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专题 04 构造函数的应用
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题型01 构造函数比较大小（加减、乘法、商式同构等）..........................................1
题型02 构造函数解不等式（原函数与导函数混合还原）..........................................2
题型03 构造函数求参数的最值（范围）........................................................4
题型04 构造函数证明不等式..................................................................5
题型 01 构造函数比较大小（加减、乘法、商式同构等）
【解题规律·提分快招】
【常见同构形式】
（1）乘积模型：
（2）商式模型：
（3）和差模型：
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．2．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三·全国·专题练习）设a，b都为正数， 为自然对数的底数，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）设 ， ， ，则 的大小关系为：
（ ）.
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
题型 02 构造函数解不等式（原函数与导函数混合还原）
【解题规律·提分快招】
一、构造函数解不等式解题思路
利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为 ；
（2）判断函数 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“ ”脱掉，得到具体的不等式
（组），但要注意函数奇偶性的区别.
二、构造函数解不等式解题技巧
求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形
模型1.对于 ，构造
模型2.对于不等式 ，构造函数 .
模型3.对于不等式 ，构造函数
拓展：对于不等式 ，构造函数
模型4.对于不等式 ，构造函数模型5.对于不等式 ，构造函数
拓展：对于不等式 ，构造函数
模型6.对于不等式 ，构造函数
拓展：对于不等式 ，构造函数
模型7.对于 ，分类讨论：（1）若 ，则构造
（2）若 ，则构造
模型8.对于 ，构造 .
模型9.对于 ，构造 .
模型10.（1）对于 ，即 ，
构造 ．
（2）对于 ，构造 ．
模型11.（1） （2）
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知函数 及其导函数 的定义域均为R， 且
，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二下·重庆·期中）已知 是函数 的导数，且 ，则不
等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数 的导函数为 ，且 ，当 时，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B．C． D．
4．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知可导函数 的定义域为 ，其导函数 满足
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·辽宁·期中）已知定义在 上的函数 及其导函数 ，满足
，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
题型 03 构造函数求参数的最值（范围）
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·湖南·期中）若 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B．0 C． D．
2．（24-25高三上·云南·阶段练习）若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
3．（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）已知 ，若函数 ，则 的最
小值为（ ）
A． B．1 C． D．3
4．（2024高三·全国·专题练习）已知偶函数 在区间 单调递减，当 时，
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数 ， ，若 ，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·河北·期中）当 时， ，则正数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型 04 构造函数证明不等式
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）下列不等关系中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)若曲线 在点 处的切线的斜率为2，求 的值．
(2)当 时，证明： ， ．
4．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 ，证明： .
5．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数 .
(1)若 在(0,+∞)上单调递增，求实数 的取值范围；(2)当 时，证明： .
6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 和 ，若存在两个实数 ，且 ，使
得 ， ，证明： ．
7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性和最值；
(2)若关于x的方程 有两个不等的实数根 ， ，求证： ．
一、单选题
1．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数y=f (x)是定义在R上的奇函数， 是 的导函
数，且当 时， ， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二下·江苏淮安·期末）函数 ， ，若存在正数 ， ，使得
，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
3．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川德阳·三模）已知函数 及其导函数 在定义域均为 且 是偶函
数，其函数图象为不间断曲线且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·安徽马鞍山·期中）已知 ， ， ，当 时， 恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·湖北·模拟预测）已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）已知 ，则下列关系式可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24高二下·河南·期中）设定义在 上的函数 的导函数为 ，若满足 ，
且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 在 上单调递增
B．不等式 的解集为
C．若 恒成立，则
D．若 ，则
三、填空题
9．（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知 是R上的奇函数，且对任意的x∈R均有
成立．若 ，则不等式 的解集为 ．
10．（24-25高三上·甘肃兰州·期中）已知函数 ， ，若 ，
，则 的最小值为 ．
11．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数 ，若对任意 ，都有
，则 的取值范围为 .
四、解答题
12．（2024·河北·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， .13．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数 ， ．
(1)证明： ．
(2)证明： ．
(3)若 ，求 的最大值．
14．（2024·天津·二模）已知 ，
(1)当 时，求 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
(3)若函数 存在极大值，且极大值为1，求证： ．
15．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，比较 与 的大小；
(2)若函数 ，且 ，证明： .
