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专题 04 构造函数法解决不等式问题(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
二、典型题型.......................................................................................2
题型一：构造 或 ( ，且 )型...........2
题型二：构造 或 ( ，且 )型...........3
题型三：构造 或 型.................................4
题型四：构造 或 型.................................5
三、专项训练.......................................................................................6
一、必备秘籍
1、两个基本还原
f' (x)g(x)−f(x)g' (x) f(x)
'
① ② =[ ]
f' (x)g(x)+f(x)g' (x)=[f(x)g(x)] ' [g(x)] 2 g(x)
2、类型一：构造可导积函数
①e nx [f' (x)+nf(x)]=[e nx f(x)] ' 高频考点1： ex [f' (x)+f(x)]=[exf(x)] '
②xn−1 [xf' (x)+nf(x)]=[xnf(x)] '
高频考点1：xf' (x)+f(x)=[xf(x)] ' 高频考点2 x[xf' (x)+2f(x)]=[x2f(x)] '
f' (x)−nf(x) f(x) f' (x)−f(x) f(x)
' '
③ =[ ] 高频考点1： =[ ]
enx enx ex ex
xf' (x)−nf(x) f(x)
'
④ =[ ]
xn+1 xn
xf' (x)−f(x) f(x) xf' (x)−2f(x) f(x)
' '
高频考点1： =[ ] 高频考点2 =[ ]
x2 x x3 x2⑤
⑥
序号 条件 构造函数
1 f' (x)g(x)+f(x)g' (x)≥0 F(x)=f(x)g(x)
2 f' (x)+f (x)<0 F(x)=exf(x)
3 f' (x)+nf(x)<0 F(x)=e nx f(x)
4 xf' (x)+f (x)>0 F(x)=xf(x)
5 xf' (x)+2f(x)≤0 F(x)=x2f(x)
6 xf' (x)+nf(x)>0 F(x)=xnf(x)
7 f' (x)sinx+f(x)cosx>0 F(x)=f(x)sinx
8 f' (x)cosx−f(x)sinx>0 F(x)=f(x)cosx
3、类型二：构造可商函数
f' (x)−nf(x) f(x) f' (x)−f(x) f(x)
' '
① =[ ] 高频考点1： =[ ]
enx enx ex ex
xf' (x)−nf(x) f(x)
'
② =[ ]
xn+1 xn
xf' (x)−f(x) f(x) xf' (x)−2f(x) f(x)
' '
高频考点1： =[ ] 高频考点2： =[ ]
x2 x x3 x2
③
⑥
二、典型题型
题型一：构造 或 ( ，且 )型
1．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知函数 为定义在 上的偶函数，当
时， ，则下列四个判断正确的为（ ）
A． B．C． D．
2．（2024·湖南益阳·模拟预测）已知 的定义域为 是 的导函数，且
， ，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．（多选）（23-24高二下·山西太原·期中）已知 是定义在 上的奇函数，当
时， ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当 时， D．当 时，
4．（多选）（23-24高三上·安徽六安·期末）已知函数 的导函数为 ，对任意的
正数x，都满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：构造 或 ( ，且 )型
1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）函数 是定义在 上的奇函数，对任意实数 恒有
，则（ ）
A． B．C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知定义在R上的连续可导函数 及其导函数 满足
恒成立，且 时 ，则下列式子不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·广东梅州·模拟预测）设 是 的导函数，定义在 上的函数
满足（1） ；（2） ，则 的范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知函数 的定义域为 ，其导函数为
，且对任意的 ，都有 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（多选）（2023·全国·模拟预测）已知定义在 上的连续可导函数 ， ， 的
导函数为 ，若 ， 是指数函数， ， ，则下列说法
正确的是（ ）
A． B． 在 上单调递增
C． ， D．
题型三：构造 或 型
1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）函数 是定义在 上的奇函数，其导函数为 ，且 ，当 时， ，则关于 的不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二下·重庆）设 是函数 的导函数，当 时，
，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二下·江苏·阶段练习）函数 的定义域是 ，其导函数是 ，若
，则关于 的不等式 的解集为 ．
题型四：构造 或 型
1．（23-24高二上·宁夏石嘴山·）定义在 上的函数 ， 是它的导函数，且恒
有 成立．则（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选）（23-24高二下·安徽滁州·阶段练习）定义在 上的函数 ，已知
是它的导函数，且恒有 成立，则有（ ）
A． B．C． D．
3．（23-24高二下·江苏苏州·期中）已知函数 ， ， 是其导函数，
恒有 ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、专项训练
1．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知 为函数 的导函数，当 时，有
恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二下·四川宜宾·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，对任意 ，有
，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知函数 是定义在R上的可导函数，其导函
数为 ．若 ，且 ，则使不等式 成立的x的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
4．（21-22高三下·西藏拉萨·阶段练习）设函数 是奇函数 的导函数，
，当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．5．（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知函数 的定义域是 ，其导函数为 ，
且 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23高二下·四川绵阳·期中）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且
， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知定义在 上的函数 的导函数为
，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．（22-23高二下·江西吉安·期末）若定义在 上的可导函数 满足
， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·浙江温州·一模）定义在 上的函数 的导函数为 ，对于任意实数 ，
都有 ，且满足 ，则（ ）
A．函数 为奇函数
B．不等式 的解集为
C．若方程 有两个根 ， ，则
D． 在 处的切线方程为
10．（2023·海南海口·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，且
， ，则（ ）
A． B．
C． 在 上是减函数 D． 在 上是增函数
三、填空题
11．（23-24高二下·上海·期中）设 是定义在 上的偶函数， 为其导函数，，当 时，有 恒成立，则不等式 的解集为
.
12．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）定义在 上的函数 的导函数为 ，
且 ，则不等式 的解集为 ．
13．（22-23高二下·吉林长春·期中）已知函数 的导数为 ，若 ，
，则不等式 的解集为 .
14．（22-23高三上·山东·阶段练习）已知 为定义域 上函数 的导函数，且
， ， 且 ，则不等式
的解集为 ．
