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【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题6.9实数的材料阅读型问题（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压
轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己
的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共24小题）
1．（2022秋•成县期中）（1）填写如表，观察被开方数a的小数点与算术平方根√a的小数点的移动规律：
a 0.0036 0.36 36 3600
√a
（2）根据你发现的规律填空：
①已知：√7.7=2.775，√77=8.775．则√7700= ，√0.00077= ；
②已知：√29=5.385，若√x=53.85．则x＝ ．
（3）将你发现的规律用文字语言表述出来．
2．（2022秋•西安月考）（1）观察：√0.07≈0.2646，则√7≈2.646，√700≈26.46…发现规律：被开方数
的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向 移动 位；
（2）应用：已知√0.03≈0.1732，√3≈ ，√300≈ ；
（3）拓展：已知√6≈2.449，√60≈7.746，计算√240和√0.54的值．
3．（2022秋•宝丰县期中）观察以下等式：观察下列等式：
√1 1 1
第1个等式： − = ，
2 4 2
√1 1 √2
第2个等式： − = ，
3 9 3
√1 1 √3
第3个等式： − = ，
4 16 4
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： 用含n的式子表示，并证明这个结论？
4．（2022春•桐城市期末）【观察】请你观察下列式子．
第1个等式：√1=1．
第2个等式：√1+3=2．第3个等式：√1+3+5=3．
第4个等式：√1+3+5+7=4．
第5个等式：√1+3+5+7+9=5．
【发现】根据你的阅读回答下列问题：
（1）写出第7个等式 ．
（2）请根据上面式子的规律填空：√1+3+5+⋯+(2n+1)= ．
（3）利用（2）中结论计算：√4+12+20+28+⋅⋅⋅+44+52．
5．（2022春•椒江区期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积
的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1 这三个数，
√(−9)×(−4)=6，√(−9)×(−1)=3，√(−4)×(−1)=2，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣
4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．
（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．
6．（2022春•大兴区期中）观察下列各式：
√ 1 2
n＝1时，有式①： 1+ = √3；
3 3
√ 1 3 3
n＝2时，有式②： 2+ = √4= ；
4 4 2
（1）类比上述式①、式②，将下列等式补充完整：
√ 1 ；√ 1 5 ；
3+ = (ㅤㅤ)+ = √6
5 (ㅤㅤ) 6
（2）请用含n（n为正整数）的等式表示以上各式的运算规律： ．
7．（2021秋•通川区校级期中）先计算下列各式：
√1=1，√1+3=2，√1+3+5= ，√1+3+5+7= ，√1+3+5+7+9= ．
（1）通过观察并归纳，请写出√1+3+5+⋯+(2n−1)= ．
（2）利用（1）中结论计算：√2+6+10+14+⋯+102+106．
8．（2021春•利辛县月考）一组实数按如图规律排列．
根据这个规律解答以下问题：
（1）直接写出第4行第1列所表示的实数是 ；
（2）实数√2021排在第几行第几列？并说明理由．9．（2021秋•秦都区校级月考）现有一组有规律的数：1，﹣1，√2，−√2，√3，−√3，1，﹣1，√2，
−√2，√3，−√3，…，其中1，﹣1，√2，−√2，√3，−√3这六个数按此规律重复出现．
（1）求第15个数和第16个数的和；
（2）从第1个数起，把连续若干个数的平方相加起来，如果和为360，那么一共是多少个数的平方相加？
10．观察分析下列数据，寻找规律：
0，√3，√6，3，2√3，√15，…．
（1）这组数据第10个数是什么？
（2）你发现了什么规律？写出这组数据的第n个数．
（3）求这组数据的第19个数与第55个数的积．
1
11．（2022春•庐江县期中）我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记m= ，n=√b（a＞
√a
0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的对“对称数对”．例如：（4，1）的一对“对
1 1
称数对”为（ ，1）与（1， ）．
2 2
（1）数对（25，4）的一对“对称数对”是 和 ；
（2）若数对（x，2）的一对“对称数对”的一个数对是（√2，1），求x的值；
（3）若数对（a，b）的一对“对称数对”的一个数对是（√3，3√3），求ab的值．
12．（2022春•延津县期末）如图所示的是一个数值转换器．
（1）当输入的x值为9时，输出的y值为 ；当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出
的y值为√5时，输入的x值为 ．
（2）嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x值应为非负数．但是当他输入x值后，却
始终输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？13．（2022春•景县期中）如图为一个数值转换器．
（1）当输入的x值为4时，输出的y值为 ；当输入的x值为16时，输出的y值为 ；
（2）输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为√3，求输入的x值；
（3）嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x为非负数．但是当他输入x值后，却始终
输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？
14．（2022春•潍坊期中）（1）观察各式：√0.03≈0.1732，√3≈1.732，√300≈17.32…
发现规律：被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向 移动
位；
（2）应用：已知√5≈2.236，则√0.05≈ ，√500≈ ；
（3）拓展：已知√6≈2.449，√60≈7.746，计算√240和√0.54的值．
15．（2022春•海淀区校级期中）一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为81时，输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值；
（3）若输出的y是√2，请写出两个满足要求的x值．
16．（2021春•南通期中）一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为9时，输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
（3）若输出的y是√7，请写出两个满足要求的x值： ．
17．（2022春•枞阳县校级月考）观察下列一组等式：
√ 1 √1
第①个等式： 1− = ；
2 2√ 2 √2
第②个等式： 2− =2 ；
5 5
√ 3 √ 3
第③个等式： 3− =3 ；
10 10
√ 4 √ 4
第④个等式： 4− =4 ．
17 17
根据你观察到的规律，完成以下问题：
（1）第⑤个等式为 ；
（2）用n的式子表示第ⓝ个等式为 ；
√ a √a
（3）若等式 a− =a 是符合上面规律的等式，27是a（b﹣1）的一个平方根，求a的值．
b b
18．（2021春•宁乡市期末）王老师给同学们布置了这样一道习题：
一个正数的算术平方根为m+2，它的平方根为±（3m+2），求这个正数．
小达的解法如下：依题意可知：m+2＝3m+2，解得：m＝0，则：m+2＝2，所以这个正数为4．
王老师看后说，小达的解法不完整，请同学们给出这道习题完整的解法．
19．（2022春•云阳县校级月考）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义；对于三个互不相等的正整
数，若其中任意两个数项积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数
称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，√1×4=
2，√1×9=3，√4×9=6，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中
“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根“是6．
（1）2，8，50这三个数是“老根数”吗？若是，请求出任意两个数乘积的”最小算术平方根”与“最
大算术平方根”；
（2）已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，“最大算术平方
根”是“最小算术平方根”的2倍，求a的值．
20．（2022春•大兴区期中）根据下表回答下列问题：
x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18
x2 289 292.41 285.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324
（1）316.84的平方根是 ；
（2）√299.3≈ ；
（3）√29241= ．
（4）若√n介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n有 个；
（5）观察表格中的数据，请写出一条你发现的结论．21．（2022春•定远县期末）【初步感知】（1）直接写出计算结果．
① ；
√13=
② ；
√13+23=
③ ；
√13+23+33=
④ ；…
√13+23+33+43=
【深入探究】观察下列等式．
(1+2)×2
①1+2= ；
2
(1+3)×3
②1+2+3= ；
2
(1+4)×4
③1+2+3+4=
2
(1+5)×5
④1+2+3+4+5= ；
2
……
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容．
(1+2022)×2022
（2） = ；
2
（3）1+2+3+⋯+n+（n+1）＝ ．
【拓展应用】计算：
（4） ；
√13+23+33+⋯+993+1003
（5）113+123+133+⋯+193+203．
22．（2022春•曲阜市期中）探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
a … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
√a … 0.01 x 1 y 100 …
（1）表格中x＝ ；y＝ ；
（2）从表格中探究a与√a数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知√10≈3.16，则√1000≈ ；
②已知√3.24=1.8，若√a=180，则a＝ ；（3）拓展：已知√312≈2.289，若√3 z=0.2289，则z＝ ．
23．（2021春•永吉县期中）根据下表回答下列问题：
x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17
x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289
（1）289的算术平方根是 ，√268.96= ；
（2）±√256= ，275.56的平方根是 ；
（3）√1.5921= ，√28224= ；
（4）若√x=a（x＞0），则√100x= （用含a的式子表示）．
24．（2021秋•温州期中）观察下列一组算式的特征，并探索规律：
① ；
√13=1=1
② ；
√13+23=1+2=3
③ ；
√13+23+33=1+2+3=6
④ ．
√13+23+33+43=1+2+3+4=10
根据以上算式的规律，解答下列问题：
（1）13+23+33+43+53＝（ ）2＝ ；
（2） ；（用含n的代数式表示）
√13+23+33+⋯+(n−1) 3+n3=
（3）简便计算：113+123+133+…+193+203．
