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专题6 二次根式易错题疑难题综合拓展题及2022中考真题集训（原卷
版）
类型一 易错题：教材易错易混题集训
易错点1 考虑问题不全面
√ 1
典例1（2021春•任城区期中）使代数式√x-3+ 有意义，则x的取值范围是（ ）
x+2
A．x＞﹣2 B．x≥3 C．x≥3且x≠﹣2 D．x≥﹣2
变式训练
√1+3x
1．（2019•易门县一模）代数式 有意义，则x应满足的条件是（ ）
x-3
1 1 1
A．x≠3 B．x≤- C．x≥- 且x≠3 D．x＞- 且x≠3
3 3 3
易错点2 运用 时，忽略a≥0
典例2（2022春•乐陵市期末）先阅读材料，然后回答问题．
小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简√5-2√6
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
√5-2√6=√2-2√2×3+3①
=√ (√2) 2-2√2×√3+(√3) 2②
=√ (√2-√3)
2③
=√2-√3④
在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
变式训练
1．化简：√3-2√2= ．
1 √ 1 1
2．对于题目：“化简并求值： + ( -a) 2，其中a= ”，甲、乙两人的解答不同．
a a 5
1 √ 1 1 1 2 49 1 √ 1 1 1 1
甲的解答是： + ( -a) 2= + -a= -a= ； 乙的解答是： + ( -a) 2= +a- =a= ．
a a a a a 5 a a a a 5
阅读后你认为谁的解答是错误的？为什么？易错点3 忽视二次根式的隐含条件
典例3阅读下列解答过程，判断是否正确．如果正确，请说明理由；如果不正确，请写出正确的解答过程．
√ 1
已知a为实数，化简√-a3-a - ．
a
√ 1 1
解：√-a3-a - =a√-a-a• √-a=a√-a-√-a=（a﹣1）√-a．
a a
变式训练
1．（2022秋•长安区期中）求代数式a 的值，其中a＝﹣2022．下面是小芳和小亮的解题过
+√a2-2a+1
程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题．
小芳：解：原式＝a a+1﹣a＝1
+√(a-1) 2=
小亮：解：原式＝a a+a﹣1＝﹣4045
+√(a-1) 2=
（1） 的解法是错误的；
（2）求代数式a+2 的值，其中a＝4 ．
√a2-6a+9 -√5
易错点4 忽视 成立的条件是a≥0，b≥0
典例4（2022春•广西月考）如果√x(x-1)=√x⋅√x-1成立，那么x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥0
C．0≤x≤1 D．x为任意实数
变式训练
1．（2021春•饶平县校级期中）如果 ，则x的取值范围是（ ）
√(x+1) 2 (x+2)=-(x+1)√x+2
A．x≥﹣1 B．x≥﹣2 C．x≤﹣1 D．﹣2≤x≤﹣1
易错点5 运用想当然的运算法则
典例5（2021秋•盐湖区校级期末）在计算√6×2√3-√24÷√3时，小明的解题过程如下：
√24
解：原式=2√6×3- ⋯⋯①=2√18-√8⋯⋯②=(2-1)√18-8⋯⋯③=√10⋯⋯④
3
（1）老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第 步开始出错的；（2）请你给出正确的解题过程．变式训练
1．（2022春•西湖区期末）小明计算√18-√2的解答过程如下：√18-√2=√18-2=√16=4．他的解答过
程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
易错点6 误用乘法公式
典例6 （2022秋•金水区校级期中）计算：下面是李明同学在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并
完成相应任务．
（√6+√5）2﹣（√6-√5）2
＝（√6）2+（√5）2﹣（√6）2+（√5）2……第一步
＝6+5﹣6+5……第二步
＝10……第三步
任务一：填空：以上步骤中，从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
任务二：请写出正确的计算过程；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学
提一条建议．
易错点7 运用运算律出现符号错误
典例7（2022秋•迎泽区校级月考）下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：
√5 1
-√20×(√5+ )
4 √5
√5 1
= -√20×√5+√20× ⋯⋯第一步
4 √5
¿ ¿
√5
= -10+2……第二步
2
√5
= -8……第三步
2
任务一：以上化简步骤中第一步中：标①的运算依据是 ；标②的运算依据是 （运算
律）．任务二：第 步开始出现错误，错误原因是 ，该式运算后的正确结果是 ．
变式训练
√4 1
1．（2022春•大同期末）下面是小明同学计算 - (√12-√75)的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
3 2
√4 1
解： - (√12-√75)
3 2
2√3 1
= - (2√3-5√3)⋯⋯第一步
3 2
2√3 1 1
= - ×2√3- ×5√3⋯⋯第二步
3 2 2
2√3 5√3
= -√3- ⋯⋯第三步
3 2
4√3 6√3 15√3
= - - ⋯⋯第四步
6 6 6
17√3
=- ⋯⋯第五步
6
任务一：小明同学的解答过程从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ．
任务二：请你写出正确的计算过程．
易错点8 滥用运算律
典例8（2021秋•迎泽区校级月考）下面是小倩同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：
√5 1
+√20÷(√5- )
4 √5
√5 1
= +√20÷(√5- )⋯第一步
√4 √5
√5 1
= +√20÷√5-√20÷ ⋯第二步
2 √5
√5
= +2-√20×√5⋯第三步
2
√5
= +2﹣10…第四步
2
√5
= -8…第五步
2
任务一：以上化简步骤中第一步化简的依据是 ．任务二：第 步开始出现错误，该式运算后的正确结果是 ．
类型二 疑难题：常考疑难问题突破
疑难点1 二次根式非负性的应用
1．已知实数a满足|2019﹣a|+√a-2019=a，求a﹣20192的值．疑难点2 整体思想在二次根式中的应用
a b
2．（2018春•禹州市期中）已知a=√3+1，b=√3-1，求√ab（ + -1）的值
b a
2
3．（1）已知x= ，求x2﹣2x+5的值；
√3-1
a √b
（2）若a＝2+√3，b＝2-√3，求 - 的值．
a-√ab √a+√b
疑难点3 判断求知问题
4．（2019春•西湖区校级期中）王老师为了解学生掌握二次根式知识的情况，出了这样一道题：“根据所
给条件求式子 的值．”粗心的黎明同学把式子看错了，他根据条件得到“
√45-x2+√35-x2
”．你能利用黎明同学所求的结论求出 的值吗？
√45-x2-√35-x2=2 √45-x2+√35-x2
类型三 综合拓展题：思维能力专项特训
专题1 二次根式性质的应用
1．（2022秋•宛城区校级月考）若√a+b+5+|2a﹣b+1|＝0，则（b﹣a）2022＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．52022 D．﹣52022
1
2．已知x、y为实数，且y=√3x-4+√4-3x+ ，求5x﹣3y的值．
2
3．（2022春•大连月考）已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简 的结果是（
|a-1|-√(a-2) 2
）
A．2a﹣3 B．﹣1 C．1 D．3﹣2a
4．当x为何值时，√2x+1+6有最小值，最小值为多少？
5．（2019秋•渠县校级期中）已知x、y、a满足：√x+ y-8+√8-x- y=√3x- y-a+√x-2y+a+3，求长度分别为x、y、a的三条线段组成的三角形的面积．专题2 二次根式大小比较
方法1 平方法
1．（2022•苏州模拟）比较大小√15+√5 √13+√7．
方法2 分子有理化法
2．认真阅读下列解答过程：
比较2-√3与√3-√2的大小．
2+√3 1
解：∵2-√3=（2-√3）• = ，
2+√3 2+√3
√3+√2 1
√3-√2=（√3-√2）• = ，
√3+√2 √3+√2
1 1
又2+√3＞√3+√2＞0，∴ ＜ ，
2+√3 √3+√2
即2-√3＜√3-√2．
请仿照上述方法比较√6-√5与√5-2的大小关系．
方法3 作商法
3．利用作商法比较大小
√a+1 √a+2
比较 与 的大小．
√a+2 √a+3
方法四 定义法
4．比较√5-a与√3 a-6的大小．
专题3 二次根式的运算
5．（2019秋•皇姑区校级月考）计算：
（1）2√3-3√12+5√27． （2）(2√48-3√27)÷√3．
√3
（3）(1+√3)(√2-√6)-(2√3-1) 2． （4）√12-( ) -1+√3(√3-1)-20180-|√3-2|．
3专题4 二次根式的求值
6．（2022秋•宁德期中）已知：x=√3+√2，y=√3-√2．
（1）填空：|x﹣y|＝ ；
（2）求代数式x2+y2﹣2xy的值．
7．（2020春•川汇区期末）计算题：
1 1
已知x+ =√5，求x- 的值．
x x
8．（2017 秋•昌江区校级期末）已知正数 m、n 满足 m+4√mn-2√m-4√n+4n＝3，求值：
√m+2√n-2
．
√m+2√n+2012
类型四 中考真题：精选2022中考真题过关
1．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则 1+|a﹣1|的化简结果是（ ）
√a2+
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
√1
2．（2022•安顺）估计（2√5+5√2）× 的值应在（ ）
5
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
3．（2022•湘西州）要使二次根式√3x-6有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≤2 D．x≥2
1
4．（2022•广州）代数式 有意义时，x应满足的条件为（ ）
√x+1
A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1
5．（2022•聊城）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v=√2as进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a＝5×105m/s2，s＝0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（
）
A．0.4×103m/s B．0.8×103m/s C．4×102m/s D．8×102m/s
6．（2022•绥化）若式子√x+1+x﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x≥﹣1且x≠0 D．x≤﹣1且x≠0
7．（2022•荆州）若3-√2的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+√2a）•b的值是 ．
8．（2022•随州）已知m为正整数，若√189m是整数，则根据√189m=√3×3×3×7m=3√3×7m可知
√300
m有最小值3×7＝21．设n为正整数，若 是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ．
n
9．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1| ．
-√(b-1) 2+√(a-b) 2=
1
10．（2022•内蒙古）已知x，y是实数，且满足y=√x-2+√2-x+ ，则√x⋅√y的值是 ．
8
11．（2022•济宁）已知a＝2+√5，b＝2-√5，求代数式a2b+ab2的值．
12．（2022•河池）计算：|﹣2√2|﹣3﹣1-√4×√2+（ ﹣5）0．
√2 π
13．（2022•泰州）（1）计算：√18-√3× ；
3
（2）按要求填空：
2x 1
小王计算 - 的过程如下：
x2-4 x+2
2x 1
解： -
x2-4 x+2
2x 1
= - ⋯⋯第一步
(x+2)(x-2) x+2
2x x-2
= - ⋯⋯第二步
(x+2)(x-2) (x+2)(x-2)
2x-x-2
= ⋯⋯第三步
(x+2)(x-2)
x-2
= ⋯⋯第四步
(x+2)(x-2)
1
= ．……第五步
x+2小王计算的第一步是 （填“整式乘法”或“因式分解”），计算过程的第 步出现错误．直
接写出正确的计算结果是 ．
