文档内容
【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题6.9实数的材料阅读型问题（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压
轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己
的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共24小题）
1．（2022秋•成县期中）（1）填写如表，观察被开方数a的小数点与算术平方根√a的小数点的移动规律：
a 0.0036 0.36 36 3600
√a 0.0 6 0. 6 6 6 0
（2）根据你发现的规律填空：
①已知：√7.7=2.775，√77=8.775．则√7700= 87.7 5 ，√0.00077= 0.0277 5 ；
②已知：√29=5.385，若√x=53.85．则x＝ 290 0 ．
（3）将你发现的规律用文字语言表述出来．
【分析】（1）根据算术平方根的定义求出每一个数的算术平方根进行解答；
（2）①根据（1）中的规律对小数点移动进行求解即可；
②53.85是5.385的小数点向右移动1位，则被开方数29的小数点向右移动2位；
（3）根据（1）中的规律对小数点移动进行解答即可．
【解答】解：（1）如下表：
故答案为：0.06，0.6，6，60；
（2）①由表格可知，被开方数a 的小数点向右（或向左）每移动两位时，√a的小数点向右（或向
左）移动1位，
∵√7.7=2.775，√77=8.775，
∴√7700=87.75，√0.00077=0.02775；
故答案为：87.75，0.02775；
②∵√29=5.385，√x=53.85，
∴x＝2900，故答案为：2900；
（3）规律是：被开方数a 的小数点向右（或向左）每移动两位时，√a的小数点向右（或向左）移动1
位．
2．（2022秋•西安月考）（1）观察：√0.07≈0.2646，则√7≈2.646，√700≈26.46…发现规律：被开方数
的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向 右 移动 1 位；
（2）应用：已知√0.03≈0.1732，√3≈ 1.73 2 ，√300≈ 17.3 2 ；
（3）拓展：已知√6≈2.449，√60≈7.746，计算√240和√0.54的值．
【分析】（1）观察规律即可得出答案；
（2）根据（1）中的规律进行计算即可得出答案；
（3）由√240=√4×60=√4×√60代入计算即可得出答案，由√0.54=√9×0.06=√9×√0.06根据
（1）中的规律代入计算即可得答案．
【解答】解：（1）观察：√0.07≈0.2646，则√7≈2.646，√700≈26.46…发现规律：被开方数的小数点
每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动1位；
故答案为：右，1；
（2）应用：已知√0.03≈0.1732，√3≈1.732，√300≈17.32；
故答案为：1.732，17.32；
（3）√240=√4×60=√4×√60≈2×7.746≈15.492，
√0.54=√9×0.06=√9×√0.06≈3×0.2449≈0.7347．
3．（2022秋•宝丰县期中）观察以下等式：观察下列等式：
√1 1 1
第1个等式： − = ，
2 4 2
√1 1 √2
第2个等式： − = ，
3 9 3
√1 1 √3
第3个等式： − = ，
4 16 4
…
按照以上规律，解决下列问题：
√1 1 √6
（1）写出第6个等式： − = ；
7 72 7
√ 1 1 √n
（2）写出你猜想的第n个等式： − = 用含n的式子表示，并证明这个结论？
n+1 (n+1) 2 n+1【分析】（1）根据材料中的规律可得结论；
（2）分析所给的等式，不难得出第n个等式的形式，再把等式左右两边进行整理即可证明其正确性．
√1 1 √6
【解答】解：（1）写出第6个等式： − = ；
7 72 7
√6
故答案为： ；
7
√ 1 1 √n
（2）写出你猜想的第n个等式： − = ，
n+1 (n+1) 2 n+1
√ n+1 1
证明：左边= −
(n+1) 2 (n+1) 2
√n+1−1
=
(n+1) 2
√n
= =右边，
n+1
√ 1 1 √n
∴ − = ．
n+1 (n+1) 2 n+1
√ 1 1 √n
故答案为： − = ．
n+1 (n+1) 2 n+1
4．（2022春•桐城市期末）【观察】请你观察下列式子．
第1个等式：√1=1．
第2个等式：√1+3=2．
第3个等式：√1+3+5=3．
第4个等式：√1+3+5+7=4．
第5个等式：√1+3+5+7+9=5．
【发现】根据你的阅读回答下列问题：
（1）写出第7个等式 √1+3+5+7+9+11+13= 7 ．
（2）请根据上面式子的规律填空：√1+3+5+⋯+(2n+1)= n + 1 ．
（3）利用（2）中结论计算：√4+12+20+28+⋅⋅⋅+44+52．
【分析】（1）根据规律直接写出式子即可；（2）因为√1+3+5+⋯+(2n+1)是第n+1个式子，所以根据规律可知，√1+3+5+⋯+(2n+1)=
n+1；
（3）利用（2）中的结论可知：√4+12+20+28+⋯+44+52=√4(1+3+5+7+9+11+13)，然后利
用规律得出结果即可．
【解答】解：（1）根据材料可知，第七个式子的被开方数为1+3+5+7+9+11+13，
∴第7个等式为：√1+3+5+7+9+11+13=7．
故答案为：√1+3+5+7+9+11+13=7；
(2n+1)+1
（2）根据材料中给出的规律可知：√1+3+5+⋯+(2n+1)= =n+1．
2
故答案为：n+1；
（ 3 ） 根 据 （ 2 ） 中 的 规 律 可 知 ，
1+13
√4+12+20+28+⋯+44+52=√4(1+3+5+7+9+11+13)=√4× =14．
2
5．（2022春•椒江区期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积
的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1 这三个数，
√(−9)×(−4)=6，√(−9)×(−1)=3，√(−4)×(−1)=2，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣
4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．
（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．
【分析】（1）对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三
个数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断；
（2）分两种情况讨论：①当√−3m=12时，②当√−12m=12时，分别计算即可．
【解答】解：（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”，理由如下：
∵√(−18)×(−8)=12，√(−18)×(−2)=6，√(−8)×(−2)=4，
∴﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”；
（2）∵√(−3)×(−12)=6，
∴分两种情况讨论：
①当√−3m=12时，﹣3m＝144，
∴m＝﹣48；
②当√−12m=12时，﹣12m＝144，∴m＝﹣12（不符合题意，舍）；
综上，m的值是﹣48．
6．（2022春•大兴区期中）观察下列各式：
√ 1 2
n＝1时，有式①： 1+ = √3；
3 3
√ 1 3 3
n＝2时，有式②： 2+ = √4= ；
4 4 2
（1）类比上述式①、式②，将下列等式补充完整：
√ 1 4 √ 1 5
3+ = √5 ； (ㅤㅤ)+ = √6；
5 5 (ㅤㅤ) 6
√ 1 n+1
（2）请用含n（n为正整数）的等式表示以上各式的运算规律： n+ = √n+2 ．
n+2 n+2
【分析】（1）类比①，②可得；
（2）利用以上反映的数字的规律即可得出．
【解答】解：（1）类比上述式①、式②，可得：
√ 1 4 √ 1 5
3+ = √5， 4+ = √6；
5 5 6 6
4
故答案为： √5；4；6；
5
√ 1 n+1
（2）用含n（n为正整数）的等式表示以上各式的运算规律为： n+ = √n+2．
n+2 n+2
√ 1 n+1
故答案为： n+ = √n+2．
n+2 n+2
7．（2021秋•通川区校级期中）先计算下列各式：
√1=1，√1+3=2，√1+3+5= 3 ，√1+3+5+7= 4 ，√1+3+5+7+9= 5 ．
（1）通过观察并归纳，请写出√1+3+5+⋯+(2n−1)= n ．
（2）利用（1）中结论计算：√2+6+10+14+⋯+102+106．
【分析】（1）根据特殊到一般的数学思想解决此题．
（2）根据特殊到一般的数学思想、算术平方根解决此题．
【 解 答 】 解 ： √1=1 ， √1+3=√4=2 ， √1+3+5=√9=3 ， √1+3+5+7=√16=4 ，
√1+3+5+7+9=√25=5．
故答案为：3，4，5．（1）√1+3+5+⋯+(2n−1)=√n2=n．
故答案为：n．
（2）√2+6+10+14+⋯+102+106=√2×(1+3+5+⋯+51+53)=27√2．
8．（2021春•利辛县月考）一组实数按如图规律排列．
根据这个规律解答以下问题：
（1）直接写出第4行第1列所表示的实数是 √22 ；
（2）实数√2021排在第几行第几列？并说明理由．
【分析】（1）根据各个数的排列规律可得答案；
（2）2021除以7商就是所在的行，余数就是所在的列．
【解答】解：（1）这组数据的排列规律为：
√1，√2，√3，√4，√5，√6，√7，
√8，√9，√10，√11，√12，√13，√14
√15，√16，√17，√18，√19，√20，√21，
……
∴第4行第4列所表示的数为√1+7×(4−1)=√22，
故答案为：√22；
（2）由于2021÷7＝288……5，
∴√2021排在第288行第5列．
9．（2021秋•秦都区校级月考）现有一组有规律的数：1，﹣1，√2，−√2，√3，−√3，1，﹣1，√2，
−√2，√3，−√3，…，其中1，﹣1，√2，−√2，√3，−√3这六个数按此规律重复出现．
（1）求第15个数和第16个数的和；
（2）从第1个数起，把连续若干个数的平方相加起来，如果和为360，那么一共是多少个数的平方相加？
【分析】（1）根据题意给出的规律即可求出答案．
（2）由已知数据可知这些数每6个数一个循环，根据规律即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：第15个数和第16个数分别是√2和−√2，√2+(−√2)=0，所以第15个数和第16个数的和是0．
（2）这列数每6个数一个循环：1，﹣1，√2，−√2，√3，−√3，
因为12+(−1) 2+(√2) 2+(−√2) 2+(√3) 2+(−√3) 2=12，
360÷12＝30，30×6＝180，
所以一共是180个数的平方相加．
10．观察分析下列数据，寻找规律：
0，√3，√6，3，2√3，√15，…．
（1）这组数据第10个数是什么？
（2）你发现了什么规律？写出这组数据的第n个数．
（3）求这组数据的第19个数与第55个数的积．
【分析】（1）这组数据的被开方数，可以看成一组连续的自然数分别与3相乘．第10个数的被开方数
是3与（10﹣1）的乘积；
（2）被开方数0、3、6、9、12、15中，后一个数比前一个数大3，到第n的式子的被开方数是3的n﹣
1倍；
（3）先得这组数据的第19个数与第55个数，再求积即可．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 因 为 0=√3×0， √3=√3×1， √6=√3×2， 3=√3×3， 2√3=√3×4，
√15=√3×5，…，
所以这组数据第10个数是√3×(10−1)=3√3．
（2）规律为：这组数据的被开方数依次增加3，可知这组数据的第n个数为√3(n−1)．
（3）因为这组数据的第19个数为√3×18=3√6，第55个数为√3×54=9√2，
所以这组数据的第19个数与第55个数的积为3√6×9√2=54√3．
1
11．（2022春•庐江县期中）我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记m = ，n=√b（a＞
√a
0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的对“对称数对”．例如：（4，1）的一对“对
1 1
称数对”为（ ，1）与（1， ）．
2 2
1 1
（1）数对（25，4）的一对“对称数对”是 （ ， 2 ） 和 （ 2 ， ） ；
5 5
（2）若数对（x，2）的一对“对称数对”的一个数对是（√2，1），求x的值；
（3）若数对（a，b）的一对“对称数对”的一个数对是（√3，3√3），求ab的值．
【分析】（1）根据新定义即可得出结论；1
（2）根据新定义，列等式 = 1，解方程进而得出结论；
√x
（4）根据新定义，列方程组，解出进而得出结论．
1 1
【解答】解：（1）∵ = ，√4=2，
√25 5
1 1
∴数对（25，3）的一对“一对称数对”是（ ，2）与（2， ），
5 5
1 1
故答案为：（ ，2）与（2， ）；
5 5
（2）∵数对（x，2）的一个“一对称数对”是（√2，1），
1
∴ = 1，
√x
∴x＝1；
（3）∵数对（a，b）的一个“一对称数对”是（√3，3√3），
{ 1 { 1
=√3 =3√3
∴ √a 或 √a ，
√b=3√3 √b=√3
{ 1 { 1
a= a=
解得 3 或 27，
b=27 b=3
1
∴ab＝9或 ．
9
12．（2022春•延津县期末）如图所示的是一个数值转换器．
（1）当输入的x值为9时，输出的y值为 √3 ；当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出
的y值为√5时，输入的x值为 2 5 ．
（2）嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x值应为非负数．但是当他输入x值后，却
始终输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？
【分析】（1）根据程序计算即可；
（2）根据0和1的算术平方根是其本身可得答案．【解答】解：（1）√9=3，3的算术平方根是√3，（√5）2＝5，52＝25．
故答案为：√3，25；
（2）当x＝0或1时，始终输不出y值．
∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1．这两个数无论取几次算术平方根，一定是有理数，
∴他输入的x值是0或1．
13．（2022春•景县期中）如图为一个数值转换器．
（1）当输入的x值为4时，输出的y值为 √2 ；当输入的x值为16时，输出的y值为 √2 ；
（2）输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为√3，求输入的x值；
（3）嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x为非负数．但是当他输入x值后，却始终
输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？
【分析】（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据两次取算术平方根运算，输出的y值为√3，返回运算两次平方可得x的值；
（3）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论．
【解答】解：（1）当x＝4时，√4=2，则y=√2；
当x＝16时，√16=4，√4=2，则y=√2；
故答案为：√2，√2；
（2）当y=√3时，（√3）2＝3，32＝9，则x＝9；
（3）当x＝0，1时，始终输不出y值，
∵0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数，
∴他输入的x值是0或1．
14．（2022春•潍坊期中）（1）观察各式：√0.03≈0.1732，√3≈1.732，√300≈17.32…
发现规律：被开方数的小数点每向右移动 2 位，其算术平方根的小数点向 右 移动 1 位；
（2）应用：已知√5≈2.236，则√0.05≈ 0.223 6 ，√500≈ 22.3 6 ；
（3）拓展：已知√6≈2.449，√60≈7.746，计算√240和√0.54的值．
【分析】（1）观察规律即可得出答案；
（2）根据（1）中的规律进行计算即可得出答案；
（3）由√240=√4×60=√4×√60代入计算即可得出答案，由√0.54=√9×0.06=√9×√0.06根据
（1）中的规律代入计算即可得答案．【解答】解：（1）观察各式：√0.03≈0.1732，√3≈1.732，√300≈17.32…
发现规律：被开方数的小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位；
故答案为：2，右，1；
（2）应用：已知√5≈2.236，则√0.05≈0.2236，√500≈22.36；
故答案为：0.2236，22.36；
（3）√240=√4×60=√4×√60≈2×7.746≈15.492，
√0.54=√9×0.06=√9×√0.06≈3×0.2449≈0.7347．
15．（2022春•海淀区校级期中）一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为81时，输出的y值是 √3 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值；
（3）若输出的y是√2，请写出两个满足要求的x值．
【分析】（1）根据算术平方根，即可解答；
（2）根据0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，所以始终输不出y值；
（3）2和4都可以．
【解答】解：（1）第一次，81的算术平方根是√81=9，9是有理数，不能输出；
第二次，9的算术平方根是3，3是有理数不能输出；
第三次，3的算术平方根是√3，是无理数，输出√3，
故答案为：√3；
（2）0和1满足要求．理由如下：
0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，当x＝0和1时，始终输不出y的值；
（3）∵4的算术平方根是2，2的算术平方根是√2．
∴两个满足要求的x值为4和2．
16．（2021春•南通期中）一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为9时，输出的y值是 √3 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
（3）若输出的y是√7，请写出两个满足要求的x值： 7 或 4 9 ．【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算即可；
（2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案；
（3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案．
【解答】解：（1）当x＝9时，9的算术平方根为√9=3，而3是有理数，3的算术平方根为√3，
故答案为：√3；
（2）0或1，因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，无论进行多少次运算都不可能是无理数；
（3）若1次运算就是无理数，则输入的数为7，
若2次运算输出的数是无理数，则输入的数是49，
故答案为：7或49．
17．（2022春•枞阳县校级月考）观察下列一组等式：
√ 1 √1
第①个等式： 1− = ；
2 2
√ 2 √2
第②个等式： 2− =2 ；
5 5
√ 3 √ 3
第③个等式： 3− =3 ；
10 10
√ 4 √ 4
第④个等式： 4− =4 ．
17 17
根据你观察到的规律，完成以下问题：
√ 5 √ 5
（1）第⑤个等式为 5− =5 ；
26 26
√ n √ n
（2）用n的式子表示第ⓝ个等式为 n− =n ；
n2+1 n2+1
√ a √a
（3）若等式 a− =a 是符合上面规律的等式，27是a（b﹣1）的一个平方根，求a的值．
b b
【分析】（1）根据题目中给出的式子，可以写出第⑤个等式；
（2）根据题目中式子的特点，可以写出第n个等式．
（3）根据（2）中的规律解答即可．
√ 1 √1
【解答】解：（1）∵第①个 1− = ；
2 2
√ 2 √2
第②个 2− =2 ；
5 5√ 3 √ 3
第③个 3− =3 ；
10 10
√ 4 √ 4
第④个 4− =4 ；
17 17
√ 5 √ 5
∴第⑤个等式为： 5− =5 ，
26 26
√ 5 √ 5
故答案为： 5− =5 ；
26 26
√ 1 √1
（2））∵第①个 1− = ；
2 2
√ 2 √2
第②个 2− =2 ；
5 5
√ 3 √ 3
第③个 3− =3 ；
10 10
√ 4 √ 4
第④个 4− =4 ；
17 17
…
√ n √ n
∴第n个等式为： n− =n ；
n2+1 n2+1
√ n √ n
故答案为： n− =n ；
n2+1 n2+1
（3）由（2）可知b＝a2+1，
∴a（b﹣1）＝a3＝272＝729＝93，
∴a＝9．
18．（2021春•宁乡市期末）王老师给同学们布置了这样一道习题：
一个正数的算术平方根为m+2，它的平方根为±（3m+2），求这个正数．
小达的解法如下：依题意可知：m+2＝3m+2，解得：m＝0，则：m+2＝2，所以这个正数为4．
王老师看后说，小达的解法不完整，请同学们给出这道习题完整的解法．
【分析】m+2是3m+2，﹣（3m+2）两数中的一个，应该分两种情况分别计算．
【解答】解：依题意可知：m+2是3m+2，﹣（3m+2）两数中的一个，
①当m+2＝3m+2时，
解得：m＝0，则：m+2＝2，所以这个正数为4；
②当m+2＝﹣（3m+2），解得：m＝﹣1，则：m+2＝1，所以这个正数为1．
综上①②可知：这个数是4或1．
19．（2022春•云阳县校级月考）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义；对于三个互不相等的正整
数，若其中任意两个数项积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数
称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，√1×4=
2，√1×9=3，√4×9=6，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中
“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根“是6．
（1）2，8，50这三个数是“老根数”吗？若是，请求出任意两个数乘积的”最小算术平方根”与“最
大算术平方根”；
（2）已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，“最大算术平方
根”是“最小算术平方根”的2倍，求a的值．
【分析】（1）根据“老根数”“最小算术平方根”“最大算术平方根”的意义求解即可；
（2）分三种情况进行解答即可，即a＜16，16＜a＜36，a＞36，分别列方程求解即可．
【解答】解：（1）因为√2×8=4，√2×50=10，√8×50=20，
所以2，8，50这三个数是“老根数”；
其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是20；
（2）当a＜16时，则2√a×16=√16×36，
解得a＝9，
当16＜a＜36时，则2√16a=√36a，解得a＝0，不合题意舍去；
当a＞36时，则2√16×36=√36a，
解得a＝64，
综上所述，a＝9或a＝64．
20．（2022春•大兴区期中）根据下表回答下列问题：
x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18
x2 289 292.41 285.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324
（1）316.84的平方根是 ±17. 8 ；
（2）√299.3≈ 17. 3 ；
（3）√29241= 17 1 ．
（4）若√n介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n有 4 个；
（5）观察表格中的数据，请写出一条你发现的结论．
【分析】（1）利用平方根的意义解答即可；（2）利用表格数据和算术平方根的意义解答即可；
（3）利用表格数据和算术平方根的意义解答即可；
（4）利用表格数据和算术平方根的意义解答即可；
（5）写出一条符合题意的结论即可．
【解答】解：∵（±17.8）2＝316.84，
∴316.84的平方根是±17.8；
故答案为：±17.8；
（2）∵17.32≈299.3，
∴√299.3≈17.3．
故答案为：17.3；
（3）∵1712＝29241，
∴√29241=171．
故答案为：171；
（4）∵√309.7=17.6，√313.2=17.7，
又√n介于17.6与17.7之间，
∴n的可能值为310，311，312，313，
∴满足条件的整数n有4个．
故答案为：4；
（5）观察表格中的数据，发现的结论：当x＞0时，随着x的增大，x2也随着增大．（答案不唯一）．
21．（2022春•定远县期末）【初步感知】（1）直接写出计算结果．
①√13= 1 ；
②√13+23= 3 ；
③√13+23+33= 6 ；
④√13+23+33+43= 1 0 ；…
【深入探究】观察下列等式．
(1+2)×2
①1+2= ；
2
(1+3)×3
②1+2+3= ；
2(1+4)×4
③1+2+3+4=
2
(1+5)×5
④1+2+3+4+5= ；
2
……
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容．
(1+2022)×2022
（2） 1+2+3+ … +202 2 = ；
2
(n+1)(n+2)
（3）1+2+3+⋯+n+（n+1）＝ ．
2
【拓展应用】计算：
（4）√13+23+33+⋯+993+1003；
（5）113+123+133+⋯+193+203．
【分析】（1）直接计算即可；
（2）根据前4个式子的规律填空即可；
(n+1)(n+2)
（3）根据规律可得1+2+3+⋯+n+（n+1）= ；
2
（4）根据（1）的计算可得原式＝1+2+3+…+100；
（5）根据规律可得原式＝（13+23+33+⋯+193+203）﹣（13+23+33+⋯+93+103），再根据规律计算即可．
【解答】解：（1）①√13=1；
②√13+23=3；
③√13+23+33=6；
④√13+23+33+43=10；
故答案为：1，3，6，10；
(1+2022)×2022
（2）由规律可得：1+2+3+…+2022= ，
2
故答案为：1+2+3+…+2022；
(n+1)(n+2)
（3）1+2+3+⋯+n+（n+1）＝）= ．
2(n+1)(n+2)
故答案为： ；
2
(100+1)×100
（4）原式＝1+2+3+…+100= =5050；
2
（5）原式＝（13+23+33+⋯+193+203）﹣（13+23+33+⋯+93+103）
＝（√13+23+⋯+203）2﹣（√13+23+⋯+103）2
＝（1+2+…+20）2﹣（1+2+…+10）2
21×20 11×10
＝（ ）2﹣（ ）2
2 2
＝2102﹣552
＝41075．
22．（2022春•曲阜市期中）探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
a … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
√a … 0.01 x 1 y 100 …
（1）表格中x＝ 0. 1 ；y＝ 1 0 ；
（2）从表格中探究a与√a数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知√10≈3.16，则√1000≈ 31. 6 ；
②已知√3.24=1.8，若√a=180，则a＝ 3240 0 ；
（3）拓展：已知√312≈2.289，若√3 z=0.2289，则z＝ 0.01 2 ．
【分析】根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案．
【解答】解：（1）x＝0.1，y＝10，故答案为：0.1，10；
（2）①√1000≈31.6，a＝32400，故答案为：31.6，32400；
（4）z＝0.012，故答案为：0.012．
23．（2021春•永吉县期中）根据下表回答下列问题：
x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17
x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289
（1）289的算术平方根是 1 7 ，√268.96= 16. 4 ；
（2）±√256= ±1 6 ，275.56的平方根是 ±16. 6 ；
（3）√1.5921= 1.6 1 ，√28224= 16 8 ；
（4）若√x=a（x＞0），则√100x= 1 0 a （用含a的式子表示）．
【分析】（1）根据图表和算术平方根的定义即可得出答案；（2）根据图表和平方根的定义即可得出答案；
（3）根据被开方数与算术平方根的关系可得答案；
（4）根据被开方数扩大100倍，算术平方根随之扩大10倍可得答案．
【解答】解：（1）由表中的数据可得，
289的算术平方根是17，√268.96=16.4，
故答案为：17，16.4；
（2）由表中的数据可得，
±√256=±16，275.56的平方根是±16.6，
故答案为：±16，±16.6；
（3）由表中的数据可得，
159.21的算术平方根是16.1，282.24的算术平方根是16.8，
∴√1.5921=1.61，√28224=168，
故答案为：1.61，168；
（4）由（3）可得被开方数扩大100倍，算术平方根随之扩大10倍，
若√x=a（x＞0），则√100x=10a（用含a的式子表示）．
故答案为：10a．
24．（2021秋•温州期中）观察下列一组算式的特征，并探索规律：
①√13=1=1；
②√13+23=1+2=3；
③√13+23+33=1+2+3=6；
④√13+23+33+43=1+2+3+4=10．
根据以上算式的规律，解答下列问题：
（1）13+23+33+43+53＝（ 1+2+3+4+ 5 ）2＝ 22 5 ；
n(n+1)
（2）√13+23+33+⋯+(n−1) 3+n3= ；（用含n的代数式表示）
2
（3）简便计算：113+123+133+…+193+203．
【分析】（1）根据代数式所呈现的规律可得答案；
（2）得出√13+23+33+⋯+(n−1) 3+n3=1+2+3+…（n﹣1）+n，再利用求和公式求出结果即可；（3）将原式化为（1）中的形式，利用简便方法求出结果即可．
【解答】解：（1）∵√13+23+33+43+53=1+2+3+4+5＝15，
∴13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝225，
故答案为：1+2+3+4+5，225；
（2）由（1）可得，
n(n+1)
√13+23+33+⋯+(n−1) 3+n3=1+2+3+…（n﹣1）+n= ，
2
n(n+1)
故答案为： ；
2
（3）由（2）得，
113+123+133+…+193+203
＝13+23+33+…+193+203﹣（13+23+33+…+93+103）
20×21 10×11
=( ) 2−( ) 2
2 2
＝44100﹣3025
＝41075．
