，利用平行的性质就可以求角度，解决此问；
（2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；
（3）分别过点P、点G作MN∥AB、KR∥AB，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可．
（1）
解：如图过点P作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD．
∴∠1+∠EPN=180°，
∠2+∠FPN=180°．∵∠1=130°，∠2=150°，
∴∠1+∠2+∠EPN+∠FPN=360°
∴∠EPN+FPN=360°−130°−150°=80°．
∵∠P=∠EPN+∠FPN，
∴∠P=80°．
故答案为：80°；
（2）
解：∠P=360°−∠1−∠2，理由如下：
如图过点P作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD．
∴∠1+∠EPN=180°，
∠2+∠FPN=180°．
∴∠1+∠2+∠EPN+∠FPN=360°
∵∠EPN+∠FPN=∠P，
∠P=360°−∠1−∠2．
（3）
如图分别过点P、点G作MN∥AB、KR∥AB
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥KR∥CD．
∴∠1+∠EPN=180°，
∠NPG+∠PGR=180°，∠RGF+∠2=180°．
∴∠1+∠EPN+∠NPG+∠PGR+RGF+∠2=540°
∵∠EPG=∠EPN+∠NPG=75°，
∠PGR+∠RGF=∠PGF，
∠1+∠2=325°，
∴∠PGF+∠1+∠2+∠EPG=540°
∴∠PGF=540°−325°−75°=140°
故答案为：140°．
【点睛】本题考查了平行线的性质定理，准确的作出辅助线和正确的计算是解决本题的关键．
2．（2021·广西柳州·七年级期中）已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分
别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝
∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
(1)如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；
(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．
①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；
②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．
【答案】(1)证明见详解
(2)①∠3=∠1+∠2；证明见详解；②∠1=∠2+∠3；证明见详解
【分析】（1）如图4过点P作PC∥a，利用平行线的传递性可知PC∥a∥b，根据平行线的性质可知
∠1=∠APC，∠3=∠BPC，根据等量代换就可以得出∠2=∠1+∠3；
（2）①如图5过点P作PC∥a，利用平行线的传递性可知PC∥a∥b，根据平行线的性质可知
∠3=∠BPC，∠1=∠APC，根据等量代换就可以得出∠3=∠1+∠2；
②如图6过点P作PC∥a，利用平行线的传递性可知PC∥a∥b，根据平行线的性质可知∠1=∠APC，
∠3=∠BPC，根据等量代换就可以得出∠1=∠2+∠3．
（1）解：如图4所示：过点P作PC∥a，
∵a∥b
∴PC∥a∥b
∴∠1=∠APC，∠3=∠BPC，
∵∠2=∠APC+∠BPC，
∴∠2=∠1+∠3；
（2）
解：①如图5过点P作PC∥a，
∵a∥b
∴PC∥a∥b
∴∠3=∠BPC，∠1=∠APC，
∵∠BPC=∠2+∠APC，
∴∠3=∠1+∠2；
②如图6过点P作PC∥a，
∵a∥b
∴PC∥a∥b
∴∠1=∠APC，∠3=∠BPC，
∵∠APC=∠2+∠BPC，
∴∠1=∠2+∠3．【点睛】本题利用“猪蹄模型”及其变式考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，准确的作出辅助
线和找到对应的内错角是解决本题的关键．
3．（2022·山东聊城·七年级阶段练习）已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．
(1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；
(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数
量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见详解
(2)∠GQH=180°−∠M；理由见详解
【分析】（1）过点M作MN∥AB，由AB∥CD，可知MN∥AB∥CD．由此可知：
∠AGM=∠GMN，∠CHM=∠HMN，故∠AGM+∠CHM=∠GMN+∠HMN=∠M；
（2）由（1）可知∠AGM+∠CHM=∠M．再由∠CHM=∠GHM，∠AGM＝∠HGQ，可知 ：
∠M=∠HGQ+∠GHM，利用三角形内角和是180°，可得∠GQH=180°−∠M．
（1）
解：如图：过点M作MN∥AB，∴MN∥AB∥CD，
∴∠AGM=∠GMN，∠CHM=∠HMN，
∵∠M=∠GMN+∠HMN，
∴∠M=∠AGM+∠CHM．
（2）
解：∠GQH=180°−∠M，理由如下：
如图：过点M作MN∥AB，
由（1）知∠M=∠AGM+∠CHM，
∵HM平分∠GHC，
∴∠CHM=∠GHM，
∵∠AGM＝∠HGQ，
∴∠M=∠HGQ+∠GHM，
∵∠HGQ+∠GHM+∠GQH=180°，
∴∠GQH=180°−∠M．
【点睛】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，正确的作出辅助线是解决本题的关键，同时
这也是比较常见的几何模型“猪蹄模型”的应用．
4．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学七年级阶段练习）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝
120°；
(1)若∠E＝60°，则∠F＝ ；
(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；
(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．【答案】(1)90°
(2)∠F=∠E+30°，理由见解析
(3)15°
【分析】（1）如图1，分别过点E，F作EM//AB，FN//AB，根据平行线的性质得到
∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，∠D+∠DFN=180°，代入数据即可得到结论；
（2）如图1，根据平行线的性质得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，由AB//CD，
AB//FN，得到CD//FN，根据平行线的性质得到∠D+∠DFN=180°，于是得到结论；
（3）如图2，过点F作FH//EP，设∠BEF=2x°，则∠EFD=(2x+30)°，根据角平分线的定义得到
1 1
∠PEF= ∠BEF=x°，∠EFG= ∠EFD=(x+15)°，根据平行线的性质得到∠PEF=∠EFH=x°，
2 2
∠P=∠HFG，于是得到结论．
（1）
解：如图1，分别过点E，F作EM//AB，FN//AB，
∴EM//AB//FN，
∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，
又∵AB//CD，AB//FN，
∴CD//FN，
∴∠D+∠DFN=180°，
又∵∠D=120°，
∴∠DFN=60°，
∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，
∴∠EFD=∠MEF+60°
∴∠EFD=∠BEF+30°=90°；
故答案为：90°；
（2）
解：如图1，分别过点E，F作EM//AB，FN//AB，
∴EM//AB//FN，
∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，
又∵AB//CD，AB//FN，
∴CD//FN，
∴∠D+∠DFN=180°，又∵∠D=120°，
∴∠DFN=60°，
∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，
∴∠EFD=∠MEF+60°，
∴∠EFD=∠BEF+30°；
（3）
解：如图2，过点F作FH//EP，
由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°，
设∠BEF=2x°，则∠EFD=(2x+30)°，
∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，
1 1
∴∠PEF= ∠BEF=x°，∠EFG= ∠EFD=(x+15)°，
2 2
∵FH//EP，
∴∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，
∵∠HFG=∠EFG−∠EFH=15°，
∴∠P=15°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
5．（2022·全国·七年级）如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点．
(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；
(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．
【答案】(1)∠BAE+∠CDE=∠AED；
1
(2)∠AFD= ∠AED；
2
(3)∠BAE=60°
【分析】（1）作EF∥AB，如图1，则EF∥CD，利用平行线的性质得∠1=∠EAE，∠2=∠CDE，从而得到
∠BAE+∠CDE=∠AED
1 1 1
（2）如图2，由（1）的结论得∠AFD= ∠BAE，∠CDF= ∠CDE，则∠AFD= （∠BAE+∠CDE），加上
2 2 2
1
（1）的结论得到∠AFD= ∠AED；
2
（3）由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG，利用折叠性质得∠CDG=4∠CDF，再利用等量代换得到
3
∠AGD=2∠AED- ∠BAE，加上90°-∠AGD=180°-2∠AED，从而计算出∠BAE的度数．
2
(1)
∠BAE+∠CDE=∠AED
理由如下：
作EF∥AB，如图1
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠1=∠BAE，∠2=∠CDE
∴∠BAE+∠CDE=∠AED
(2)
如图2，由（1）的结论得
∠AFD=∠BAF+∠CDF
∵∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F
1 1
∴∠BAF= ∠BAE，∠CDF= ∠CDE
2 2
1
∴∠AFE= （∠BAE+∠CDE）
2
∵∠BAE+∠CDE=∠AED1
∴∠AFD= ∠AED
2
(3)
由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG
而射线DC沿DE翻折交AF于点G
∴∠CDG=4∠CDF
1 1 3
∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF= ∠BAE+2∠CDE= ∠BAE+2（∠AED-∠BAE）=2∠AED- ∠BAE
2 2 2
∵90°-∠AGD=180°-2∠AED
3
∴90°-2∠AED+ ∠BAE=180°-2∠AED
2
∴∠BAE=60°
【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，
内错角相等．
6．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图：
(1)如图1，AB∥CD，∠ABE=45°，∠CDE=21°，直接写出∠BED的度数．
(2)如图2，AB∥CD，点E为直线AB，CD间的一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，写出∠BED
与∠F之间的关系并说明理由．
(3)如图3，AB与CD相交于点G，点E为∠BGD内一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若
∠BGD=60°，∠BFD=95°，直接写出∠BED的度数．
【答案】(1)∠BED=66°；
(2)∠BED=2∠F，见解析；
(3)∠BED的度数为130°．
【分析】（1）首先作EF∥AB，根据直线AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，
据此推得∠BED=∠1+∠2=66°；
（2）首先作EG∥AB，延长DE交BF于点H，利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到∠BED=2∠F；
（3）延长DF交AB于点H，延长GE到I，利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到∠BED的
度数为130°．
（1）
解：（1）如图，作EF∥AB，
，
∵直线AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，
∴∠BED=∠1+∠2=66°；
（2）
解：∠BED=2∠F，
理由是：过点E作EG∥AB，延长DE交BF于点H，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，
∴∠5=∠1+∠2，∠6=∠3+∠4，
又∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠2=∠1，∠3=∠4，则∠5=2∠2，∠6=2∠3，
∴∠BED=2(∠2+∠3) ，
又∠F+∠3=∠BHD，∠BHD+∠2=∠BED，
∴∠3+∠2+∠F=∠BED，
综上∠BED=∠F+12∠BED，即∠BED=2∠F；
（3）解：延长DF交AB于点H，延长GE到I，
∵∠BGD=60°，
∴∠3=∠1+∠BGD=∠1+60°，∠BFD=∠2+∠3=∠2+∠1+60°=95°，
∴∠2+∠1=35°，即2(∠2+∠1) =70°，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABE=2∠2，∠CDE=2∠1，
∴∠BEI=∠ABE +∠BGE=2∠2+∠BGE，∠DEI=∠CDE+∠DGE=2∠1+∠DGE，
∴∠BED=∠BEI+∠DEI=2(∠2+∠1)+( ∠BGE+∠DGE)=70°+60°=130°，
∴∠BED的度数为130°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角性质等知识，掌握平行线的判定和性质，正确添
加辅助线是解题关键．
7．（2021·福建·莆田第二十五中学七年级阶段练习）如图，AB//CD，点E在直线AB，CD内部，且
AE⊥CE．
（1）如图1，连接AC，若AE平分∠BAC，求证：CE平分∠ACD；
（2）如图2，点M在线段AE上，
①若∠MCE=∠ECD，当直角顶点E移动时，∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?并说明理由；
1
②若∠MCE= ∠ECD（n为正整数），当直角顶点E移动时，∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量
n
关系?并说明理由．1 n
【答案】（1）见解析；（2）①∠BAE+ ∠MCD=90°，理由见解析；②∠BAE+ ∠MCD=90°，理由见
2 n+1
解析.
【分析】（1）根据平行的性质可得∠BAC+∠DCA=180°，再根据AE⊥CE可得∠EAC+∠ECA=90°，根据
AE平分∠BAC可得∠BAE=∠EAC,等量代换可得∠ECD+∠EAC=90°，继而求得∠DCE=∠ECA；
（2）①过E作EF∥AB，先利用平行线的传递性得出EF∥AB∥CD，再利用平行线的性质及已知条件可推得
答案；
②过E作EF∥AB，先利用平行线的传递性得出EF∥AB∥CD，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案.
【详解】（1）解：因为AB//CD，
所以∠BAC+∠DCA=180°，
因为AE⊥CE，
所以∠EAC+∠ECA=90°，
因为AE平分∠BAC，
所以∠BAE=∠EAC，
所以∠BAE+∠DCE=90°，
所以∠EAC+∠DCE=90°，
所以∠DCE=∠ECA，
所以CE平分∠ACD；
1
（2）①∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+ ∠MCD=90°，
2
理由如下： 过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，
∵∠E=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，
1
∴∠BAE+ ∠MCD=90°；
2
n
②∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+ ∠MCD=90°，
n+1
理由如下： 过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，
∵∠E=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°，
1
∵∠MCE= ∠ECD，
n
n
∴∠BAE+ ∠MCD=90°.
n+1
【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，解决本题的关键是要添加辅助线利用平行性质.
8．（2021·浙江工业大学附属实验学校七年级期中）已知AB//CD．
（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；
（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．
①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．
②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的
式子表示）1 1
【答案】（1）见解析；（2）55°；（3）180°− α+ β
2 2
【分析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；
（2）①如图2，过点F作FE//AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC=50°，∠ADC=60°，根据
平行线的性质及角平分线的定义即可求∠BFD的度数；
②如图3，过点F作EF//AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC=α，∠ADC=β，根据平行线的性质及
角平分线的定义即可求出∠BFD的度数．
【详解】解：（1）如图1，过点E作EF//AB，
则有∠BEF=∠B，
∵AB//CD，
∴EF//CD，
∴∠FED=∠D，
∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠B+∠D；
（2）①如图2，过点F作FE//AB，
有∠BFE=∠FBA．
∵AB//CD，
∴EF//CD．
∴∠EFD=∠FDC．
∴∠BFE+∠EFD=∠FBA+∠FDC．
即∠BFD=∠FBA+∠FDC，
∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，
1 1
∴∠FBA= ∠ABC=25°，∠FDC= ∠ADC=30°，
2 2∴∠BFD=∠FBA+∠FDC=55°．
答：∠BFD的度数为55°；
②如图3，过点F作FE//AB，
有∠BFE+∠FBA=180°．
∴∠BFE=180°−∠FBA，
∵AB//CD，
∴EF//CD．
∴∠EFD=∠FDC．
∴∠BFE+∠EFD=180°−∠FBA+∠FDC．
即∠BFD=180°−∠FBA+∠FDC，
∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，
1 1 1 1
∴∠FBA= ∠ABC= α，∠FDC= ∠ADC= β，
2 2 2 2
1 1
∴∠BFD=180°−∠FBA+∠FDC=180°− α+ β．
2 2
1 1
答：∠BFD的度数为180°− α+ β．
2 2
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
9．（2021·广东·河源市第二中学七年级期中）已知直线l//l， A是l 上的一点，B是l 上的一点，直线l
1 2 1 2 3
和直线l，l 交于C和D，直线CD上有一点P．
1 2
（1）如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的
关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）【答案】（1）∠PAC+∠PBD=∠APB；（2）当点P在直线l 上方时，∠PBD−∠PAC=∠APB；当
1
点P在直线l 下方时，∠PAC−∠PBD=∠APB．
2
【分析】（1）过点P作PE//l ，由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出PE//l //l ，再由“两
1 1 2
直线平行，内错角相等”得出∠PAC=∠APE、∠PBD=∠BPE，再根据角与角的关系即可得出结论；
（2）按点P的两种情况分类讨论：①当点P在直线l 上方时；②当点P在直线l 下方时，同理（1）可得
1 2
∠PAC=∠APE、∠PBD=∠BPE，再根据角与角的关系即可得出结论．
【详解】解：（1）∠PAC+∠PBD=∠APB．
过点P作PE//l ，如图1所示．
1
∵PE//l ，l //l ，
1 1 2
∴PE//l //l ，
1 2
∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，
∵∠APB=∠APE+∠BPE，
∴∠PAC+∠PBD=∠APB．
（2）结论：当点P在直线l 上方时，∠PBD−∠PAC=∠APB；当点P在直线l 下方时，
1 2
∠PAC−∠PBD=∠APB．
①当点P在直线l 上方时，如图2所示．过点P作PE//l ．
1 1∵PE//l ，l //l ，
1 1 2
∴PE//l //l ，
1 2
∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，
∵∠APB=∠BPE−∠APE，
∴∠PBD−∠PAC=∠APB．
②当点P在直线l 下方时，如图3所示．过点P作PE//l ．
2 1
∵PE//l ，l //l ，
1 1 2
∴PE//l //l ，
1 2
∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，
∵∠APB=∠APE−∠BPE，
∴∠PAC−∠PBD=∠APB．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据“两直线平行，内错角相等”找到相
等的角．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是
关键．
10．（2021·辽宁大连·七年级期中）如图，AB//CD，点O在直线CD上，点P在直线AB和CD之间，
∠ABP=∠PDQ=α，PD平分∠BPQ．（1）求∠BPD的度数（用含α的式子表示）；
（2）过点D作DE//PQ交PB的延长线于点E，作∠DEP的平分线EF交PD于点F，请在备用图中补全
图形，猜想EF与PD的位置关系，并证明；
（3）将（2）中的“作∠DEP的平分线EF交PD于点F”改为“作射线EF将∠DEP分为1:3两个部分，
交PD于点F”，其余条件不变，连接EQ，若EQ恰好平分∠PQD，请直接写出∠FEQ=__________
（用含α的式子表示）．
α 3
【答案】（1）∠BPD=2α；（2）画图见解析，EF⊥PD，证明见解析；（3）45°− 或45°− α
2 2
【分析】（1）根据平行线的传递性推出PG//AB//CD，再利用平行线的性质进行求解；
（2）猜测EF⊥PD，根据PD平分∠BPQ,∠BPD=2α，推导出∠BPD=∠DPQ=2α，再根据
DE//PQ、EF平分∠DEP，通过等量代换求解；
（3）分两种情况进行讨论，即当∠PEF:∠≝=1:3与∠≝:∠PEF=1:3，充分利用平行线的性质、角平
分线的性质、等量代换的思想进行求解．
【详解】（1）过点P作PG//AB，
∵AB//CD,PG//AB，
∴PG//AB//CD，
∴∠BPG=∠ABP=α,∠DPG=∠PDQ=α，∴∠BPD=∠BPG+∠DPG=2α．
（2）根据题意，补全图形如下：
猜测EF⊥PD，
由（1）可知：∠BPD=2α，
∵PD平分∠BPQ,∠BPD=2α，
∴∠BPD=∠DPQ=2α，
∵DE//PQ，
∴∠EDP=∠DPQ=2α，
∴∠DEP=180°−∠BPD−∠EDP=180°−4α，
又EF平分∠DEP，
1
∠PEF= ∠DEP=90°−2α，
2
∴∠EFD=180°−∠PEF−∠BPD=90°，
∴EF⊥PD．
（3）①如图1，
∠PEF:∠≝=1:3，
由（2）可知：∠EPD=∠DPQ=∠EDP=2α,∠DEP=180°−4α，
∵∠PEF:∠≝=1:3，1
∴∠PEF= ∠DEP=45°−α，
4
3
∠≝= ∠DEP=135°−3α，
4
∵DE//PQ，
∴∠DEQ=∠PQE，
∠EDQ+∠PQD=180°，
∵∠EDP=2α,∠PDQ=α，
∴∠EDQ=∠EDP+∠PDQ=3α，
∠PQD=180°−∠EDQ=180°−3α，
又EQ平分∠PQD，
1 3
∴∠PQE=∠DQE=∠DEQ= ∠PQD=90°− α，
2 2
3 3
∴∠FEQ=∠≝−∠DEQ=135°−3α−(90°− α)=45°− α；
2 2
②如图2，
∠DEP=180°−4α，∠PQD=180°−3α（同①）；
若∠≝:∠PEF=1:3，
1 1
则有∠≝= ∠DEP= ×(180°−4α)=45°−α，
4 4
1 1 3
又∠PQE=∠DQE= ∠PQD= ×(180°−3α)=90°− α，
2 2 2
∵DE//PQ，
3
∴∠DEQ=∠PQE=90°− α，
2
1
∴∠FEQ=∠DEQ−∠≝=45°− α，
23 α
综上所述：∠FEQ=45°− α或45°− ，
2 2
α 3
故答案是：45°− 或45°− α．
2 2
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线、三角形内角和定理、垂直等相关知识点，解题的关键是掌
握相关知识点，作出适当的辅助线，通过分类讨论及等量代换进行求解．
11．（2022·江西九江·七年级期中）如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度
数．小明的思路是：如图2，过P作PE//AB，通过平行线性质可求∠APC的度数．
（1）请你按小明的思路，写出∠APC度数的求解过程；
（2）如图3，AB//CD，点P在直线BD上运动，记∠PAB=∠α，∠PCD=∠β．
①当点P在线段BD上运动时，则∠APC与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
②若点P不在线段BD上运动时，请直接写出∠APC与∠α、∠β之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）①∠APC=∠α+∠β，见解析；②∠APC=|∠α−∠β|
【分析】（1）过P作PE//AB，利用平行线的性质即可得出答案；
（2）①过P作PE//AB，再利用平行线的性质即可得出答案；②分P在BD延长线上和P在DB延长线上
两种情况进行讨论，结合平行线的性质即可得出答案
【详解】解：（1）如图2，过P作PE//AB
∵AB//CD，
∴PE//AB//CD，
∴∠PAB+∠APE=180°，
∠PCD+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
（2）①、∠APC=∠α+∠β，
理由：如图3，过P作PE//AB，
∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；
②、∠APC=|∠α−∠β|．
如备用图1，当P在BD延长线上时，∠APC=∠α−∠β；
理由：如备用图1，过P作PG//AB，
∵AB//CD，
∴AB//PG//CD，
∴∠α=∠APG，∠β=∠CPG，
∴∠APC=∠APG−∠CPG=∠α−∠β；
如备用图2所示，当P在DB延长线上时，∠APC=∠β−∠α；
理由：如备用图2，过P作PG//AB，
∵AB//CD，
∴AB//PG//CD，
∴∠α=∠APG，∠β=∠CPG，
∴∠APC=∠CPG−∠APG=∠β−∠α；综上所述，∠APC=|∠α−∠β|．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是过P作PE//AB．
12．（2021·浙江杭州·七年级期中）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为： ；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为： ；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变
化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．
【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°
【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得
FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；
（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解
∠BMF=60°，进而可求解；
1
（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ= ∠BME，进而可求解．
2
【详解】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，
∴∠BME＝∠MEH，
∵AB∥CD，
∴HE∥CD，
∴∠END＝∠HEN，
∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．
如图2，过F作FH∥AB，
∴∠BMF＝∠MFK，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠FND＝∠KFN，
∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，
即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，
∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，
∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，
∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
解得∠BMF＝60°，
∴∠FME＝2∠BMF＝120°；
（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．
由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
1 1 1
∴∠FEN＝ ∠MEN＝ （∠BME＋∠END），∠ENP＝ ∠END，
2 2 2
∵EQ∥NP，
∴∠NEQ＝∠ENP，1 1 1
∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝ （∠BME＋∠END）﹣ ∠END＝ ∠BME，
2 2 2
∵∠BME＝60°，
1
∴∠FEQ＝ ×60°＝30°．
2
【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键．
13．（2021·山西晋中·七年级期中）综合与探究
【问题情境】
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动
（1）如图1，EF//MN，点A、B分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请直接写出
∠PAF、∠PBN和∠APB之间的数量关系；
【问题迁移】
（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m//n，直线m分别交OM、ON于点A、D，直线n分
别交OM、ON于点B、C，点P在射线OM上运动，
①当点P在A、B（不与A、B重合）两点之间运动时，设∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．则∠CPD，
∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．
②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A、B、O三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直
接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系．
【答案】（1）∠PAF+∠PBN+∠APB=360°；（2）①∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；②图见解析，∠CPD=∠β−∠α或∠CPD=∠α−∠β
【分析】（1）作PQ∥EF，由平行线的性质，即可得到答案；
（2）①过P作PE//AD交CD于E，由平行线的性质，得到∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得到答案；
②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点P在BA延长线时；当P在BO之间时；与①同理，利用平行线
的性质，即可求出答案．
【详解】解：（1）作PQ∥EF，如图：
∵EF//MN，
∴EF//MN//PQ，
∴∠PAF+∠APQ=180°，∠PBN+∠BPQ=180°，
∵∠APB=∠APQ+∠BPQ
∴∠PAF+∠PBN+∠APB=360°；
（2）①∠CPD=∠α+∠β；
理由如下：如图，
过P作PE//AD交CD于E，
∵AD//BC，
∴AD//PE//BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
②当点P在BA延长线时，如备用图1：∵PE∥AD∥BC，
∴∠EPC=β，∠EPD=α，
∴∠CPD=∠β−∠α；
当P在BO之间时，如备用图2：
∵PE∥AD∥BC，
∴∠EPD=α，∠CPE=β，
∴∠CPD=∠α−∠β．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角
相等，从而得到角的关系．
14．（2021·黑龙江佳木斯·七年级期末）直线AB∥CD，M为AB上一定点，N为CD上一定点，E为直线
AB和直线CD之间的一点．
（1）当点E在MN上时，如图1所示，请直接写出∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系；
（2）当点E在MN左侧时，如图2所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明；（3）当点E在MN右侧时，如图3所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）∠MEN＝∠CNE+∠AME；（2）∠MEN＝∠CNE+∠AME，证明见解析；（3）
∠MEN+∠CNE+∠AME＝360°，证明见解析．
【分析】（1）由平行线的性质及平角的定义即可得解；
（2）过点E作直线EF∥AB，则EF∥CD，由平行线的性质即可得解；
（3）过点E作直线EG∥AB，则EG∥CD，由平行线的性质即可得解．
【详解】解：（1）如图1，∠MEN＝∠CNE+∠AME，
证明如下：
∵AB∥CD，
∴∠CNE+∠AME＝180°，
∵∠MEN＝180°，
∴∠MEN＝∠CNE+∠AME；
（2）如图2，∠MEN＝∠CNE+∠AME，证明如下：
过点E作直线EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠AME＝∠MEF，∠CNE＝∠NEF，
∵∠MEN＝∠MEF+∠NEF，
∴∠MEN＝∠CNE+∠AME；
（3）如图3，∠MEN+∠CNE+∠AME＝360°，证明如下：过点E作直线EG∥AB，则EG∥CD，
∴∠AME+∠MEG＝180°，∠CNE+∠NEG＝180°，
∴∠AME+∠MEG+∠CNE+∠NEG＝360°，
∵∠MEG+∠NEG＝∠MEN，
∴∠MEN+∠CNE+∠AME＝360°．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”
是解题的关键．
15．（2021·广东韶关·七年级期中）如图1，点A、B分别在直线GH、MN上，∠GAC=∠NBD，
∠C=∠D.
（1）求证：GH//MN；（提示：可延长AC交MN于点P进行证明）
（2）如图2，AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，若∠AED=∠GAC，求∠GAC与∠ACD之间的数量
关系；
1
（3）在（2）的条件下，如图3，BF平分∠DBM，点K在射线BF上，∠KAG= ∠GAC，若
3
∠AKB=∠ACD，直接写出∠GAC的度数．
(540) ° (540) °
【答案】（1）见解析；（2）∠ACD=3∠GAC，见解析；（3） 或 ．
19 23
【分析】（1）根据平行线的判定与性质求证即可；
（2）根据三角形的内角和为180°和平角定义得到∠AQD=∠E+∠EAQ，结合平行线的性质得到
∠BDQ=∠E+∠EAQ，再根据角平分线的定义证得∠CDB=2∠E+∠GAC，结合已知即可得出结论；
（3）分当K在直线GH下方和当K在直线GH上方两种情况，根据平行线性质、三角形外角性质、角平分
线定义求解即可．【详解】解：（1）如图1，延长AC交MN于点P，
∵∠ACD=∠C，
∴AP//BD，
∴∠NBD=∠NPA，
∵∠GAC=∠NBD，
∴∠GAC=∠NPA，
∴GH//MN；
（2）延长AC交MN于点P，交DE于点Q，
∵∠E+∠EAQ+∠AQE=180°，∠AQE+∠AQD=180°，
∴∠AQD=∠E+∠EAQ，
∵AP//BD，
∴∠AQD=∠BDQ，
∴∠BDQ=∠E+∠EAQ，
∵AE平分∠GAC，DE平分∠BDC，
∴∠GAC=2∠EAQ，∠CDB=2∠BDQ，
∴∠CDB=2∠E+∠GAC，
∵∠AED=∠GAC，∠ACD=∠CDB，
∴∠ACD=2∠GAC+∠GAC=3∠GAC；
（3）当K在直线GH下方时，如图，设射线BF交GH于I，∵GH//MN，
∴∠AIB=∠FBM，
∵BF平分∠MBD，
1
∴∠DBF=∠FBM= (180°−∠DBN)，
2
∴∠AIB=∠DBF，
∵∠AIB+∠KAG=∠AKB，∠AKB=∠ACD，
∴∠ACD=∠DBF+∠KAG，
1
∵∠KAG= ∠GAC，∠GAC=∠NBD，
3
1 1
∴ ∠GAC+ (180°−∠DBN)=∠ACD=3∠GAC，
3 2
1 1
即 ∠GAC+90°− ∠GAC=3∠GAC，
3 2
(540) ∘
解得：∠GAC= ．
19
1
当K在直线GH上方时，如图，同理可证得∠AIB= (180°−∠DBN)=∠AKB+∠KAG，
2
1 1
则有3∠GAC+ ∠GAC= (180∘−∠GAC)，
3 2
(540) ∘
解得：∠GAC= ．
23(540) ° (540) °
综上，故答案为 或 ．
19 23
【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外角性质、三角形的内角和定理、平
角定义、角度的运算，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
16．（2022·河南·商丘市第十六中学七年级期中）已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．
（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：
如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；
解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是 ；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是 ；
所以∠C＝（ ），
所以∠APC＝（ ）+（ ）＝∠A+∠C＝97°．
（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：
①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；
②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与
∠C的数量关系．
【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；∠APH，
∠CPH；（2）①∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由见解答过程；②3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可完成填空；（2）结合（1）的辅助线方法即可完成证明；
（3）结合（1）（2）的方法，根据∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝
180°，即可证明∠PMQ，∠A与∠C的数量关系．
【详解】解：过点P作直线PH∥AB，
所以∠A＝∠APH，依据是两直线平行，内错角相等；
因为AB∥CD，PH∥AB，
所以PH∥CD，依据是平行于同一条直线的两条直线平行；
所以∠C＝（∠CPH），
所以∠APC＝（∠APH）+（∠CPH）＝∠A+∠C＝97°．
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；
（2）①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由如下：
过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PH∥QG，
∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，
∴∠APQ+∠PQC＝∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG＝∠A+∠C+180°．
∴∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立；
②如图3，
过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN，∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∠HPM＝∠PMN，∠GQM＝∠QMN，
∴∠PMQ＝∠HPM+∠GQM，
∵∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，
∴∠APM+∠CQM＝∠A+∠C+∠PMQ＝2∠MPQ+2∠MQP＝2（180°﹣∠PMQ），
∴3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．
【点睛】考核知识点：平行线的判定和性质．熟练运用平行线性质和判定，添加适当辅助线是关键．
17．（2022·江苏·南京市人民中学七年级期中）已知AB∥CD，∠ABE的角分线与∠CDE的角分线相交于
点F．
（1）如图1，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED＝100°，求∠M的度数；
1 1
（2）如图2，若∠ABM＝ ∠ABF，∠CDM＝ ∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度数；
3 3
1 1
（3）若∠ABM＝ ∠ABF，∠CDM＝ ∠CDF，请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系．
n n
360°−α°
【答案】（1）65°（2） （3）2n∠M+∠BED=360°
6
【分析】（1）首先作EG∥AB，FH∥AB，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分线
的定义得到∠ABF+∠CDF=130°，从而得到∠BFD的度数，再根据角平分线的定义可求∠M的度数；
（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED，
∠M=∠ABM+∠CDM，等量代换即可求解；
（3）先由已知得到∠ABF=n∠ABM，∠CDF=n∠CDM，由（2）的方法可得到
2n∠M+∠BED=360°．
【详解】解：（1）如图1，作EG//AB，FH//AB，∵AB∥CD，
∴EG∥AB∥FH∥CD，
∴∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH，∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠CDE=180°，
∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°，
∵∠BED=∠BEG+∠DEG=100°，
∴∠ABE+∠CDE=260°，
∵∠ABE的角平分线和∠CDE的角平分线相交于F，
∴∠ABF+∠CDF=130°，
∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=130°，
∵BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，
1 1
∴∠MBF= ∠ABF，∠MDF= ∠CDF，
2 2
∴∠MBF+∠MDF=65°，
∴∠BMD=130°−65°=65°；
1 1
（2）如图2，∵∠ABM= ∠ABF，∠CDM= ∠CDF，
3 3
∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM，
∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F，
∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，
∴6∠ABM+6∠CDM+∠BED=360°，
∵∠BMD=∠ABM+∠CDM，
∴6∠BMD+∠BED=360°，
360°−α°
∴∠BMD= ；
6
1 1
（3）∵∠ABM＝ ∠ABF，∠CDM＝ ∠CDF，
n n
∴∠ABF=n∠ABM，∠CDF=n∠CDM，∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F，
∴∠ABE=2n∠ABM，∠CDE=2n∠CDM，
∴2n∠ABM+2n∠CDM+∠BED=360°，
∵∠M=∠ABM+∠CDM，
∴2n∠M+∠BED=360°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的计算，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角
相等，同旁内角互补的性质．
18．（2021·广东茂名·七年级期中）已知直线AM、CN和点B在同一平面内，且AM∥CN，AB⊥BC．
（1）如图1，求∠A和∠C之间的数量关系；
（2）如图2，若BD⊥AM，垂足为D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，已知点D、E、F都在直线AM上，且∠ABD＝∠NCB，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD．若
∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，请直接写出∠EBC的度数．
【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）见解析；（3）∠EBC=105°．
【分析】（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系求解．
（2）画辅助平行线找角的联系．
（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质求解．
【详解】解：（1）如图1，
∵AM∥CN，
∴∠C=∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，∴∠A+∠AOB=90°，
∠A+∠C=90°，
故答案为：∠A+∠C=90°；
（2）如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，
∴∠DBG=90°，
∴∠ABD+∠ABG=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵AM∥CN，
∴∠C=∠CBG，
∴∠ABD=∠C；
（3）如图3，过点B作BG∥DM，
∵AM∥CN，
∴CN∥BG，
∴∠CBG=∠BCN，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
∵∠ABD=∠NCB，∴∠ABD=∠CBG，
∴∠ABF=∠GBF，
设∠DBE=α，∠ABF=β，
则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，
∠GBF=∠AFB=β，
∠BFC=3∠DBE=3α，
∵BG∥DM，
∴∠DFB=∠GBF=β，
∴∠AFC=∠BFC+∠DFB=3α+β，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：
2α+β+3α+3α+β=180°，
∵AB⊥BC，
∴β+β+2α=90°，
∴α=15°，
∴∠ABE=15°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
【点睛】本题考查平行线性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，画辅助线，找到角的关系是求解本
题的关键．
19．（2021·湖北武汉·七年级期末）如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN，ST之间，
且满足∠MAC+∠ACB+∠SBC =360°．
（1）证明：MN//ST；
（2）如图2，若∠ACB=60°，AD//CB，点E在线段BC上，连接AE，且∠DAE=2∠CBT，试判断
∠CAE与∠CAN的数量关系，并说明理由；
180°
（3）如图3，若∠ACB= （n为大于等于2的整数），点E在线段BC上，连接AE，若
n
∠MAE=n∠CBT，则∠CAE:∠CAN=______．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）n-1
【分析】（1）连接AB，根据已知证明∠MAB+∠SBA=180°，即可得证；
（2）作CF∥ST，设∠CBT=α，表示出∠CAN，∠ACF，∠BCF，根据AD∥BC，得到∠DAC=120°，求出
∠CAE即可得到结论；
（3）作CF∥ST，设∠CBT=β，得到∠CBT=∠BCF=β，分别表示出∠CAN和∠CAE，即可得到比值．
【详解】解：（1）如图，连接AB，
，
∵∠MAC+∠ACB+∠SBC=360°，
∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，
∴∠MAB+∠SBA=180°，
∴MN//ST
（2）∠CAE=2∠CAN，
理由：作CF//ST，则MN//CF//ST, 如图，
设∠CBT=α，则∠DAE=2α．
∠BCF=∠CBT=α，∠CAN=∠ACF=60°−α，
∵AD//BC，∠DAC=180°−∠ACB=120°，∴∠CAE=120°−∠DAE=120°−2α=2(60°−α)=2∠CAN．
即∠CAE=2∠CAN．
（3）作CF//ST，则MN//CF//ST, 如图，设∠CBT=β，则∠MAE=nβ．
∵CF//ST，
∴∠CBT=∠BCF=β，
180° 180°−nβ
∠ACF=∠CAN= −β= ，
n n
180° n−1
∠CAE=180°−∠MAE−∠CAN=180°−nβ− +β= (180°−nβ)，
n n
n−1 1
∠CAE:∠CAN= : =n−1，
n n
故答案为n−1．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，解题关键是角度的灵活转换，构建数量关系式．
20．（2021·湖北鄂州·七年级期中）如图1，直线AB//CD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在
CD上，连接PE，PF．
（1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤，并说明理由）
（2）如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4=
．（不需说明理由，请直接写出答案）
（3）如图3，在图1的基础上，作PE平分∠PEB，PF平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°，则
1 1
∠P= （用含x，y的式子表示）．若PE平分∠PEB，PF平分∠PFD，可得∠P；PE
1 2 1 2 1 2 3
平分∠PEB，PF平分∠PFD，可得∠P…，依次平分下去，则∠Pn＝ ．（用含x，
2 3 2 3
y的式子表示）1 (1) n
【答案】（1）110°；（2）80°；（3） (x+ y)°, (x+ y)°
2 2
【分析】（1）过点P作PH∥AB∥CD，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得；
（2）同理依据两直线平行，内错角相等即可证得∠1+∠4=∠2+∠3，求得∠4=80°；
（3）利用（1）的结论和角平分线的性质即可写出结论．
【详解】解：（1）如图1，
过点P作PH∥AB∥CD，
∴∠1=∠EPH，∠2=∠FPH，
而∠EPF=∠EPH+∠FPH，
∴∠EPF=∠1+∠2=110°；
（2）过点P作PM//AB,QN//AB，
∵PM//AB，
∴∠1=∠EPM，
∵QN//AB,PM//AB,AB//CD，
∴AB//PM//QN//DC，
∴∠MPQ=∠NQP，∠NQF=∠2，
∵∠3=∠EPM+∠MPQ，∠4=∠PQN+∠NQF，
∴∠1+∠4=∠2+∠3，
∵∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，
∴∠4=80°，故答案为：80°；
（3）过点P作PH//AB//CD，
∵P E平分∠PEB，
1
∴∠P EB=∠PEP ，
1 1
同理∠DFP =∠P FP，
1 1
∴∠EP F=∠P EB+∠PFP
1 1 1
1 1
= PFD+ BEP
2 2
1
= (PFD+BEP)
2
1
= (x+ y)°，
2
1 n
同理∠P =( ) (x+ y)°，
n 2
1 1 n
故答案为：∠P = (x+ y)°，∠P =( ) (x+ y)°．
1 2 n 2
【点睛】本题考查了平行线性质的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会
探究规律，利用规律解决问题．
21．（2021·全国·九年级专题练习）（1）如图1，已知AB//CD，∠ABF=∠DCE，求证：
∠BFE=∠FEC
1 1 3
（2）如图2，已知AB//CD，∠EAF= ∠EAB，∠ECF= ∠ECD，求证：∠AFC= ∠AEC
4 4 4【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）如图：延长BF、DC相较于E，由AB//CD可得∠ABF=∠E，再结合∠ABF=∠DCE
可得∠DCE=∠E，即可得当BE//DE，最后运用两直线平行、内错角相等即可证明结论；
（2）如图2：连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，∠EAB=4x，∠ECD=4y，根据平行线性质得出
∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（4x+4y），再求出∠AEC和∠AFC，最后比较即可得到结
论．
【详解】（1）证明：如图：延长BF、DC相较于G
∵AB//CD
∴∠ABF=∠G
∵∠ABF=∠DCE
∴∠DCE=∠G
∴BG//CE
∴∠BFE=∠FEC；
（2）如图2：连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，∠EAB=4x，∠ECD=4y，
∵AB//CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°
∴∠CAE+4x+∠ACE+4y=180°
∴∠CAE+∠ACE=180°-（4x+4y），∠FAC+∠FCA=180°-（3x+3y），
∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）
=180°-[80°-（4x+4y）]
=4x+4y
=4（x+y）
∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）
=180°-[180°-（3x+3y））]
=3x+3y
=3（x+y），3
∴∠AFC= ∠AEC．
4
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理的应用等知识点，灵活应用平行线的判
定与性质以及三角形内角和定理正确的表示角成为解答本题的关键．
22．（2022·江苏·苏州高新区第二中学七年级期末）如图，MN//GH，点A、B分别在直线MN、GH上，
点O在直线MN、GH之间，若∠NAO=116°，∠OBH=144°．
（1）∠AOB= °；
（2）如图2，点C、D是∠NAO、∠GBO角平分线上的两点，且∠CDB=35°，求∠ACD 的度数；
（3）如图3，点F是平面上的一点，连结FA、FB，E是射线FA上的一点，若∠MAE= n∠OAE，
∠HBF=n∠OBF，且∠AFB=60°，求n的值．
【答案】（1）100；（2）75°；（3）n=3．
【分析】（1）如图：过O作OP//MN，由MN//OP//GH得∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°，即
∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°，即可求出∠AOB；
（2）如图：分别延长AC、CD交GH于点E、F，先根据角平分线求得∠NAC=58°，再根据平行线的性
质得到∠CEF=58°；进一步求得∠DBF=18°，∠DFB=17°，然后根据三角形外角的性质解答即可；
n
（3）设BF交MN于K，由∠NAO=116°，得∠MAO=64°，故∠MAE=
×64°
，同理∠OBH=144°，
n+1
n n
∠HBF=n∠OBF，得∠FBH= ×144° ，从而∠BKA=∠FBH= ×144°，又∠FKN=∠F+∠FAK，
n+1 n+1
n n
得
×144°=60°+ ×64°
，即可求n．
n+1 n+1【详解】解：（1）如图：过O作OP//MN，
∵MN//GHl
∴MN//OP//GH
∴∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°
∴∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°
∵∠NAO=116°，∠OBH=144°
∴∠AOB=360°-116°-144°=100°；
（2）分别延长AC、CD交GH于点E、F，
∵AC平分∠NAO且∠NAO=116°，
∴∠NAC=58°，
又∵MN//GH，
∴∠CEF=58°；
∵∠OBH=144°，∠OBG=36°
∵BD平分∠OBG，
∴∠DBF=18°，
又∵∠CDB=35°,
∴∠DFB=∠CDB−∠DBF=35−18=17°；
∴∠ACD=∠DFB+∠AEF=17°+58°=75°；
（3）设FB交MN于K，∵∠NAO=116°，则∠MAO=64°；
n
∴∠MAE= ×64°
n+1
∵∠OBH=144°，
n n
∴∠FBH= ×144°，∠BKA=∠FBH= ×144°，
n+1 n+1
n
在△FAK中，∠BKA=∠FKA+∠F= ×64°+60°,
n+1
n n
∴ ×144°= ×64°+60°，
n+1 n+1
∴n=3．
经检验：n=3是原方程的根，且符合题意.
【点睛】本题主要考查平行线的性质及应用，正确作出辅助线、构造平行线、再利用平行线性质进行求解
是解答本题的关键．
23．（2021·重庆江北·七年级期末）如图1，AB//CD，点E、F分别在AB、CD上，点O在直线AB、CD
之间，且∠EOF=100°．（1）求∠BEO+∠OFD的值；
（2）如图2，直线MN分别交∠BEO、∠OFC的角平分线于点M、N，直接写出∠EMN−∠FNM的
值；
（3）如图3，EG在∠AEO内，∠AEG=m∠OEG；FH在∠DFO内，∠DFH=m∠OFH，直线MN
分别交EG、FH分别于点M、N，且∠FMN−∠ENM=50°，直接写出m的值．
5
【答案】（1）∠BEO+∠DFO=260° ；（2）∠EMN−∠FNM的值为40°；（3） ．
3
【分析】（1）过点O作OG∥AB，可得AB∥OG∥CD，利用平行线的性质可求解；
（2）过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，由角平分线的定义可设∠BEM=∠OEM=x，
∠CFN=∠OFN=y，由∠BEO+∠DFO=260°可求x-y=40°，进而求解；
（3）设直线FK与EG交于点H，FK与AB交于点K，根据平行线的性质即三角形外角的性质及
∠FMN−∠ENM=50°，可得∠KFD−∠AEG=50°，结合
∠AEG=n∠OEG，DFK=n∠OFK，∠BEO+∠DFO=260°，可得
1 1
∠AEG+ ∠AEG+180°−∠KFD− ∠KFD=100°，
n n
即可得关于n的方程，计算可求解n值．
【详解】证明：过点O作OG∥AB，∵AB∥CD，
∴AB∥OG∥CD，
∴∠BEO+∠EOG=180°，∠DFO+∠FOG=180°，
∴∠BEO+∠EOG+∠DFO+∠FOG=360°，
即∠BEO+∠EOF+∠DFO=360°，
∵∠EOF=100°，
∴∠BEO+∠DFO=260°；
（2）解：过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，
∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，
设∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN= y，
∵∠BEO+∠DFO=260°
∴∠BEO+∠DFO=2x+180°−2y=260°，
∴x-y=40°，
∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，
∴AB∥MK∥NH∥CD，
∴∠EMK=∠BEM=x，∠HNF=∠CFN= y，∠KMN=∠HNM，∴∠EMN+∠FNM=∠EMK+∠KMN−（∠HNM+∠HNF）
=x+∠KMN−∠HNM−y
=x-y
=40°，
故∠EMN−∠FNM的值为40°；
（3）如图，设直线FK与EG交于点H，FK与AB交于点K，
∵AB∥CD，
∴∠AKF=∠KFD，
∵∠AKF=∠EHK+∠HEK=∠EHK+∠AEG，
∴∠KFD=∠EHK+∠AEG，
∵∠EHK=∠NMF−∠ENM=50°，
∴∠KFD=50°+∠AEG，
即∠KFD−∠AEG=50°，
∵∠AEG=n∠OEG，FK在∠DFO内，∠DFK=n∠OFK．
1
∴∠CFO=180°−∠DFK−∠OFK=180°−∠KFD− ∠KFD ，
n
1
∠AEO=∠AEG+∠OEG=∠AEG+ ∠AEG，
n
∵∠BEO+∠DFO=260°，
∴∠AEO+∠CFO=100°，
1 1
∴∠AEG+ ∠AEG+180°−∠KFD− ∠KFD=100°，
n n
( 1)
即 1+ (∠KFD−∠AEG)＝80°，
n( 1)
∴ 1+ ×50°＝80°，
n
5
解得n= ．
3
经检验，符合题意，
5
故答案为： ．
3
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
24．（2021·黑龙江哈尔滨·七年级期末）已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，
CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．
（1）如图1，求证：HG⊥HE；
（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；
（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的
度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）40°
【分析】（1）根据平行线的性质和判定解答即可；
（2）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可；
（3）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可．
【详解】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠FED，
∵∠AGH＝∠FED，
∴∠AFE＝∠AGH，
∴EF∥GH，∴∠FEH+∠H＝180°，
∵FE⊥HE，
∴∠FEH＝90°，
∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，
∴HG⊥HE；
（2）过点M作MQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴MQ∥CD，
过点H作HP∥AB，
∵AB∥CD，
∴HP∥CD，
∵GM平分∠HGB，
1
∴∠BGM＝∠HGM＝ ∠BGH，
2
∵EM平分∠HED，
1
∴∠HEM＝∠DEM＝ ∠HED，
2
∵MQ∥AB，
∴∠BGM＝∠GMQ，
∵MQ∥CD，
∴∠QME＝∠MED，
∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，
∵HP∥AB，
∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM，
∵HP∥CD，
∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED，
∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），∴∠GHE＝∠2GME；
（3）过点M作MQ∥AB，过点H作HP∥AB，
由∠KFE：∠MGH＝13：5，设∠KFE＝13x，∠MGH＝5x，
由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x，
∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠AFE＝180°﹣10x，
∵FK平分∠AFE，
1
∴∠AFK＝∠KFE＝ ∠AFE，
2
1
即
(180°−10x)=13x，
2
解得：x＝5°，
∴∠BGH＝10x＝50°，
∵HP∥AB，HP∥CD，
∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED，
∵∠GHE＝90°，
∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°，
∴∠HED＝40°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理以及灵活构造平行线是解题
的关键．
25．（2021·浙江·杭州市公益中学（公办）七年级期中）已知AB//CD，定点E，F分别在直线AB，CD
上，在平行线AB，CD之间有一动点P．（1）如图1所示时，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系?并说明理由．
（2）除了（1）的结论外，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明
（3）当∠EPF满足0°<∠EPF<180°，且QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
①若∠EPF=60°，则∠EQF=__________°．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系．（直接写出结论）
【答案】（1）∠AEP+∠PFC=∠EPF；（2）∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（3）①150°或30；
②∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF
【分析】（1）由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：如图1，
当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为：∠EPF=∠AEP+∠PFC；
（2）当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为：
∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；
（3）①若当P点在EF的左侧时，∠EQF=∠BEQ+∠QFD=150°；当P点在EF的右侧时，可求得
∠BEQ+∠QFD=30°；
②结合①可得∠EPF=180°−2∠BEQ+180°−2∠DFQ=360°−2(∠BEQ+∠PFD)，由
∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，得出∠EPF+2∠EQF=360°；可得EPF=∠BEP+∠PFD，由
∠BEQ+∠DFQ=∠EQF，得出∠EPF=2∠EQF．
【详解】解：（1）如图1，过点P作PG//AB，∵PG//AB，
∴∠EPG=∠AEP，
∵AB//CD，
∴PG//CD，
∴∠FPG=∠PFC，
∴∠AEP+∠PFC=∠EPF；
（2）如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为：
∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；
过点P作PG//AB，
∵PG//AB，
∴∠EPG+∠AEP=180°，
∵AB//CD，
∴PG//CD，
∴∠FPG+∠PFC=180°，
∴∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；
（3）①如图3，若当P点在EF的左侧时，
∵∠EPF=60°，
∴∠PEB+∠PFD=360°−60°=300°，
∵EQ，FQ分别平分∠PEB和∠PFD，
1 1
∴∠BEQ= ∠PEB，∠QFD= ∠PFD，
2 21 1
∴∠EQF=∠BEQ+∠QFD= (∠PEB+∠PFD)= ×300°=150°；
2 2
如图4，当P点在EF的右侧时，
∵∠EPF=60°，
∴∠PEB+∠PFD=60°，
1 1
∴∠BEQ+∠QFD= (∠PEB+∠PFD)= ×60°=30°；
2 2
故答案为：150°或30；
1 1
②由①可知：∠EQF=∠BEQ+∠QFD= (∠PEB+∠PFD)= (360°−∠EPF)，
2 2
∴∠EPF+2∠EQF=360°；
1 1
∠EQF=∠BEQ+∠QFD= (∠PEB+∠PFD)= ∠EPF，
2 2
∴∠EPF=2∠EQF．
综合以上可得∠EPF与∠EQF的数量关系为：∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理和及推论等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，
是解此题的关键．
26．（2022·福建福州·七年级期末）已知a//b，直角△ABC的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线
b分别交于E，F点，且∠ACB=90°．
（1）将直角△ABC如图1位置摆放，如果∠AOG=56°，则∠CEF=________；
（2）将直角△ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，∠NEF+∠CEF=180°，请写出∠NEF与
∠AOG之间的等量关系，并说明理由；（3）将直角△ABC如图3位置摆放，若∠GOC=135°，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一
动点，探究∠POQ,∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论．
【答案】（1）146°；（2）∠AOG+∠NEF=90°；（3）见解析
【分析】（1）作CP//a，则CP//a//b，根据平行线的性质求解．
（2）作CP//a，由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠NEF=∠ACP+∠PCB=90°．
（3）分类讨论点P在线段GF上或线段GF延长线上两种情况，过点P作a，b的平行线求解．
【详解】解：（1）如图，作CP//a，
∵a//b，CP//a，
∴CP//a//b，
∴∠AOG=∠ACP=56°，∠BCP+∠CEF=180°，
∴∠BCP=180°-∠CEF，
∵∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠AOG+180°-∠CEF=90°，
∴∠CEF=180°-90°+∠AOG=146°．
（2）∠AOG+∠NEF=90°.理由如下：
如图，作CP//a，则CP//a//b，
∴∠AOG=∠ACP，∠BCP+∠CEF=180°，
∵∠NEF+∠CEF=180°，
∴∠BCP=∠NEF，
∵∠ACP+∠BCP=90°，∴∠AOG+∠NEF=90°．
（3）如图，当点P在GF上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，
∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，
∴∠OPQ=∠OPN+∠NPQ=∠GOP+∠PQF,
∵∠GOC=∠GOP+∠POQ=135°，
∴∠GOP=135°-∠POQ，
∴∠OPQ=135°-∠POQ+∠PQF．
如图，当点P在GF延长线上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，
∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，
∵∠OPN=∠OPQ+∠QPN，
∴∠GOP=∠OPQ+∠PQF，
∴135°-∠POQ=∠OPQ+∠PQF．
【点睛】本题考查平行线的性质的应用，解题关键是熟练掌握平行线的性质，通过添加辅助线及分类讨论
的方法求解．
27．（2021·江苏·苏州文昌实验中学校七年级期中）如图1，由线段AB,AM,CM,CD组成的图形像英文
字母M，称为“M形BAMCD”．（1）如图1，M形BAMCD中，若AB//CD,∠A+∠C=50°，则∠M=______；
（2）如图2，连接M形BAMCD中B,D两点，若∠B+∠D=150°,∠AMC=α，试探求∠A与∠C的数
量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，且AC的延长线与BD的延长线有交点，当点M在线段BD的延长线上从
左向右移动的过程中，直接写出∠A与∠C所有可能的数量关系．
【答案】（1）50°；（2）∠A+∠C=30°+α，理由见解析；（3）∠A-∠DCM=30°+α或30°-α
【分析】（1）过M作MN∥AB，由平行线的性质即可求得∠M的值．
（2）延长BA，DC交于E，应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题．
（3）分两种情形分别求解即可；
【详解】解：（1）过M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD，
∴∠1=∠A，∠2=∠C，
∴∠AMC=∠1+∠2=∠A+∠C=50°；
故答案为：50°；
（2）∠A+∠C=30°+α，
延长BA，DC交于E，∵∠B+∠D=150°，
∴∠E=30°，
∵∠BAM+∠DCM=360°-（∠EAM+∠ECM）=360°-（360°-∠E-∠M）=30°+α；
即∠A+∠C=30°+α；
（3）①如下图所示：
延长BA、DC使之相交于点E，延长MC与BA的延长线相交于点F，
∵∠B+∠D=150°，∠AMC=α，∴∠E=30°
由三角形的内外角之间的关系得：
∠1=30°+∠2
∠2=∠3+α
∴∠1=30°+∠3+α
∴∠1-∠3=30°+α
即：∠A-∠C=30°+α．
②如图所示，210-∠A=（180°-∠DCM）+α，即∠A-∠DCM=30°-α．综上所述，∠A-∠DCM=30°+α或30°-α．
【点睛】本题考查了平行线的性质．解答该题时，通过作辅助线准确作出辅助线l∥AB，利用平行线的性质
（两直线平行内错角相等）将所求的角∠M与已知角∠A、∠C的数量关系联系起来，从而求得∠M的度
数．
28．（2021·浙江·七年级期中）已知EM//BN．
（1）如图1，求∠E+∠A+∠B的大小，并说明理由．
（2）如图2，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F．
①若∠A=120°，∠AEM=140°，则∠EFD=________．
②试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由．
（3）如图3，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，过点F作FG⊥BD交BN于点G，若
4∠A=3∠EFG，求∠EFB的度数．
【答案】（1）360°，理由见解析；（2）①60°；②∠A=2∠EFD，理由见解析；（3）54°
【分析】（1）过A作AQ//EM，判定AQ//BN，根据平行线的性质可求解；
（2）①由（1）的结论可求解∠ABN=100°，利用角平分线的定义可求∠≝=70°，∠FBC=50°，再结
合平行线段的性质可求解；②可采用①的解题方法换算求解；
（3）设∠EFD=x，则∠A=2x，根据4∠A=3∠EFG列方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）过A作AQ//EM，
∴∠E+∠EAQ=180°，
∵EM//BN，∴AQ//BN，
∴∠QAB+∠B=180°，
∵∠EAB=∠EAQ+∠QAB，
∴∠E+∠EAB+∠B=360°；
（2）①由（1）知∠AEM+∠A+∠ABN=360°，
∵∠A=120°，∠AEM=140°，
∴∠ABN=100°，
∵∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，
∴∠≝=70°，∠FBC=50°，
∵EM//BN，
∴∠EDF=∠FBC=50°，
∴∠EFD=180°−∠≝−∠EDF=180°−70°−50°=60°，
故答案为60°；
②由（1）知∠AEM+∠A+∠ABN=360°，
∴∠ABN=360°−∠AEM−∠A，
∵∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，
1 1
∴∠≝= ∠AEM，∠FBC= ∠ABN，
2 2
∵EM//BN，
1
∴∠EDF=∠FBC= ∠ABN，
2
1 1 1 1
∴∠EFD=180°−∠≝−∠EDF=180°− ∠AEM− ∠ABN=180°− (360°−∠A)= ∠A，
2 2 2 2
即∠A=2∠EFD；
（3）设∠EFD=x，则∠A=2x，
由题意得4·2x=3(90+x)，
解得x=54°，
答：∠EFB的度数为54°．【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，注意方程思想的应
用．
29．（2021·山东德州·七年级期中）（1）如图1，AB//CD，∠A=33°，∠C=40°，则∠APC=
°；
（2）如图2，AB//DC，点P在射线OM上运动，当点P在B、D两点之间运动时，∠BAP=∠α，
∠DCP=∠β，求∠CPA与∠α、∠β之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点B、D、O三点不重合），请你直接
写出∠CPA与∠α、β之间的数量关系．
【答案】（1）73；（2）∠APC=∠α+∠β，理由详见解析；（3）当点P在射线DM上时，
∠APC=∠α−∠β；当点P在OB上时，∠APC=∠β−∠α．
【分析】（1）做出辅助线，根据平行线的性质求解即可；
（2）过点P作PE//AB交AC于点E，然后根据平行线的性质求解即可；
（3）根据题意做出辅助线，然后根据平行线的性质求解即可；
【详解】（1）如图1，过P作PE//AB
∵AB//CD，
∴PE//AB//CD，
∴∠A=∠APE，∠C=∠CPE
又∵∠A=33°，∠C=40°
∴∠APE=33°，∠CPE=40°
则∠CPA=∠APE+∠CPE=33°+40°=73°
（2）∠APC=∠α+∠β理由是：
如图2，过点P作PE//AB交AC于点E
∵AB//CD，
∴PE//AB//CD
∴∠APE=∠PAB=∠α，∠CPE=∠PCD=∠β
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β
（3）当点P在射线DM上时，设CD与AP交于点P，如图所示，
∵AB//DC，
∴∠α=∠DHP，
又∵在 CHP中，∠DHP=∠β+∠APC，
∴∠α= △∠β+∠APC，
即：∠APC=∠α−∠β．
当点P在OB上时，如图所示，
作PE∥AB，
∴∠APE=∠BAP=∠α，
∵AB∥CD，∴PE∥CD，
∴∠CPE=∠PCD=∠β，
∴∠CPA=∠CPE-∠APE=∠β-∠α．
答：∠CPA与∠α，∠β之间的数量关系为：∠CPA=∠β-∠α．
即∠APC=∠β−∠α．
【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线．
30．（2022·天津市东丽中学七年级期末）已知：如图1，∠1+∠2=180°，∠AEF=∠HLN．
（1）判断图中平行的直线，并给予证明；
（2）如图2，∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，请判断∠P与∠Q的数量关系，并证明．
【答案】（1）AB∥CD，EF∥HL，证明见解析；（2）∠P=3∠Q，证明解析．
【分析】（1）求出∠AMN+∠2=180°，根据平行线的判定推出AB∥CD即可；延长EF交CD于F，根据平
1
行线性质和已知求出∠AEF=∠EFL，根据平行线的判定推出即可；
1
（2）作QR∥AB，PL∥AB，根据平行线的性质得出∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，推出
∠MQN=∠QMB+∠QND，同理∠MRN=∠PMB+∠PND，代入求出即可．
【详解】解：（1）AB∥CD，EF∥HL，
证明如下：∵∠1=∠AMN，
∴∠1+∠2=180°，
∴∠AMN+∠2=180°，
∴AB∥CD；
延长EF交CD于F，
1
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFL，
1
∵∠AEF=∠HLN，
∴∠EFL=∠HLN，
1∴EF∥HL；
（2）∠P=3∠Q，
证明如下：∵由（1）得AB∥CD，作QR∥AB，PL∥AB，
∴∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，
∴∠RQN=∠QND，
∴∠MQN=∠QMB+∠QND，
∵AB∥CD，PL∥AB，
∴AB∥CD∥PL，
∴∠MPL=∠PMB，∠NPL=∠PND，
∴∠MPN=∠PMB+∠PND，
∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，
∴∠PMB=3∠QMB，∠PND=3∠QND，
∴∠MPN=3∠MQN，
即∠P=3∠Q；
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，平行线公理的推论．能正确作出辅助线是解决本题的关键．
