文档内容
专题 04 高级应用函数的周期性、单调性、奇偶性及对称性特
性以解析函数性质问题
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：函数单调性的合应用............................................................................................................2
题型二：函数的奇偶性的综合应用....................................................................................................4
题型三：已知F(X)=奇函数+M............................................................................................................5
题型四：利用轴对称解决函数问题....................................................................................................7
题型五：利用中心对称解决函数问题................................................................................................9
题型六：奇偶性对称偏移..................................................................................................................11
题型七：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性..............................................................14
题型八：双对称与周期性..................................................................................................................17
题型九：双函数与对称性..................................................................................................................21
题型十：类周期与倍增函数..............................................................................................................22
重难点突破：函数性质与导数..........................................................................................................26
02 重难创新练....................................................................................................................................29题型一：函数单调性的合应用
1．（2024·陕西宝鸡·二模）“求方程 的解”有如下解题思路：设 ，
则 在 上单调递减，且 ，所以原方程有唯一解 ．类比上述解题思路，不等式
的解集是（ ）
A． B．(1,+∞) C． D．
【答案】D
【解析】原式化简为： ，即
令 ，则 ，则y=g(x)在 上单调递增，
则不等式转化为 ，所以方程解集为 .
故选：D．
2．已知函数 ， 是定义在R上的函数，且 是奇函数， 是偶函数，
，若对于任意 ，都有 .则实数a的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 是定义在R上的奇函数， 是定义在R上的偶函数，且 ，①
，②
① ②得： ，
，
又对于任意 ，都有 ，即对于任意 ， ，
令 ，则 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递增，满足题意；
当 时， 是二次函数，其对称轴方程为 ，
在 上单调递增，所以 或 ，
解得 或 ，
综上， ，
即 的取值范围为 , ．
故选：B
3．（2024·四川德阳·一模）已知函数 ，若对任意 ，都有，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对任意 ，都有 ，
令 ，则F(x)在R上单调递增，
其中 ，
当 时， ，解得 ，
且 ，解得 或 ，
故 ，
当 时， ，
因为 ，所以 ，
故F(x)在(1,+∞)上单调递增，满足要求，
综上，实数 的取值范围是 .
故选：A
题型二：函数的奇偶性的综合应用
4．（2024·江西南昌·模拟预测）函数 的图象经过点 ，则关于 的不等式
解集为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】由函数 的图象经过点 ，得 ，则 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递减，则 在R上单调递减，
又 ，即函数 是奇函数，
不等式 ，则 ，
即 ，解得 ，所以原不等式的解集为 .
故选：B
5．定义在 上的奇函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得， ， 在 上单调递增，且 ，
由 ，得 ，或 ，
时， ，或 ，
又 ，即 ，或 ，
故 ，解得 ，时， ，或 ，
又 ，即 ，
故 ，解得 ，或 ，
则不等式 的解集为： ，
故选：D.
6．（2024·江西新余·模拟预测）函数 为偶函数，则 的值为：（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ，
由函数 为偶函数，则 ，
即 ，解得： .
故选：D.
题型三：已知f(x)=奇函数+M
7．设函数 ，且 ，则 ．
【答案】
【解析】由于 ，
于是函数 是一个单调递增的奇函数，而 ．
故答案为：
8．已知函数 ，若存在正实数a，使得函数 在区间 有最大值
及最小值m，则 .
【答案】15
【解析】
令 ，其定义域为 ， ，即 为奇函数，即函数 在区间
上满足 ，所以 ，即
故答案为：
9．已知函数 ， ，则 .
【答案】9
【解析】令 ，定义域为 ，
且 ，
所以 为奇函数，
所以 ，即 ，
故 .
故答案为：9.题型四：利用轴对称解决函数问题
10．已知函数 有五个不同的零点，且所有零点之和为 ，则实数 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ，
所以函数 的图象关于直线 对称，
设五个零点分别为 ，且 ，
则 ，
所以 ,所以 ，
则 ，由 ，可得 ，则 .
故选：C.
11．（2024·河南·模拟预测）已知f(x)是定义在R上的函数， ，且当 时，
，若 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>b>a
【答案】C
【解析】由 ，判断 的图象关于直线 对称，把a、b、c转化为在 x > 1的函数值
利用单调性比较大小.因为 ，所以函数 的图象关于直线 对称，又， ， ，所以 ，
， .因为 ， ，所以
，又当 时， 为减函数，所以 ，即
.
故选：C.
12．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数 ，则
的大小关系（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】首先设函数 判断函数是偶函数，利用导数判断函数的单调性，根
据平移关系，可判断函数 的对称性和单调性，再将 ， ，以及 转化在同一个单调
区间，根据单调性比较大小.令 ，所以 是偶函数；当 时， ， 在 上是增函数，
将 图像向右平移一个单位得到 图像，
所以 关于直线 对称，且在 单调递增.
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 关于直线 对称，∴ ，
.
∴
故选：A
题型五：利用中心对称解决函数问题
13．已知函数 的对称中心为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
其对称中心为， ，
，
，
故选：C
14．已知函数 ，则
（ ）
A．2019 B．2020 C．4038 D．4040
【答案】C
【解析】先判断出 关于 成中心对称，由此求得所求表达式的值.
，
令 ， ，
则 为奇函数，所以 关于坐标原点对称，则 关于 成中心对称，则有 ，
所以
.
故选：C
15．已知定义在 上的函数 满足 ，若函数 与函数 的图象的交点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】首先判断两个函数的对称性，再判断交点的对称性，最后利用对称性求和. ，
关于点 对称，
，可知函数关于点 对称，
与 的交点也关于点 对称，
.
故选：C
16．（2024·河南·模拟预测）已知定义域为R的函数f(x)的图象关于点 成中心对称，且当 时，
，若 ，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意， ，又 ，
所以 ①，而 ②，
联立①②，解得： ， ，则 ．
故选：C题型六：奇偶性对称偏移
17．（2024·高三·内蒙古赤峰·期中）已知函数 的定义域为 为奇函数， 为偶函数，
当 时， ，若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 为奇函数，得 ，
故 ①，函数 的图象关于点 对称；
由 为偶函数，得 ②，
则函数 的图象关于直线 对称；
由①②得 ，
则 ，
故 的周期为 ，所以 ，
由 ，令 得 ，即 ③，
已知 ，
由函数 的图象关于直线 对称，得 ，
又函数 的图象关于点 对称，得
所以 ，即 ，
所以 ④，联立③④解得
故 时， ，
由 关于 对称，可得 .故选：A.
18．若定义在 上的函数满足 为偶函数，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 为偶函数,所以 ,
又因为 ,所以 ,
即 ,即得 , ,
故 ,所以 的周期为 .
的图像关于 对称,且 的图像关于 对称;
函数值不可知,故选项 错误
因为 ,令 得 ,因为 的周期为 .
所以 ,即 ,故 选项错误; 故 选项正确;
故选: .
19．（2024·高三·四川成都·开学考试）设函数f(x)定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． 为奇函数
C．f(x)在 上为减函数 D．f(x)的一个周期为8
【答案】C
【解析】由题设， ，则f(x)关于 对称，所以 ，即 ，
则 ，即 ，
由 ，则f(x)关于 对称，
所以 ，即 ，
综上， ，则 ，
故 ，即 易知f(x)的周期为8，D正确；
，A正确；
由 ，而 为奇函数，故 为奇函数，B正确；
由 时 递增，则 时f(x)递增，显然C错误.
故选：C
20．（多选题）对于定义在 上的函数 ，若 是奇函数， 是偶函数，且 在
上单调递减，则（ ）
A．
B．
C．
D． 在 上单调递减
【答案】BCD
【解析】若 是奇函数，即它的图象关于原点对称，
把 的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位得 的图象，
因此 的图象关于点 对称，所以 ， ，是偶函数，即它的图象关于 轴对称， 的图象向右平移一个单位得 的图象，
因此 的图象关于直线 对称，从而 ， ，B正确；
所以 ，即 ，
，所以 ，A错；
，C正确；
在 上递减，它关于直线 对称，则 在 上递增，
又它的图象关于点 对称，则在 上递增，
再由它关于直线 对称得它在 上递减，D正确，
故选：BCD．
题型七：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
21．（多选题）（2024·四川德阳·一模）定义在R上的函数 满足
，则下列结论正确的有（ ）
A． B． 为奇函数
C．6是 的一个周期 D．
【答案】ACD
【解析】该函数满足 且 ，
对于A，令 ，可得 ，解得 ，故A正确；
对于B，令 ， ，所以 ，所以 为偶函数，故B错误；对于C，令 ， ，
可得 ，令 ，可得 ，
将两式相加得： ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因此，6是 的一个周期，故C正确；
对于D，令 ， ， ，所以 ，
所以 ，
因为 ， ，
因为 ，令 ， ，所以 ，
令 ， ，所以 ，
令 ， ，所以 ，
令 ， ，所以 ，
由于6是 的一个周期，
所以 ，
所以 ，故D正确；
故选：ACD
22．（多选题）（2024·高三·安徽·期中）已知定义在 上的函数 满足：对 ，
，且 ，函数 为偶函数，则（ ）A． B．
C． 为偶函数 D．
【答案】ABD
【解析】定义在 上的函数 满足：对 ， ，
对于A，令 ，则 ， ，A正确；
对于C，令 ，则 ，
于是 ，
则 ，因此 不是偶函数，C错误；
对于B，由函数 为偶函数，得 ，即 ，
于是 ，即 ， ，
因此函数 的周期为 ， ，B正确；
对于D，由 ，得 ，
因此 ，D正确.
故选：ABD
23．（多选题）（2024·高三·山西太原·期中）已知定义域为 的函数 满足对于任意x， ，都有
，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 的图象关于点(1,0)对称
C． 的图象关于直线 对称 D．
【答案】AC【解析】对于A，令 ，可得 ，
由 ，则 ，解得 ，
令 ，可得 ，故A正确；
对于B，由题意可知 在函数 的图象上，而点 关于 的对称点为 ，
易知 不在函数 的图象上，故B错误；
对于C，设点 在函数 的图象上，点 关于直线x=1的对称点为 ，
当点 在函数 的图象上时，函数 的图象一定关于直线x=1对称，
此时由 ，可得 ，
令 ，可得 ，则 ，故C正确；
对于D，令 ，可得 ，则 ，
当 时，令 ，可得 ，
则 ，所以 ；
当 时，令 ，可得 ，
则 ， ，
所以 ，
综上所述， ，故D错误.
故选：AC.
24．（多选题）已知定义在 上的函数 不恒等于 ，且对任意的 ，有，则（ ）
A．
B． 是偶函数
C． 的图象关于点 中心对称
D． 是 的一个周期
【答案】ABC
【解析】对于A,根据题意令 ，则由 可得
，解得 ，即A正确；
对于B,令 可得 ，所以 ，
即可得对任意的x∈R满足 ，即 是偶函数，所以B正确；
对于C,令 ，则由 可得 ，
即 满足 ，因此可得 的图象关于点 中心对称，即C正确；
对于D,由于 是偶函数，所以满足 ，即 ，
可得 ，也即 ，所以 是 的一个周期，即D错误.
故选：ABC
题型八：双对称与周期性
25．已知函数 满足 ， ，且 ，则
的值为（ ）A．96 B． C．102 D．
【答案】C
【解析】根据题意，函数 满足 ，可得函数 关于点 成中心对称，
又由函数 满足 ，即
所以函数 关于 对称，
所以函数 既关于 成轴对称，又关于点 成中心对称，
所以 ，且函数 的周期 ，
又因为 ，所以 ，
可得 ，
所以
.
故答案为： .
26．（2024·陕西安康·模拟预测）定义在 上函数 满足 ， .
当 时， ，则下列选项能使 成立的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 关于点 对称，所以 ；
又 ，所以 ，所以有 ，故 关于直线
对称，所以 .所以， ，所以有 ，所以 ，
所以 的周期为4.
当 时， ，所以 ，
所以 时， .
当 时， ，所以 .
作出函数 在 上的图象如下图
当 时，由 可得， ，解得 ，所以 ；
当 时，由 可得， ，解得 ，所以 .
根据图象可得 时， 的解集为 .
又因为 的周期为4，
所以 在实数集上的解集为 .
令 ，可得区间为 ；令 ，可得区间为 ，故A项错误；令 ，可得区间为 ，故B项错误；
令 ，可得区间为 ；令 ，可得区间为 ，故C项错误；
令 ，可得区间为 ，故D项正确.
故选：D.
27．已知函数 ， 的定义域均为 ， 是奇函数，且 ，
，则下列结论正确的是（ ）
A． 为奇函数
B． 为奇函数
C．
D．
【答案】D
【解析】由 是奇函数，知 的图象关于点(1,0)对称，
所以f (1)=0， ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 .
则 ，所以 ，所以 为偶函数，则 也为偶函数，故 ，
项错误.由 ，得 ，所以 ，故 项错误.
因为 ，所以f (x+4)=−f (x+2)=f (x)，所以函数 的周期为 .
由 ，得f (x+2)+f (x)=0，所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0.
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，故 正确.
故选： .
28．（2024·广东河源·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 为奇函数，且 的图象
关于直线 对称，若 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】由 为奇函数，知 的图象关于点 对称，则 ，
由 ，得 ．
由 的图象关于直线 对称，则 的图象关于直线 对称，
所以 ， ，
综上， ，
由上 ， ，得 ，
所以 ，则4为 的一个周期，所以 .
故选：C
题型九：双函数与对称性
29．若函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线（ ）
A．x＝0对称 B．y＝0对称 C．x＝1对称 D．y＝1对称
【答案】C
【解析】因为函数f(x－1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位长度得到，f(1－x)＝f(－(x－1))的图象是
f(－x)的图象也向右平移1个单位长度得到；因为f(x)与f(－x)的图象是关于y轴(直线x＝0)对称，所以函数
y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．故选C.
30．与曲线 关于原点对称的曲线为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在与曲线 关于原点对称的曲线上任取一点 ，
则点 关于原点的对称点 在曲线 上，所以， ，
化简得 ，
因此，与曲线 关于原点对称的曲线为 .
故选：A.
31．（2024·广东梅州·一模）已知函数 （ 为常数， ， ）在 处取得
最小值，则函数 （ ）
A．是偶函数且它的图象关于点 对称 B．是奇函数且它的图象关于点 对称C．是偶函数且它的图象关于点 对称 D．是奇函数且它的图象关于点 对称
【答案】C
【解析】由题，
因为在 处取得最小值，
即
所以
即 =
分析答案，为偶函数且图像关于点 对称
故选C
题型十：类周期与倍增函数
32．函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时， .若对任意
，都有 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因 ，又当 时， ，
当 ， ，时， ，
则 ，
，
当 ， ，时， ，则 ，
，
作出函数 的大致图象，
对任意 ，都有 ，
设 的最大值为 ，
则 ，且
所以 ，解得
所以m的最大值为 .
故选：A.
33．设 是定义在R上的函数，若 是奇函数， 是偶函数，函数
，则下列说法正确的个数有（ ）
（1）当 时，
（2）
（3）若 ，则实数 的最小值为（4）若 有三个零点，则实数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】因为 是奇函数， 是偶函数，
所以 ，解得 ，
由
当 时， ，则 ，所以 ，
同理：当 时， ，
以此类推，我们可以得到如下 的图象：
对于（1）∶根据上述规律，当 时， ，故
（1）错误；
对于（2）：根据图象， 刚好是相邻两个自然数中间的数，
则 刚好是每一段图象中的极大值，代入函数解析式得 ，故
（2）正确；
对于（3）∶根据图象，当 时 ， 由图像可得（3）正确；对于（4）∶ 有三个零点，
等价于函数 与函数 有三个不同的交点，设 ， 则函数 的图象
为恒过点A的直线，如图所示.
当函数 与 ， 相切的时候，有三个交点，
相切时斜率k小于直线AB的斜率，直线AB的斜率为
故 有三个零点， ，故（4）错误．
说法正确的个数为2.
故选：B．
34．函数 是定义在R上的奇函数，当 时， ，则函数 在
上的所有零点之和为（ ）
A．－32 B．32 C．16 D．8
【答案】D
【解析】 函数 是定义在R上的奇函数,
.
又 函数 ,
函数 是偶函数,
函数 的零点都是以相反数的形式成对出现的.函数 在 上所有的零点的和为 ,
函数 在 上所有的零点的和,即函数 在 上所有的零点之和.
即方程 在 上的所有实数解之和.
由 时, ,故有
函数 在 上的值域为 ,当且仅当 时, .
又 当 时, ,如图：
函数 在 上的值域为 ；
函数 在 上的值域为 ；
函数 在 上的值域为 ,当且仅当 时, ,
即方程 在 上的又一个实数解 .即 有一个零点 ；
函数 在 上的值域为 ,当且仅当 时, ,
故 在 上恒成立, 在 上无零点,同理 在 上无零点,
依此类推,函数 在 无零点.
综上函数 在 上的所有零点之和为8,
故选：D.
重难点突破：函数性质与导数
35．（多选题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若 ，
为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对A：令 ，则 ；令 ，则 .所以
，故A正确；
对B：因为 ，
两边求导，得 即 ；
因数 为偶函数，所以 ，
所以 ，故 成立，故B正确；
对C：因为 ，所以 ， 未必为0，故C错误；
对D：因为 ，令 ，则 ，故D正确.
故选：ABD
36．（多选题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 .若 与
均为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】 是偶函数， ，即f (1+x)=f (1−x)，
函数 关于直线 对称，
， 的值无法确定，故A错误，C正确；
对f (1+x)=f (1−x)两边同时求导得 ，
即 ，所以 ，
关于点(1,0)对称，且 ，
是偶函数， ①，
关于直线 对称， ，
， ②，
由①②得 ， ，，
， 4是函数 的一个周期， ，故B正确；
，故D正确.
故选：BCD.
37．（多选题）已知函数 及其导函数 的定义域为 ，若 与 均为偶函数，且
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．4是 的一个周期
C． D． 的图象关于点 对称
【答案】ABD
【解析】因为 为偶函数，所以 ，即 ，
而 ，故 ，故 ，
又 为偶函数，所以 ，即 ，
所以 ，故 即 ，
，所以4是 的周期，故B正确.
对A，由 两边求导得 ，
令 得 ，解得 ，A正确：
对C，由上知 ，所以 ，
所以 C错误；
对D，因为 ，
故 ，故 的图象关于 对称，因为4是 的周期，故 的图象关于点对称
故选：ABD
1．（2024·高三·天津·开学考试）设 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为当 时， ，所以 在 上为增函数，
又 是定义在 上的奇函数，所以 在 上为增函数，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以不等式 可化为 ，即 ，
所以 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 ，
故选：C.2．（2024·高三·上海·期中）设奇函数 的定义域为R，且 ，若对任意
，都有 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令 ，因为 是定义域为R的奇函数，
所以 的定义域为 ，且 是偶函数，
且 ，
因为对任意 ，都有 ，
即对任意 ，都有 ，
所以 时， ，
所以 在 上单调递减，所以 在 上上单调递增，
因为 ，所以 ，所以 ，
当 时，不等式 等价于 ，即 ，
所以 ，解得 ，
当 时，不等式 等价于 ，即 ，
所以 ，解得 ，综上，原不等式的解集为 ．
故选：D．
3．（2024·高三·安徽·期中）若 是奇函数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，已知 是奇函数，
当 时， 一定不是奇函数，故 ，
则有 ，且 ，变形可得 ，所以 的根为 ，解可得 ，
故 ，
又因为 为奇函数，则有 ，即 ，即
，所以 ，即 ，故 .所以
.
故选：C.
4．（2024·高三·福建泉州·期中）已知函数 ，则满足 的实数
的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，则 ，则 ，所以 为奇函数，
又由复合函数的单调性可得 在 上为增函数，
因为 ，
所以原不等式可转化为 ，即 ，
由单调性可得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D.
5．（2024·高三·宁夏·期中）奇函数 在 上单调递减，且 ，则满足 的 的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据奇函数的性质，奇函数 在 上单调递减，则在 上仍然递减.
当 时， ，在 上单调递减，故 ，则 ；
当 时，注意到 ，于是 ，在 单调递减，故 ，则
.
综上， .
故选：D
6．（2024·高三·江苏南通·期中）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 .若
， 均为奇函数，且 ，则 （ ）A．2025 B．0 C．-4 D．4
【答案】C
【解析】因为 为奇函数，所以 ，
即 ，所以
所以 关于 对称，同时 ，
又 为奇函数，则 ，所以 关于 对称，
即 ，所以 常数，
令 可得： ，
所以 ，
则 关于 对称，结合 ，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ，也即 ，
所以
所以 是周期为4的函数，
， ， ， ， ， ，
故选：C.
7．（2024·高三·广东中山·期中）已知定义域为 的偶函数 满足 ，当 时
，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 是偶函数， ，
， ，
故 的周期 ，故 ，
，令 ，则 ，
又 当 时， ，
，即 ，即 ，
故选：C.
8．（2024·高三·辽宁大连·期中）已知函数 （不是常函数）及其导函数 的定义域均为 ，记
，若 和 均为偶函数，则下列说法中可能错误的是（ ）
A．存在实数 ，使 B．
C． D．
【答案】D
【解析】法一、由题意可知 ，即 ，
所以 关于 轴对称，则 ，故B正确；
且 ，
所以 关于 中心对称，
又 ，所以 关于 轴对称，则 ，
即 的一个周期为8，所以 ，
而 不能确定其函数值，
故C正确，D错误；
设 ，
则 ，
即 （c为常数），即 ，
故A正确；
法二、令 ，则 ，
显然 是偶函数，
且 也是偶函数，
即所构造的函数符合条件，
对于A， ，
即实数 ，符合题意，故A正确；
对于B， ，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，故D错误.
故选：D
9．（多选题）已知函数 ， 的定义域均为 ，且 ， ，若为偶函数，且 ，则（ ）
A． 的图象关于点 对称
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】 ①，
②，
由②可得： ③，
①③联立可得： ④，
所以 的图象关于点 对称，A错；
由④，又 为偶函数，所以 ，
所以 ，两式相减可得： ，
又 ， ，结合
所以 ，B对，
，由 ，可知： ，
所以 ，所以 ，C错；
由 ，可得 ，结合 ，得： ，
所以 ，
又 ，所以
即 ， ， ，
所以 ，
所以 ，D正确.
故选：BD
10．（多选题）（2024·四川泸州·一模）已知函数 的定义域为 ，若
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】因为 所以 所以 ，
取 ，由 可知， ，故A错误；
取 ，由 知， ，
所以 ，故B正确；
令 ，由 知， ，即 ，
又因为 ，所以 ，故C错误；
由 得， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：BD
11．（多选题）（2024·高三·安徽马鞍山·期中）已知 是定义在 上的偶函数，且对任意的 ，有
，当 时， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．点 是函数 的一个对称中心
C． D．函数 恰有3个零点
【答案】ACD
【解析】对A：因为f (2−x)=−f (x)，令 ，得f (1)=0，
所以 ，解得 ，故A正确；
对B：因为 为偶函数，又f (2−x)=−f (x)，所以 关于(1,0)对称，
所以 ，
所以 是周期为4的周期函数，则 ，
故点 不是函数 的一个对称中心，故B错误；
对C： ，故C正确；
对D：作函数 和y=f (x)的图象如图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，
所以函数 有3个零点，故D正确．
故选：ACD．
12．（2024·高三·四川眉山·期中）已知函数 的定义域为R，且 为奇函数，其图象关于直线
对称．当 时， ，则 ．
【答案】4
【解析】因为 为奇函数，所以 的图像关于点 对称，
所以 ，
又因为 图象关于直线 对称，
所以
用 替换 解得：
用 替换 解得：
故有
所以8是 的周期，
所以
故答案为：4.13．（2024·高三·上海·期中）已知定义在 上的函数 满足 ，当 时，
，若 ，则 的最小值为 .
【答案】4
【解析】因为函数 满足 ，则 ，
所以函数 的周期为6，
又因为 ，
所以 ，
因为当 时， ，
则有 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号．
故答案为：
14．（2024·高三·福建福州·期中）已知 是定义在 上的奇函数， ，恒有 ，且
当 时， ，则 .
【答案】3
【解析】因为 ，则 ，
可得 ，可知4为函数 的周期，
且 ，
又因为当 时， ，则 ，所以 .
故答案为：3.
15．（2024·高三·重庆·期中）已知函数 的定义域为 ， ，
，则 ．
【答案】 或
【解析】令 ，所以 或 ，
令 ，
所以当 时， ，
当 时， ，
令 ，
所以 ，
相减得 ，
所以 ，所以函数 的一个周期为 ，
所以
所以当 时， ，
当 时， .
故答案为： 或
16．（2024·高三·河南·开学考试）设函数 是定义在整数集 上的函数，且满足 ，对
任意的x， 都有 ，则 ＝
．
【答案】【解析】令
,
令 得
,
令 ,得 ,
即 ,
可得 ,
所以 ,
所以 ,
所以函数 周期 ,
为奇数时, ,
因为 为奇数时, 也为奇数,此时
为偶数时, 为4的整数倍,此时 ，
，
因为 ,
由 ,则 为偶数,
记 ，则 ，
，
，
所以 ，
所以 .
故答案为: .
