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专题 05 三角函数
目录一览
2023真题展现
考向一 三角函数的图象与性质
考向二 三角恒等变换
真题考查解读
近年真题对比
考向一 三角函数的图象与性质
考向二 三角恒等变换
考向三 同角三角函数间的基本关系
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 三角函数的图象与性质
1
1．（2023•新高考Ⅱ•第15题）已知函数f（x）＝sin（ x+ ），如图，A，B是直线y= 与曲线y＝f（x）
2
π ω φ
的两个交点，若|AB|= ，则f（ ）＝ ．
6
π
2．（2023•新高考Ⅰ•第15题）已知函数f（x）＝cos x﹣1（ ＞0）在区间[0，2 ]有且仅有3个零点，则
的取值范围是 ．
ω ω π
考向二 三角恒等变换
ω
1+√5 α
3．（2023•新高考Ⅱ•第7题）已知 为锐角，cos = ，则sin =（ ）
4 2
α α
3−√5 −1+√5 3−√5 −1+√5
A． B． C． D．
8 8 4 4
学科网（北京）股份有限公司 11 1
4．（2023•新高考Ⅰ•第8题）已知sin（ ﹣ ）= ，cos sin = ，则cos（2 +2 ）＝（ ）
3 6
7 1 α β 1 α β 7α β
A． B． C．− D．−
9 9 9 9
【命题意图】
考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角差角公式、三角函数的图象与性质、y=Asin（wx+
）的图象与性质．应用三角公式进行化简、求值和恒等变形及恒等证明．
【考查要点】
三角函数高考必考．常考查和角差角公式、恒等变形化简求值、诱导公式、同角三角函数公式，辅助
角公式等．常考查y=Asin（wx+ ）的图象与性质，涉及到增减性、周期性、对称性、图象平移、零点等．
【得分要点】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2 +cos2 ＝1．
sinα
（2）商数关系： α =t α an ．
cosα
2．诱导公式 α
公式一：sin（ +2k ）＝sin ，cos（ +2k ）＝cos_ ，其中k Z．
公式二：sin（ + ）＝﹣sin_ ，cos（ + ）＝﹣cos_ ，tan（ + ）＝tan ．
α π α α π α ∈
公式三：sin（﹣ ）＝﹣sin_ ，cos（﹣ ）＝cos_ ．
πα α πα α πα α
公式四：sin（ ﹣ ）＝sin ，cos（ ﹣ ）＝﹣cos_ ．
α α α α
π π
公式五：sin（πα− ）＝co α s ，cos（πα− ）＝sin ．α
2 2
π α α π α α
公式六：sin（ + ）＝cos ，cos（ + ）＝﹣sin ．
2 2
3．两角和与差的正弦α、余弦α、正切公式 α α
（1）C ：cos （ ﹣ ）＝cos cos +sin sin ．
（ ﹣ ）
（2）C α β ：cos（ + ）＝cos cos ﹣sin sin ．
（ + ） α β α β α β
（3）S α β ：sin（ + ）＝sin cos +cos sin ．
（ + ） α β α β α β
（4）S α β ：sin（ ﹣ ）＝sin cos ﹣cos sin ．
（ ﹣ ） α β α β α β
α β tanα+tanβ
（5）T ：tan（α + β）= α β ．α β
（ + ） 1−tanαtanβ
α β
α β tanα−tanβ
（6）T ：tan（ ﹣ ）= ．
（ ﹣ ） 1+tanαtanβ
α β
4．二倍角的正弦、余弦α、β正切公式
（1）S ：sin 2 ＝2sin cos ．
2
（2）Cα ：cos 2 ＝cos2 ﹣sin2 ＝2cos2 ﹣1＝1﹣2sin2 ．
2 α α α
α
α α α α α
学科网（北京）股份有限公司 22tanα
（3）T ：tan 2 = ．
2 1−tan2α
α
α
5．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] ∈R
单调性 递增区间： 递增区间： 递增区间：
π π （2k ﹣ ，2k ） π π
（2k − ，2k + ） （k − ，k + ）
2 2 2 2
（k Z）；
π π π
π（k Z）；π π （k Z）π
递减区间：
∈
递减 ∈ 区间： （2k ，2k + ） ∈
π 3π
（2k + ，2k + ） （ π k Z π ） π
2 2
∈
π （k Z）π
最 值 π ∈ x＝2k （k Z）时，y ＝ 无最值
x＝2k + （k Z）时，y max
2 max
1；
π ∈
π ＝1 ∈；
x＝2k + （k Z） 时，
π
x＝2k − （k Z）时， π y πmin ＝ ∈ ﹣1
2
π
y
＝﹣∈
1
min
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（k ，0） π kπ
对称中心：（k + ，0） 对称中心：（ ，0）
2 2
（k Z）
π
π （k Z π） （k Z）
对称轴：x＝∈ k + ，k Z
2 对称轴：x＝k ，k Z 无对称轴
∈ ∈
π ∈
周期 2 2 π ∈
6．函数y＝Asin（ x+ ）的 π 图象变换 π π
y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ x+ ）（A＞0， ＞0）的图象的步骤
ω φ
ω φ ω
学科网（北京）股份有限公司 37．由y＝Asin（ x+ ）的部分图象确定其解析式
M−m M+m
在由图象求三角函 ω 数 φ 解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A= ，k= ， 由周期T确定，
2 2
2π ω
即由 =T求出， 由特殊点确定．
ω
φ
考向一 三角函数的图象与性质
1．（2022•新高考Ⅰ）记函数f（x）＝sin（ x+ ）+b（ ＞0）的最小正周期为T．若 ＜T＜ ，且y
ω ω π
＝f（x）的图像关于点（ ，2）中心对称，则f（ ）＝（ ）
A．1 B． C． D．3
2.（多选）（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝sin（2x+ ）（0＜ ＜ ）的图像关于点（ ，0）中心
对称，则（ ）
φ φ π
A．f（x）在区间（0， ）单调递减
B．f（x）在区间（﹣ ， ）有两个极值点
C．直线x＝ 是曲线y＝f（x）的对称轴
D．直线y＝ ﹣x是曲线y＝f（x）的切线
3．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣ ）单调递增的区间是（ ）
A．（0， ） B．（ ， ） C．（ ， ） D．（ ，2 ）
考向二 三角恒等变换
π π π
学科网（北京）股份有限公司 44．（2022•新高考Ⅱ）若sin（ + ）+cos（ + ）＝2 cos（ + ）sin ，则（ ）
A．tan（ ﹣ ）＝1 B．tan（ + ）＝1
α β α β α β
C．tan（ ﹣ ）＝﹣1 D．tan（ + ）＝﹣1
α β α β
考向三 同角三角函数间的基本关系
α β α β
5．（2021•新高考Ⅰ）若tan ＝﹣2，则 ＝（ ）
θ
A．﹣ B．﹣ C． D．
结合近三年命题规律，命制三角函数恒等变换题目，诸如“给值求角”“给值求值”“给角求值”，给定
函数部分图象，求解函数解析式。以选择题、填空题为主，分值为5~10分。
一．三角函数的周期性（共3小题）
1．（2023•江西模拟）已知函数 ，则（ ）
A．f（x）的最小正周期是
π
B．f（x）在 上单调递增
C．f（x）的图象关于点 对称
D．f（x）在 上的值域是
2．（2023•河东区一模）已知函数 ，下列说法错误的为（ ）
A．最小正周期为 B．f（x）为偶函数
C．在 单调递减 D．
3．（2023•商洛三模）记函数 的最小正周期为T，且f
（T）＝﹣1，若f（x）在[0， ]上恰有3个零点，则 的取值范围为（ ）
π ω
A． B． C． D．
二．运用诱导公式化简求值（共4小题）
4．（2023•南关区校级模拟）已知 ， ，则角 所在的象限是
θ
学科网（北京）股份有限公司 5（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2023•抚松县校级模拟）已知tan ＝2，则 ＝（ ）
θ
A． B． C． D．
6．（2023•南宁模拟）已知sin2 ＝cos ﹣1，则 ＝（ ）
α α
A．1 B．﹣1 C．2 D．
7．（2023•通州区模拟）已知 ， 是第一象限角，且角 ， 的终边关于y轴对称，则tan ＝（
）
α α β β
A． B． C． D．
三．正弦函数的图象（共4小题）
8．（2023•湖南模拟）已知函数f（x）＝2sin（ x+ ）（ ＞0， R）在区间 上单调，
ω φ ω φ∈
且满足 ．若函数f（x）在区间 上恰有5个零点，则 的取值范围
为（ ）
ω
A． B． C． D．
9．（2023•惠州模拟）记函数f（x）＝sin（ x+ ）+b（ ＞0）的最小正周期为T，若 ＜T＜ ，且y
ω ω π
＝f（x）的图象关于点（ ，2）中心对称，则f（ ）＝（ ）
A．1 B． C． D．3
10．（2023•如皋市校级模拟）已知直线y＝kx+t与函数y＝Asin（ x+ ）（A＞0， ＞0）的图象恰有两个
切点，设满足条件的k所有可能取值中最大的两个值分别为k 和k ，且k ＞k ，则（ ）
1 ω 2φ 1 2 ω
A． B．
C． D．
11．（2023•濮阳模拟）已知f（x）＝sin（3x+ ）（| |＜ ）为奇函数，若对任意 [﹣ ， ]，存
φ φ α∈
学科网（北京）股份有限公司 6在 [﹣ ， ]，满足f（ ）+f（ ）＝0，则实数 的取值范围是 ．
四．正弦函数的单调性（共9小题）
β∈ α α β α
12．（2023•湖南三模）已知f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞0）满足 ， 且f（x）在
ω φ ω
上单调，则 的最大值为（ ）
ω
A． B． C． D．
13．（2023•广州二模）已知函数 的图象关于点 对称，且f
（x）在 上单调，则 的取值集合为（ ）
A．{2} B．{8} C．{2，8} D．{2，8，14}
ω
14．（2023•泸县校级模拟）已知函数 ，且在 上单调
递增，则满足条件的 的最大值为 ．
ω
15．（2023•大理州模拟）已知函数f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞0，| |≤ ），x＝﹣ 是函数f（x）的
ω φ ω φ
一个零点，x＝ 是函数f（x）的一条对称轴，若f（x）在区间（ ， ）上单调，则 的最大值是
（ ）
ω
A．14 B．16 C．18 D．20
16．（2023•雁塔区校级三模）已知函数 f（x）＝sin x+cos x，其中 ＞0．若 f（x）在区间
ω ω ω
上单调递增，则 的取值范围是（ ）
ω
A．（0，4] B． C． D．
17．（2023•广西一模）函数 恒有f（x）≤f（ ），且f（x）在 上单
调递增，则 的值为（ ）
π
ω
A． B． C． D． 或
18．（多选）（2023•福建模拟）已知函数f（x）＝sin （ ＞0）满足：f（ ）＝2，f（
ω
）＝0，则（ ）
A．曲线y＝f（x）关于直线 对称
学科网（北京）股份有限公司 7B．函数y＝f（ ）是奇函数
C．函数y＝f（x）在（ ， ）单调递减
D．函数y＝f（x）的值域为[﹣2，2]
19．（多选）（2023•运城三模）已知函数 ，满足
， ，且在 上单调，则 的取值可能为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
ω
20．（2023•青羊区校级模拟）已知函数 ， ，
，且f（x）在 上单调，则 的最大值为 5 ．
五．正弦函数的奇偶性和对称性（共7小题）
ω
21．（2023•大通县一模）下列坐标所表示的点是函数 图象的对称中心的是
（ ）
A． B． C． D．
22．（2023•浉河区校级三模）已知函数f（x）＝asin2x+bcos2x（ab≠0）的图象关于直线 对称，则
下列说法正确的是（ ）
A． 是偶函数
B．f（x）的最小正周期为2
π
C．f（x）在区间 上单调递增
D．方程f（x）＝2b在区间[0，2 ]上有2个实根
23．（2023•秦都区校级模拟）已知函数f（x）＝sin x+cos x（ ＞0）图象两个相邻的对称中心的间距为
π
ω ω ω
，则下列函数为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
24．（多选）（2023•惠州模拟）关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）的图像的一个对称中心是
学科网（北京）股份有限公司 8B．函数f（x）在区间 上单调递减
C．直线 是函数f（x）图像的一条对称轴
D．将函数f（x）的图像沿x轴向左平移 个单位长度，将得到函数 的图像
25．（多选）（2023•东方模拟）已知函数f（x）＝|2sin（2x﹣ ）|，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数f（x）的图象关于点（ ，0）对称
B．函数f（x）图象的一条对称轴是x＝
C．若x [ ， ]，则函数f（x）的最小值为
∈
D．若f（x ）f（x ）＝4，x ≠x ，则|x ﹣x |的最小值为
1 2 1 2 1 2
26．（2023•昌江县二模）函数f（x）＝Asin（ x+ ）的部分图象如图中实线所示，图中圆 C与f（x）的
图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（ ）
ω φ
A．函数f（x）的最小正周期是 2
π
B．函数f（x）的图象关于点 成中心对称
C．函数f（x）在 单调递增
D．函数f（x）的图象向右平移 后关于原点成中心对称
27．（多选）（2023•平江县校级模拟）设函数 ，若f（x）在[0， ]上
有且仅有3条对称轴，则（ ）
π
A．f（x）在[0， ]上有且仅有2个最大值点
B．f（x）在[0， ]上有且仅有2个零点
π
π
C． 的取值范围是
ω
学科网（北京）股份有限公司 9D．f（x）在 上单调递增
六．余弦函数的图象（共5小题）
28．（2023•河南模拟）已知函数f（x）＝cos（ x﹣ ）（ ＞0），若f（x）在 上没有
零点，则 的取值范围是（ ）
ω ω
ω
A． B．
C． D．（0，1]
29．（2023•安阳模拟）已知函数 在[0， ]上有且仅有2个
零点，则 的取值范围是（ ）
π
ω
A． B． C． D．
30．（2023•一模拟）已知函数 ，（ ＞0）的图象在区间（0，2 ）内至多存
在3条对称轴，则 的取值范围是（ ）
ω π
ω
A． B． C． D．
31．（多选）（2023•新乡三模）已知函数f（x）＝cos（ x+ ）（0＜ ＜10，0＜ ＜ ）图象的一个对称
ω φ ω φ π
中心是 ，点 在f（x）的图象上，则（ ）
A．
B．直线 是f（x）图象的一条对称轴
C．f（x）在 上单调递减
D． 是奇函数
32．（2023•泸州模拟）写出使“函数f（x）＝cos（2x+ ）为奇函数”的 的一个取值 ．
七．余弦函数的单调性（共2小题）
φ φ
33．（2023•全国一模）已知函数 在区间 上单调递减，则
实数 的取值范围为（ ）
ω
A． B．（1，2] C．（0，1] D．
学科网（北京）股份有限公司 1034．（2023•白山三模）已知函数 ，则f（x）在[﹣2，0]上（ ）
A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增
八．由y＝Asin（ x+ ）的部分图象确定其解析式（共1小题）
ω φ
35．（2023•石景山区一模）若函数 的部分图
象如图所示，则 的值是（ ）
φ
A． B． C． D．
九．同角三角函数间的基本关系（共4小题）
36．（2023•攀枝花一模）若tan ＝2，则7cos2 ﹣2sin2 ＝（ ）
θ θ θ
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
37．（2023•山西模拟）已知tan ＝﹣7，则 ＝（ ）
α
A． B． C． D．
38．（2023•阳泉二模）已知 ，0＜ ＜ ，则sin ﹣cos ＝（ ）
α π α α
A． B． C． D．
39．（2023•河南模拟）已知tan ＝﹣3，则sin2 ﹣cos2 ＝（ ）
θ θ θ
A． B． C． D．
一十．两角和与差的三角函数（共4小题）
40．（2023•射洪市校级模拟）若 为锐角，且 ，则 ＝（ ）
α
A． B． C． D．
41．（2023•广西模拟）已知 ，则 ＝（ ）
学科网（北京）股份有限公司 11A． B． C． D．
42．（2023•淮安模拟）已知cos（40°﹣ ）+cos（40°+ ）+cos（80°﹣ ）＝0，则tan ＝（ ）
θ θ θ θ
A． B． C． D．
43．（2023•乌鲁木齐模拟）若 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
一十一．二倍角的三角函数（共6小题）
44．（2023•九江模拟）已知sin +2cos2 ，则sin2 ＝（ ）
θ θ
A． B． C． D．
45．（2023•乐山模拟）已知 ，则sin ＝（ ）
α
A． B． C． D．
46．（2023•武汉模拟）已知 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
47．（2023•惠州一模）若 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
48．（2023•怀仁市校级二模）已知 ，且 ，则tan ＝（ ）
θ
A． B． C． D． 或
49．（2023•郑州模拟）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
一十二．半角的三角函数（共2小题）
50．（2023•江西模拟）若 ， 是第三象限的角，则 ＝（ ）
α
学科网（北京）股份有限公司 12A．2 B． C．﹣2 D．
51．（2023•宝鸡三模）若 （0， ），且sin +2cos ＝2，则tan 等于（ ）
α∈ π α α
A．3 B．2 C． D．
一十三．三角函数的恒等变换及化简求值（共5小题）
52．（2023•安阳三模）已知 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
53．（2023•湖南一模）已知 ＝2，则tan ＝（ ）
θ
A． B．﹣ C．﹣ D．
54．（2023•兴庆区校级模拟）若sin（ ﹣ ）＝ ，cos（ +2 ）＝（ ）
α α
A． B．﹣ C． D．﹣
55．（2023•迎江区校级模拟）已知 ，则 ＝ ．
56．（2023•万州区校级模拟）在△ABC中，若 + ＝3，则sinA的最大值为 ．
一十四．三角函数中的恒等变换应用（共4小题）
57．（2023•南江县校级模拟）已知函数 在[0， ]上恰有3
个零点，则 的取值范围是（ ）
π
ω
A． B． C． D．
58．（2023•安徽二模）已知函数f（x）＝sin2 x+sin xcos x﹣1（ ＞0）在 上恰有4个不同的
零点，则实数 的取值范围是（ ）
ω ω ω ω
ω
A． B． C． D．
59．（2023•山西模拟）已知函数f（x）＝ ，集合{x （0， ）|f（x）＝1}
中恰有3个元素，则实数 的取值范围是（ ）
∈ π
ω
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司 1360．（2023•天津模拟）将函数 的图象向右平移 个单位，得到g（x）的
图象，再将g（x）图象上的所有点的横坐标变成原来的 ，得到h（x）的图象，则下列说法正确的个
数是（ ）
①函数h（x）的最小正周期为2 ；
π
② 是函数h（x）图象的一个对称中心；
③函数h（x）图象的一个对称轴方程为 ；
④函数h（x）在区间 上单调递增
A．1 B．2 C．3 D．4
1.重要结论－辅助角公式
y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝，sin θ＝.
2.两角和与差的正切公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的 α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且tan
T tan(α＋β)＝
(α＋β)
正切 α·tan β≠1
两角差的 α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan
T tan(α－β)＝
(α－β)
正切 β≠－1
3．二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法 公式
S sin 2α＝2sin_ α cos _α
2α
C cos 2α＝ cos 2 α － sin 2 α
2α
T tan 2α＝
2α
4.余弦的二倍角公式的变形
5．正弦的二倍角公式的变形
(1)sin αcos α＝sin 2α，cos α＝.
(2)1±sin 2α＝(sin_ α ±cos _ α ) 2 .
6.半角公式
(1)sin＝± ，
学科网（北京）股份有限公司 14(2)cos＝± ，
(3)tan＝± ，
(4)tan＝＝＝，
tan＝＝＝.
学科网（北京）股份有限公司 15
