文档内容
2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优题典【人教版】
专题5.2平行线的判定专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022春•沙依巴克区校级期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角
B．不相交的两条直线叫做平行线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
【分析】根据邻补角、平行线的概念、垂直的性质、同位角的概念解答即可．
【解答】解：A、只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补
角，原说法错误，故本选项不符合题意；
B、在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，原说法错误，故本选项不符合题意；
C、在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确，故本选项符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，原说法错误，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．（2022春•海阳市期末）如图是小明学习“探索直线平行的条件”时用到的学具，经测量∠2＝105°，
要使木条a与b平行，则∠1的度数应为（ ）
A．45° B．75° C．105° D．135°
【分析】先求出∠2的对顶角的度数，再根据同旁内角互补，两直线平行解答．
【解答】解：如图，∵∠2＝105°，
∴∠3＝∠2＝105°，
∴要使b与a平行，则∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝180°﹣105°＝75°．故选：B．
3．（2022春•陆河县期末）如图，∠1＝∠2，则下列结论正确的是（ ）
A．∠3＝∠4 B．AD∥BC C．AB＝CD D．AB∥CD
【分析】直接根据平行线的判定定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD．
故选：D．
4．（2022春•湖里区期末）下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【解答】解：A、∠1和∠2是同旁内角，∠1＝∠2不能判定AB∥CD，故A不符合题意；
B、由∠1＝∠2可得到AD∥BC，不能推出AB∥CD，故B不符合题意；
C、∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，故C符合题意；
D、由∠1＝∠2，不能推出AB∥CD，故D不符合题意．
故选：C．
5．（2022春•普兰店区期末）如图，现给出下列条件：①∠1＝∠B，②∠2＝∠5，③∠3＝∠4，
④∠BCD+∠D＝180°．其中能够得到AB∥CD的条件有（ ）A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【分析】根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．
【解答】解：①∵∠1＝∠B，∴AB∥CD，故本小题正确；
②∵∠2＝∠5，∴AB∥CD，故本小题正确；
③∵∠3＝∠4，∴AD∥BC，故本小题错误；
④∵∠D+∠BCD＝180°，∴AD∥CB，故本小题错误．
所以正确的有①②．
故选：A．
6．（2022春•宾阳县期中）如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：
①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠8＝180°．
其中能判断a∥b的条件是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③④ D．①③④
【分析】利用平行线的判定定理来判断即可．
【解答】解：∠1＝∠2，同位角相等两直线平行，①正确；
∠3＝∠6，内错角相等两直线平行，②正确；
∠4＝∠6，∠4+∠7＝180°，同旁内角互补两直线平行，③正确；
∠5+∠8＝180°，它们对顶角是∠3，∠2是同旁内角，同上，④正确．
故选：C．
7．（2022春•江汉区校级月考）如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是
（ ）A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．对顶角相等，两直线平行
【分析】根据两角的位置，结合平行线的判定方法，即可得出结论．
【解答】解：如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等，两直线平
行．
故选：A．
8．（2022春•白碱滩区期末）如图，∠C+∠D＝180°，∠DAE＝3∠EBF，∠EBF＝27°，点G是AB上的一
点，若∠AGF＝102°，∠BAF＝34°，下列结论错误的是（ ）
A．∠AFB＝81° B．∠E＝54° C．AD∥BC D．BE∥FG
【分析】根据题目中的条件和平行线的判定方法，可以推出各个选项中的结论是否成立，从而可以解答
本题．
【解答】解：∵∠C+∠D＝180°，
∴AD∥BC，故选项C正确，不符合题意；
∴∠DAE＝∠CFE，
∵∠CFE＝∠EBF+∠BEF，∠DAE＝3∠EBF，∠EBF＝27°，
∴∠CFE＝3∠EBF＝81°，∠BEF＝54°，故选项B正确，不符合题意；
∴∠AFB＝∠CFE＝81°，故选项A正确，不符合题意；
∵∠AGF＝102°，∠BAF＝34°，
∴∠AFG＝44°，∵∠E＝54°，
∴∠AFG≠∠E，
∴BE和FG不平行，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
9．（2022春•武昌区期中）如图，已知∠F+∠FGD＝80°（其中∠F＞∠FGD），添加一个以下条件：
①∠FEB+2∠FGD＝80°；②∠F+∠FGC＝180°；③∠F+∠FEA＝180°；④∠FGC﹣∠F＝100°．能证
明AB∥CD的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】过点F作CD的平行线FH，结合条件①可证AB∥CD；条件②得到EF∥CD；条件③得到
AF∥FG；条件④的结果得到恒等式．
【解答】解：①过点F作FH∥CD，则：∠HFG＝∠FGD，
∵∠EFG＝∠EFH+∠HFG，∠EFG+∠FGD＝80°，
∴∠EFH+2∠FGD＝80°，
∵∠FEB+2∠FGD＝80°，
∴∠EFH＝∠FEB，
∴AB∥FH，
∴AB∥CD，故①符合题意；
②∵∠F+∠FGC＝180°，
∴CD∥FE，故②不符合题意；
∵∠EFG+∠FEA＝180°，
∴AB∥FG，故③不符合题意；
④∵∠FGC﹣∠EFG＝100°，∠EFG+∠FGD＝80°，
∴∠FGC﹣∠EFG+∠EFG+∠FGD＝100°+80°，
∴∠FGC+∠FGD＝180°，故④不符合题意．
故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
10．（2021秋•中牟县期末）如图，直线a，b被直线c所截，∠1＝115°，∠2＝65°．
∵∠1+∠2＝115°+65°＝180°，
∴a∥b（ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
【分析】根据同旁内角互补，两直线平行即可求解．
【解答】解：∵∠1+∠2＝115°+65°＝180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行．
11．（2022春•灵台县期末）一副三角尺按如图所示的方式摆放，则DE∥BC，理由是 内错角相等，两
直线平行 ．
【分析】根据内错角相等，两直线平行即可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝∠DEF＝90°，
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
12．（2022春•清镇市期中）在同一平面内有三条直线l 、l 、l ，若l ⊥l ，l ⊥l ，则l 与1 的位置关系是
1 2 3 1 2 2 3 1 3
平行 ．
【分析】根据在同一平面内，两条直线都与同一条直线垂直，则这两直线平行作答．【解答】解：∵在同一平面内，l ⊥l ，l ⊥l ，
1 2 2 3
∴l ∥l ，
1 3
即l 与l 的位置关系是平行，
1 3
故答案为：平行．
13．（2022•南京模拟）如图，四边形ABCD，点E在BC的延长线上，依据“内错角相等，两直线平行”
来判断AD∥BC，可选择的一组内错角是 ∠ 3 ＝∠ 4 ．（填一种答案即可）
【分析】先确定AD，BC被哪条直线所截，再确定内错角即可．
【解答】解：∵∠3＝∠4，
∴AD∥BC，
或∵∠D＝∠5，
∴AD∥BC，
故答案为：∠3＝∠4或∠D＝∠5（任写一组即可）．
14．（2022春•萧山区期中）如图，下列条件中能推出a∥b的有 ①②③ ．
①∠3＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2+∠5＝180°，④∠1+∠4＝180°．
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【解答】解：∵∠3＝∠5，
∴a∥b，
故①符合题意；
∵∠1＝∠7，∠7＝∠5，
∴∠1＝∠5，
∴a∥b，
故②符合题意；∵∠2+∠5＝180°，∠2+∠1＝180°，
∴∠1＝∠5，
∴a∥b，
故③符合题意；
由∠1+∠4＝180°，不能推出a∥b，
故④不符合题意；
故答案为：①②③．
15．（2022春•丽水期末）如图，平面反光镜AC斜放在地面AB上，一束光线从地面上的P点射出，DE
是反射光线．已知∠APD＝120°，若要使反射光线DE∥AB，则∠CAB应调节为 3 0 度．
【分析】利用平行线的性质和光的反射原理可解此题．
【解答】解：要使反射光线DE∥AB，
则∠APD＝∠PDE，
∵∠APD＝120°，
∴∠PDE＝120°，
∵∠ADP＝∠CDE，∠ADP+∠PDE+∠CDE＝180°，
∴∠ADP＝∠CDE＝30°，
∴∠CAB＝180°﹣∠APD﹣∠ADP＝30°，
故答案为：30．
16．（2022春•江汉区期中）如图，将一副三角板的两直角顶点 C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠D＝
45°，若绕顶点C转动三角板DCE，当∠BCD为 10 5 或 7 5 度时，DE∥AB．
【分析】根据平行线的判定定理，分两种情况画出图形即可求解．
【解答】解：如图，当DE∥AB时，延长BC交DE于M，
∴∠B＝∠DMC＝60°，
∵∠DMC＝∠E+∠MCE，
∴∠ECM＝15°，
∴∠BCE＝165°，
当D′E′∥AB时，∠E′CB＝∠ECM＝15°．
∴当∠BCD为105或75度时，DE∥AB．
故答案为：105或75．
17．（2021春•抚顺期末）将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两
点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30′；②∠1+∠2＝90°；
③∠2＝2∠1；④∠ACB＝∠1+∠3；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有 ①④⑤ ．
（填序号）
【分析】根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，可以判断是否可以得到 m∥n，从而可以
解答本题．
【解答】解：∵∠1＝25.5°，∠2＝55°30′，∠ABC＝30°，
∴∠ABC+∠1＝55.5°＝55°30′＝∠2，
∴m∥n，故①符合题意；
∵∠1+∠2＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，∴m和n不一定平行，故②不符合题意；
∵∠2＝2∠1，∠ABC＝30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故③不符合题意；
过点C作CE∥m，
∴∠3＝∠4，
∵∠ACB＝∠1+∠3，∠ACB＝∠4+∠5，
∴∠1＝∠5，
∴EC∥n，
∴m∥n，故④符合题意；
∵∠ABC＝∠2﹣∠1，
∴∠2＝∠ABC+∠1，
∴m∥n，故⑤符合题意；
故答案为：①④⑤．
18．（2022春•吴江区期末）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，
CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度
同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为 2 秒或 3 8 秒 时，
CD与AB平行．
【分析】分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，
列式计算即可得解；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，
列式计算即可得解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，
列式计算即可得解．
【解答】解：分三种情况：
如图①，AB与CD在EF的两侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAF，
即120°﹣（6t）°＝110°﹣t°，
解得t＝2；
此时（180°﹣60°）÷6＝20，
∴0＜t＜20；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝360°﹣（6t）°﹣60°＝300°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即300°﹣（6t）°＝110°﹣t°，
解得t＝38，
此时（360°﹣60°）÷6＝50，
∴20＜t＜50；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝（6t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（6t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣110°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即（6t）°﹣300°＝t°﹣110°，
解得t＝38，
此时t＞50，
∵38＜50，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为2秒或38秒时，CD与AB平行．
故答案为：2秒或38秒．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春•重庆月考）如图，点 E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝
90°，求证：AB∥CD．请填空．
证明：∵AF⊥CE（已知）
∴∠AOE＝90°（ 垂直的定义 ）
又∵∠1＝∠B（ 已知 ）
∴ CE ∥ BF （ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠AFB＝∠AOE（ 两直线平行，同位角相等 ）
∴∠AFB＝90°（ 等量代换 ）
又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝ 180 ° （平角的定义）
∴∠AFC+∠2＝（ 9 0 ）°
又∵∠A+∠2＝90°（已知）
∴∠A＝∠AFC（ 同角的余角相等 ）
∴ AB ∥ CD （内错角相等，两直线平行）
【分析】先证 CE∥BF得∠AOE＝∠AFB，由AF⊥CE得∠AOE＝∠AFB＝90°，利用平角定义得出
∠AFC+∠2＝90°，结合∠A+∠2＝90°可以得出∠AFC＝∠A，从而得证．
【解答】证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE＝90°（垂直的定义）．
又∵∠1＝∠B（已知），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠AFB＝∠AOE（两直线平行，同位角相等），∴∠AFB＝90°（等量代换）．
又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义），
∴∠AFC+∠2＝（90）°．
又∵∠A+∠2＝90°（已知），
∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；已知；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量
代换；180°；90；同角的余角相等；AB∥CD．
20．（2022春•观山湖区期中）如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．求证：AB∥CD．
【分析】根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠CAE，求出∠BAE＝∠CEA，再根据平行线的判定定理得
出即可．
【解答】证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠CAE＝∠CEA，
∴∠BAE＝∠CEA，
∴AB∥CD．
21．（2022春•清镇市期中）如图所示，已知：∠A＝114°，∠C＝135°，∠1＝66°，∠2＝45°．
求证：AD∥CF．
【分析】根据同旁内角互补，两直线平行．以及两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行即
可求解．
【解答】证明：∵∠A＝114°，∠C＝135°，∠1＝66°，∠2＝45°，
∴∠A+∠1＝114°+66°＝180°，∠C+∠2＝135°+45°＝180°，
∴AD∥BE，CD∥BE，
∴AD∥CF．22．（2022春•绥江县期中）如图，已知∠1＝∠2，CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线．求证：
BC∥DE．
【分析】由平行线的判定得 CD∥EF，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠AED＝
∠ACB，进而可判定BC∥DE．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴EF∥CD，
∴∠3＝∠4，
∵CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线，
∴∠ACB＝2∠3，∠AED＝2∠4，
∴∠AED＝∠ACB，
∴BC∥DE．
23．（2022春•新城区校级期中）如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，已
知∠1+∠2＝90°，且∠2：∠3＝2：5．
（1）求∠BOF的度数；
（2）试说明AB∥CD的理由．
【分析】（1）根据角平分线的定义推出∠2+∠AOC＝90°，再根据对顶角性质求解即可；
（2）结合等量代换得出∠1＝∠AOC，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解．
【解答】解：（1）∵OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，
∴∠AOE＝∠AOC＝ ∠COE，∠2＝∠BOE＝ ∠DOE，
∵∠COE+∠DOE＝180°，∴∠2+∠AOC＝90°，
∵∠COE＝∠3，
∴∠AOC＝ ∠3，
∴∠2+ ∠3＝90°，
∵∠2：∠3＝2：5，
∴∠3＝ ∠2，
∴∠2+ × ∠2＝90°，
∴∠2＝40°，
∴∠3＝100°，
∴∠BOF＝∠2+∠3＝140°；
（2）∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠AOC＝90°，
∴∠1＝∠AOC，
∴AB∥CD．
24．（2022春•宁安市期末）三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶
点C按如图所示的方式叠放在一起，当0˚＜∠ACE＜90˚，且点E在直线AC的上方时，解决下列问题：
（友情提示∠A＝60˚，∠D＝30˚，∠B＝∠E＝45˚）．
（1）①若∠DCE＝40˚，则∠ACB的度数为 140 ° ；
②若∠ACB＝135˚，则∠DCE的度数为 45 ° ；
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，请说明理由；
（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行的情况？若存在，请直接写出∠ACE的度数的所有可能的
值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①根据∠DCE＝40°，∠ACD＝∠BCE＝90°，结合图形计算即可；②根据∠ACB＝135°，∠ACD＝∠BCE＝90°，结合图形计算即可；
（2）仿照（1）中的算法即可得到∠ACB与∠DCE的数量关系；
（3）依据0°＜∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方，利用平行线的判定定理，分两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）①∵∠ACD＝90°，∠DCE＝40°，
∴∠ACE＝50°，
∴∠ACB＝∠BCE+∠ACE＝90°+50°＝140°，
故答案为：140°；
②∵∠ACB＝135°，∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝135°﹣90°＝45°，
∴∠DCE＝∠DCA﹣∠ACE＝90°﹣45°＝45°，
故答案为：45°；
（2）∠ACB与∠DCE互补，理由如下：
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，
又∵∠BCE＝90°，
∴∠ACB＝90°+90°﹣∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE＝90°+90°﹣∠DCE+∠DCE＝180°，
即∠ACB与∠DCE互补；
（3）存在一组边互相平行，
当∠ACE＝45°时，∠ACE＝∠E＝45°，此时AC∥BE；
当∠ACE＝30°时，∠ACB＝120°，此时∠A+∠ACB＝180°，故AD∥BC．
