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第 07 讲 正多边形与圆、扇形的弧长与面积
课程标准 学习目标
1. 理解正多边形与圆的相关概念。
2. 理解并掌握正多边形的半径与边长，边心距，中心
①正多边形与圆的相关概念及其关系
角之间关系。
②正多边形的画法
3. 学会利用等分圆的方法画正多边形。
③扇形的弧长与面积的计算公式
4. 掌握并利用扇形的周长与面积计算公式进行相应的
计算。
知识点01 正多边形与圆
1. 正多边形的概念：
各条边 相等 ，各个角也 相等 的多边形叫做正多边。
2. 圆的内接正多边形：
把一个圆 平均 分成n（n是大于2的自然数）份，依次连接各 分点 所得的多边形是这个圆
的 内接正多边形 ，这个圆叫做这个正多边形的 外接圆 。
3. 圆的内接正多边形的相关概念：
（1）中心：正多边形的 外接圆 的圆心叫做正多边形的中心。即O既是圆心也是正多边形的中心。
（2）正多边形的半径： 外接圆 的半径叫做正多边形的半径。
即OB既是圆的半径，也是正多边形的半径。
（3）中心角：正多边形每一边所对的 圆心角 叫做正多边形
的中心角。正多边形的中心角度数为 。
即∠BOC是正多边形的一个中心角。
（4）边心距： 中心 到正多边形的 边 的距离叫做正多边形的边心距。
即过O做边BC的垂线即为边心距。
题型考点：①概念的理解。②有关的计算。
【即学即练1】
1．下列说法不正确的是（ ）
A．圆内正n边形的中心角为
B．各边相等的，各角相等的多边形是正多边形
C．各边相等的圆内接多边形是正多边形
D．各角相等的多边形是正多边形
【解答】解：A、B、C、正确；
D、各边相等的，各角相等的多边形是正多边形，故不对．
故选：D．
【即学即练2】
2．如图，五边形ABCDE是 O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（ ）
⊙
A．60° B．36° C．76° D．72°
【解答】解：∵五边形ABCDE是 O的内接正五边形，
⊙
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为 ＝72°，
故选：D
【即学即练3】
3．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15厘米，则线
段GH的长为（ ）A． 厘米 B．5 厘米 C．3 厘米 D．10 厘米
【解答】解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴AG＝BG，BH＝CH，
∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，
∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，
连接OA，OB交AC于N，
则OB⊥AC，∠AOB＝60°，
∵OA＝15cm，
∴AN＝ OA＝ （cm），
∴AC＝2AN＝15 （cm），
∴GH＝ AC＝5 （cm），
故选：B．
【即学即练4】
4．如图， O的周长等于4 cm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（ ）
⊙ π
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，∵ O的周长等于4 cm，
⊙ π
∴ O的半径为： ＝2，
∵ABCDEF是 O的内接正六边形，
⊙
∴OA＝OB＝AB＝2，
⊙
∵OG⊥AB，
∴AG＝BG＝ AB＝1，
∴OG＝ ，
∴S△AOB ＝ AB•OG
＝ 2×
＝ ．
∴它的内接正六边形ABCDEF的面积是6S△AOB ＝6 （cm2）．
故选：C．
【即学即练5】
5．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若点A的坐标为（﹣2，0），
则点F的坐标为 （﹣ 1 ， ） ．
【解答】解：连接OE，OF．
∵∠EOF＝ ＝60°，OE＝OF，
∴△EOF是等边三角形，
∵正六边形ABCDEF，
∴OE＝OF＝OA＝2．
设EF交y轴于G，由正六边形是轴对称图形知，∠GOF＝30°．
在Rt△GOF中，∠GOF＝30°，OF＝2，
∴GF＝ OF＝1，OG＝ ＝ ．
∴F（﹣1， ）．
故答案为（﹣1， ）．
知识点02 正多边形的画法
1. 正多边形的画法：
利用等分圆的方法画等多边形。
题型考点：①根据要求作图。
【即学即练1】
6．在图中，试分别按要求画出圆O的内接正多边形．
【解答】解：如图所示：
知识点03 扇形的弧长1. 扇形弧长的定义：
扇形的弧长就是扇形两条 半径 间 圆弧 的长度。
2. 扇形弧长的计算公式：
在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧的长度为 。
题型考点：①弧长的计算。
【即学即练1】
7．如图，AB 是 O 的直径，C 是 O 上一点，连接 AC，OC，若 AB＝6，∠A＝30°，则 的长为
（ ）
⊙ ⊙
A．6 B．2 C． D．
【解答】解：∵直径AB＝6，
π π π π
∴半径OB＝3，
∵圆周角∠A＝30°，
∴圆心角∠BOC＝2∠A＝60°，
∴ 的长是 ＝ ，
故选：D．
π
【即学即练2】
8．如图，扇形OAB中，OB＝3，∠AOB＝100°，点C在OB上，连接AC，点O关于AC的对称点D刚好
落在 上，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连接OD，
∵点D是点O关于AC的对称点，
∴AD＝OA，
∵OA＝OD，∴OA＝OD＝AD，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∴∠BOD＝100°﹣60°＝40°，
∴ 的长＝ ＝ ，
故选：B．
π
知识点04 扇形的面积
1. 扇形的面积计算公式：
方法1：已知扇形的圆心角为n°，半径为r，则扇形的面积为： 。
方法2：已知扇形的半径为r，弧长为l，则扇形的面积公式为： 。
题型考点：①扇形面积的计算。②面积公式的应用。
【即学即练1】
9．已知一个扇形的半径为6cm，圆心角为150°，则这个扇形的面积为 1 5 cm2．
【解答】解：根据扇形的面积公式，得
π
S扇 ＝ ＝15 （cm2）．
故答案为：15 ．
π
【即学即练2】
π
10．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．则半径为 2的“等边扇形”的面
积为 2 ．
【解答】解：∵S＝ lr，∴S＝ ×2×2＝2，
故答案为2．
【即学即练3】
11．如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC于点E，若∠A＝60°，
∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为 ．【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝100°，
∴∠C＝20°，
又∵D为BC的中点，
∴BD＝DC＝ BC＝2，
∵DE＝DB，
∴DE＝DC＝2，
∴∠DEC＝∠C＝20°，
∴∠BDE＝40°，
∴扇形BDE的面积＝ ，
故答案为： ．
【即学即练4】
12．扇形的弧长为20 cm，面积为240 cm2，则扇形的半径为 2 4 cm．
π π
【解答】解：∵S扇形 ＝ lr
∴240 ＝ •20 •r
∴r＝24 （cm）
π π
题型01 正多边形与圆的相关计算
【典例1】
如图， O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为ED上的一点，则∠APC的度数为 72 ° ．
⊙
【解答】解：如图，连接OA，OC，∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOC＝ ×2＝144°，
∴∠APC＝ ∠AOC＝72°，
故答案为：72°．
【典例2】
如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则
∠FDC的度数是（ ）
A．18° B．30° C．36° D．40°
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AED＝∠EAB＝∠ABC＝108°，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°，
∴∠EAC＝72°，
∴∠AED+∠EAC＝180°，
∴DE∥AF，
∵AE＝AF＝DE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴∠EDF＝∠EAF＝72°，
∵∠EDC＝108°，
∴∠FDC＝36°，
故选：C．
【典例3】
如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则△ACE的周长为 6 ．【解答】解：作BG⊥AC，垂足为G．如图所示：
则AC＝2AG，
∵AB＝BC，
∴AG＝CG，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC＝120°，AB＝BC＝2，
∴∠BAC＝30°，
∴AG＝AB•cos30°＝2× ＝ ，
∴AC＝2× ＝2 ，
∴△ACE的周长为3×2 ＝6 ．
故答案为6 ．
【典例4】
如图，正六边形内接于 O中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为 4 ﹣ 6 ．
⊙ π
【解答】解：已知圆的半径为2，则面积为4 ，空白正六边形为六个边长为2的正三角形，每个三角形
面积为 ，则正六边形面积为6 ，所以阴π影面积为4 ﹣6
π
题型02 扇形的弧长计算
【典例1】若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为 3 ．
π
【解答】解：该扇形的弧长＝ ＝3 ．
故答案为：3 ．
π
【典例2】
π
如图所示的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若 与 所在圆的圆心都为点O，则 与
的长度之比为 ： 1 ．
【解答】解：由勾股定理得，OC＝OD＝ ＝2 ，
则OC2+OD2＝CD2，
∴∠COD＝90°，
∴ 与 的长度之比＝ ： ＝ ：1，
故答案为： ：1．
【典例3】
如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点 A
位置变化为A→A →A ，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成 30°角，则点A翻滚
1 2
到A 位置时共走过的路径长为（ ）
2
A．10cm B．4 cm C． D．
【解答】解：点A以B为旋转中心，以∠ABA 为旋转角，顺时针旋转得到A ；A 是由A 以C为旋转中
π 1 1 2 1
心，以∠A CA 为旋转角，顺时针旋转得到，
1 2∵∠ABA ＝90°，∠A CA ＝60°，AB＝ ＝5cm，CA ＝3cm，
1 1 2 1
∴点A翻滚到A 位置时共走过的路径长＝ + ＝ （cm）．
2
故选：C．
π
【典例4】
一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水
平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC＝40cm，那么该小朋友将圆盘从A
点滚动到D点其圆心所经过的路线长为 （ ） cm．
【解答】解：A点滚动到D点其圆心所经过的路线＝（60+40+40）﹣ +
＝ （cm）．
故答案为：（ ）．
题型03 阴影部分的面积计算
【典例1】
如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB＝2，AD＝4，则阴
影部分的面积为（ ）
A． ﹣ B． ﹣2 C． ﹣4 D． ﹣2
【解答】解：连接CE，
π π π π
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，
Rt△EDC中，∵CE＝CB＝4，CD＝2，
∴ED＝ ＝2 ，∠CED＝30°，
∴∠ECD＝60°，
S阴影 ＝ ﹣ ＝ ﹣2 ．
故选：D．
【典例2】
如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E．则图中阴影部分的面积为（
）
A．8﹣ B．4+ C．6﹣ D．3+
【解答】解：∵正方形ABCD边长为4，
π π π π
∴AB＝BC＝CD＝DA＝4，
∴阴影部分的面积是： ×42﹣ [ ﹣ ×42]＝6﹣ ，
故选：C．
π
【典例3】
如图，以矩形ABCD的对角线AC为直径画圆，点D、B在该圆上，再以点A为圆心，AB的长为半径画弧，
交AC于点E．若AC＝2，∠BAC＝30°．则图中影部分的面积和为 ﹣ （结果保留根号和
）．
π
π
【解答】解：设AC的中点为O，连接OB，
∵AC＝2，
∴OA＝OC＝OB＝1，∴S△AOB ＝ × ＝ ，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∴S△BOC ＝ ＝ ，
∵四边形ABCD是矩形，∠BAC＝30°．AC＝2，
∴∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，
∴AD＝ AC＝1，CD＝ AC＝ ，
∴S△ADC ＝ ＝ ，
∵S阴 ＝S半圆 ﹣S△ADC +S△AOB +S扇形BOC ﹣S扇形ABE ＝ ﹣ + + ﹣ ＝ ﹣ +
π π
+ ﹣ ＝ ﹣ ．
π
故答案为： ﹣ ．
【典例4】
π
如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心、2为半径的 A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，
⊙
点P是 A上的一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是 4 （结果保留 ）．
⊙ π
【解答】解：连接AD，则AD⊥BC；
△ABC中，BC＝4，AD＝2；
∴S△ABC ＝ BC•AD＝4．
∵∠EAF＝2∠EPF＝80°，AE＝AF＝2；
∴S扇形EAF ＝ ＝ ；
∴S阴影 ＝S△ABC ﹣S扇形EAF ＝4﹣ ．1．若 O的内接正n边形的边长与 O的半径相等，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
⊙ ⊙
【解答】解：∵ O的半径与这个正n边形的边长相等，
∴这个多边形的中心角＝60°，
⊙
∴ ＝60°，
∴n＝6，
故选：C．
2．已知圆内接正六边形的半径为2，则该内接正六边形的边心距为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：连接OA，作OM⊥AB，则∠AOM＝30°，OA＝2，∴AM＝1，
根据勾股定理可得 ，
∴正六边形的边心距是 ．
故选：C．
3．如图，AB是 O的直径，C是 O上一点，AC＝4，BC＝3，CD平分∠ACB交 O于点D，则劣弧AD
的长为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A． B． C．2 D．
【解答】解：连接OD，
π π π π
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°
⊙
在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，
由勾股定理得AB＝5，
∴AO＝2.5，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝ ∠ACB＝45°，
由圆周角定理得∠AOD＝2∠ACD＝90°，
∴劣弧AD的长为 ＝ ．
故选：A．
π4．道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线
的长为（单位：m）（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：图中的管道中心线 的长为 ＝ （m），
故选：B．
5．如图，将一个圆分成甲、乙、丙三个扇形，其圆心角度数之比为2：3：4．若圆的半径为3，则扇形乙
的面积为（ ）
A． B． C．3 D．4
【解答】解：∵甲、乙、丙三个扇形的圆心角的度数之比为2：3：4，
π π
∴扇形乙的圆心角360°× ＝120°，
∴扇形乙的面积＝ ＝3 ，
故选：C．
π
6．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经
过的路径为BD，则图中阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
【解答】解：∵AB＝5，AC＝3，BC＝4，
∴△ABC为直角三角形，
由题意得，△AED的面积＝△ABC的面积，
由图形可知，阴影部分的面积＝△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积，
∴阴影部分的面积＝扇形ADB的面积＝ ＝ ，
故选：D．
7．如图，在边长为 的正八边形ABCDEFGH中，已知I，J，K，L分别是边AH，BC，DE，FG上的动
点，且满足IA＝JC＝KE＝LG，则四边形IJKL面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连接ⅠK，JL，
∵正八边形，IA＝JC＝KE＝LG，
∴IJ＝JK＝KL＝LI，IK＝JL，
∴四边形IJKL为正方形，
∴四边形IJKL的面积为IJ2，
当IJ最大时，四边形IJKL的面积最大，
∴IJ＝AC即为正八边形的对角线时，四边形IJKG的面积最大，如图，连接AE，CG交于点O，连接OB，交AC于点M，
则△AOC为等腰直角三角形，O为正八边形的中心，
∴OC＝OB＝OA，OB垂直平分AC，
∴ ，
设OM＝AM＝x，
则 ，
∴ ，
在Rt△AMB 中，AB2＝BM2+AM2，
即 ，
解得： （负值不合题意，舍去），
∴ ，
∴四边形IJKL的最大面积为 ，
故选：A．
8．如图，在半径为6cm的 O中，点A是劣弧 的中点，点D是优弧 上一点，且∠D＝30°，下列四个
结论：①OA⊥BC；②⊙BC＝3 cm；③扇形OCAB的面积为12 ；④四边形ABOC是菱形．其中正
确结论的序号是（ ）
π
A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
【解答】解：∵点A是劣弧 的中点，
∴OA⊥BC，所以①正确；
∵∠AOC＝2∠D＝60°，OA＝OC，
∴△OAC为等边三角形，∴BC＝2×6× ＝6 ，所以②错误；
同理可得△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴扇形OCAB的面积为 ＝12 ，所以③正确；
∵AB＝AC＝OA＝OC＝OB，
π
∴四边形ABOC是菱形，所以④正确．
故选：D．
9．如图，在等边三角形ABC中，D为BC的中点， 交AC于点E，若AB＝2，则 的长为 ．
【解答】解：如图，取AB的中点O，连接OE，OD．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
∵OA＝OE＝OB＝OD，
∴△AOE，△BOD都是等边三角形，
∴∠AOE＝∠BOD＝60°，
∴∠DOE＝180°﹣2×60°＝60°，
∴ 的长＝ ＝ ，
故答案为： ．
10．如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，连接BC，CD，AC，BD，BC＝CD，∠ACD＝30°，AB
＝12，则图中阴影部分的面积为 ．【解答】解：连接OD，OC，OC交BD于点E，过点O作OF⊥CD于点F，则：OD＝OC＝OB；
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝30°，AB＝12，
∴ ，
∵BC＝CD， 为半圆，
∴ ，
∵OD＝OC＝OB，
∴ ，△COD为等边三角形，
∴OE⊥BD，BD＝2BE， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴S阴影 ＝S扇形OCB +S△OCD ﹣S△OBD
＝
＝6 ．
故答案为：6 ．
π
11．如图，正五边形ABCDE的边长为4，以AB为边作等边△ABF，则图中阴影部分的面积为 ．
π
【解答】解：在正五边形ABCDE中， ，∵△ABF是等边三角形，
∴∠FAB＝60°，
∴∠EAF＝48°，
∴ ，
故答案为： ．
12．以正五边形ABCDE的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形 A'B'CD'E'的顶点D'落在
直线BC上，则正五边形ABCDE旋转的度数至少为 °．
【解答】解：∵正五边形的每一个外角都是72°，
∴将正五边形 ABCDE 的 C 点固定，并依顺时针方向旋转，则旋转 72°，可使得新五边形
A′B′CD′E′的顶点D′第一次落在直线BC上，
∴正五边形ABCDE旋转的度数至少为72°，
故答案为：72．
13．如图，AB是 O的直径，AB＝6，AC是 O的弦，∠BAC＝30°，延长AB到D，连接CD，AC＝
CD．
⊙ ⊙
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）以BC为边的圆内接正多边形的周长等于 ．
⊙
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵AC＝CCD，
∴∠OAC＝∠ODC＝30°，
∴∠OCD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
即OC⊥CD，又∵OC是半径，
∴CD是 O的切线；
（2）解：∵∠BOC＝60°，
⊙
∴以BC为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，
∴BC＝ AB＝3，
∴以BC为边的圆内接正六边形的周长为3×6＝18．
故答案为：18．
14．如图，在 O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）求证：四边形ADOE是正方形；
⊙
（2）若AB＝4cm，求劣弧 的长．
【解答】（1）证明：∵AC⊥AB，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴四边形ADOE是矩形， ， ，
又∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∴四边形ADOE是正方形．
（2）解：如图，连接OA，OB，∵四边形ADOE是正方形，
∴ cm，
在Rt△OAE中，由勾股定理可得： cm，
∴OA＝OB＝2cm．
由（1）得四边形ADOE是正方形，
则∠AOD＝∠BOD＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴ ．
15．如图，在正方形ABCD中有一点P，连接AP、BP，旋转△APB到△CEB的位置．
（1）若正方形的边长是8，PB＝4．求阴影部分面积；
（2）若PB＝4，PA＝7，∠APB＝135°，求PC的长．
【解答】解：（1）∵把△APB旋转到△CEB的位置，
∴△APB≌△CEB，
∴BP＝BE，∠ABP＝∠EBC，
以B为圆心，BP画弧交AB于F点，如图，
∴扇形BFP的面积＝扇形BEQ，
∴图形ECQ的面积＝图形AFP的面积，
∴S阴影部分 ＝S扇形BAC ﹣S扇形PBE ＝ ﹣
＝12 ；
π
（2）连PE，
∴△APB≌△CEB，
∴BP＝BE＝4，∠ABP＝∠EBC，PA＝EC＝7，∠BEC＝∠APB＝135°，
∴△PBE为等腰直角三角形，
∴∠BEP＝45°，PE＝4 ，
∴∠PEC＝135°﹣45°＝90°，∴PC＝ ＝ ＝9．
